随机变量的数字特征历年真题数学
随机变量的数字特征历年真题
数学一：
1（87，2分）
已知连续型随机变量X 的概率密度为
1
22
1
)(-+-=
x x
e x
f π
则EX = ，DX = 。
2（89，6分） 设随机变量X 与Y 独立，且X~N （1，2），Y~N （0，1），试求随机变量Z =2X -Y +3的概率密度函数。
3（90，2分） 已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且胡机变量Z =3X -2，则EZ = 。
4（90，6分） 设二维随机变量（X ，Y ）在区域D ：0 5（91，3分） 设随机变量X 服从均值为2、方差为2 σ 的正态分布，且 =<=<<}0{,3.0}42{X P X P 则 。 6（92，3分） 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则=+-)(2x e X E 。 7（93，6分） 设随机变量X 的概率密度为 +∞<<-∞= -x e x f x ,2 1)(| | （1） 求EX 和DX ； （2） 求X 与|X |的协方差，并问X 与|X |是否不相关？ （3） 问X 与|X |是否相互独立？为什么？ 8（94，6分） 已知随机变量的相关系数与且，Y X N Y N X ),4,0(~)3,1(~2 2 2 3,21Y X Z XY += -=设ρ。 （1） 求EZ 和DZ ； （2） 求X 与Z 的相关系数;XZ ρ （3） 问X 与Z 是否相互独立？为什么？ 9（95，3分） 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则)(2 X E = 。 10（96，3分） 设和ξη是两个相互独立且均服从正态分布N （0， 2 1 ）的随机变量， 则=-|)(|ηξE 。 11（96，6分） 设和ξη是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为).,min(),,max(3,2,1,3 1 )(ηξηξξ==== =Y X i i P 又设 （1） 写出二维随机变量（X ，Y ）的分布律； （2） 求EX 。 12（97，3分）设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量3X -2Y 的方差是 （A ）8 （B ）16 （C ）28 （D ）44 [ ] 13（97，7分） 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是5 2 。设X 为途中遇到红灯的次数，求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望。 14（98，6分） 设两个随机变量X 、Y 相互独立，且都服从均值为0、方差为 2 1 的正态分布，求|X-Y|的方差。 15（00，3分） 设二维随机变量（X ，Y ）服从二维正态分布，则随机变量 Y X Y X -=+=ηξ与不相关的充分必要条件为 （A ）)()(Y E X E = （B ）2 2 2 2 )]([)()]([)(Y E Y E X E X E -=- （C ）)()(2 2 Y E X E = （D ）2 2 2 2 )]([)()]([)(Y E Y E X E X E +=+ [ ] 16（00，8分） 某流水生产线上每个产品不合格的概率为p (0 17（01，3分） 将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于 （A ）-1 （B ）0 （C ） 2 1 （D ）1 [ ] 18（02，7分） 设随机变量X 的概率密度为 ?????≤≤=其他0 0,2 cos 21 )(πx x x f 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3 π的次数，求2 Y 的数学期望。 19（03，10分） 已知甲、乙两箱中装有两种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3 件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求： （1） 乙箱中次品件数X 的数学期望。 （2） 从乙箱中任取一件产品是次品的概率。 20（04，4分） 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则}{DX X P > = . 21（04，4分） 设随机变量)1(,,,21>n X X X n Λ独立同分布，且其方差为.02 >σ 令∑==n i i X n Y 1 1，则 (A) Cov(.),2 1n Y X σ= (B) 21),(σ=Y X Cov . (C) 212)(σn n Y X D += +. (D) 2 11)(σn n Y X D +=-. [ ] 22（04，9分） 设A,B 为随机事件，且2 1 )(,31)(,41)(=== B A P A B P A P ，令 ;,,0,1不发生发生A A X ???= ., ,0,1不发生发生B B Y ? ??= 求：（I ）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II ）X 和Y 的相关系数.XY ρ 数学三： 1（87，4分） 已知随机变量X 的概率密度为 ???? ???? ?≤>=-0 ,00 ,)(22 22x x e a x x f a x 求随机变量X Y 1 = 的数学期望)(Y E 。 2（89，7分） 已知随机变量（X ，Y ）的联合密度为 ?? ? ? ?>>=+-其他 ,00 ,0,),()(y x e y x F y x 试求：（1）}{Y X P <）； （2）)(XY E 。 3（91，3分） 对任意两个随机变量X 和Y ，若)()()(Y E X E XY E ?=，则 （A ）)()()(Y D X D XY D ?=。 （B ）)()()(Y D X D Y X D +=+ （C ）X 与Y 独立。 （D ）X 与Y 不独立。 [ ] 4（91，6分） 设随机变量（X ，Y ）在圆域2 2 2 r y x ≤+上服从联合均匀分布。 （1） 求（X ，Y ）的相关系数ρ （2） 问X 和Y 是否独立？ 5（92，5分） 某设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30。设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求E （X ）和D （X ）。 6（93，8分） 设随机变量X 和Y 同分布，X 的概率密度为 ??? ??? ?<<=其他 ,02 0,83)(2x x x f （1） 已知事件a B A P a Y B a X A 求常数且独立和,4 3 }{,}{}{=>=>=Y ； （2） 求 21 X 的数学期望。 7（94，8分 ） 设由自动线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布N （μ，1），内径小于10或大于12为不合格品，其作为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润T （单位：元）与销售零件的内径X 有如下关系： ?????????>-≤≤<-=12 , 51210, 2010,1X X x T 若若若 问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？ 8（95，3分） 设随机变量X 和Y 独立同分布，记 必然与则随机变量V U Y X V Y X U ,,+=-= （A ）不独立。 （B ）独立。 （C ）相关系数不为零。 （D ）相关系数为零。 [ ] 9（96，7分） 设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。一周五个工作日，若无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；若发生两次故障，获利润0元；若发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内的利润期望。 10（97，6分） 游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光。电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行。设一游客在早上八点的第X 分钟到达底层侯梯处，且X 在[0，60]上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。 11（97，6分） 两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布。先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开动。试求两台自动记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度f (t )、数学期望和方差。 12（98，10分） 一商店经销某种商品，每周的进货量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是两个相互独立的随机变量，且都服从区间[10，20]上的均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润1 000元；若需求量超过了进货量，可以其他商店调剂供应，这时每单位商品的售出获利润为500元。试求此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。 13（99，3分） 设随机变量)2;,,2,1,(≥=n n j i Xi j Λ独立同分布，,2=ij EX 则行 列式 nn n n n n X X X X X X X X X Y Λ M M M Λ Λ2 1 22221 11211= 的数学期望EY= 。 14（99，9分） 假设二维随机变量（X ，Y ）在矩形} 10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x g 上服从均匀分布，记 ?? ?? ?>≤=Y X Y X U 若若,1,0 ?? ?? ?>≤=Y X Y X V 2,12,0若若 （1） 求U 和V 的联合分布； （2） 求U 和V 的相关系数r 。 15（00，3分） 设随机变量X 在区间[-1，2]上服从均匀分布，随机变量 ?????????<-=>=0 , 10, 00,1X X X Y 若若若 则方差DY = 。 16（00，8分） 设A ，B 是二随机事件，随机变量 ?? ?-=不出现 若出现若A A X ,1, 1 ?? ?-=不出现 若出现若B B Y ,1, 1 试证明随机变量X 和Y 不相关的充分必要条件是A 与B 相互独立。 17（01，3分） 将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于 （A ）-1 （B ）0 （C ） 2 1 （D ）1 [ ] =),cov(2222Y X Y X 的协方差和则 . 19（02，8分） 假设随机变量U 在区间[-2，2]上服从均匀分布，随机变量 ?? ?->-≤-=1 ,11 ,1U U X 若若 ?? ?>≤-=1 ,11 ,1U U Y 若若 试求（1）X 和Y 的联合概率分布； （2）D （X+Y ）。 20（02，8分）设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间（EX ）为5小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F (y )。 21（03，4分） 设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9，若Z=X -0.4，则Y 与Z 的相关系数为 。 22（04，4分） 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P . 23（04，13分） 设A ，B 为两个随机事件,且41)(= A P , 3 1)|(=A B P , 2 1)|(= B A P , 令 ?? ?=不发生，，发生，A A X 0,1 ???=. 0,1不发生，发生， B B Y 求 (Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布. 24（06，13分）设随机变量X 的概率密度为 ()1 ,1021 ,02,4 0,x x f x x ?-< 其它()2,,Y X F X Y =令为二维随机变量(),X Y 的分布函数, 求: (Ⅰ) Y 的概率密度()Y f y (Ⅱ) ()cov ,X Y (Ⅲ)1,42F ?? - ??? 数学四： 1（87，8分） 已知离散型随机变量X 的概率分布为 P （X =1）=0.2, P (X =2)=0.3, P (X =3)=0.5 (1) 写出X 的分布函数F （x ）； (2) 求X 的数学期望和方差。 2（88，7分） 假设有十只同种电器元件，其中有两只废品。装配仪器时，从这批元件中任取一只，若是废品，则扔掉重新任取一只；若仍是废品，则扔掉再取一只。试求在取到正品之前，已取出的废品只数的概率分布、数学期望和方差。 3（89，3分） 设随机变量X 1、X 2、X 3相互独立，其中X 1在区间[0，6]上服从均匀分 布，X 2~N （0，22 ），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y =X 1-2X 2+3X 3，则DY = 。 4（89，8分） 已知随机变量（X ，Y ）的联合分布为 15 .015.020.025.015.010.0) 1,2()0,2()1,1()0,1()1,0()0,0(),{) ,(y Y x X P y x == 试求： （1）X 的概率分布； （2）X+Y 的概率分布； （3）Z=sin 2 ) (Y X +π的数学期望。 5（90，3分） 设随机变量X~N （-3，1），Y~N （2，1），且X 与Y 相互独立。若Z=X-2Y+7，则Z~ 。 6（90，3分） 已知随机变量X 服从二项分布，且EX =2.4，DX =1.44，则二项分布的参数n, p 的值为 (A) n =4, p =0.6 (B) n =6, p =0.4 (C) n =8, p =0.3 (D) n =24, p =0.1 7（91，7分） 一辆汽车沿一街道行驶，要过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红、绿两种信号显示的时间相等，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数。求X 的概率分布和E ?? ? ??+X 11。 8（92，7分） 某设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 0.10，0.20和0.30。设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求E （X ）和D （X ）。 9（93，8分） 设随机变量X 和Y 相互独立，都在区间[1，3]上服从均匀分布。引进事件A={X ≤α}，B ={Y>α} (1) 已知9 7 )(=B A P Y ，求常数α； (2) 求 X 1 的数学期望。 