气体动力论的基本概念
气体动力论的基本概念
苟清泉
一、引言
本文的标题与福里斯和季莫列娃合著的“普通物理学”（1953年增订版，梁宝洪译）中§45的标题一样，本文的目的就是要根据自己的意见对这一节的内容加以讨论，并提出自己的一种讲法。福里斯和季莫列娃在这一节的讲解中，有这样一个优点，就是把气体的模型提得非常简明扼要，不像一般教材那样，要列出很多烦琐的假设条纹，使初学的人不易抓着要点。同时他们还明确地指出了这个简单模型的局限性，特别利用了测不准关系来判定这个模型的适用范围，我认为我也是一个优点。可能有人认为在学生未学过原子物理部分之前，在这里引用测不准关系，不免有些教条，但我认为既然该书又是一个教学参考书，这样对教师是有好处的，同时对学生，在学完原子物理部分后来复习这一部分，仍然是有很大的好处的。不过福里斯和季莫列娃在这一节的讲解中，仍然存在着一般教材所具有的一些优点。它们主要是：（1）没有说明气体的性质和规律是否可以纯粹有力学的理论推导出来。对于所谓气体动力论，是否就是力学的理论。未加以说明和讨论，这样就容易给初学者造成一个错觉，好象气体动力论就是力学的理论，就是应用动力学的原理来研究气体的性质和规律。我们知道，气体是大量分子底集合，其中每个分子的运动服从力学定律，但大量分子作无规则运动就表现出新的现象和规律，这种规律是统计的规律，它是不能有力学原理导出的。大数分子的无规则运动是比服从力学定律的机械运动更为复杂的运动形式，所以用分子运动论的观点来研究气体的性质和规律时，不能单纯用力学概念和力学定律，还必须引入新的概念——统计的概念和新的方法——统计方法，这是应该在讲解过程中着重指出的。（2）理论体系不够严格，列如他们在证明阿伏伽德罗定律时，把理论与实验混在一起了，结果并未用理论来证明这个定律，这点将在下面的讨论中在具体指出。（3）未很好地发挥这个简单的气体模型和简单理论的作用，其实由这个简单模型和理论可以导出诸理想气体的规律，但他们没有这样作。（4）在推导气体动力论的节本公式时，与一般教材一样，假设气体关闭在一个立方容器内，并把气体分子分成三群，每群都与器壁垂直地来回作直线运动，然后计算分子碰撞器壁的压强。这种讲法虽然看起来比较简单，似乎容易被初学的人接受，而结果也正确，但实际上对初学的人来说，这种讲法并不容易接受，因为初学的人很难理解为什么可以人为地把气体分子分成速度相互垂直的三群来计算它们与器壁碰撞的压强，而这样所得的压强便是气体的压强，他们往往感觉这种讲法很牵强，不符合实际情况，即或勉强接受，也是教条式地接
受。这种简化了的讲法，只有对统计概念和统计方法比较熟悉的人才能理解。所以对初学的人来说，宜于采取一种比较符合分子运动实际情况的讲法。在本文中将要提出这样的一种讲法。
我们将应用气体的简单模型，即自由地、无规则地运动着的弹性小球底集合，来说明气体的基本性质。这个气体模型看起来是非常简单的，但我们将证明从这个模型出发，应用简单的统计概念和方法，可以导出诸理想气体定律，即这个简单的气体模型可以很好地说明理想气体的性质。但必须指出，这个简单模型不能准确地说明实在气体的性质。
二、气体动力论的基本公式
一般教材在推导这个公式时，总假设气体关闭在一方型的容器内，并把分子分成垂直于器壁来回碰撞的三群；我们现在采取的一个接近实际情况的讲法，即不一定要假设气体关闭在一个方型的容器内，任何形状的容器都可，只要计算气体分子从各个方面来碰撞容器壁上任意一面积元所生的压强，即可导出气体动力论底基本公式。这个方法并不复杂，同时也接近实际情况，所以对初学的人反而容易接受，根据我数次讲授此问题的经验，同学们是可以接受这种讲法的。有的书用这种讲法时（例如王竹溪著：统计物理学导论，第19页），总是假设容器壁为光滑的平面，分子与壁面碰撞后，反射角与投射角相等，动量的变化等于碰撞前分子的动量在垂直于壁面方向上分量的二倍。但实际上并不一定如此，因为壁面并不是光滑的平面，而是分子组成的，所谓气体分子与壁面相碰，实际上是与壁面上的分子相碰，碰后发生散射，故反射角就不一定与投射角相等。在我们现在的讲法中，将取消壁面为光滑平面的这个假设，而考虑到壁面是由分子组成的，这样更接近实际情况，同时也并不使理论
现在假设气体关闭在一任意容器内，体积为V ，
共含有N 个分子，没单位体积中含有n 个分子，每 个分子的质量为m 。现在把容器内的分子分为若干 个群，每群中分子的速度都大小相等，方向一致，并
令各群分子在单位体积中的分子个数分 别为.............,,321321∑=+++=i i n n n n n
n n n 等，则 图1 分子对器壁的碰撞
假设第i 子的速度为i c ，X ，Y ，Z 轴方向上的分速度为,,,i i i w v u 在dt 时间内，这样的分子射击到面积元dA 上的分子数目，等于包含在底面积为DA 、垂直高度为dt u i 的柱形筒内的这种分子的数目，柱形筒的轴与i c 的方向平行，X 轴与DA 垂直而向器壁之外，如图1
