数值分析与算法变步长梯形求积法计算定积分

变步长梯形求积法计算定积分

1．原理：

变步长求积法的主要思想是利用若干小梯形的面积代替原方程的积分，当精度达不到要求时，可以通过增加点数对已有的区间再次划分，达到所需精度时即可；其中由于新的式子中有原来n点中的部分项，故可以省略一些计算，符合了计算机计算存储的思想。

主要公式：T2n=T n/2+(h/2)*Σf(x k+;

2．C++语言实现方式：

通过每次的T n值和新增的函数值点计算T2n，再通过判断|T n-T2n|的大小来判断是否达到精度要求。

3．源程序如下：

#include""

#include""

double f(double x)//预先输入的待积分函数

{

double s;

s=log(x*x);

return(s);

}

double ffts(double a,double b,double eps)

{

int n,k;

double fa,fb,h,t1,p,s,x,t;

fa=f(a);

fb=f(b);

n=1;

h=b-a;

t1=h*(fa+fb)/2;

p=eps+1;

while(p>=eps)

{

s=0;

for(k=0;k<=n-1;k++)

{

x=a+(k+*h;

s=s+f(x);

}

t=t1/2+h*s/2;

p=fabs(t1-t);

cout<<"步长n为:"<

t1=t;

n=n*2;

h=h/2;

}

return(t);

}

void main()

{

double result,a,b,eps;

cout<<"需要求解的积分式为f(x)=log(x^2)"<

cout<<"输入边界值a="<<'\t';

cin>>a;

cout<<"输入边界值b="<<'\t';

cin>>b;

cout<<"输入误差限"<<'\t';

cin>>eps;

result=ffts(a,b,eps);

cout<<"经过变步长梯形求积法得方程结果为:"<

}

4．程序运行结果：

根据程序提示依次输入积分上限和积分下限，然后输入误差限；本程序需要预先在程序中输入需要积分方程的表达式。程序运行的结果如下图所示：

5．实验小结：

通过本次实验，我学会了变步长梯形求积法的实现方式。其本质在于通过增加函数值点来获得精度的提高。而定积分的实质就是面积的计算，这样就可以利用若干小梯形来代替原来的函数。但缺点是函数必须是符号单一的，否则无法获得准确的积分值。同样，本次实验用到的积分式必须预先给定。

定积分的方法总结

定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? ， （b a <） 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的 方法作积分和．取h = n a b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+

复化积分法(复化梯形求积-复化Simpson公式-变步长求积法)MATLAB编程实验报告 (1)

复化积分法（复化梯形求积，复化Simpson 公式，变步长求积法） MATLAB 编程实验报告 一、 问题描述： 编写函数实现复化积分法。 二、 实验步骤（过程）： （一）复化求积法 （1）复化梯形求积：用复化梯形求积公式求解 dx x x ?10sin function [f]=Tn(a,b,n,y) syms t; h=(b-a)/n; f=0; for k=1:n+1 x(k)=a+(k-1)*h z(k)=subs(y,t,x(k)); end for i=2:n f=f+z(i); end q=subs(y,t,a); if y=='sin(t)/t'&&a==0 q=1; end p=subs(y,t,b); T=h/2*(q+p+2*f); T=vpa(T,7) clc,clear; syms t; a=0;b=1; y=sin(t)/t; n=8; Tn(a,b,n,y); （2）复化Simpson 公式：用复化Simpson 公式求解?211dx e x function [f]=simpson(a,b,n,y)

syms t; h=(b-a)/n; f=0;l=0; for k=1:n+1 x(k)=a+(k-1)*h w(k)=0.5*h+x(k) z(k)=subs(y,t,x(k)); end for i=2:n f=f+z(i); end for i=1:n l=l+w(i); end q=subs(y,t,a); if y=='sin(t)/t'&&a==0 q=1; end p=subs(y,t,b); T=h/2*(q+p+2*f); T=vpa(T,7) clc,clear; syms t; a=1;b=2; y=exp(1/t); n=5; simpson(a,b,n,y); （3）变步长求积法：以书本例4.5为例function [f]=TN(a,b,y,R0) syms t; T=[]; f=0; q=subs(y,t,a); if y=='sin(t)/t'&&a==0 q=1; end p=subs(y,t,b); T(1)=(b-a)/2*(q+p); i=2; n=i-1; h=(b-a)/n; z1=a+h/2; z2=subs(y,t,z1);

