高等数学第七章习题详细解答
第七章习题答案
习题7.0
1．下列各种情形中，P 为E 的什么点？
（1）如果存在点P 的某一邻域()U P ，使得()?c U P E （c E 为E 的余集）； （2）如果对点P 的任意邻域()U P ，都有, ()(),C U P E U P E φφ≠≠ ； （3）如果对点P 的任意邻域()U P ，都有. 解 （1）P 为E 的外点；（2）P 为E 的边界点；（3）P 为E 的聚点。 2.判定下列平面点集的特征（说明是开集、闭集、区域、还是有界集、无界集等？）并分别求出它们的导集和边界.
(1) (){}
,0≠x y y ;
(2) (){}
22,620≤+≤x y x y ; (3) (){}
2,≤x y y x ;
(4) ()(){
}()(){
}
2
2
22,11,24+-≥?+-≤x y x y x y x y .
解 (1) 是开集，是半开半闭区域，是无界集，导集为2R ,边界集为
(){},0=x y y ；(2)既不是开集也不是闭集，是半开半闭区域，是有界集，导集
为(){}
22,620≤+≤x y x y ，边界集为(){}
2222,=6=20++，x y x y x y ；(3) 是闭集，是半开半闭区域，是无界集，导集为集合本身,边界集为(){}
2,=x y y x ；是闭集，是闭区域，是有界集，导集为集合本身，边界集为
()()
(){
}
2
2
22,11,24+-=+-=x y x y x y
习题7.1
1. 设求
1. 解
令
,=-=
y
u x y v x
，解得,11=
=--u uv x y v v
，故
()22
,11????=- ? ?--????
u uv f u v v v ，即()()21+,1=-u v f u v v ，所以，()()21+y ,1=-x f x y y φ≠-}){()(P E P U 22,,y f x y x y x ?
?-=- ???(,).f x y
2.已知函数()2
2,cot =+-x f x y x y xy y ，试求(),f tx ty .
2. 解
因
为
()2
2
,cot =+-y f x y x y xy x
，所以，
()22
22,cot ,=+-t y f tx ty tx ty txty t x
即()()2
2
2,cot =+-y f tx ty t x y t xy x
.
3.求下列各函数的定义域 (1) 25)1(=-+z ln y xy ;
(2) =
z ;
(3) =
z
(4) )0;=>>u R r
(5) =u
3. 解 (1)
(){}
2
,510-+>x y y
xy ；(2)
(){}
,0->x y x y ；（3）
(){}2
,≥x y x y ；
（4）(){}2
2222,<++≤x y r x y z R ；（5）(){}
222,≤+x y z x y
4. 求下列各极限:
(1) ()()233,0,31lim →-+x y x y
x y ;
(2)
()(
,1,1ln lim
→+x x y y e ;
(3)
(
)(,0,0lim
→x y ;
(4)
(
)(,0,0lim
→x y ;
(5)
()()()
,0,2sin lim
→x y xy x ;
(6)
()()
()
()22
222
2
,0,01cos lim
→-++x y x y x y x
y e
.
4. 解 （1）()()2333,0,31101lim 0327
→--==
++x y x y x y ； （2）()(
()
1,1,1ln ln 11lim
2
→+++=
==
x x y y e e e （3）
()()()
(,0,0,0,0lim
lim
→→=x y x y ()
(,0,01
lim
4
→=
=
x y （4）
(
)(
()()
),0,0,0,01
lim
lim
→→=x y x y xy xy
()()
)
,0,0=lim
1=2→x y
（5）
()()()()()()
,0,2,0,2sin sin lim lim 122→→=?=?=x y x y xy xy y x xy （6）
()()
()
()()()
()
()
()
22
22
22222
22
2
2
2
2,0,0,0,01cos 1cos lim
lim
→→-+-++=
?
++x y x y x y x y x y x y x y x
y e
e x y
()()
()
()
()()
()22
222
2
2
2
2,0,0,0,01cos 10lim
lim
=02→→-++=
??=+x
y
x y x y x y x y e e x y
5.证明下列极限不存在: (1)
()(),0,0lim
→-+x y x y
x y ;
(2)
()(),0,0lim
→+-x y xy
xy x y .
5. (1) 解 令=y kx ,有
()(),0,001lim
lim 1→→---==
+++x y x x y x kx k
x y x kx k ，k 取不同值，极
限不同，故
()(),0,0lim
→-+x y x y
x y 不存在.
