初一数学竞赛试题及答案
初一数学竞赛试题及答案
一、选择题
1．已知1999199920002000a =，2000200020012001b =，2001200120022002
c =，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >a >b D ．c >b >a
6．方程x 2－y 2=105的正整数解有( )．
A ．一组
B ．二组
C ．三组
D ．四组 二、填空题
7．3个有理数a 、b 、c 两两不等，则b
a a c a c c
b
c b b a ------，，中有 个是负数． 8．a 、b 是整数，且满足2=+-ab b a ，则ab = ．
9．一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，这样的自然数中最小的是_________．
10．设x 、y 、z 是整数数位上的不同数字．那么算式
? ? ?
x
x x y x x +
所能得到的尽可能大的三位数的和数是
11．甲、乙同在一百米起跑线处，甲留在原地未动，乙则以每秒7米的速度跑向百米终点，5秒后甲听到乙的叫声，看到乙跌倒在地，已知声音的传播速度是每秒340米，这时乙已经跑了_____．米（精确到个位）
12．五位数abcde 是9的倍数，其中abcd 是4的倍数，则abcde 的最小值是
三、解答题
13．x ，y 是满足条件23x y a +=的整数（a 是整数），证明必存在一整数b ，使x ，y 能表示为3x a b =-+，2y a b =-的形式．
14．一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数．
15．某甲于上午9时15分钟由码头划船出游，计算最迟于12时返回原码头，已知河水的流速为1．4千米／小时，划船时，船在静水中的速度可达3千米／小时，如果甲每划30分钟就需要休息15分钟，并且船在划行中不改变方向，只能在某次休息之后往回划，问甲最多能划离码头多远．
答案
一、选择题
1．由于1999199919991001199911200020002000100120002000
a ?====-? 2000200020001001200011200120012001100120012001
b ?====-? 2001200120011001200111200220022002100120022002
c ?====-? 因为111200020012002
>>，所以a b >a ，选D 6．D
二、填空题 ７．因为b
a a c a c c
b
c b b a --?--?--=1 所以b a a c a c c b c b b a ------，，中必有一个是正数，不妨设0>--c
b b a 有两种情况：①a >b >
c ②a
①当a >b >c 时，b a a c a c c b ----，均为负数；②当a
a a c a c c
b ----，也均为负数 所以b
a a c a c c
b
c b b a ------，，中恰有两个是负数。 8．∵a 、b 是整数，所以为与ab b a -非负整数，由2a b ab -+=得：
=-b a 0，=ab 2 ①
或=-b a 1，=ab 1 ② 或=-b a 2，=ab 0 ③ 若①，由=ab 2，只能a 、b 中有一个为 ±
2，另一个为 ±1，此时b a -是奇数与=-b a 0矛盾，故①不成立． 若②，由=ab 1，只能a 、b 同为±
1，此时b a -是偶数与=-b a 1矛盾，故②也不成立．因此只能是③，此时=ab 0，有ab =0
9．27
10．由于和数是三位数，则x 不可能取9，否则和数会是四位数，因此x 的最大值是8，为了得到最大和，y 应当取9，这样，题设的算式就变成
888
988
9 9 4 +
所以所能得到的尽可能大的三位数的和数是994
11．设乙跑了x 米，则在7x 秒时乙发出叫声，声音传到甲处用了1340x 秒，两段时间之和等于5，所以57340x x +=， 5353411717340340
x ==≈++米 12．要abcde 最小，必须abcd 也最小，且被4整除，所以abcd 是1000．补上末位数字e 变为五位数，又要是9的倍数，所以这个五位数数字和应是9的倍数，则补上末位数字e 是8，所以abcde 的最小值是10008．
三、解答题
13．∵2x +3y =a
∴322
a y a y x y --=
=-， ∵ x ，y 是整数．
∴ 2
a y -也是整数． 令32
a y
b -=，则2y a b =-． 这时，33(2)322
a y a a
b x b a ---===-， 232(3)3(2)6236x y b a a b b a a b a +=-+-=-+-= 这说明整数b 能使x =-a +3b ，y =a －2b 满足方程2x +3y =a ．
14．设此自然数为x ，依题意可得
224544x m x n ?-=??+=?? ① ②
(m ，n 为自然数) ②－①可得2289n m -=，
222444544n x m m =+=++>，
∴n >m
()()89n m n m -+=
但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是1n m -=，89n m +=．
解之，得n =45．代入(2)得245441981x =-=．故所求的自然数是1981．
15．甲划船的全部时间为2小时45分钟，他每划行30分钟，休息15分钟，周期为45分钟，所以甲一共可分为4个30分钟划行时间段，中间有3个15分钟休息．如果甲开始向下游划，那么他只能用1个30分钟的时间段向下游划，否则将无法返回，这时他离开码头的距离为：(3 1.4)0.5 1.40.25 2.55+?+?=（千米）．
而返回用3个30分钟的时间段所走的距离为
(3 1.4) 1.5 1.40.5 1.7-?-?=（千米）
由此可见，甲如果开始向下游划，那么到12点时他将无法返回出发地．如果甲 开始向上游划，那么他可以用3个时间段向上游划，这时他最远离开码头的距离为
(3 1.4) 1.5 1.40.5 1.7-?-?=（千米）
并用最后一个时间段，完全可以返回码头．