七大积分总结

七大积分总结 一． 定积分 1. 定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n －1个分点： a=x 0

? ??==b a b a b a du u f dt t f dx x f )()()(。 （2） 定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。 （3） 定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ →0必有n →∞，反之n →∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限： 例：∑?=∞→=n i n n i f dx x f 1 1 0n 1 )()(lim （此特殊合式在计算中可以作为公式使用） 2. 定积分的存在定理 定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理二 若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。 3. 定积分的几何意义 对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≥0时，定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积；当f(x) 小于0时，围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分?b a dx x f )(在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x 轴，曲线y=f(x),x=a,x=b 之间的各部分曲边梯形的代数和。 4．定积分的性质 线性性质（性质一、性质二）

定积分的性质与计算方法

定积分的性质与计算方法 摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常 丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。 关键词:定积分 性质 计算方法 定积分的定义 设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n 个子区间[x 0,x 1], (x 1,x 2], (x 2,x 3], …, (x n-1,x n ]，其中x 0=a ，x n =b 。可知各区间的长度依次是：△x 1=x 1-x 0, △x 2=x 2-x 1, …, △x n =x n -x n-1。在每个子区间(x i-1,x i ]中任取一点i ξ（1,2,...,n ），作和式1()n i i f x ι=ξ?∑。设λ=max{△x 1, △x 2, …, △x n }（即λ是 最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为: ()b a f x dx ?。 其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。 对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在[a,b]上满足怎样的条件， ()f x 在[a,b]上一定可积？下面给出两个充分条件： 定理1： 设()f x 在区间[a,b]上连续，则()f x 在[a,b]上可积。 定理2： 设()f x 在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则 ()f x 在[a,b]上可积。 例：利用定义计算定积分1 20x dx ?. 解：因为被积函数2()f x x =在积分区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关。因此，为了 便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i i x n = ，1,2,,1i n =?-;这样，

定积分总结

定积分讲义总结 内容一 定积分概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分 ()b a f x dx ? 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和： 1()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? 例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功． 分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =?． 1．分割 在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间： 0,b n ??????，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n n -???=? ? ??L ，其长度为()1i b i b b x n n n -??=-= 把在分段0, b n ? ???? ?，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 上所作的功分别记作：1W ?，2W ?，…，n W ? （2）近似代替 有条件知：()()11i i b i b b W F x k n n n --???=??=?? ? ?? (1,2,,)i n =L （3）求和 ()1 1 1n n n i i i i b b W W k n n ==-=?=??∑∑ =()()22222 110121122n n kb kb kb n n n n -?? ++++-==-?? ?? ??? L

设计采用梯形法和辛普生法求定积分的程序

河北工业大学计算机软件技术基础（VC）课程设计报告 学院信息工程学院院班级通信101 姓名崔羽飞学号 102117 成绩 __ ____ 一、题目： 设计采用梯形法和辛普生法求定积分的程序 二、设计思路 1、总体设计 1）分析程序的功能 本题目的功能是对梯形法和辛普森法，在不同区间数下计算所得的定积分的值，进行精度比较。 2）系统总体结构： 设计程序的组成模块，简述各模块功能。 该程序共分为以下几个模块 模块一：各函数原型的声明。 模块二：主函数。 模块三：各函数的定义。 包括两个数学函数y1=1+x*x、y2=1+x+x*x+x*x*x的定义和两个函数指针double integralt(double ,double ,int ,double(*f)(double)) double integrals(double ,double ,int ,double(*f)(double)) 的定义。 2、各功能模块的设计：说明各功能模块的实现方法 模块一：对各种函数进行声明。 模块二：求梯形法和辛普森法，在不同区间数下计算所得的定积分的值。 模块三：将各函数写出来。 3、设计中的主要困难及解决方案 在这部分论述设计中遇到的主要困难及解决方案。 1）困难1：函数指针的应用。解决方案：仔细阅读课本，以及与同学之间的讨论，和向老师求助。 2）困难2：将程序分成不同的.cpp文件。解决方案：与同学讨论。 4、你所设计的程序最终完成的功能 1）说明你编制的程序能完成的功能 在数学上求一个函数与x轴在一定范围内所围的面积即求定积分，对梯形法和辛普森法求定积分的比较。 2）准备的测试数据及运行结果