所示。这个柱形筒的体积为,dtdA u i 而第I 群分子包含在这体积内的分子数目为：
,dtdA u n i i
这就是在DT 时间内第I 群分子射击到DA 面上的分子个数。
因每个分子在垂直与DA 面的方向上有动量,i mu 故在DT 时间内，第I 群分子射击到DA 面上的垂直总动量为
,2
dtdA u mn i i
而各群分子在DT 时间内射击到DA 面上的垂直总动量为 )1(,12
1
1dtdA u n m M i g i i ∑== g1表示射击到DA 面上的分子群数。上式中的求和号∑=11g i 表示由第1群加到第g1群。
每群分子与DA 面上的分子碰撞而散射回来后，一般不属于一群，而分散成若干群。所以这g1群分子与DA 面上的分子碰撞后，由于散射的结果，又重新组合成若干群，假设组合为g2群，我们分别称为第(g1+1)到第（g1+g2）群。这反射回来的g2群分子，垂直于dA 面上的总动量为：
)2(,22
1112dtdA u n m
M i g g g i i ∑++=-=
上式的求和号表示由第（g1+1）群加到第（g1+g2）群，上式右边的负号表示这总动量的方向与X 轴的方向相反。由（1），（2）两式可以算出气体分子与DA 面碰撞后，在垂直DA 面方向上动量的总变化量为
)3(,122211dtdA u n M M M i g g I i
∑+=-=-=
现在上式中的求和号表示不论投射的分子群或折射回来的分子群，都一齐加起来。根据牛顿运动定律，M 应等于在DT 时间内气体分子在与DA 面上的分子碰撞时所受的垂直于DA 面而向内的冲量I ，设P 为气体分子施于器壁的垂直压强，则气体分子碰撞DA 面时所受的垂直反作用力为-pdA,而所受的垂直冲量应为I=-pdAdt 。因I=M ，故（3）式得
-pdAdt=-m
,2dtdA u n i i
i ∑ 由此得 )4(i i u n m p ∑=
若令
(212)
2221122
++++==∑∑n n u n u n n u n u i i i 表各分子在X 轴方向上分速度的平方的平均值，则 )5(2u nm p = 因2
2222222,w v u c w v u c i i i i ++=++=故
由于分子运动的无规则性，在气体处于平衡态时，分子各方向运动的机会应均等，故
必有 )6(31)(3122222
22c w v u w v u =++===
将（6）式代入（5）式，得 )8(,32)21(32)7(,3122εn c m n p c nm p ===
由此可见气体的压强，决定了单位体积内的分子数目n 及分子的平动底平均动能愈大。愈大，则及p n εε,
公式（8）把宏观量p 与微观量ε联系起来了，p 可以直接从实验量度，但ε不能直接量度，故这公式出发，可以满意地解释或推证许多已经验证过的实验规律，所以这公式是在一定程度上能够正确地反映客观实际的基本方式。
在导出（8）式的过程中，已在（5）式及（6）式中引入了统计的概念和统计的方法，所以（8）式的得来，绝不是只用了力学原理，而是必须用到统计的概念和统计的方式（平均的概念和求平均的方法）。由于分子的碰撞不是连续的，分子施于器壁的压强的数值涨落不定，故（8）式中的压强p 是一个统计平均量；单位体积中的分子数目也涨落不定，故n 也是一个统计平均量。因此（8）式是表征三个统计平均量p ，n 及ε的相互联系的一个统计规律，而不是一个力学的规律。由此可见（8）式绝不是纯粹用力学所能推得的，还必须要用统计的概念和方法，因此 我们所说的气体动力论是统计的理论，不应当误解为力学的理论。
因为nm 等于气体的密度ρ，故（7）式又可写为
)9(3
12c P ρ=
因为P 和ρ也可以直接从实验量度的宏观量，故从（9）式可以算出气体分子的速度平方的平均值的平方根，简称为方均根速度，即 )10(32ρ
p c c r ==
例如氮在c o 0及一大气压时的密度为立方厘米克/00125.0=ρ米，它的方均根速度为421093.400125
.09806.13763?=???=
=c c r 厘米/秒， 与手枪子弹的速度差不多。因为（10）式是一个统计的关系式，故只能算出微观量2c 的统计平均值2c ，而不能算出每个分子的速度c 来。虽然每个分子的速度不能算出来，但算出了统计平均值2c 后，就能使我们对气体分子运动的情况得到一个统计的了解，例如若算出的2c 愈大，我们就可以推知速度大的分子愈多。因此由（10）式可以看出，在同样的条件
下，愈轻的气体，速度大的分子就愈多，式者通俗的说，分子运动就愈激烈。