10（94，8分） 设由自动线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布N （μ，1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润T （单元：元）与销售零件的内径X 有如下关系。 ?? ? ??>-≤≤<-=12,51210,2010, 1X X X T 若若若 问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？ 11（95，3分） 设随机变量X 的概率密度为 ?? ? ??≤≤-≤≤-+其他若若,010,101,1)(X x X x x f 则DX = 。 12（96，7分） 设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。一周五个工作日，若无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；若发生两次故障，获利润0元；若发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内的利润期望。 13（97，3分） 设X 是一随机变量EX=μ，DX =σ2（μ，σ2 >0是常数），则对任意常数C 必有 （A ）E （X-C ）2=EX 2-C 2 （B ）E （X-C ）2=E （X-μ）2 （C ）E （X-C ）2 [ ] 14（97，8分） 设随机变量Y 服从参数为λ=1的指数分布，随机变量 ?? ?=>≤=) 2,1(,1,0k k Y k Y X k 若若 求： （1）（X 1，X 2）的联合概率分布； （2）E （X 1+X 2）。 15（98，9分） 设某种商品每周的需求量X 是服从区间[10，30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10，30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每1单位商品获利300元。为使商店所获利润期望值不少于9 280元，试确定最少进货量。 16（98，7分） 某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80、10和10件。现从中随机抽取一件，记 ?? ?==)3,2,1(0 ,1i i X i 其他等品 若抽到 试求：（1）（X 1，X 2）的联合分布； （2）（X 1，X 2）的相关系数ρ。 17（99，3分） 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知E [（X -1）（X -2）]=1，则λ= 。 18（99，3分） 设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则D （X+Y ）=DX+DY 是X 和Y （A ） 不相关的充分条件，但不是必要条件。 （B ） 独立的必要条件，但不是充分条件。 （C ） 不相关的充分必要条件。 （D ） 独立的充分必要条件。 19（00，3分） 设随机变量X 在区间[-1，2]上服从均匀分布，随机变量 ?? ? ??<-=>=0,10,00,1X x X Y 若若若 则DY = . 20（00,8分） 设二维随机变量（X ，Y ）的密度函数为 )],(),([2 1 ),(21y x y x y x f ??+= 其中),(),(21y x y x ??和都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为 31和3 1 -，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是0，方差都是1。 （1）求随机变量X 和Y 的密度函数)()(21y f x f 和，及X 和Y 的相关系数ρ（可以直接 利用二维正态的性质）。 （2）问X 和Y 是否独立？为什么？ 21（00，8分） 设A ，B 是二随机事件，随机变量 ?? ?-=不出现若出现若A A X ,1, 1 ?? ?-=不出现 若出现若B B Y ,1, 1 试证明随机变量X 和Y 不相关的充分必要条件是A 与B 相互独立。 22（01，3分） 将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上或反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于 （A ） -1 （B ）0 （C ） 2 1 （D ）1 [ ] 23（01，3分） 设随机变量X 和Y 的联合分布在以点（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量U=X+Y 的方差。 则X 和Y 的关系数ρ= 。 25（02，8分） 假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间（EX ）为5小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F (y )。 26（03，4分） 设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则 （A ）X 与Y 一定独立。 （B ）（X ，Y ）服从二维正态分布。 （C ）X 与Y 未必独立。 （D ）X+Y 服从一维正态分布。 27（03，4分） 设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5, EX=EY =0, EX 2=EY 2 =2，则 E （X+Y ）2= 。 28（03，13分） 对于任意二事件A 和B ，0 ) ()()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P -=ρ 称作事件A 和B 的相关系数。 （1） 证明事件A 和B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零； （2） 利用随机变量相关系数的基本性质，证明|ρ|<1。 29（04，4分） 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=> }{DX X P . 30（04，4分） 设随机变量n X X X ,,,21Λ)1(>n 独立同分布，且方差02 >σ．令 随机变量 ∑==n i i X n Y 1 1， 则 (A) 212)(σn n Y X D += +． (B) 2 12)(σn n Y X D +=-． (C) n σY X Cov 21),(=． (D) 2 1),(σY X Cov =． [ ] 31（04，13分） 设A ,B 为两个随机事件,且41)(= A P , 3 1)|(=A B P , 2 1 )|(= B A P , 令 ?? ?=不发生，，发生，A A X 0,1 ???=. 0,1不发生，发生， B B Y 求 (Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 2 2 Y X Z +=的概率分布. 32（05，13分）设)2(,,,21>n X X X n Λ为独立同分布的随机变量，且均服从N （0，1）。 记.,,2,1,,11 n i X X Y X n X i i n i i Λ=-==∑= 求： （I ）;,,2,1,n i DY Y i i Λ=的方差 （II ）).,(11n n Y Y Cov Y Y 的协方差与 (III) { }.01≤+n Y Y P 33（06，13分）设随机变量X 的概率密度为 1 ,1021 (),02,40,y x f x x ?-< =≤ ???? 其它 令2Y X =，(,)F X Y 为二维随机变量(,)X Y 的分布函数。 