第一题.矩阵法,梯形法积分

梯形法数值积分 A ．算法说明： 梯形法数值积分采用的梯形公式是最简单的数值积分公式，函数()f x 在区间[a,b]上计算梯形法数值积分表达式为： ()[()()]2b a b a f x dx f a f b -≈+? 由于用梯形公式来求积分十分粗糙，误差也比较大，后来改进后提出了复合梯形公式：b a h n -=,其中，n 为积分区间划分的个数；h 为积分步长。 在MATLAB 中编程实现的复合梯形公式的函数为：Combine Traprl. 功能：复合梯形公式求函数的数值积分。 调用格式：[I,step]=CombineTraprl(f,a,b,eps). 其中，f 为函数名； a 为积分下限； b 为积分上限； eps 为积分精度； I 为积分值； Step 为积分划分的区间个数 B ．流程图

C．复合梯形公式的原程序代码： function[I,step]=CombineTraprl(f,a,b,eps) % 复合梯形公式求函数f在区间[a,b]上的定积分 %函数名：f %积分下限：a %积分上限：b %积分精度：eps %积分值：I %积分划分的子区间个数：step if(nargin==3) eps=1.0e-4; %默认精度为0.0001 end n=1; h=(b-a)/2; I1=0; I2=(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b))/h; while abs(I2-I1)>eps n=n+1 h=(b-a)/n; I1=I2; I2=0; for i=0:n-1 %第年n次的复合梯形公式积分 x=a+h*i; %i=0 和n-1时，分别代表积分区间的左右端点 x1=x+h I2=I2+(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),x)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x1)); end end I=I2; step=n; D．应用举例 复合梯形法求数值积分应用举例，利用复合梯形法计算定积分 dx x ? - 4 221 1 流程图

定积分计算的总结论文

定积分计算的总结论文公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

定积分计算的总结 闫佳丽 摘 要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法. 关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文 那么，究竟什么是定积分呢我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限， 设()0()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[]1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>?

定积分计算公式和性质

第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续，并且设x 为上的任一点， 于是， 在区间 上的定积分为 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 如果上限x 在区 间上任意变动，则对 于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在 上定义了一个以x 为自变量的函数，我们把 称为函数 在区间 上 变上限函数 记为 从几何上看，也很显然。因为X 是上一个动点， 从而以线段 为底的曲边梯形的面积，必然随着底数 端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10） 图 5-10

定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s 为 另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数，那么物体 从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11） 即 由导数的物理意义可知：即 是 一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数 的原函数 ， 再求 在区间 上的增量 即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般 方法： 设函数在闭区间上连续， 是 的一个原函数， 即 ，则 图 5-11

这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 二、定积分的性质 设 、 在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以 得到定积分以下几个简单性质： 图 5-12

定积分应用方法总结(经典题型归纳).docx

精品文档 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使 用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物 理问题等． 1. 定积分的运算性质 (1) b b kf (x)dx k f (x)dx(k 为常数 ). a a (2) b b f 1 ( x)dx b 2 ( x)dx. [ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx f a a a b c b 其中 a

矩形、梯形法计算定积分的黎曼和

钦州学院数学与计算机科学学院 数 学 实 验 报 告 实验完成日期 2010 年 11 月 5 日 ， 第 10 周 ， 星期五 成绩等级（五级分制） 评阅教师 评阅日期 年 月 日 数学实验报告填写要求：思路清晰，中间结果和最终结果真实；字迹工整，报告完整。 [实验题目及内容] 实验题目：（1）通过矩形法、梯形法分别计算定积分? ++-= b a x x x f 32.0)(2 的黎曼和； （2）通过10=n ，50=n ，200=n 时黎曼和的值分析两种方法逼近定积分的 速度。 内容：黎曼和逼近定积分值的动态过程演示，可利用几何画板制作 [问题描述]（用自己组织的相关数学语言重述现实问题；注意对约定的条件作说明） 将AB 边n 等分，过这些分点作E B '的垂线，将抛物线32.0)(2 ++-=x x x f 和以AB 为边形成的图形分割为n 个直角小梯形或小矩形，求这些小梯形或小矩形面积的和，即可求出定积分? ++-= b a x x x f 32.0)(2 黎曼和即面积。当n 充分大时，直角小梯形或小矩形的 面积之和可近似代替定积分? ++-=b a x x x f 32.0)(2 黎曼和。因此可通过计算梯形或矩形 面积求出定积分? ++-= b a x x x f 32.0)(2 的黎曼和。 定积分dx x f b a ?)(在数值上等于以曲线)(x f y =和三直线0=y 、a x =、b x =所围 成的曲边梯形的面积。解决的办法是分割后再求和：设想将区间],[b a 分为n 个小区间，以每个小区间左端点对应的函数值为高，以小区间的长度为宽，构作n 个梯形或矩形，并以这些小梯形或小矩形的面积的和（即黎曼和）近似代替定积分的面积。当改变参数n 的大小时，随着n 的逐渐增大（并且每个小区间的长度逐渐缩小），黎曼和的值逐渐趋近定积分的值。 [模型建立或思路分析]（建立合理，可解释的数学模型，通过公式、表格或图形直观明确地描述模型的结构；无法通过建立模型解决的，给出解题的思路及办法。） 利用几何画板作图：