我们将证明由公式（8）出发，可以推证诸理想气体定律，故（8）式又称为气体动力论的基本公式。
三、气体分子的平均平动能与温度的关系
为了要应公式（8）推证理想气体定律，我们尚须先研究一下气体分子的平均平动能ε与温度的关系。我们知道普通量气体温度的方法，是把温度计插入气体中，待一些时候达到平衡时，由温度计上的指示来确定气体的温度。我们现在来分析一下用这种方法来量气体的温度，与气体的分子运动有什么关系
我们可以理解到，当温度计插入气体中时，气体分子由于运动，必然与温度计的表面发生碰撞，而温度计壁面也是由很多分子所组成的，所以所谓气体分子与温度计的表面发生碰撞，也就是气体分子与温度计的表面发碰撞。温度计的壁面虽然是固体，但是它的分子并不是不动，而是有振动的，所以气体分子与温度计壁面的分子发生碰撞时，由于碰撞的情况不一样，有时要失去一部分动能，传送给温度计壁面上的分子，有时要从温度计壁面上的分子获取一部分能量。故总的说来，气体分子与温度计碰撞时，要发生能量的交接。这种碰撞延续到一些时候，最后要达到一种平衡态，气体与温度计的宏观状态不变，此时彼此交换的能量相等，而实际上没有发生能量的迁移，也就是说没有热量的传导发生。此时我们称气体与温度计已达到热平衡，同时称气体与温度计有相同的温度，并以温度计上的状态作标记，来指示温度，来记载气体的温度。当气体分子与温度计碰撞而达到热平衡时，气体与温度计间没有能量的迁移发生，即没有热传导发生，此时气体分子的平均平动能，应当有一个值，故我们可以说：在一定的温度时，气体分子的平均平动能ε有一定的值，即ε为温度的函数，同时我们可以想像到，如果气体的密度不大，每个气体分子与温度计上分子的碰撞不受其它分子所处的位置和速度的影响，则当处于平衡态时，气体分子的ε的数值只与温度有关，而与气体的密度无关。
由上面的讨论我们可以得出这样的结论：对密度不大的气体，在热平衡时，分子的平均平动能只是温度的函数。
假若我们把上面讨论过的温度计插入第二种气体中，达到平衡时，若指示出来的标记，恰好与插入第一种气体中达平衡时所指示的标记相同，则我们称第二种气体与第一种气体有相同的温度，此时第二种气体分子与温度计碰撞达到平衡后，既然显示出相同的温度，即有相同的平衡态，我们可以想像到它应当也有相同的平均平动能。故我们又可以得出这样的结论：
任意两种气体，在温度相同时，它们分子的平均平动能相等，即
,2
121222211c m c m =（11） 上式中的11,c m 及22c m 分别代表第一、第二两种气体分子的质量与速度。
上面这样结论是由上面的定性讨论得到的，我们现在用一个定量的讨论来得到它。 我们现在先讨论一个气体分子与容器壁面上的一个分子碰撞后，能量的交换情形。我们假设气体分子与容器壁面上的分子都是完全弹性而光滑的球体，这两个球体碰撞时的接触点与两球心的连线，我们称之为它们碰撞时的碰撞线。现令1m 及m 为气体分子及容器壁上的分子的质量，并设在碰撞之前，它们在x,y,z 三正交轴线方向上的分速度分别为 111,,w v u 及w v u ，
容器壁上的分子，并非完全不动，而是在一个平衡位置附近作不停的振动，故在碰撞之前，它也有速度。若碰撞时，它们的碰撞线是沿x 轴的方向，则碰撞后只在x 轴方向上的分速度有改变，故碰撞后，它们的分速度可分别表示为
11'1,,w v u 及w v u ,,'，
因为我们假设分子是光滑的球体，故碰撞后，只有沿碰撞线方向上的分速度有改变，因而也只有沿碰撞线方向上（x 轴方向上）的动量与动能有改变。我闪现在把这两个分子当成独立的系统来看，则由动量守恒原理，它们碰撞前后动量之和不变，又因为假设它们是完全弹性体，故它们动能之和也不因碰撞而改变，因之我们可以写出下面的两个等式来： )13(,)12(,21
212121'1'1112'21'12211 mu u m mu u m mu u m mu u m +=++=+
解此两式，可得 []()[]()
15,()(214,()(2)111'')
1111' m m u m m u m u m m u m m u m u +-+=+-+= 若碰撞后容器壁上的分子动能有增加，则它从气体分子所吸收的能量为 ()()[])16(.)(2)(2111221121122' uu m m mu u m m m mm u u m -+-?+=-=
?ε 因容器壁上的分子在一很小的范围内振动，它的分速度u 时而为正，时而为负，故u 的平均值应为零。因此若我们对许多次的碰撞求平均值，1uu 平均值应为零，即01=uu ，而容器壁上的分子所得的平均能量为 ()[]()1722211211 u m u m m m mm -+=