求：（1）Y 的概率密度()Y f y （2）cov(,)X Y （3）1(,4)2 F - §1.4数据的数字特征 一、教学背景分析 在义务教育阶段，学生已经通过实例，学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题。（由于义务教育阶段《大纲》中对统计部分的要求与《标准》的要求相差较大，若是承接现行《大纲》的话，建议先补充《标准》中第三学段相应部分的内容。）在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征。 二、教学目标 1、能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力。 2、通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生的运算能力。 三、教学重、难点 教学重点：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。 教学难点：根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。 四、设计思路 （1）、教法构想 本节教学设计依据课程标准，在义务教育阶段的基础上，进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。通过具体的实例，让学生理解数字特征的意义，并能选择适当的数字特征来表达数据的信息。 （2）学法指导 学生自主探究，交流合作，教师归纳总结相结合。 五、教学实施 导入新课 提出问题：小明开设了一个生产玩具的小工厂，管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成。工作人员由五个领工和十个工人组成。工厂经营的很顺利，需增加一个新工人，小亮需要一份工作，应征而来与小明交谈。小明说：“我们这里报酬不错，平均薪金是每周300元。你在学徒期每周75元，不过很快就可以加工资了。”小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗了我，我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元，平均工资 随机变量的数字特征试题 答案 It was last revised on January 2, 2021 第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）= B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4 D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）= （C ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004 B. C. D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X -Y ）=D （X ）-D （Y ） D ． D （X -C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 B ． 21 C ．2 3 D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D = （C ） A ． 34 B ． 37 C ． 323 D ． 3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ． -13 B ． 15 C ． 19 D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 B ． 22 C ． 30 D ． 46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 B ． 1 C ． 3 10 D ． 10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0 D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D B ． )(X D -)(Y D C ．)(X D +)(Y D -2),cov(Y X D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X 12、设随机变量)2 1 ,10(~B X ，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数 XY ρ=（D ） A ． B ． -0.16 C ． D ． 13、已知随机变量X 的分布律为 25 .025.012p P x X i -，且E （X ）=1?，则常数x =( B) A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8 14、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. B. 0 C. D. 2 15、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=?? ?>--other x e x 00 12，则X 的均值和方差分别为（D ） 《用样本的数字特征估计总体的数字特征》教案 教学目标： 知识与技能 （1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。 （2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。 （3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。 （4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。 过程与方法 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。 情感态度与价值观 会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。 重点与难点 重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。 难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。 教学设想 【创设情境】 在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. 观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）。 【探究新知】 <一>、众数、中位数、平均数 〖探究〗：P62 （1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？ （2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论） 初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）（图略见课本第62页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少。 〖提问〗：请大家翻回到课本第56页看看原来抽样的数据，有没有2.25这个数值呢？ 概率论与数理统计练习题 、选择题: 二、填空题: 1 4.设随机变量 X 的密度函数为f(x) e |x| ( x )，则E(X) 0 三、计算题： 1.