高三专题复习：不等式

小题精练：不等式(限时：60分钟)

1．(2013·高考辽宁卷)已知集合A ＝{x |0

A ．(0，1)

B ．(0，2]

C ．(1，2)

D ．(1，2]

2．(2014·聊城模拟)若不等式1

x ＞m 的解集是??????x ?

??0＜x ＜12，则实数m 的值为( )

A.1

2 B ．2 C ．－12

D ．－2

3．(2014·江西省七校联考)已知条件p ：x ≤1，条件q ：1

x

＜1，则綈p 是q 的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分也非必要条件

4．(2014·武汉市调研测试)已知x ＝log 23－log 23，y ＝log 0.5π，z ＝0.9

－1.1

，则( )

A ．x ＜y ＜z

B ．z ＜y ＜x

C ．y ＜z ＜x

D ．y ＜x ＜z

5．(2014·广州市模拟)已知e 为自然对数的底数，则函数y ＝x e x

的单调递增区间是( )

A ．[－1，＋∞)

B ．(－∞，－1]

C ．[1，＋∞)

D ．(－∞，1]

6．函数f (x )＝???

?

?－x ＋1，（x ＜0），x －1，（x ≥0），

则不等式x ＋(x ＋1)·f (x ＋1)≤1的解集是( )

A ．{x |－1≤x ≤2－1}

B ．{x |x ≤1}

C ．{x |x ≤2－1}

D ．{x |－2－1≤x ≤2－1} 7．下列不等式一定成立的是( )

A ．lg ?

????x 2＋14＞lg x (x ＞0) B ．sin x ＋

1

sin x

≥2(x ≠k π，k ∈Z) C ．x 2

＋1≥2|x |(x ∈R) D.

1

x 2

＋1

＞1(x ∈R) 8．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )

A ．3

B ．4 C.9

2

D.112

9．(2014·武汉市联考)已知a ＞b ，二次三项式ax 2

＋2x ＋b ≥0对于一切实数x 恒成立．又

?x 0∈R ，使ax 20

＋2x 0＋b ＝0成立，则a 2＋b 2

a －b

的最小值为( )

A ．1 B. 2 C ．2

D ．2 2

10．(2014·湖北省八校联考)“0＜a ＜1”是“ax 2

＋2ax ＋1＞0的解集是实数集R”的( )

A ．充分而非必要条件

B ．必要而非充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分也非必要条件

11．(2014·成都市诊断检测)若不等式m ≤12x ＋21－x 在x ∈(0，1)时恒成立，则实数m 的最

大值为( ) A ．9 B.92 C ．5

D.52

12．(2014·山西省质检)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )

在R 上恒有f ′(x )＜12，则不等式f (x 2

)＜x 2

2＋12的解集为( )

A ．(1，＋∞)

B ．(－∞，－1)

C ．(－1，1)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

13．(2014·安庆模拟)已知f (x )＝?

????log 2x ，x ≥1，

x 2－x ，x ＜1，则满足f (a )＞2的a 的取值范围是

________．

14．(2014·杭州模拟)设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y

＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y

的最大

值为________．

15．(2014·荆州市质检)函数f (x )＝x e x

－a 有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 16．(2014·深圳市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，定点A (4，3)，且动点B (m ，0)在x 轴

的正半轴上移动，则m

|AB |

的最大值为________．

小题精练(六)

1．解析：选D .因为A ＝{x|0

2．解析：选B .1x ＞m ，即1－mx

x ＞0，x(mx －1)＜0，其解集为??????x ?

??0＜x ＜12，

必有????

?m ＞01m ＝12，

解得m ＝2，故选B .

3．解析：选A .由x ＞1得1x ＜1；反过来，由1

x ＜1不能得知x ＞1，即綈p 是q 的充分不

必要条件，选A .

4．解析：选D .∵0＜x ＝log 23＜log 22＝1，y ＝log 0.5π＜log 0.51＝0，z ＝0.9－1.1

＞0.9

＝1，∴z ＞x ＞y.故选D .

5．解析：选A .令y′＝e x

(1＋x)≥0，又e x

＞0，∴1＋x ≥0， ∴x ≥－1，故选A .

6．解析：选C .不等式转化为

?