(2) 解令=x y
()()2
2,0,00lim lim 1
→→==+-x y x xy x xy x y
x ；令2=x y
()()()()22,0,02,0,0022lim lim
lim 0221→→→===+-++x y y y y xy
y y
xy x y y y y ；
01≠，故()(),0,0lim →
+-x y xy
xy x y
不存在.
6.
函数=y z a 为常数）在何处间断？
6. 解 因为
=y z 是二元初等函数，且函数只在点集
(
)
{,x y x 上无定义，故函数在点集(
){,x y y 上间断.
7.用 εδ- 语言证明
()(
,0,0lim
0→=x y .
7. 证明 对0?>ε，要使
220-=
≤
=
<ε
2<ε，取=2δε
δ
0-<ε，所以
()(
,0,0lim
→=x y
习题7.2
1. 设()(),sin 1arctan ,π==+-xy x
z f x y e y x y 试求()1,1x f 及()1,1y f
1. 解
()22
1
,sin arctan 1=+++Q xy x x y
f x y ye y x
x y
y
π
2
2=sin arctan
+++xy x xy ye y y x y π.
()()
222
,sin cos 11-=++-+xy xy
y x y f x y xe y e y x x y
πππ 2
2
2sin cos -=+++xy
xy
x x xe y e y x y πππ
()()1,1,1,1∴=-=-x y f e f e
2.设(),ln 2?
?=+ ???y f x y x x ，求()1,0'x f ，()1,0'y f .
2. 解 ()()222122,22-
-==++Q x y
x y x f x y y x x y x x
()211
2,22=
=
++
y x f x y y x y x x
()()11,011,02∴==
，x y f f .
3.求下列函数的偏导数
(1) 332=++z x y xy ，(2) ()1=+x
z xy ， (3) ()222ln =+z y x y ，(4) ln tan
=y z x
， (5) ()222ln =+z x x y ；(6)
=z (7) ()sec =z xy ；(8) ()1=+y
z xy ；
(9) ()arctan =-z
y x y ；(10) .?
?=
??
?
z
x u y 3. 解 （1）
2232,32z z
x y y x x y ??=+=+??
（2）因为 ()ln 1,x xy z e +=所以
()()()()ln 1ln 11ln 111x x xy z xy xy e xy xy xy x xy xy +?
????=++=+++ ? ??++???
?
()()22
ln 1111x x xy z x
x e xy y xy xy +?????==+ ? ??++????
（3）()2322
222
222,2ln z xy z y y x y x x y y x y ??==++?+?+
（4）2
2
2222sec sec 111sec ,sec tan tan tan
tan y y
y z y y z y x x y y y y x x x y x x x x x x x x
??????=-=-== ? ??????? （5）()3222
2
222222ln ,z x z x y x x y x x y y x y ??=++=?+?+ （6）
z z x y ??====
??（7）
()()()()sec tan ,sec tan z z y xy xy x xy xy x y ??==??
（8）()()22ln 1111y y xy z y y e xy x xy xy +?????==+ ? ??++????
()()()()ln 1ln 11ln 111y y xy z xy xy e xy xy xy y xy xy +?
????=++=+++ ? ??++???? （9）()()()()()()()1
1
222ln ,,111z z z
z z z z x y z x y x y x y u u u x y z x y x y x y ------???==-=???+-+-+-
（10）因为 ln
,x z y
u e
=所以
ln ln ln 21,,ln z
z
x x x z z z y y y u z x z u z x x z u x e e e x x x
y y x y y y y z y y
y
??????
? ? ???
??
??????
???????=?==?-=-= ? ? ? ???????????
?
4.
设ln
=z ，求证: 12
??+=??z z x
y x y . 4.
证明 因为
ln
,z =所以
z z
x y
??
====
??
从而有
1
2 z z
x y
x y
??
+===
??
5.求下列函数的二阶偏函数：
(1)已知33
sin sin
=+
z x y y x，求
2
?
??
z
x y
；(2)已知ln
=x
z y，求
2
?
??
z
x y
；
(3)
已知(ln=z x，求22??z x和2???z x y；
(4)arctan
=
y
z
x
求
222
22
,,
???
????
z z z
x y x y
和
2
?