[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]

高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:

樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分

分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__

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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx

数值分析与算法变步长梯形求积法计算定积分

变步长梯形求积法计算定积分 1．原理： 变步长求积法的主要思想是利用若干小梯形的面积代替原方程的积分，当精度达不到要求时，可以通过增加点数对已有的区间再次划分，达到所需精度时即可；其中由于新的式子中有原来n点中的部分项，故可以省略一些计算，符合了计算机计算存储的思想。 主要公式：T2n=T n/2+(h/2)*Σf(x k+; 2．C++语言实现方式： 通过每次的T n值和新增的函数值点计算T2n，再通过判断|T n-T2n|的大小来判断是否达到精度要求。 3．源程序如下： #include"" #include"" double f(double x)//预先输入的待积分函数 { double s; s=log(x*x); return(s); } double ffts(double a,double b,double eps) { int n,k; double fa,fb,h,t1,p,s,x,t; fa=f(a);

fb=f(b); n=1; h=b-a; t1=h*(fa+fb)/2; p=eps+1; while(p>=eps) { s=0; for(k=0;k<=n-1;k++) { x=a+(k+*h; s=s+f(x); } t=t1/2+h*s/2; p=fabs(t1-t); cout<<"步长n为:"<

大学微积分1方法总结

第一章 函数、极限、连续 注 “★”表示方法常用重要. 一、求函数极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2.等价量替换；★3.变量代换；★4.洛比达法则；★5.重要极限；★6.初等函数的连续性；7.导数的定义；8. 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式；9.夹逼定理；10利用带有拉格朗日余项的泰勒公式；11.拉格朗日定理；★12. 无穷小量乘以有界量仍是无穷小量等. ★二、已知函数极限且函数表达式中含有字母常数，确定字母常数数值的方法 运用无穷小量阶的比较、洛必达法则或带有佩亚诺余项的麦克劳林公式去分析问题，解决问题。 三、无穷小量阶的比较的方法 利用等价无穷小量替换或利用洛必达法则，无穷小量的等价代换或利用带有皮亚诺余项的佩亚诺余项公式展开 四、函数的连续与间断点的讨论的方法 如果是)(x f 初等函数，若)(x f 在0x x =处没有定义，但在0x 一侧或两侧有定义，则0x x =是间断点，再根据在0x x =处左右极限来确定是第几类间断点。如果)(x f 是分段函数，分界点是间断点的怀疑点和所给范围表达式没有定义的点是间断点。

五、求数列极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2. 夹逼定理；★3. 单调有界定理； 4. )()(lim )()(lim ∞=?∞=∞ →+∞→A n f A x f n x ；5. 数列的重要极限；6.用定积分的定义求数列极限；7. 利用若∑∞ =1n n a 收敛，则0lim =∞→n n a ；8. 无穷小量乘以有界量 仍是无穷小量；9.等价量替换等. 【评注】1. 数列的项有多项相加或相乘式或∞→n 时，有无穷项相加或相乘，且不能化简，不能利用极限的四则运算， 2.如果数列的项用递推关系式给出的数列的收敛性或证明数列极限存在，并求极限.用单调有界定理 3.对数列极限的未定式不能用洛比达法则。因为数列作为函数不连续，更不可导，故对数列极限不能用洛比达法则. 4.由数列{}n a 中的通项是n 的表达式，即).(n f a n =而)(lim )(lim x f n f x n ∞ →∞→与是特殊与一般的关系，由归结原则知 ★5. 有lim 1011()()n n i i f f x dx n n →∞ ==?∑或1lim 1001()()n n i i f f x dx n n -→∞==?∑ 第二章 一元函数微分学 ★一、求一点导数或给处在一点可导推导某个结论的方法： 利用导数定义，经常用第三种形式 二、研究导函数的连续性的方法：