????x ＋1≥0，

x ＋（x ＋1）x ≤1 或?

????x ＋1＜0，x ＋（x ＋1）（－x ）≤1， 解得－1≤x ≤2－1或x ＜－1. 综上知x ≤2－1，故选C .

7．解析：选C .对于A ：lg ? ????x 2＋14≥lg ? ??

??2

x 2

·14＝lg

x ，当且仅当x 2＝14时，即x ＝12时等号成立，故A 错误；对于B ：当sin x ＜0时，不可能有sin x ＋

1

sin x

≥2，故B 错误；

对于C ：由基本不等式x 2

＋1＝|x|2

＋1≥2|x|，故C 正确；对于D ：因为x 2

＋1≥1，所以1

x 2

＋1

≤1，故D 错误． 8．解析：选B .x ＋2y ＝8－x·(2y)≥8－? ??

?

?x ＋2y 22

，整理得(x ＋2y)2＋4(x ＋2y)－32≥0，

即(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0，又x ＋2y ＞0，∴x ＋2y ≥4.

9．解析：选D .由题知a ＞0且Δ＝4－4ab ≤0?ab ≥1，又由题知Δ＝4－4ab ≥0?ab

≤1，因此ab ＝1，a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2

＋2ab a －b ＝a －b ＋2a －b ≥22(当且仅当(a －b)2

＝2时

等号成立)．

10．解析：选A .当a ＝0时，1＞0，显然成立；当a≠0时，?

????a ＞0Δ＝4a 2

－4a ＜0.故ax 2

＋2ax ＋1＞0的解集是实数集R 等价于0≤a ＜1.因此，“0＜a ＜1”是“ax 2

＋2ax ＋1＞0的解集是实数集R ”的充分而非必要条件． 11．解析：选B.

12x ＋2

1－x

＝? ????12x ＋92x ＋??????9

2（1－x ）＋21－x －92

≥2

12x ×9

2

x ＋2 92（1－x ）? ????21－x －92

＝2×32＋2×3－92＝9－92＝92，当且仅当?????12x ＝9

2x 92（1－x ）＝2

1－x ，即x ＝1

3时取得等号，所以

实数m 的最大值为9

2

.

12．解析：选D.记g (x )＝f (x )－12x －12，则有g ′(x )＝f ′(x )－1

2＜0，g (x )是R 上的减

函数，且g (1)＝f (1)－12×1－12＝0.不等式f (x 2)＜x 2

2＋12，即f (x 2)－x 2

2－12＜0，g (x 2

)

＜0＝g (1)，由g (x )是R 上的减函数得x 2

＞1，解得x ＜－1或x ＞1，即不等式f (x 2

)＜x 2

2

＋1

2

的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 13．解析：不等式f (a )＞2等价于?????log 2a ＞2，a ≥1或?

????a 2

－a ＞2，a ＜1， 解得a ＞4或a ＜－1， ∴a ＞4或a ＜－1. 答案：a ＞4或a ＜－1 14．解析：∵a x

＝b y

＝3，

∴x ＝log a 3，y ＝log b 3，∴1x ＋1y ＝1log a 3＋1

log b 3

＝log 3a ＋log 3b

＝log 3ab ≤log 3? ??

??a ＋b 22

＝1，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．故1x ＋1y 的最大值为1.

答案：1

15．解析：令f ′(x )＝(x ＋1)e x

＝0，得x ＝－1，则当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，要使f (x )有两个零点，则极小值f (－1)＜0，即－e －1

－a ＜0，∴a ＞－1e

，又

x →－∞时，f (x )＞0，则a ＜0，∴a ∈? ??

??－1e

，0.

答案：? ??

??－1e ，0

16．解析：依题意知|AB |＝（m －4）2

＋32

，

∴m |AB |＝m （m －4）2＋3

2

＝m 2

m 2－8m ＋25

＝

1

1－8m ＋25m

2

＝1

? ??