??
z
y x
.
5. 解（1）3323
sin sin,3sin cos
z
z x y y x x y y x
x
?
=+∴=+
?
从而有
22
3cos3cos
z
x y y x
x y
?
=+
??
（2）ln ln
1
,ln
x x
z
z y y y
x x
???
=∴= ?
???
从而有
()
()
()
ln1
ln1ln
11
ln ln ln ln1
x
x x
z y
xy y y x y
x y x y x
-
-
??
?
=+?=+
?
????
（3）
(
()1
222 ln,
z
z x x y
x
-
?
=∴===+
?
从而有
()()
33
2
2222
22
2
1
2
2
z
x y x x x y
x
--
?
=-+=-+
?
()()33
2222222
122
z x y y y x y x y --?=-+=-+?? （4）
22221
arctan
,1y z y y z x x
x x y y x ???=∴=?-=- ??+??
??+ ??? 222
111z x y
x x y y x ???
=?= ??+????+ ???
从而有
()()()()
222
2222
222222222222,x y y z xy z y x x x y x y x y x y -++??-===
???+++ ()()2
2222
2222
2222222,z xy z x y xy x y y y x x y x y x y ??
?-?+--=== ????+??
++ 6. 设()ln =z y xy ，求2???z x y 及22??z
y .
6. 解 因为()ln ,z y xy = 所以
()(),ln ln 1z y y z x y xy y xy x xy x y xy
??===+=+??
从而有
22211,.z z x y x y y ??==??? 习题7.3
1. 求下列函数的全微分. (1) 22
22
+=
-s t u s t
；(2) ()2222
+=+x y xy
z x y e ；
(3) ()arcsin 0=>x
z y y
；(4) ??
-+ ???=y x x y z e ；
1.解 （1）()()
2222323222
22222()()22222?--+?---==?-- u s s t s t s s st s t s
s s t s t
()()22222323
2222222()()22222u t s t s t t ts t ts s t s t s t ?--+---==?-- ()()
23
22222244u u st t dz ds dt ds dt s t s t s t ??-∴=+=-??--
（2）()()()
22
22222222
22++++?=++?
? x y x y xy
xy
x y x y y
z
xe
x y e
x xy
()2222222
2
442222
22+++??
--=++?=+ ??
?x y x y x y xy xy
xy
x y x y xe
x y e
x e x y x y
()()()
2222222222
2-2+++?=++?
?x y x y xy
xy
y x x y x
z
ye x y e
y
xy
()()2222222
2224
4
2
2
22+++-+??-=+
?=+ ??
?x y x y x y xy
xy
xy
y x x y y x ye
e
y e xy xy
22
4
4
4422
22x y xy
z z x y y x dz dx dy x e
dx y dy x y x y xy +??
????--∴=+=+++ ? ????
??? （3
）11?===?
z
x
y
y
22?????=-=-= ? ??????z x x y
y y
z z
dz dx dy x y
??∴=
+=??
（4）22221y x y x x y x y z y y x e e x x
y x y ??
??
-+-+ ? ?????
???-=-= ???? 22221y x y x x y x y z x x y e e y x y xy ??
??
-+-+ ? ?????
???-=-+= ????
222222
y x y x x y x y z z z y x x y dz dx dy e dx e dy x y y x y xy
??
??
-+-+ ? ?????
???--∴=+==+??? 2. 求函数2
arctan
1=+x
z y 在1,1==x y 处的全微分.
2.解 ()
()()()()()()2
2
22
2
2
2
2
2
2
222
222
2
2111
11111111++?++=
?
=?=?+++++++
+ y y z y y x x y y x y y x
y
()
()()()()()2
22
2
2
2
2
2
22
222
2
211222111111+?-?--=?
=?=
?+++++++
+y z x y
xy xy x y
y y x y y x
y
()()21,1112
5111z x ?+∴
==?++ ， ()()2
1,12125111
?-?==-?++z y ()1,122
55
dz dx dy ∴=
- 3. 求函数22
=-xy
z x y 当2,1,0.02,0.01==?=?=x y x y 时的全微分和全增量，
并求两者之差.