?ε 若211u m >2u m ，则ε?>0，容器的能量要增加，因而温度上升，反之，若211u m <2u m 则ε?<0，容器的能量要减少，故温度要降低，而气体的温度要上升，若气体与容器达到热平衡时，即有相同的温度时，平均说来，它们两者是互不吸收能量的，即ε?=0，故此时，2
1
1u m =2u m (18)
若有第二种气体分子在相同温度下与容器壁相碰，而达到同样的平衡，则同理可证
.2112222u m u m u m == (19)
因气体分子在各方向运动的机会相等，故
2222222231c w v u ===;212121213
1c w v u === 又由于（19）式的关系，我们可得
()202
121211222 c m c m = 故在相同的温度下，各种气体分子的平均平动能相等。
裴兰()Perrin 根据对布朗运动的研究，从实验证实悬浮在同一温度的液体中的不同微粒，不论它们的质量的大小如何，它们各自己的平均平动能都相等。悬浮在液体中作布朗运动的微粒，其运动情况与气体的运动情况相似，所以裴兰的实验结果，也可以作为在相同的温度下，各种不同气体分子的平均平动能都相等的间接证明。
四、诸理想气体定律的推导
根据气体动力论的基本公式和上节的结论，我们可以推证经实验验证过的诸理想气体定律，现分别推证于下。
（1）阿伏加德罗定律 根据气体动力论的基本公式（8），若有两种气体，其压强相同，
则
22113
232εεn m = 根据上节的结论，若此两种气体的温度相同，则21εε=由上两式得 21n n =
即在相同的温度与相同的压强下，任何两种气体，在每单们体积内所含的分子数目相等，也就是说：在同温同压下，各种气体在相同的体积内，含有相同的分子数目，这就是阿伏加德罗定律。
（2）道耳顿定律 设有几种不现的气体混合存在于一容器内，单位体积内所含的各种分子数目分别为,,,,321 n n n 等，混合气体在单位体积内的总分子数目为
,321 +++=n n n n ， 因在相同的温度下，各气体分子有相同的平均平动能ε，故混合气体施于器壁的压强等于：
+++==
εεεε3213
2323232n n n n p （22） 显然可知，
ε132n ,ε23
2n ,……分别等于各气体单独存在于容器内时的压强（称为分压强） 21p p 故由（22）式得出： +++=321p p p p (23) 这就是所谓的道耳顿定律：在理想气体的情况下，分压强之和等于整个混合气体底压强。
（3）玻意耳—马略特定律 以气体的体积v 去乘（8）式的两边后，得
εN pV 3
2=
(24) 其中N=n V 全体的分子数目。根据上节的结论，对稀薄气体的分子，ε只为温度的函数，故温度保持不变进，ε为不变的恒量；而对于一定一量的气体，总分子数目N 也为不变的常数，故由（24）式知：对于一定量的稀薄气体，若温度保持不变，则其压强与体积之乘积不变，即
pV =恒量（N =及温度不变时）
， （25） 这就是所谓的玻意耳—马略特定律
（4）盖、吕萨克定律 我们现在先来制定定容氢温标，假设氢的体积固定在标准状态时（即温度在冰点，压强在一大气压时）的体积不变，我们常以氢的压强随温度作直线变化来定温标，即温度t 是按下式来确定的 ),1(0t p p t α+=（对定容氢）， （26）
这式子就是定容温标的定义，若冰点为o 0，沸点为o 100，则得摄影氏温标，而数值等于是1/273.13。上式中0p 为氢在冰点时的压强，由（8）式知，温度在冰点时，
()273
2000 εn p =
代入（26）式得 ()28)1(3
200 t n p i αε+=
对定容氢温度计，0n 不改变，故由（8）式知，在温度t 时的压强为 ()29320 t t n p ε=
由（28）及（29）两式，得
()()3010 t t αεε+=
我们已知温度相同时，各种气体的平均平动能相同，故在t 及0度时，t ε及0ε对各种气体的分子都相同，故由上式知，对各种气体α都相同，因此把（30）式代入（29）式中，我们得出各种气体所遵守的相同规律：
()t p p t α+=10 （31）
（对各种气体体积不变时）
即以定容氢摄氏温标去量各种气体的压强与温度的关系，都应得出（31）式所表达的相同的规律，即当体积一定时，一定量的气体底压强随温度作直线变化。这就是所谓的盖、吕萨克定律。
我们现引入绝对温标： T=t+
α1=t+275.13
则（31）式所表达的盖、吕萨克定律变为
T p p t α0=（对各气体体积不变时） （32）
由上式可知，体积一定时，各气体底压强与绝对温度成正比。
（5）理想气体底状态方程式 即然我们已由我们的理论推出了玻意耳—马略特定律（25）式及盖、吕萨克定律（32）式，则合并这两个定律，可知理想气体的状态方程，因此理想气体的状态方程就由我们的理论推得了。若温度用绝对温标，则可推得理想气体的状态方程式为
pV=RT.