袋中有5个乒乓球，编号为1 , 2, 3, 4, 5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编 号，求E(X) 解：X 的可能取值为3, 4, 5 E(X) 3 丄 4 色 5 3 4.5 10 10 5 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 系 _____ 第四章 专业 ______ 班 _________ 随机变量的数字特征(一) 学号 1 ?设随机变量 X 的可能取值为0, 1, 相应的概率分布为 0.6,0.3 , .01，则 E(X) 0.5 2 .设X 为正态分布的随机变量，概率密度为 f(x) 2?2 e (x 1)2 2 8 ，贝U E(2X 1) ，则 E(X 3X 2) 116/15 1 ?设随机变量X ,且 E(X)存在，则 E(X)是 (A )X 的函数 (B )确定常数 随机变量 (D )x 的函数 2 .设X 的概率密度为 f(x) 1 x e 9 9 0 ，则 E( 9X) 3 ?设 x x e 9 dx 1 (B) 9 x x e 9dx (C ) (D ) 1 是随机变量, E( )存在，若 ￥，则 E() E() (B)罟 (C ) E() P(X 3) 1 10 ， P(X 4) C 5 3 10 P(X 5) § 10 2 ?设随机变量X 的密度函数为f(X ) 2 (1 %)0甘它1，求E(X) 0 其它 2 3?设随机变量X~N(,)，求E(|X I) (1) Y 1 e 2X ( 2)Y 2 max{ X, 2} 解：(1) E(Y) 2x x 1 e e dx 0 3 (2) EM) 2 x 2e dx xe 0 2 x dx 2 2e 2 3e 2 2 2 e (3) E(Y 3) 2 e x dx 2e x 0 2 dx 1 c 2 c 2 」 2 3e 2e 1 e 概率论与数理统计练习题 ________ 系 _______ 专业 ______ 班 ___________________学号 _________ 第四章 随机变量的数字特征(二) 、选择题: 解：E(X) X 2(1 x)dx 解： |x (x )2 1 — dx 令y 2 y I y |e 2dy 4 .设随机变量 X 的密度函数为f (x) x 0 ，试求下列随机变量的数学期望。 x 0 (3) Y min{ X,2} 2 2~ 2 o ye dy 第四章 随机变量的数字特征 一、填空题 1. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望____________)(2=+-X e X E 。 2. 若随机变量X 服从均值为2，方差为2 σ的正态分布，且3.0)42(=< 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=?? 第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）=? B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4? D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）=? （??C?） A. 1 ? B. 3 C. 5? D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004? B. ? C. ? D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（?D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） ?B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X-Y ）=D （X ）-D （Y ） ?D ． D （X-C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 ?B ． 21 C ．2 3 ?D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ） A ． 34 ? B ． 37 C ． 323 ? D ． 3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ， X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ） A ． -13 ? B ． 15 C ． 19 ? D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 ?B ． 22 C ． 30 ?D ． 46 9、设)3 1,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 ?B ． 1 C ． 3 10 ?D ． 10 10、设)3,1(~2 N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0? D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D ?B ． )(X D -)(Y D 第四章随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=2 2 Y X -=，则34） A C 5A 6、)1= （C ） A ．3 4?B ．3 7C ． 323?D ．3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ．-13? B ．15 C ．19? D ．23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ） A ．6? B ．22 C ．30? D ．46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ．31? B ．1 C ．3 10?D ．10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A.E （X ）=1? B.D （X ）=3? C.P （X=1）=0? D.P （X<1）=0.5 11 A ．C ．12、XY ρ= （D 13x =(B) A ． 14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(== X D X E ?D ．4 1 )(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为 则)(XY E =（B ） A ．9 1-?B ．0 C ．9 1?D ．3 1 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A 18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}2 2 εσεμn n X P ≥ <-?B ．{} 22 1ε σεμn X P -≥<- C ．{}2 2 1ε σεμn X P - ≤≥-?D ．{}2 2 εσεμn n X P ≤ ≥- 第三章 随机变量的数字特征答案 一、1、35；2、 6175；;259,59,259, 563、σ σμ1 , =±=b a ； 4、()(),2 1212 1211 )(2 2 2 212111 2??? ? ??-- ---+-? = ? = = x x x x e e e x πππ ? ），（～所以2 1 1N ξ ，2 1 ,12 = ===σ ξμξD E 5、2 1-；6.a=2,b=0,或a=-2,b=2；32)(=ξE 或31 ； 7、()()125,01022===+=+=+=+a D a b a D b a b aE b a E ξξξξ 所以2,5 1 2,51=-=-== b a b a 或 8、()()6.2022,2=++=++=+ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D ()()4.232,2=-+=-+=-ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D 9、148，57； 10、()()()()n D a E D a E i i 2 2 ,,,σξ ξσξξ= ===所以 二、1、C 2、B 3、C 4、B 5、C 三、1、,2.03.023.004.02-=?