??5m －452

＋925≤25

9

＝53(当且仅当5m ＝45，即m ＝25

4时取等号)． 答案：53

高考不等式经典例题

高考不等式经典例题 【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)， 当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ； 当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ； 综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q . 【变式训练1】已知m ＝a ＋ 1a －2 (a ＞2)，n ＝x － 2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( ) A.m ＜n B.m ＞n C.m ≥n D.m ≤n 【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m ＝a ＋ 1a －2＝a －2＋1a －2 ＋2≥2＋2＝4，而n ＝x － 2≤(12)－2＝4. 【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围. 【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )， 所以???-=--=+1,94μγμγ???? ??? ? =-=38 ,35μγ 故f (3)＝－53(a －c )＋8 3(4a －c )∈[－1,20]. 题型三 开放性问题 【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞d b ；③b c ＞a d .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组 成多少个正确命题？ 【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a ＞d b ?bc －ad ab ＞0. (1)由ab ＞0，bc ＞ad ?bc －ad ab ＞0，即①③?②； (2)由ab ＞0， bc －ad ab ＞0?bc －ad ＞0?bc ＞ad ，即①②?③； (3)由bc －ad ＞0， bc －ad ab ＞0?ab ＞0，即②③?①. 故可组成3个正确命题. 【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ). 【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－2x －2＞0，即x ＜－1； 当m ≠0时，可分为两种情况： (1)m ＞0 时，方程mx 2＋(m －2)x －2＝0有两个根，x 1＝－1，x 2＝2 m . 所以不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞2 m }； (2)m ＜0时，原不等式可化为－mx 2＋(2－m )x ＋2＜0，

(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)

高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

高考不等式专题的三大考点

不等式专题的几个常考点 考点一 用均值不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的均值不等式 ①，、)(2 22 22 2 R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112 +2a b +≤≤ 2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值：

高中数学基本不等式题型总结

专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 .

【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 .

【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 .

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《不等式》分类汇编

【高中数学】高考数学《不等式》解析(1) 一、选择题 1．设x ，y 满足10 2024x x y x y -≥?? -≤??+≤? ，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m 的最小值为（ ） A ． 125 B ．125 - C ． 32 D ．32 - 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】 解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ， 由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值， 由242x y x y +=??=?，得85 4 5x y ?=????=?? ，∴84,55C ?? ???， ∴416122555 m y x =-=-=-， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 2．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有

()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为( ) A ．2 B ． 52 C ．3 D ． 32 【答案】A 【解析】 ()2 2 00{,440 a f x ac b b a c >≥∴∴≥?=-≤Q 恒成立，,且0,0c a >> 又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++， ()( )11111120f a c f b b +∴=+≥+≥=+=' 当且仅当() () 120f a c f ='时，不等式取等号，故 的最小值为 3．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A ．()1 f x x x =+ B ．1cos 0cos 2y x x x π?? =+ << ??? C ．( )2f x =D ．()4 2x x f x e e =+ - 【答案】D 【解析】 【分析】 根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. ()1 f x x x =+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π?? =+<< ??? ，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误； C. ( )2f x = = ，故( )3 f x ≥ ，C 错误； D. ( )4222x x f x e e =+-≥=，当4x x e e =，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D . 【点睛】 本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.

高考数学专题练习：不等式与线性规划

高考数学专题练习：不等式与线性规划 1.若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.? ? ???1，43 B.? ???? 12，43 C.? ? ???1，74 D.? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4. 综上,12＜a ＜7 4,故选D. 2.已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A.(a －1)(b －1)＜0 B.(a －1)(a －b )＞0 C.(b －1)(b －a )＜0 D.(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D. 3.设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A.(－3,1)∪(3,＋∞) B.(－3,1)∪(2,＋∞) C.(－1,1)∪(3,＋∞) D.(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3.由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－33. 4. 若a ,b ,c 为实数,则下列命题为真命题的是( ) A.若a ＞b ,则ac 2>bc 2 B.若a ＜b ＜0,则a 2＞ab ＞b 2