因此由（25）式及（32）式合并导出（33）式的方法，一般教本上都有，我就不在重复讲了，对一克的气体而言R 为一普通恒量，与气体的性质无关，因对一克分子的各种气体，有相同的分子数，由阿伏伽德定律知，在同温T 同压p 下，它们应有相同的体积V ，故由（32）式知它们有相同的恒量R ，R 常称为克分子气体恒量。
五、ε与T 的关系 我们已在第三节中讲座了ε与温度的定性关系，并得出了这样的结论：ε只是温度的函数。究竟ε是温度的什么样的函数呢，就要看我们采用什么温标而定了，基用绝对温标，则我们现在可以从气体动力论的基本公式与上节的结果，推出ε与T 的定量关系来。若我们讨论的是一克分子量的气体，则（24）式中的N 为阿伏伽德罗常数。合并（24）与（30）两式，则得
ε=()342
323 kT T N R = 其中k=R/N,也是一个普适恒量，称为玻耳兹曼常数。由此式更显然可知：气体分子的平均平动能只与温度有关，且与绝对温度成正比，在相同的温度下，各种气体分子的平均平动能相等
由（34）式可以看出： 温度反映着大量的分子作无规则运动的平均平动能，它标志着分子无规则运动的强度，温度愈高，分子的规则运动也就愈激烈。
一般的教务长本中在求出关系式（34）式时，是采用的这样的一个办法，就是把由实验所得的状态方程（33）式，与由理论推出的基本公式（24）式加以比较而得出（34）式，这样得出来的关系式（34）式是由实验与理论比较得来的。而在我们现在这样的理论系统中，关系式（34）式是完全由理论推出来的，因为只要规定好了温标后，我们就可以在理论推出状态方程式（33）式来，然后把由理论推出的（33）式与（24）式合并，即可推出关系式(34)式。 因ε=22
1c m ，故由（34）式可以求出计算气体分子和方均根速度的公式：
,332μ
RT Nm RT c c r ===（35） 其中μ=Nm 为气体的克分子量。由上式知，由宏观量T 及υ可以算出微观量c 2的统计平均量2c 的平方根。
我们现在在这里附带来谈谈，为什么说福里斯与季莫列娃在他们的讲解中并没有从理论上证明了阿伏伽德定律。他们是这样来证明的：他们把由实验得到的状态方程（33）式与（24）式比较，将所得到的关系式kT 23=ε带入基本公式（8），得出关系式 n=kT p （36）
此式指明，一切气体，在同温同压下，单位体积内含有同样的分子说目，这就是阿伏伽德定律。但我说，他们这样做，并没有从理论上证明这个实验定律。因为他们在证明的过程中已经用到了由实验得到的状态方程（33）式（因为在他们的理论系统中，没有从理论上推出状态方程）pV=RT ，而实际上在这个经验规律中已经包含了阿伏伽德定律。既它已经包含了（36）式，因为R=Nk ，故由实验得到的状态方程pV=RT 可以写为p=
,nkT V NkT =这就是（36）式所表示的关系。
本文是在匆忙中写成的，难免有不妥当的之处，希读者给以指出和批评。本文的要点曾于本年9月28日在东北人民大学，东北师范大学，东北地质学院，及汽车拖动学院四校的普通物理教研室联合举办的教材研究报告会上报告。在讨论过程中，吴成礼同志首先明确指出不仅玻意耳—马略特定律，而且盖、吕萨克定律亦可以由我们的理论推证，因而可以推证理想气体的状态方程式，我特在此感谢他指出这个补充意见。
大学物理第七章气体动理论
第七章 气体动理论 一．选择题 1［ C ］两瓶不同种类的理想气体，它们的温度和压强都相同，但体积不同，则单位体积内的气体分子数n ，单位体积内的气体分子的总平动动能(E K /V )，单位体积内气体的质量ρ的关系为： (A) n 不同，(E K /V )不同，ρ 不同． (B) n 不同，(E K /V )不同，ρ 相同． (C) n 相同，(E K /V )相同，ρ 不同． (D) n 相同，(E K /V )相同，ρ 相同． 解答：1. ∵nkT p =，由题意，T ，p 相同∴n 相同； 2. ∵kT n V kT N V E k 2 323==，而n ，T 均相同∴V E k 相同 3. 由RT M m pV =得RT pM V M ==ρ，∵不同种类气体M 不同∴ρ不同 2［ C ］设某种气体的分子速率分布函数为f (v )，则速率分布在v 1~v 2区间内的分 子的平均速率为 (A) ?2 1d )(v v v v v f ． (B) 2 1 ()d v v v vf v v ?． (C) ? 2 1 d )(v v v v v f /?2 1 d )(v v v v f ． (D) ? 2 1 d )(v v v v v f /0 ()d f v v ∞ ? ． 解答：因为速率分布函数f (v )表示速率分布在v 附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分率，所以 ? 