+?+?-=ξE ()8.23.023.004.02222 2=?+?+?-=ξE ()() ()() ( )04.114,412,4.1353532 222=-==-=+=+ξξξξξξE E D D E E 2、ξ~[]10,0U ，()32512010,5210 02 =-==+=ξξD E ， 3 35=ξD 3、4)(,1)2 (==ξξ D D ，则 1)(,4)1(==-ξξ E D 所以0)1(=-ξE 所以 ()()()() 2 2 2111404E D E ξξξ-=-+-=+= 4、()()()()()()32323223,2D D D D Cov ξηξηξηξη-=+-=+-+- ()( )941225.6D D ξηρ=+-= 随机变量的数字特征 讨论随机变量数字特征的原因 （1） 在实际问题中，有的随机变量的概率分布 难确定，有的不可能知道，而它的一些数字特征较易确定。 （2）实际应用中，人们更关心概率分布的数字特征。 （3）一些常用的重要分布，如二项分布、泊松 分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布。 §4.1 数学期望 一、数学期望的概念 1.离散性随机变量的数学期望 例4．1：大学一年级某班有32名同学，年龄情况如下： 解： 平均年龄=1 4810721 224218201019718217+++++?+?+?+?+?+? 25.19= 把上式改写为： 32 12232421328203210193271832217?+?+?+?+?+? 设X 为从该班任选一名同学的年龄，其概率分布为 定义4.1：设离散型随机变量X 的分布列为： 若 ∑k k k p x 绝对收敛（即 +∞ <=∑∑k k k k k k p x p x ），则称它为X 的 数学期望或均值（此时，也称X 的数学期望存在），记为E(X),即 若 ∑k k k p x 发散，则称X 的数学期望不存在。 说明： （1）随机变量的数学期望是一个实数，它体现了随机变量取值的平均； （2） 要注意数学期望存在的条件： ∑k k k p x 绝对 收敛； （3） 当X 服从某一分布时，也称某分布的数学 期望为EX 。 ∑=k k k p x EX 例4．2：设X服从参数为p的两点分布，求EX EX=p 例4．3：设X~B(n,p)，求EX EX=np 例4．4：设X服从参数为λ的泊松分布，求EX EX=λ 2.连续型随机变量的数学期望 定义4.2: 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x).若积分 ?+∞∞-dx x xf) ( 绝对收敛，（即?∞∞ - +∞ < dx x f x) ( ），则称它 为X的数学期望或均值（此时，也称X的数学期望存在），记为E(X),即 ) ( ) (?∞∞- =dx x xf X E 若?∞∞ - +∞ = dx x f x) ( ， 则称X的数学期望不存在。 例4.5:设X服从U[a,b],求E(X)。 EX= 2b a+ 例4.6:设X服从参数为λ的指数分布，求EX EX=λ 例4.7: ) , ( ~2σ μ N X，求EX §2.3.1随机变量的数字特征（二） 学习目标 1．熟练掌握均值公式及性质． 2．能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题． 学习过程 【任务一】双基自测 1．分布列为 的期望值为 ( ) A ．0 B ．－1 C ．－13 D ．12 2．设E (ξ)＝10，则E (3ξ＋5)等于 ( ) A ．35 B ．40 C ．30 D ．15 3．某一供电网络，有n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p ，供电网络中一天平均用电的单位个数是 ( ) A ．np (1－p ) B ．Np C ．n D ．p (1－p ) 4．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱中，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)＝________ 【任务二】题型与解法 题型一 二项分布的均值 例1：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分 100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值． 跟踪训练1英语考试有100道选择题，每题4个选项，选对得1分，否则得0分．学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择．求甲、乙在这次测验中得分的期望． 题型二超几何分布的均值 例2一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩： 凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表： 试计算：（1）摸一次能获得20元奖品的概率； （2）按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？ 跟踪训练2厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品． （1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率； 第四章随机变量的数字特征 【基本要求】理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算方法；掌握计算随机变量函数的数学期望方法；掌握二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差；了解协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法。 【本章重点】数学期望与方差的概念、性质与计算方法；求随机变量函数的数学期望的方法；二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差。 【本章难点】数学期望与方差的概念计算方法；随机变量函数的数学期望的计算方法；协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法 【学时分配】7-9学时 分布函数:) x F≤ =——全面描述随机变量X取值的统计规律。但是，在实际问题中 P X ) ( (x 分布函数的确定并不是一件容易的事，而且有时我们也不需要知道分布函数，只需知道随机变量的某些数字特征就够了。例如： 评价粮食产量，只关注平均产量； 研究水稻品种优劣，只关注每株平均粒数； 评价某班成绩，只关注平均分数、偏离程度； 评价射击水平，只关注平均命中环数、偏离程度。 描述变量的平均值的量——数学期望， 描述变量的离散程度的量——方差。 §4.1 数学期望 教学目的：使学生理解掌握随机变量的数学期望的实际意义及概念，会计算具体分布的数学期望； 使学生理解掌握随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。 教学重点、难点：数学期望的概念及其计算；随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。 