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取

高三一轮复习《不等式》

第五部分：不等式专题（线性规划，一元二次不等式，基本不等式） 不等式是高中数学重要的知识，考试中涉及的考点也很多，从江苏目前的高中数学要求来说，除了不等式证 明以外，其他形式的考察还是很多的。就内容来说，这部分分为高一难度和高考难度；从题型上来说，包含：线性规划，基本不等式，解不等式，不等式恒（能）成立，还有一些转化为不等式问题的题型。 高一难度的不等式问题主要是线性规划，基本不等式的常规考察，解不等式（包含含参形式），涉及常规函数 的不等式恒（能）成立问题。 1、线性规划 （1）掌握好线性规划，首先需要知道，线性规划的考题特点：已知条件一般是一个不等式组或者一条曲线方程，问题一般是求解一个含有两个变量式子的范围、最值。所以，有的时候是要根据题目的条件形式和所求问题的形式，将所求解问题转化为线性规划问题。 比如：已知等差数列{}n a ，2,185≤≥a a ，则12a 的取值范围是 （2）线性规划性的常规考题相对简单一些，从问题来说有三个常见形式：（1）截距型：by ax +；（2）距离型： ()()2 2b y a x -+-；（3）斜率型： a x b y --；如果直接考这几个类型倒还好。 比如：已知y x ,满足条件?? ? ??≥≤-+≥00120y y x x ，则y x +2的最大值是 ， ()()2212-+-y x 的最小 值是 ， 3 +x y 的取值范围是 。 （3）有的时候会求解不等式组对应区域的面积等稍微活一点的题目。 比如： ① 已知),(b a P 满足不等式组?? ? ??≥++≤+≥-040202y x y x y x ,则P 所在区域的面积是 ② 已知y x ,满足条件??? ??≥≤-+≥00120y y x x ，使得y ax +取得最大值的点有无数个，则实数a 的值是 ③ 已知y x ,满足条件?? ? ??≥≤-+≥00120y y x x ，且y ax +在点（1,0）处取得最大值，则实数a 的范围是 （4）稍微难的是需要转化为这几个类型的的时候要能够看得出。

【经典】高三数学基本不等式题型精讲精练

基本不等式 基本不等式知识 1．（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ （2）若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2．（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） （3）若*,R b a ∈，则2 2??? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3．若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 4．若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 5．若,,,+∈R c b a a b c c b a 3333≥++， 33abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等） 应用一 直接求最值 例1 求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x （3）（理科）已知+∈R y x ,，且满足232x y =，则x y +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．6 D ．4 （4）已知+∈R c b a ,,且满足132=++c b a ，则c b a 31211++的最小值为 （5）若b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2 ，则y x ,的大小关系是 （6）若,0,0>>b a 且,72=++b a ab 则b a +的最小值是 技巧一 凑项 例1 已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值 1．函数y ＝log 2(x ＋1x －1 ＋5)(x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－4 技巧二 凑系数 例2 当40<

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》难题汇编含答案

新高考数学《不等式》练习题 一、选择题 1．设x ，y 满足10 2024x x y x y -≥?? -≤??+≤? ，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m 的最小值为（ ） A ． 125 B ．125 - C ． 32 D ．32 - 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】 解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ， 由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值， 由242x y x y +=??=?，得85 4 5x y ?=????=?? ，∴84,55C ?? ???， ∴416122555 m y x =-=-=-， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 2．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足 15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ）

A ．[； B ．(,-∞ C ．) +∞ D ．(,)-∞?+∞ 【答案】D 【解析】 【分析】 由等差数列的前n 项和公式转化条件得1 1322 a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】 Q 数列{}n a 为等差数列， ∴15154 55102 a d d S a ?=+ =+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得 1 1322 a d a =--， 当10a > 时，1111332222a a d a a ??=--=-+≤-= ??? 1a 时等号成立； 当10a < 时，1 1322a d a =--≥= 1a =立； ∴实数d 的取值范围为(,)-∞?+∞. 故选：D. 【点睛】 本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题. 3．已知关于x 的不等式()()2 22240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范 围是（ ） A ．()2,6 B ．()(),26,-∞+∞U C ．(](),26,-∞?+∞ D ．[)2,6 【答案】D 【解析】 【分析】 分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数 m 的取值范围. 【详解】

高三复习专题：不等式证明

高三复习专题：不等式证明 [设计思路] 从近几年的高考试题来看，有关不等式的试题基本上都是一道选择题或填空题和一道解答题，解答题一般是解不等式和证明不等式，纯粹本单元的试题分值逐渐减少，但在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中常涉及不等式的知识，在综合题的解题过程中处处分布着不等式的知识、方法和技巧，理科平均约9%，文科约7%。 证明不等式是理科考查的重点，不等式证明题历来难度大，区分度高，综合性强，创新不断，学生平时练习题与试题差距较大，所以教学时一方面要重视对基础知识、基本方法的复习，另一方面更要注重证明方法中蕴含的思想方法、技巧、技能在其他章节知识中的应用，强调知识的综合和知识的内在联系。 [历年高考试题回顾]