2 1 d )(v v v v v f N 表示速率分布在v 1~v 2区间内的分子的速率总和，而 2 1 ()d v v Nf v v ? 表示速率分布在v 1~v 2区间内的分子数总和，因此 ? 2 1 d )(v v v v v f / ? 2 1 d )(v v v v f 表示速率分布在v 1~v 2区间内的分子的平均速率。 3［ B ］一定量的理想气体，在温度不变的条件下，当体积增大时，分子的平均碰撞频率Z 和平均自由程λ的变化情况是： (A) Z 减小而λ不变． (B)Z 减小而λ增大． (C) Z 增大而λ减小． (D)Z 不变而λ增大． 解答：n d Z 22π= ，n d 2 21πλ= ，在温度不变的条件下，当体积增大时，n 减小，所以 Z 减小而λ增大。 4［ B ］若室内生起炉子后温度从15℃升高到27℃，而室内气压不变，则此时室内的分子数减少了
博弈论的基概念
博弈论的基本概念 ?博弈论是研究两人或多人谋略和决策的理论。 ?博弈论思想古已有之，我国古代的《孙子兵法》就不仅是一部军事著作，而且算是最早的一部博弈论专著。博弈论最初主要研究象棋、桥牌、赌博中的胜负问题，人们对博弈局势的把握只停留在经验上,没有向理论化发展，正式发展成一门学科则是在20世纪初。1928年冯·诺意曼证明了博弈论的基本原理，从而宣告了博弈论的正式诞生。1944年，冯·诺意曼和摩根斯坦共著的划时代巨著《博弈论与经济行为》将二人博弈推广到n人博弈结构并将博弈论系统的应用于经济领域，从而奠定了这一学科的基础和理论体系。纳什的开创性论文《n人博弈的均衡点》（1950），《非合作博弈》（1951）等等，给出了纳什均衡的概念和均衡存在定理。此外，塞尔顿、哈桑尼的研究也对博弈论发展起到推动作用。今天博弈论已发展成一门较完善的的学科。 ?参与者：参与者是指一个博弈中的决策主体，通常又称为参与人或局中人。 参与人的目的是通过合理悬着自己的行动，以便取得最大化的收益。参与者可以是自然人，也可以是团体。 ?信息：信息是指参与者在博弈过程中能了解和观察到的知识。信息对参与者是至关重要，每一个参与者在每一次进行决策之前必须根据观察到的其他参与者的行动和了解到的有关情况作出自己的最佳选择。完全信息是指所有参与者各自选择的行动的不同组合所决定的收益对所有参与者来说是共同知识。
?策略：策略是参与者如何对其他参与者的行动作出反应的行动规则，它规定参与者在什么时候选择什么行动。通常用s i表示参与者i的一个特定策略，用S i表示参与者i的所有可选择的策略的集合（又成为而i的策略空间）。如果n个参与者没人选择一个策略，那么s=（s1，s2，…，s n）称为一个策略组合。 ?收益：收益是在一个特定的策略组合下参与者能得到的确定的效用。通常用u i表示参与者i的收益，它是策略组合的函数。 ?均衡：均衡是所有参与者的最优策略组合，记为s*。 几个经典的博弈实例 ?例一囚徒困境两个共同作案的犯罪嫌疑人被捕，并受到指控。除非至少一人认罪，否则警方无充分证据将他们按最论刑。警方把他们隔离审讯，并对他们说明不同行动所带来的后果。如果两人都采取沉默的抗拒态度，因警方证据不足，两人将均被判为轻度犯罪入狱一个月；如果双方都坦白，根据案情两人将被判入狱六个月；如果一个招认而另一个拒不坦白，招认者因由主动认罪立功的表现将立即释放，而另一人将被判入狱九个月。
06气体动理论习题解答课件
第六章 气体动理论 一 选择题 1. 若理想气体的体积为V ，压强为p ，温度为T ，一个分子的质量为m ，k 为玻耳兹曼常量，R 为摩尔气体常量，则该理想气体的分子总数为( )。 A. pV /m B. pV /(kT ) C. pV /(RT ) D. pV /(mT ) 解 理想气体的物态方程可写成NkT kT N RT pV ===A νν，式中N =ν N A 为气体的分子总数，由此得到理想气体的分子总数kT pV N = 。 故本题答案为B 。 2. 在一密闭容器中，储有A 、B 、C 三种理想气体，处于平衡状态。A 种气体的分子数密度为n 1，它产生的压强为p 1，B 种气体的分子数密度为2n 1，C 种气体的分子数密度为3 n 1，则混合气体的压强p 为 ( ) A. 3p 1 B. 4p 1 C. 5p 1 D. 6p 1 解 根据nkT p =，321n n n n ++=，得到 1132166)(p kT n kT n n n p ==++= 故本题答案为D 。 3. 刚性三原子分子理想气体的压强为p ，体积为V ，则它的内能为 ( ) A. 2pV B. 2 5pV C. 3pV D.27pV 解 理想气体的内能RT i U ν2 =，物态方程RT pV ν=，刚性三原子分子自由度i =6， 因此pV pV RT i U 326 2===ν。 因此答案选C 。 4. 一小瓶氮气和一大瓶氦气，它们的压强、温度相同，则正确的说法为：( ) A. 单位体积内的原子数不同 B. 单位体积内的气体质量相同 C. 单位体积内的气体分子数不同 D. 气体的内能相同 解：单位体积内的气体质量即为密度，气体密度RT Mp V m ==ρ（式中m 是气体分子