教学过程： (一) 数学期望的概念 先看一个例子:一射手进行打靶练习,规定射入 区域2e 得2分, 射入区域1e 得1分,脱靶即射入 区域0e 得0分.设射手一次射击的得分数X 是一个 e 0 随机变量，而且X 的分布律为P{X=k}=k p ,k=0,1,2 现射击N 次，其中得0分0a 次，得1分1a 次，得2分2a 次，0a +1a +2a =N.则他射击N 次得分的总和为0a 0+ 1a 1+ 2a 2,他平均一次射击的得分数为 ∑==?+?+?2 210210k k N a k N a a a ，因为当N 充分大时, 频率k p 概率稳定值 ??→?N a k 。 所以当N 充分大时, 平均数∑=??→?2 k k k p x x 稳定值 。 显然,数值∑=2 k k k p x 完全由随机变量X 的概率分布确定,而与试验无关，它反映了平均数的大小。 定义: 1.离散型随机变量的数学期望:设离散型随机变量X 的分布律为{}k k P X x p ==，1,2,3k =…若级数1 k k k x p ∞ =∑绝对收敛，则称级数1 k k k x p ∞ =∑为随机变量X 的数学期望，记为()E X ,即()E X ＝1 k k k x p ∞ =∑。 2.连续型随机变量的数学期望:设连续型随机变量X 的密度函数为()f x ，若积分()xf x dx ∞ -∞ ?绝对 收敛，则称积分()xf x dx ∞-∞ ?的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即()E X ＝()xf x dx ∞ -∞ ?。 数学期望简称期望，又称为均值。 (二) 数学期望的计算 关键是：求出随机变量的分布律或者密度函数。 1、离散型——若 则()E X ＝1k k k x p ∞ =∑ （绝对收敛） 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 整体设计 教学分析 教科书结合实例展示了频率分布的众数、中位数和平均数.对于众数、中位数和平均数的概念,重点放在比较它们的特点,以及它们的适用场合上,使学生能够发现,在日常生活中某些人通过混用这些（描述平均位置的）统计术语进行误导.另一方面,教科书通过思考栏目让学生注意到,直接通过样本计算所得到的中位数与通过频率直方图估计得到的中位数不同.在得到这个结论后,教师可以举一反三,使学生思考对于众数和平均数,是否也有类似的结论.进一步,可以解释对总体众数、总体中位数和总体平均数的两种不同估计方法的特点.在知道样本数据的具体数值时,通常通过样本计算中位数、平均值和众数,并用它们估计总体的中位数、均值和众数.但有时我们得到的数据是整理过的数据,比如在媒体中见到的频数表或频率表,用教科书中的方法也可以得到总体的中位数、均值和众数的估计. 教科书通过几个现实生活的例子,引导学生认识到：只描述平均位置的特征是不够的,还需要描述样本数据离散程度的特征.通过对如何描述数据离散程度的探索,使学生体验创造性思维的过程.教科书通过例题向学生展示如何用样本数字特征解决实际问题,通过阅读与思考栏目“生产过程中的质量控制图”,让学生进一步体会分布的数字特征在实际中的应用. 三维目标 1.能利用频率分布直方图估计总体的众数、中位数、平均数；能用样本的众数、中位数、平均数估计总体的众数、中位数、平均数,并结合实际,对问题作出合理判断,制定解决问题的有效方法；初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法；通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断，培养学生“实事求是”的科学态度和严谨的工作作风. 2.正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差；能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差）,并作出合理的解释；会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识. 3.在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法；会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,认识统计的作用,能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系. 重点难点 教学重点：根据实际问题对样本数据中提取基本的数据特征并作出合理解释,估计总体的基本数字特征；体会样本数字特征具有随机性. 教学难点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差；能应用相关知识解决简单的实际问题. 课时安排 2课时 教学过程 第1课时众数、中位数、平均数 导入新课 思路1 在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下﹕ 甲运动员:7,8,6,8,6,5,8,10,7,4； 乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥得更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律,我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究.——用样本的数字特征估计总体 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=?? 课时教案4 课题：数据的数字特征 一、教学分析 在初中阶段，学生已经学习了平均数、中位数、众数、极差、方差与标准差等概念，它们都是一些统计量，反映了数据的集中趋势与离散程度。在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征。 二、教学建议 1、本节开始，可结合上一节茎叶图的相关内容，让学生计算初中已经学习过的统计量，让学生复习初中学习的统计量的内容，并能在这个过程中体会用不同的统计量刻画数据集中趋势的不同。 2、在选择适当的数来分别表示这两组数据的离散程度时，学生会很自然地想到义务教育阶段时学习过的极差和方差。在教学时，可以先让学生自主思考，选择适当的数来表示，在此基础上，再鼓励他们积极交流，并认真观察、比较不同刻画方式之间的异同。 3、作为本节的结束，可安排教材的“动手实践”活动，让学生经历收集数据、整理数据、分析数据、作出推断的过程，进一步体会统计对决策的作用。 三、教学目标 1、知识与技能 （1）能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。 （2）通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。 2、过程与方法 在分析和解决具体实际问题的过程中，学会用恰当的统计量表示数据的方法，并能结合统计量对所给数据的分布情况作出合理的解释。2 3、情感态度价值观 通过对现实生活和其他学科中统计问题的分析和解决，体会用数学知识解决现实生活及各学科问题的方法，认识数学的重要性。 四、教学重点、难点 教学重点：理解各个统计量的意义和作用，学会计算数据的标准差。 教学难点: 根据给定的数据，合理地选择统计量表示数据。 （一）课题引入 数据的信息除了通过前面介绍的各种统计图表来加以整理和表达之外，还可以通过一些统计量来表述，也就是将多个数据“加工”为一个数值，使这个数值能够反映这组数据的某些重要的整体特征。 （二）探求新知 请大家思考，初中时我们学习了几个统计量？它们在刻画数据时，各有什么样的优点和缺点？请大家结合下面问题的解决，对这个问题进行思考。 