n n m
n k k +m k +2m
等差数列及其前 n 项和(讲义)
知识点睛
一、数列的概念与简单表示方法 1. 数列的概念
按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.
数列的一般形式可以写成a 1 ,a 2 ,a 3 ,…,a n ,…,简记为{a n }. 2. 数列的表示方法
(1) 列表法 (2) 图象法 (3) 公式法
①通项公式 ②递推公式 3. 数列的性质
(1) 递增数列 (2) 递减数列 (3) 常数列 (4) 摆动数列
二、 等差数列 1. 等差数列的概念
如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示.
(1) 等差中项
(2) 等差数列的通项公式: a n = a 1 + (n -1)d .
2. 等差数列的性质
(1) 通项公式的推广: a = a + (n - m )d (m ,n ∈ N *
) . (2) 若{a }是等差数列,且k +
l = m + n (k ,l ,m ,n ∈ N *) , 则a k +a l = a m + a n .
(3) 若{a }是等差数列,则a , a , a ,… (k ,m ∈ N *) 组成公差为 md 的等差数列.
(4) 若{a n }是等差数列,则{λ
a n + c }也是等差数列.
1
n n n
(5) 若{a },{b }是等差数列,则{
p a + qb } (n ∈ N * ) 也是等 n
n
n
n
差数列. 三、 等差数列的前 n 项和
1
. 我们称a 1 + a 2 + a 3 +… + a n 为数列{a n }的前 n 项和,用 S n 表示,
即
S n = a 1 + a 2 + a 3 +… + a n .
等差数列{a n }的前 n 项和公式
(1) 已知a , a ,n 时, S = n (a 1 + a n ) .
1 n n
2
(2) 已知a 1 , n ,d 时, S n 推导过程:倒序相加法 2
. 等差数列各项和的性质
= na 1 + n (n -1) d .
2
(1) S m , S 2m , S 3m 分别是{a n } 的前 m 项,前 2m 项,前 3m 项的和,则S m , S 2m - S m , S 3m - S 2m 成等差数列.
(2) 两个等差数列{a n },{b n }的前 n 项和 S n , T n 之间的关系 为 a n b n = S
2n -1 . T 2n -1
(3) 数列{a }的前 n 项和S = An 2 + Bn ( A ,B ∈ R ) 是{a }为等差数列的等价条件.
(4) 等差数列{a n }前 n 项和的最值:
当d > 0 时,{a n }为递增数列,且当a 1 < 0 时,前 n 项和S n 有最小值;
当d < 0 时,{a n }为递减数列,且当a 1 > 0 时,前 n 项和S n 有最 大值.
2
n +1 n n n -1
n +1 n n n -1
精讲精练
1. 下面六个结论中:
①数列若用图象表示,从图象看是一系列孤立的点; ②数列的项数是无限的; ③数列的通项公式是唯一的; ④数列不一定有通项公式;
⑤数列 1,2,3,…不一定是递增的;
⑥数列看作函数,其定义域为正整数集或它的有限子集
{1,2,…,n } .
其中正确的是( )
A .①②④⑥ C .①③④⑤
B .①④⑤⑥ D .①②⑥
2. 数列-1,7,-13,19,…的通项公式a n = (
)
A . 2n -1 C . (-1)n 6n - 5
B . -6n + 5 D . (-1)n (6n - 5)
3. 数列 1,3,6,10,15,…的递推公式是(
)
A. a = a + n ,n ∈ N *
B. a = a + n ,n ∈ N *,n ≥ 2
C. a = a + n -
1,n ∈ N * D. a = a + n -
1,n ∈ N *
4. 在等差数列{a n } 中, a 1 + a 5 = 10 , a 4 = 7 ,则数列{a n } 的公差
是( )
A .1
B .2
C .3
D .4
3
5. 已知等差数列{a n } 满足a 1 + a 2 + a 3 +…+ a 101 = 0 ,则有(
)
A . a 1 + a 101 > 0 C . a 3 + a 99 = 0
B . a 2 + a 100 < 0 D . a 51 = 51
6.
在等差数列{a n } 中,S n 是其前 n 项和,且a 4 = 9 ,a 9 = -6 ,则 S n 取最大值时 n 的值为( ) A .6 或 7
B .7 或 8
C .5 或 6
D .8 或 9
7.
已知等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ,若 2a 6 = a 8 + 6 ,则 S 7 = ( )
A .49
B .42
C .35
D .24
4
8.
已知一个等差数列共有 10 项,其偶数项之和是 15,奇数项之和是 12.5,则它的首项与公差分别是( ) A .0.5,
0.5
B .0.5,1
C .0.5,2
D .1,0.5
9.
设等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S 3 = 12 , S 6 = 42 ,则 a 10 + a 11 + a 12 =( )
A .156
B .102
C .66
D .48
10. 设数列{a n } ,{b n } 都是等差数列,若a 1 + b 1 = 7 , a 3 + b 3 = 21,
则a 5 + b 5 = ?.
5
n n +1 11. 已知正项数列{a n }满足:a 1=1,a 2=2, 2a 2 = a 2 2
n -1 (n ∈ N * ,
n ≥ 2) ,则通项公式a n = ?.
12. 两个等差数列{a n } 和{b n } 的前 n 项和分别是S n 和T n ,
若 S n = 2n + 3 ,则 a 9 = .
T n 3n -1 b 9
回顾与思考
6
+ a
【参考答案】
1.B 2.D 3.B 4.B 5.C 6.A 7.B 8.A
9.C 10.35 11
12.
37
50
7