第二章气体分子运动论的基本概念汇总
第二章?????气体分子运动论的基本概念2013-7-22崎山苑工作室1 2.1物质的微观模型分子运动论是从物质的微观结构出发来阐明热现象的规律的。 一、宏观物体是由大量微粒－－分子（或原子）组成的宏观物体是由分子组成的，在分子之间存在着一定的空隙。例如气体很容易被压缩，又如水和酒精混合后的体积小于两者原有体积之和，这都说明分子间有空隙。用20000atm的压强压缩钢筒中的油，结果发现油可以透过筒壁渗出，这说明钢的分子间也有空隙。目前用高分辨率的扫描隧道显微镜已能观察晶体横截面内原子结构的图像，并且能够操纵原子和分子。2013-7-22崎山苑工作室2 2013-7-22崎山苑工作室
二、物体内的分子在不停地运动着，这种运动是无规则的，其剧烈程度与物体的温度有关扩散现象说明：一切物体（气体、液体、固体）的分子都在不停地运动着 在显微镜下观 察到悬浮在液 体中的小颗粒 都在不停地作 无规则运动，
该运动由布朗 最早发现，称 为布朗运动。 2013-7-22崎山苑工作室4 布朗运动的无规则性，实际上反映了液体内部分子运动的无规则性。 所谓“无规则”指的是： 1。由于分子间的相互碰撞，每个分子的运动方向和速率都在不断地改变； 2。任何时刻，在液体或气体内部，沿各个方向运动的分子都有，而且分子运动的速率有大有小。 实验结果：扩散的快慢和布朗运动的剧烈程度都与温度的高低有显著的关系。随着温度的升高，扩散过程加快，悬浮颗粒的运动加剧。 结论：分子无规则运动的剧烈程度与温度有关，温度越高，分子的无规则运动就越剧烈。通常把分子的这种运动称为热运动。 2013-7-22崎山苑工作室5 三、分子之间有相互作用力吸引力：由于固体与液体的分子之间存在着相互的吸引力使固体能够保持一定的形状与体积而液体能保持一定的体积。 右图演示实验说明分子之间存在着相互的吸引力 排斥力：固体和液体的很难压缩说明分子之间存在着斥力结论：一切宏观物体都是由大量分子（或原子）组成的；所有的分子都处在不停的、无规则热运动中；分子之间有相互作用力。 2013-7-22崎山苑工作室6 三、分子之间有相互作用力吸引力：由于固体与液体的分子之间存在着相互的吸引力使固体能够保持一定的形状与体积而液体能保持一定的体积。 右图演示实验说明分子之间存在着相互的吸引力
(完整word版)大学物理气体动理论热力学基础复习题及答案详解
第12章 气体动理论 一、 填空题： 1、一打足气的自行车内胎，若在7℃时轮胎中空气压强为4.0×510pa .则在温度变为37℃，轮胎内空气的 压强是 。（设内胎容积不变） 2、在湖面下50.0m 深处（温度为4.0℃），有一个体积为531.010m -?的空气泡升到水面上来，若湖面的 温度为17.0℃，则气泡到达湖面的体积是 。（取大气压强为50 1.01310p pa =?） 3、一容器内储有氧气，其压强为50 1.0110p pa =?，温度为27.0℃，则气体分子的数密度 为 ；氧气的密度为 ；分子的平均平动动能为 ；分子间的平均 距离为 。（设分子均匀等距排列） 4、星际空间温度可达 2.7k ，则氢分子的平均速率为 ，方均根速率为 ，最概然速率 为 。 5、在压强为51.0110pa ?下，氮气分子的平均自由程为66.010cm -?，当温度不变时，压强 为 ，则其平均自由程为1.0mm 。 6、若氖气分子的有效直径为82.5910cm -?，则在温度为600k ，压强为21.3310pa ?时，氖分子1s 内的 平均碰撞次数为 。 7、如图12-1所示两条曲线(1)和(2),分别定性的表示一定量的 某种理想气体不同温度下的速率分布曲线,对应温度高的曲线 是 .若图中两条曲线定性的表示相同温 度下的氢气和氧气的速率分布曲线,则表示氧气速率分布曲线的 是 . 8、试说明下列各量的物理物理意义： （1） 12kT ， （2）32 kT ， （3）2i kT ， （4）2 i RT ， （5）32RT ， （6）2M i RT Mmol 。 参考答案： 1、54.4310pa ? 2、536.1110m -? 3、25332192.4410 1.30 6.2110 3.4510m kg m J m ----???? 4、21 21121.6910 1.8310 1.5010m s m s m s ---?????? 图12-1
气体动理论剖析
1
质量为 m 摩尔质量为 M 的理想气体，在平衡态下，压强 p、体积 V 和热力学温度 T 的关系 式是
?
