2019年全国III卷文科数学高考真题
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
5.函数f(x) 2sinx sin2x 在［0, 2兀的零点个数为
6.已知各项均为正数的等比数列
{a n }的前4项和为15,且a 5=3a 3+4a 1，贝U a 3=
N 为正方形 ABCD 的中心，△ ECD 为正三角形，平面 ECD ±平面ABCD , M 是线段ED 的中
点，则
文科数学
3.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共 60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。 1.已知集合A (
1,0,1,2}, B {x x 2
1}, 则AI
A. 1,0,1
B.
0,1 C.
1,1
D.
0,1,2
2 .若 z(1 i) 2i
则z=
B.
1+i
C. D.
1+i
3.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A . 1 B. 1 C. 1
6 4 3
D.
4.〈〈西游记》〈〈三国演义》〈〈水浒传》和〈〈红楼梦》是中国古典文学瑰宝, 并称为中国古典小说四大名著
某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100位学生，其中阅读过〈〈西游记》或〈〈红楼 梦》的学生共有 90位，阅读过〈〈红楼梦》的学生共有
80位，阅读过〈〈西游记》且阅读过〈〈红楼梦》的
学生共有60位，则该校阅读过〈〈西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A. 0.5
B. 0.6
C. 0.7
D. 0.8 A. 2 B. 3
C. 4
D. 5
B. 8
C. 4
D. 2
7.已知曲线
x
y ae
xln x 在点(1, ae)处的切线方程为
y=2x+b,则
A. a=e,
b= -1
B. a=e, b=1
D. a=et, b 1 8 .如图，点
A. BM=EN,且直线
B . BM毛N,且直线
C. BM=EN,且直线
D. BM击N,且直线BM, EN是相交直线BM , EN是相交直线BM,
BM,
EN是异面直线
EN是异面直线
9.执行下边的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s的值等于
c 1 c
A. 2 歹
B. 2
2 2 10.已知F是双曲线C：— -
4 5 1
25
D. 2
1
27
1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若OP = OF，则△ OPF
的面积为
A.
不等式组
2x
B.-
2
7
C.
2
9
D.-
2
y 6,表示的平面区域为D .
y 0 命题p : (x, y) D,2x y 9 ;命题
q : (x, y) D,2 x y 12 .下面给出了四个命题
Dp q ④ p q
这四个命题中，所有真命题的编号是
12 .设f X 是定义域为R 的偶函数，且在 0, 单调递减，则
3
2
A. f (logs 1) > f (22)> f (2 3 )
4
2 3
B . f (log 31) > f ( 2 3 )> f ( 2 2 )
4
3 2
C. f ( 2 2) > f ( 2 3) > f (log 3 1)
4
2 3
D. f ( 2 3 )> f ( 2 2 )> f (log3—)
4
13.已知向量 a (2,2), b ( 8,6)，则 cos 14.记S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a 3 5,a 7 13，则5。
15. 设0 F 2为椭圆C ： —+^ 1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若^ MF 1F 2为等腰三角形，
36 20
贝U M 的坐标为. 16.
学生到工厂劳动实践，利用
3D 打印技术制作模型.如
图，该模型为长方体
ABCD AB 1C 1D 1挖去四
棱锥O- EFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，
E, F , G, H 分别为所在棱的中点，
AB = BC = 6 cm , AA 1 = 4 cm , 3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm 3,不考虑打印损耗，制作该模型所 需原料的
质量为 g.
三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60分。 17. ( 12 分)
为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将
200只小鼠随机分成A, B 两组，每组
100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液. 每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔 浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别 得到如下直方图：
A.①③
B.①②
C.②③
D.③④
二、填空题: 本题共 4小题，每小题 5分,共 20分。
a, b
17~21题为必考题，每个试题考生
记C为事件：乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5 ”，根据直方图得到P (C)的估计值为0.70.
(1) 求乙离子残留百分比直方图中a, b的值；
(2) 分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
18. ( 12 分)
A C
△ ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知asin -------------- bsin A.
