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高三数学寒假练习数列

ICME -

7 图甲

O A 1

A 2

A 3

A 4

A 5

A 6

A 7 A 8

图乙

高三数学寒假练习:数列

1. 设集合102M x x ??

=-

,{}210N x x =+>,则M N =I ▲ .

2. 已知复数z 满足z 2+1=0,则(z 6+i )(z 6-i )= ▲ .

3. 在总体中抽取了一个样本,为了便于统计,将样本中的每个数据乘以100后进行分析,得出新样本平

均数为3,则估计总体的平均数为 ▲ . 4. 幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--,则满足()f x =27的x 的值是 ▲ .

5. 下列四个命题:

①2n n n ?∈R ,≥; ②2n n n ?∈

③2n m m n ?∈?∈

6. 如图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME -7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图乙的一连

串直角三角形演化而成的,其中11223781OA A A A A A A ===== ,如果把图乙中的直角三角形继续作

下去,记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ,则此数列的通项公式为n a = ▲ .

7. 以下伪代码:

Read x

If x ≤ 0 Then ()f x ← 4x Else

()f x ←2x End If Print ()f x

根据以上算法,可求得(3)(2)f f -+的值为 ▲ .

8. 在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6六个点.则

122323343445455656616112A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ?+?+?+?+?+?

= ▲ . 9. 若()sin() 1 (0,||<π)f x A x ω?ω?=++>对任意实数t ,都有()()

ππ33

f t f t +=-+.记

()cos()1g x A x ω?=+-,则π(3

g = ▲ .

10.已知函数f (x )=log a | x |在(0,+∞)上单调递增,则f (-2) ▲ f (a +1).(填写“<”,“=”,“>”

之一)

11.过抛物线2

2(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点,交准线于点C .若2CB BF =u u r u u u r

则直线AB 的斜率为 ▲ .

12.有一根长为6cm ,底面半径为0.5cm 的圆柱型铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕4圈,并使铁丝的两个

端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的长度最少为 ▲ cm . 13.若不等式组0,22,

0,x y x y y x y a

-??

+????

+?≥≤≥≤ 表示的平面区域是一个三角形及其内部,则a 的取值范围是 ▲ .

14.已知△ABC 三边a ,b ,c 的长都是整数,且a b c ≤≤,如果b =m (m ∈N*),则这样的三角形共有 ▲

个(用m 表示). 15.(本小题满分15分)

口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏: 甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢, 否则算乙赢.

(Ⅰ)求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率; (Ⅱ)这种游戏规则公平吗?试说明理由. 16.(本小题满分15分)

已知椭圆22

21(01)y x b b

+=<<的左焦点为F ,左、右顶点分别为A 、C ,上顶点为B .过F 、B 、

C 作⊙P ,其中圆心P 的坐标为(m ,n ). (Ⅰ)当m +n >0时,求椭圆离心率的范围;

(Ⅱ)直线AB 与⊙P 能否相切?证明你的结论.

答案:

1.{}

1122x x -<<

2.2

3.0.03 说明:本题关注一下:222,().i i i i x ax b x ax b S a S '''=+?=+=

4.13 5.④ 说明:请注意有关常用逻辑用语中的一些特殊符号.如果题中的集合R 改成Z ,真命题的序号是①④,如果R 改成复数集C 呢?

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6 说明:本题是课本中的习题改编,重在建立观察、归纳意识.

7.-8

8.3说明:此学生容易把两向量的夹角弄错.如改成12个点,边长1||i i A A +

的求法就不一样了,难度会加大.

9.-1 说明:注意对称性.

10.< 说明:注意函数y =f (| x |)是偶函数.比较f (-2)与f (a +1)的大小只要比较-2、 a +1与y 轴的距离的大小.

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11.说明:涉及抛物线的焦点弦的时候,常用应用抛物线的定义.注意本题有两解.

12

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13.4(0,1][,)3+∞U 说明:线性规划要注意数形结合,要综合运用多方面的知识.特别要注意区域

的边界.

14.

(1)2m m +

说明:本题是推理和证明这一章的习题,考查合情推理能力.讲评时可改为c =m 再探究.本题也可

以用线性规划知识求解.

15.解:(I )设“甲胜且两数字之和为6”为事件A ,事件A 包含的基本事件为

(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个.……………………2分 又甲、乙二人取出的数字共有5×5=25(个)等可能的结果, ……………………4分

所以51

()255

P A =

=. ………………………………………………………………………6分 答:编号的和为6的概率为1

5

.…………………………………………………………………7分

(Ⅱ)这种游戏规则不公平.……………………………………………………………………9分

设“甲胜”为事件B ,“乙胜”为事件C , ……………………………………………10分 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个: (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5), (4,2) ,(4,4),(5,1) ,(5,3),(5,5).

所以甲胜的概率P (B )=1325,从而乙胜的概率P (C )=1-13

25

12

25.…………14分 由于P (B )≠P (C ),所以这种游戏规则不公平. ………………………………15分

评讲建议:

本题主要考查古典概率的计算及其相关知识,要求学生列举全面,书写规范.尤其注意此类问题的答

题格式:设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答. 引申:连续玩此游戏三次,若以D 表示甲至少赢一次的事件,E 表示乙至少赢两次的事件,试问D 与E 是否为互斥事件?为什么?(D 与E 不是互斥事件.因为事件D 与E 可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次的事件即符合题意;亦可分别求P (D )、P (E ),由P (D )+ P (E )>1可得两者一互斥.)

16.解:(Ⅰ)设F 、B 、C 的坐标分别为(-c ,0),(0,b ),(1,0),则FC 、BC 的中垂线分别为

12

c x -=

,11

()22b y x b -=-.………………………………………………………………2分

联立方程组,解出2

1,2

.2c x b c y b -?

=???-?=??

……………………………………………………………4分 21022c b c

m n b

--+=+>,即20b bc b c -+->,即(1+b )

(b -c )>0, ∴ b >c . ……………………………………………………………………………………6分

从而22b c >即有222a c >,∴21

2

e <.……………………………………………………7分

又0e >,∴0e <

<

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. …………………………………………………………………8分 (Ⅱ)直线AB 与⊙P 不能相切.…………………………………………………………………9分

由AB k b =,22102

PB

b c b b k c --

=--=2(1)b c b c +-. ………………………………………………10分

如果直线AB与⊙P相切,则b·

2

(1)

b c

b c +

-

=-1.………………………………………12分

解出c=0或2,与0<c<1矛盾,………………………………………………………14分

所以直线AB与⊙P不能相切.…………………………………………………………15分

评讲建议:

此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识,要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点,从而大胆求出交点坐标,构造关于椭圆中a,b,c的齐次等式得离心率的范围.第二小题亦可以用平几的知识:圆的切割线定理,假设直线AB与⊙P相切,则有AB2=AF×AC,易由椭圆中a,b,c的关系推出矛盾.