[重点] 不等式证明方法的基本思想方法。 [难点] 不等式证明方法的综合应用。 [课时安排] 第一课时重在复习巩固几种常见的证明方法 第二课时重在培养学生的综合应用能力 [例题设计] 第一课时 揭示主题:这节课我们一起来复习不等式的证明方法, 不等式证明的常用方法有哪些? 不等式证明的方法有比较法,分析法,综合法,放缩法,反证法,换元法等等. 提出问题： 例1 已知在a，b，c∈R+，求证a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2≥6abc 学生活动：学生自主思考、分析、回忆、后讨论，最终解决问题。 解法1：比较法 a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2-6abc =a2b-2abc+bc2+ab2-2abc+ac2+a2c-2abc+b2c =b(a-c) 2+a(b-c) 2+c(a-b) 2 a，b，c∈R+ 且(a-c) 2≥0，(b-c) 2≥0，(a-b) 2≥0}→b(a-c) 2+a(b-c) 2+c(a-b) 2≥0 从而a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2≥6abc [知识总结] 比较法包括作差比较法和作商比较法两种,作差比较法是重中之重.

高三数学第二轮专题复习系列不等式

高三数学第二轮专题复习系列(6)——不等式 一、本章知识结构： 二、高考要求 （1）理解不等式的性质及其证明。 （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用。 （3）分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 （4）掌握某些简单不等式的解法。 （5）理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。 三、热点分析 1.重视对基础知识的考查，设问方式不断创新.重点考查四种题型：解不等式，证明不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查，常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯，值得引起我们的关注. 2.突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点. 3.加大推理、论证能力的考查力度，充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托，因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高，有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的

2017-18全国卷高考真题 数学 不等式选修专题

2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ．

2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--<

高考真题不等式选讲专题答案

不等式选讲专题答案 1.（2020?全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像； （2）求不等式()(1)f x f x >+的解集． 2.（2020?全国2卷）已知函数2 ()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围. 3.（2020?全国3卷）设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1． （1）证明：ab ＋bc ＋ca ＜0； （2）用max {a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max {a ，b ，c } 4.（2020?江苏卷）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．

不等式选讲专题答案 1.（2020?全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像； （2）求不等式()(1)f x f x >+的解集． 【答案】（1）详解解析；（2）7,6? ?-∞- ??? . 【解析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象； （2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出． 【详解】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ??+≥??=--<

（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示： 由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6??-∞- ?? ?． 【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题． 2.（2020?全国2卷）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围. 【答案】（1）32x x ? ≤??或112x ?≥??；（2）(][),13,-∞-+∞. 【解析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到()()2 1f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）当2a =时， ()43f x x x =-+-. 当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：3 2x ≤； 当34x <<时， ()4314f x x x =-+-=≥，无解；

高考数学专题不等式选讲高考真题

2019届高考数学专题-不等式选讲-高考真题 解答题 1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分） 已知()|1||1|f x x ax =+--． (1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集； (2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围． 2．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数()5|||2|=-+--f x x a x ． (1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集； (2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．

3．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分） 设函数()|21||1|f x x x =++-． (1)画出()y f x =的图像； (2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值． 4．（2017新课标Ⅰ）已知函数2 ()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． (1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集； (2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．

5．（2017新课标Ⅱ）已知0a >，0b >，33 2a b +=，证明： (1)55()()4a b a b ++≥； (2)2a b +≤． 6．（2017新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|f x x x =+--． (1)求不等式()1f x ≥的解集； (2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．

高三专题复习：不等式

小题精练：不等式(限时：60分钟) 1．(2013·高考辽宁卷)已知集合A ＝{x |0

2019届高考数学专题-不等式选讲-高考真题

2019届高考数学专题-不等式选讲-高考真题 解答题 1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分） 已知()|1||1|f x x ax =+--． (1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集； (2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围． 2．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数()5|||2|=-+--f x x a x ． (1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集； (2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．