3.解 ()()()(),, 2.02,1.011,1z z x x y y z x y z z ?=+?+?-=-
()()
22
22
2.02 1.01
21 2.042
0.6670.667021 4.08 1.023
2.02 1.01??=
-
=-=-=--- ()()()22
23222222222--??--===-?--- y x y xy x z x y y y x x y x y x y ()()()()
22
32
2222222--?-?+==
?--x x y xy y z x xy y x y x y ()2,111
413
z x ?∴
=-=-?- ，()()2
2,182110941z y ?+?==?- ()2,1110
0.020.010.070.0110.00439
dz ∴=-?+?=-+=
00.0040.004z dz ∴?-=-=-.
*4讨论函数(
)()()()(),0,0,0,,0,0
?
≠?=??=?xy x y f x y x y 在()0,0点的连续性、可
导性、可微性以及其偏导函数在()0,0的连续性.
4.解()()()()(
)
(),0,0,0,0lim ,lim 00,0x y x y f x y xy f →→===
(),f x y ∴在()0,0点连续 又()()()0
0,00,000
0,0lim lim 0x x x f x f f x x
?→?→?--===?? ()()()0
00,0,0000,0lim
lim 0y y y f y f f y y
?→?→?--===?? ()()0,00,0,00x y f f ∴==.
()(
()(
,0,0,0,0,0,00
lim
lim lim
x y x y f x y f z dz
ρρ
→??→??→??--?-=
=
()()()0,0,0x y <
→??→ 0
lim
0z dz
ρρ
→?-∴=
故函数(),f x y 在()0,0点可微. 由()(),0,0x
y ≠时
(
),=- x f x y y xy
()
23
2
2
2
x y
y x
y
=-
+
(
),=-y f x y x xy
()
2
3
2
2
2
xy x x
y
=-
+
()(
)
,0,0lim
0x y y →= ，
()()
()
()23
,0,02
2
2
lim
→=+x y x y
y kx x
y
()
()
()3
3
3
2
3
2
2
2
=lim
11→=
=+?+x kx k
y kx k x
k ，k 不同值不同
()()
()
2
3
,0,02
2
2
lim
→∴+x y xy x
y
不存在，故()()(),0,0lim ,x
x y f x y →不存在.(),x f x y ∴在()0,0点不连续，同理可证(),y f x y 在点()0,0不连续.
*
5.计算()
2.05
0.99的近似值.
5.解 令
00,1,2,0.01,0.05y
z x x y x y ===?=?= 则1,ln y y z z yx x x x y
-??==?? ()()
1,21,22,0z z
x y ??∴
==?? ()
()()
2.05
21,21,20.991120.0100.0510.02 1.02??∴≈+
?+?=+?+?=+=??z z
x y x y
*
6.设有厚度为，内高为，内半径为的无盖圆柱形容器，求
容器外壳体积的近似值(设容器的壁和底的厚度相同).
6.解 设容器底面积半径为r ，高为h
则容器体积2
V r h π=
22,V V
rh r r h
ππ??==??
22∴=+dV rhdr r dh ππ
002,10,0.1,0.1r cm h cm r cm h cm ==?=?=
()()
2
2,102,1020.10.1400.140.1 4.4∴?≈=?+?=?+?=V dV rh r πππππ
*7. 测得直角三角形两直角边的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm ，试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差和相对误差.
0.1cm 10cm 2cm
7.解 设直角三角形的直角边长分别为,x y ，则斜边
z =
，
z z x
y
??=??
由题意007,24,0.1,0.1x y x y δδ====
z ∴的绝对误差为
()()7,247,24724
0.10.10.242525
??=
+=?+?=??z x y z z x y δδδ
z 的相对误差
()
7,240.24
0.009625
=
≈z
z δ 习题7.4
1.设，，，求
. 1.解 ()3
222sin 22cos 23cos 6---??=?+?=?-?=-??x y x y t t du z dx z dy e t e t e t t dt x dt y dt
2.设，而，，求
. 2.解
2
123??=?+?=+??dz z dy z dV x dx u dx V dx
2341-=
x
3.设，，，求
，. 3.解 ()()22
2cos 2sin ?????=?+?=-+-?????z z u z v uv v y u uv y x u x v x
()()2222222cos sin sin cos cos 2cos sin sin x y y x y y x y x y y y =-+-
()23sin cos cos sin x y y y y =-
()()()222sin 2cos z z u z v
uv v x y u uv x y y u y v y
?????=+=--+-????? ()()()2222222cos sin sin sin cos 2cos sin cos x y y x y x y x y x y y x y =--+-
()()
3333cos sin 2cos sin sin cos x y y x y y y y =+-+
2e x y u -=sin x t =3y t =d d u t
arccos()z u v =-34u x =3v x =d d z
x
22z u v uv =-cos u x y =sin v x y =z x ??z
y
??