1、平均数、中位数、众数 某公司的33名职工的月工资（单位：元）如下： （1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数； （2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从 5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？ （3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？为什么？ （4）公司经理会选取上面哪个数据来代表该公司员工的月工资情况？ 税务官呢？工会领导呢？ 通过这个问题的解决，我们应该认识到，各个不同的统计量适用于刻画不同的统计数据，并且有着各自的特点。 平均数：一般地，对于N 个数N x x x ,,,21 ，我们把 N x x x N +++ 21叫做这 N 个数的算术平均数，简称平均数。平均数是数据的重心，它是反映数据集中 趋势的一项指标。它的优点在于：对变量的每一个观察值都加以利用，比起众数与中位数，它会获得更多的信息；但是平均数对个别的极端值敏感，当数据有极端值时，最好不要用均值刻画数据。 众数：一组数据中出现次数最多的数据。众数着眼于对各数据出现的次数的 第四章 随机变量的数字特征 ㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义 (1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为 {}?????==?∑∞ ∞ - d )( )()( ， ， 连续型离散型x x xf x X x X k k k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望 1、离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量的概率分布为 ，若，则称级数为随 机变量 的数学期望（或称为均值），记为 , 即 2、两点分布的数学期望 设 服从0—1分布，则有 ，根据定义， 的数学期望为 . 3、二项分布的数学期望 设 服从以 为参数的二项分布， ，则 。 4、泊松分布的数学期望 设随机变量 服从参数为的泊松分布，即，从而有 。 ①常见的连续型随机变量的数学期望 1)均匀分布 设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a，b] (a §4 数据的数字特征 【自主探讨学习】 【自主归纳】 1、平均数：一组数据的和与这组数据的个数的商，数据 , , ……，的平均数 = n x x x n +++ 21 2、中位数：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数成为这组数据的中位数。若个数为偶数，中位数为位于中间的数的平均数，若个数为奇数，位于中间的数为中位数。 3、（1）众数：一组数据中出现次数最多的数为这组数据的众数。 （2）众数特征：一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有。反应该数据的集中趋势 4、极差 一组数据的最大值与最小值的差成为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况。 5、标准差：样本数据到平均数的一种平均距离。 S= n x x x x x x n 2 2 22 1) ()()( -++-+- 6、方差，即标准差的平方 = 【问题研讨】 疑点一：中位数，众数和平均数的作用及区别 ①中位数，众数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量 ②平均是的大小与一组数据里的每个数的大小均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动。 ③众数考察各数出现的频率，其大小与这组数据中部分数据又关，当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往能反映问题。 ④中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不再所给数据中，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其中集中趋势。 【问题研讨】： 1、已知一组数据为10，20，80，40，30，90，50，40，50，40.这组数据的众数是40，中位数是40 平均数是_____。 2、某鞋厂为了了解中学生穿鞋的鞋号情况，对某中学初二某班的20名男生所穿鞋号的统计如右表： 那么这20名男生鞋号数据的平均数是24.55，中位数是24.5，众数是25，在平均数、中位 第十章 随机变量分布及数字特征 10.1 随机变量 10.2 离散型随机变量分布 1、学时：2学时 2、过程与方法： 结合实例介绍随机变量概念，离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质. 3、教学要求： （1）掌握随机变量及离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 （2）几种常见概率分布 教学重点：离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 教学难点：离散型随机变量的分布函数 教学形式：多媒体讲授 教学过程： 一、新课教学内容 10.1 随机变量 概率论与数理统计是从数量上来研究随机现象的统计规律，因此我们必须把随机事件数量化． 在随机试验中，结果有多种可能性，试验结果样本点很多可以与数值直接发生关系，如产品检验，我们关心的是抽样中出现的废品件数．商店销售我们重视每天销售额，利润值．在投骰子中是每次出现的点数等． 但是也有不少试验结果初看与数字无直接关系，但我们可通过如下示性函数使之数值化，比如，产品合格与不合格令???=01ξ 不合格 合格 事件10A A X ?=??发生与否用 不发生发生 这些事件数值化后，数量是会 变化的称为变量．变量取值机会有大有小所以叫随机变量 ． 定义1：在某一随机试验中，对于试验的每一个样本点ω都唯一对应一个数，这样依不同样本点ω而取不同值的点叫随机变量．通常用希腊字母或大写英文字母X 、Y 、Z 等表示．用小写英文字母i i y x 、表示随机变量相应于某个试验结果所取的值． 举例： 1°投骰子出现的点数用随机变量X 表示，X 可取值为{ }，，，，，，654321 2°电信局话务台每小时收到呼叫次数用Y 表示，Y 可取值为{}Λ210，， 3°总站每五分钟发某一路车，乘客在车站候车时间{} 50≤≤=t t ξ 4°某一电子零件的寿命用{} 30000≤≤=t t T 按其取值情况可以把随机变量分成两类： （1）离散型随机变量：取有限个或无限可列个值．如例1°、2°． （2）非离散型随机变量：可在整个数轴上取值或取实数某部分区间的全部值．非离散型随机变量范围较广，本书只研究其中常遇见的一种称为连续型随机变量如例3°、4°． 例1 设有2个一级品，3个二级品的产品，从中随机取出3个产品，如果用X 表示取出产品中一级品的个数，求X 取不同值时相应概率． 解 X 可取值为{}210，， 101)0(3533===C C X P 53)1(352312===C C C X P 103 )2(35 1 322==C C C X P 例2 抛一枚匀称的硬币，引进一变量Y 令???=0 1Y 出现反面 出现正面求出现正面与反面概率： 解 21)0(= =Y P 2 1)1(==Y P 10.2 离散型随机变量分布 10.2.1 离散型随机变量的概率分布 例1 某汽车公司销售汽车数据表示在过去100天营业时间是有24天每天销售汽车是为0辆，38天高中数学 第一章 统计 数据的数字特征教案 北师大版必修
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