3．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分） 设函数()|21||1|f x x x =++-． (1)画出()y f x =的图像； (2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值． 4．（2017新课标Ⅰ）已知函数2 ()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． (1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集； (2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．

5．（2017新课标Ⅱ）已知0a >，0b >，332a b +=，证明： (1)55()()4a b a b ++≥； (2)2a b +≤． 6．（2017新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|f x x x =+--． (1)求不等式()1f x ≥的解集； (2)若不等式2 ()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．

高三数学专题复习-----不等式(一)

高三数学专题复习-----不等式(一) 一 基础知识 (1)不等式的基本性质，（2）不等式常用证明方法，（3）均值定理及其应用 二 例题 1、已知a1 （D ）a 2> b 2 2、若a ＞b ＞c , 则有( ) (A) ac ＞bc (B) | ac |＞| bc | (C) ac 2＞bc 2 (D) b(a －b)＞c(a －b) 3、已知命题甲：acc ，b>d ，则甲是乙的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ） 充要条件 （D ）非充分非必要条件

4、若|a+c|<|b|，则（ ） （A ）－bb a （B ）1122++a b >22a b （C ）a ＋a 1>b ＋b 1 （D ）a>a b 6、已知1N （D ）M 与N 大小不确定 7、．若a, b, c 都是正数，且a

《基本不等式》典型例题

高中数学必修五典题精讲 典题精讲 例1（1）已知0＜x ＜ 31，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+x 1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论. （1）解法一：∵0＜x ＜ 3 1,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 31·3x(1-3x)≤31［2)31(3x x -+］2=121，当且仅当3x=1-3x ，即x=6 1时，等号成立.∴x=61时，函数取得最大值12 1. 解法二：∵0＜x ＜31,∴3 1-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(31-x)≤3［2 31x x -+］2=121，当且仅当x=31-x,即x=61时，等号成立. ∴x=61时，函数取得最大值121. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2x x 1?=2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+x 1=-［(-x)+) (1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+) (1x -≥2,当且仅当-x=x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+ x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1?x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与11+x 的积为常数.

浙江高考 不等式专题(一)

浙江高考不等式专题 【高考再现】 【2017浙江高考】已知a R ∈，函数4 ()||f x x a a x =+-+在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是____________。 【2016浙江高考】已知实数c b a ,, A ．若122≤+++++c b a c b a ，则1002 22<++c b a B ．若122≤-++++c b a c b a ，则1002 22<++c b a C ．若122≤-++++c b a c b a ，则1002 22<++c b a D ．若122≤-++++c b a c b a ，则1002 22<++c b a 【2015浙江高考】若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是 ． 【典型例题与方法】 例1. （15年重庆）设,0a b >，5a b +=____________。 （一）不等式法 均值不等式 柯西不等式（等同于构造向量法） （二）函数法 函数最值法：统一变量化为一个变量的函数 判别式法：化为一元二次方程有解 导数法：计算量较大。

（三）三角换元法：形如222 a b r +=，可令sin ,cos a r b r αα==化为三角函数求范围。 （四）几何法：转化为线性规划。直线型ax by +，斜率型y b x a --，圆型22()()x a y b -+- （五）对称变量法 例2. （14年浙江）已知实数,,a b c 满足2220,1a b c a b c ++=++=，则a 的最大值是________。 例3. 【2014辽宁理16】对于0c >，当非零实数a ，b 满足2 2 4240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大 时，345 a b c -+的最小值为 . 【强化训练】 1. 已知正数,x y 满足 81 1x y +=。则2x y +的最小值为_______________。 2. 设22,,26a b R a b ∈+=，则a b +的最小值为_________________。 3. 已知221x y +=，则32x y +的最大值为______________。 4. 设实数,x y 满足22 326x y +≤，则2Z x y =+的最大值为______________。 5. 已知实数,x y 满足22 430x y x +-+=，则2x y +的取值范围为____________。 6. 已知实数,x y 满足2 2 116 y x +=，则_____________。 7. 已知函数()sin )f x x x R =+∈，则函数()f x 的取值范围是________________。 8. 已知正数,x y 满足1x y +≤____________.