4.设，而，，求，. 4.解 222ln 3???????
=?+?=?+- ????????
z z u z v u y u v x u x v x v x
()
()()2
322632ln 326ln 3x y y y y x y x y x
x
x x +?
?=+-=+-- ??
?
5.设求
5.解 ()()1w
f x xy xyz y yz x ?'=++++?
()()()()1w
f x xy xyz x xz x z f x xy xyz y
?''=+++=+++? ()()w
f x xy xyz xy xyf x xy xyz z ?''=++=++?
6.求下列函数的一阶偏导数(其中具有一阶连续偏导数):
(1)；(2)；
(3)；(4).
6.解 （1）()()2222
22?''=-?=-?z f x y x xf x y x
()()()222222?''=-?-=--?z
f x y y yf x y y
（2）12111
0?'''=+?=?u f f f x y y
12122211u x x f f f f y y z y z ?????
''''=-+=-+ ? ??????
122220???
'''=?+-=- ????
u y y f f f z z z （3）1231231?''''''=?+?+?=++?u
f f y f yz f yf yzf x
123230?'''''=?+?+?=+?u
f f x f xz xf xzf y
2ln z u v =32u x y =+y v x =
z x ??z y
??(),w f x xy xyz =++,,.w w w
x y z
??????f 22()z f x y =-,x y u f y z ??= ???
(,,)u f x xy xyz =22(,e ,ln )xy u f x y x =-
123300?''''=?+?+?=?u
f f f xy xyf z （4）1231231122?''''''=?+??+?=++?xy xy
u f x f e y f xf ye f f x x x
()12312202?'''''=?-+?+?=-+?xy xy u
f y f e x f yf xe f y
7.求下列函数的二阶偏导数，，(其中具有二阶连续偏导
数):
(1)，(2). 7.解（1）22121222?''''=?+?=+?
z
f xy f y xyf y f x
22121222?''''=?+?=+?z
f x f xy x f xyf y
()()
222211112212222222?'''''''''∴=+?+?+?+??z
yf xy f xy f y y f xy f y x
233341111221222422yf x y f xy f xy f y f '''''''''=++++ 23341111222244yf x y f xy f y f '''''''=+++
()()
2222111122212222222?''''''''''=+?+?++?+???z
xf xy f x f xy yf y f x f xy x y
322223111122212222422xf x yf x y f yf x y f xy f ''''''''''=+++++ 32231111222222522xf x yf x y f yf xy f ''''''''=++++
()
2222211122212222222?'''''''''=+++?+??z
x f x x f xy xf xy f x f xy y
43221112222424x f x yf xf x y f '''''''=+++
（2）()()222222?''=+?=+?
z
f x y x xf x y x
()()222222?''=+?=+?z
f x y y yf x y y
22z x ??2z x y
???22z
y ??f 22(,)z f x y xy =22()z f x y =+
()()()()2222222222222224?''''''∴=+++?=+++?z
f x y xf x y x f x y x f x y x
()()22222224?'''=+?=+??z xf x y y xyf x y x y
()()()()2222222222222224?''''''=+++?=+++?z
f x y yf x y y f x y y f x y y 8.设其中F 是可微函数，证明
8.解
()()()cos sin sin cos cos cos sin sin u x F y x x x xF y x x
?''=+--=--? ()sin sin cos u
F y x y y
?'=-? ()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos u u
y x x xF y x y yF y x x x y
??''∴
+=--+-?????? ()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos x y x yF y x x yF y x x y ''=--+-=.
习题7.5
1.设
,φ??
= ???x y z z 其中为可微函数，求??+??z z x y x y .
1.解 z
是
,x y
函数由方程x
x z y φ??= ?
??确定。
方程两边对x
求偏导
221???
???'-?=?- ? ????
???x z y y z
z z x z z x
φ 221
z z x y y x
z z z φ?∴=
???'- ??
?
方程两边对y
求偏导
sin (sin sin ),u x F y x =+-cos cos cos cos .u u
y x x y x y
??+=???φ