2
(1) 求B;
(2) 若^ ABC为锐角三角形，且c=1,求^ ABC面积的取值范围.
19. (12 分)
图1是由矩形ADEB , RtA ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1 , BE=BF=2,
/ FBC=60°.将其沿AB , BC折起使得BE与BF重合，连结DG ,如图2.
(1) 证明：图2中的A, C, G, D四点共面，且平面ABCL平面BCGE;
(2) 求图2中的四边形ACGD的面积.
20. (12 分)
已知函数f(x) 2x3 ax2 2 .
(1)讨论f (x)的单调性;
(2)当0 21 . ( 12 分) 已知曲线C：V=L , D为直线y= 1上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A, B. 2 2 (1) 证明：直线AB过定点： (2) 若以E(0, 5)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程. 2 (二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22. ［选修4 Y：坐标系与参数方程］(10分) 如图，在极坐标系Ox中，A(2,0) , B(花了，C(提，打)，D(2,)，弧A B , B C，C D所在圆 的圆心分别是(1,0) , (1," , (1,)，曲线M1是弧AB，曲线M2是弧？C，曲线M3是弧C D. (1) 分别写出M〔，M2, M3的极坐标方程； (2) 曲线M由M1 , M2 , M3构成，若点P在M上，且|OP | J3,求P的极坐标. 23. ［选修4 5 不等式选讲］(10分) 设x, y, z R,且x y z 1 . (1)求(x 1)2 (y 1)2 (z 1)2的最小值; —2 2 2 1 (2)若(x 2) (y 1) (z a) g 成立，证明：a 3或a 1 . 选择题 填空题 解答题 解：(1)由已知得 0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35. b=1 -0.05 -0.15-0.70=0.10. (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2 >0.15+3 0.20+4 0.30+5 0.20+6 0.10+7 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 1 故0 2 文科数学?参考答案 A 2. D 3. D 4. C 5. B 6. C 7. D 8. 12. C 13 10 14. 100 15. (3^/15) 16. 118.8 17 0.05=4.05 ? 18 3 >0.05+4 解：(1) 0.10+5 0.15+6 0.35+7 0.20+8 由题设及正弦定理得 sin Asin 0.15=6.00. LC sinBsin A. 2 因为sinA A C 0,所以sin --------- 2 sinB. C 180 可得 sin 2 B cos 2 B 2sin B cos —. 2 2 一. B - 因为cos — 0, 2 故 sin B 2 1 … 。 —，因此 B=60 . 2 (2)由题设及( 1)知△ ABC 的面积S A ABC 由正弦定理得a csin A sinC sin 120 C sinC 2tanC 2 由于△ ABC 为锐角三角形, a 2, 因此，△ ABC 面积的取值范围是 如，如 8 2 解：(1)由已知得AD P BE, CG P BE,所以AD P CG,故AD , CG 确定一个平面，从而 A, 四点共面. 由已知得AB BE, AB BC ，故AB 平面BCGE . 又因为AB 平面ABC ，所以平面ABC 平面BCGE. (2)取CG 的中点M,连结EM , DM. 因为AB // DE, AB 平面BCGE,所以DE 平面BCGE ,故DE CG. 由已知，四边形 BCGE 是菱形，且/ EBC=60°得EM CG ,故CG 平面DEM. 因此DM CG . 在 Rt △ DEM 中，DE=1 , EM=V 3,故 DM =2. 所以四边形ACGD 的面积为4. 2 解：(1) f (x) 6x 2ax 2x(3x a). 令 f (x) 0,得 x=0 或 x a . 3 (,0), a , 单调递增，在 0,旦 单调递减; 3 3 若a=0, f (x)在(，)单调递增； ,(0,)单调递增，在 ■— ,0单调递减. 3 19. 20. 若a>0，则当x ( ,0) U 旦, 3 时，f (x) 0 ；当 x 0,-时，f (x) 0 . 3 f (x)在 若a<0 ,则当x a ，-U(0,)时，f (x) 0 ;当 x 3 -,0 时，f (x) 0 . 3 f (x)在