复化梯形法 复化矩形法 变步长梯形 变步长辛普森

陕西科技大学 机械教改班 用C++的积分 其实积分的思想就是,微分—>求和—>取极限，如果是用纯手工法那就是先对一个函数微分，再求出它的面积，在取极限，因为我们的计算速度和计算量有限，现在有了计算机这个速度很快的机器，我们可以把微分后的每个小的面积加起来，为了满足精度，我们可以加大分区，即使实现不了微分出无限小的极限情况，我们也至少可以用有限次去接近他，下面我分析了四种不同的积分方法，和一个综合通用程序。 一．积分的基本思想 1、思路：微分—>求和—>取极限。 2、Newton —Leibniz 公式 ?-=b a a F b F dx x f ) ()()( 其中，)(x F 被积函数)(x f 的原函数。 3、用计算机积分的思路 在积分区间内“微分—>求和—>控制精度”。因为计算机求和不可以取极限，也就是不可以无限次的加下去，所以要控制精度。 二．现有的理论 1、一阶求积公式---梯形公式 ?=+-=b a T b f a f a b dx x f )]()([2 )( 他只能精确计算被积函数为0、1次多项式时的积分。 2、二阶求积分公式——牛顿、科特斯公式 ?=+++-=b a S b f a b f a f a b dx x f )]()2(4)([6)( 他只能精确计算被积函数为0、1、2、3次多项式时的积分。 三．四种实现方法 1.复化矩形法 将积分区间[a,b]等分成n 个子区间: ],[],[],[],[],[112322110n n n n x x x x x x x x x x ---、、、 则h=(b-a)/n,区间端点值k x =a+kh

C语言-用矩形法和梯形法求定积分

一.写一个用矩形法求定积分的函数，求sin(x)在（0,1）上的定积分。 #include #include float jifen(float a,float b) {int i,l; float n=0.001,s=0; //n表示划分的单位宽度，n越小结果越精确，n是矩形的宽 l=(b-a)/n; // l表示有多少个单位宽度 for(i=0;i #include float jifen(float a,float b) {int i,l; float n=0.001,s=0; l=(b-a)/n; for(i=0;i #include jifen(float a,float b,double (*fun)(double)) {int i,l;

变步长的梯形积分方法的应用

CENTRAL SOUTH UNIVERSITY 数值分析实验报告

变步长的梯形积分方法的应用 一、问题背景 实际问题当中常常需要计算积分，有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相关联。 依据人们所熟知的微积分基本定理，对于积分 ()dx x f I a ?=b ， 只要找到被积分函数()x f 的原函数()x F ，便有下列牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式： ()()()a F b F dx x f b -=?a . 但实际使用这种求积分方法往往有困难，因为大量的被积函数，诸如 ()0sin ≠x x x ，2x e -等，其原函数不能用初等函数表达，故不能用上述公式计算。即使能求得原函数的积分，有时计算也十分困难。例如对于被积函数 ()6 11x x f +=，其原函数 ()C x x x x x x x x F ++-+++??? ??-+=1 313ln 3411arctan 61arctan 3122， 计算()a F ，()b F 仍然很困难，另外，当()x f 是由测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用。因此有必要研究积分的数值计算问题。 二、数学模型 由于牛顿-科特斯积分公式在8≥n 时不具有稳定性，故不能通过提高阶数的方法来提高求积精度。为了提高精度通常可以把积分区间划分成若干的子区间（通常是等分），再在每个子区间上用低阶求积公式。这种方法称为复合求积法。 复合梯形法虽然方法简单，但是却不能估计积分精度，这有时候是很不方便的。要想控制积分精度，可以采用如下的方法，设积分区间已经划分为n 个子区间，这时再把区间划分更细，给出新的积分结果，如果前后两次积分的差比给定的误差容限小的话，则停止细华否则继续增加积分区间。这种方法原理很简单也 容易实现，但是实际计算中一般采用的比较少，因为这种方法比较机械效率不是太高，实际上采用比较多的通常是Romberg 方法。 三、算法及流程 给定义误差容限小量TOL ，对于()dx x f b a ?，有复合梯形公式

定积分计算的总结论文

定积分计算的总结 闫佳丽 摘 要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法. 关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文 那么，究竟什么是定积分呢？我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限，设 ()0 ()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[] 1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>?

不定积分解题方法及技巧总结剖析

? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1 111)'ln )1(ln(+- =-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 )ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法： 设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 ??=dt t t f dx f )(')]([x)(??