A、pV=(M/m)RT B、pT=(M/m)RV C、pV=(m/M)RT D、VT=(m/M)Rp
?
?
?
正确答案： C 我的答案：C 得分： 9.1 分
2
一定量某理想气体按
=恒量的规律膨胀，则膨胀后理想气体的温度
?
A、将降低 B、将升高 C、保持不变 D、升高还是降低，不能确定
?
?
?
正确答案： A 我的答案：A 得分： 9.1 分
3
在标准状态下，任何理想气体每立方米中含有的分子数都等于
? A、
? ? B、
? ? C、
? ? D、
?
正确答案： C 我的答案：A 得分： 0.0 分
4
有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分隔成两边，如果其中的一边装有 0.1 kg 某一温度的氢气， 为了使活塞停留在圆筒的正中央， 则另一边应装入同一温度的氧气的质量 为
?
A、0.16 kg B、0.8 kg
?
?
C、1.6 kg D、3.2 kg
?
正确答案： C 我的答案：C 得分： 9.1 分
5
若理想气体的体积为 V，压强为 p，温度为 T，一个分子的质量为 m，k 为玻尔兹曼常量， R 为普适气体常量，则该理想气体的分子数为
?
A、pV / m B、pV / (kT) C、pV / (RT) D、pV / (mT)
?
?
?
正确答案： B 我的答案：C 得分： 0.0 分
6
一定量的理想气体在平衡态态下，气体压强 p、体积 V 和热力学温度 T 的关系式是
? A、
? ? B、
气体动理论汇总
有关概念： 热运动：分子做不停的无规则运动 热现象：物质中大量分子的热运动的宏观表现（如：热传导、扩散、液化、凝固、溶解、汽化等都是热现象）。 分子物理学与热力学的研究对象：热现象 微观量：描述单个分子运动的物理量。（如：分子质量、速度、能量等） 宏观量：描述大量分子热运动集体特征的物理量。（如：气体体积、压力、温度等）统计方法: 对个别分子运动用力学规律，然后对大量分子求微观两的统计平均值。 分子物理学研究方法: 建立宏观量与微观量统计平均值的关系从微观角度来说明 宏观现象的本质。分子物理学是一种微观理论。 热力学研究方法: 实验定律为基础,从能量观点出发,研究热现象的宏观规律。它是 一种宏观理论。 一、热学的基本概念 热学是物理学的一个重要分支学科，它研究的是热现象的宏观特征及其微观本质。热学研究的对象是大量粒子（如原子、分子）组成的物质体系，称为热力学系统或简称系统。 二、分子运动的基本概念 从微观上看，热现象是组成系统的大量粒子热运动的集体表现，热运动也称为分子运动、分子热运动。它是不同于机械运动的一种更加复杂的物质运动形式。因此，对于大量粒子的无规则热运动，不可能像力学中那样，对每个粒子的运动进行逐个的描述，而只能探索它的群体运动规律。就单个粒子而言，由于受到其它粒子的复杂作用，其具体的运动过程可以变化万千，具有极大的偶然性；但在总体上，运动却在一定条件下遵循确定的规律，如分子的速率分布，平均碰撞频率等，正是这种特点，使得统计方法在研究热运动时得到广泛应用，从而形成了统计物理学。统计物理学是从物质的微观结构出发，依据每个粒子所遵循的力学规律，用统计的方法来推求宏观量与微观量统计平均值之间的关系，解释与揭示系统宏观热现象及其有关规律的微观本质。 三、相关的一些概念 通常我们把描述单个粒子运动状态的物理量称为微观量，如粒子的质量、位置、动量、能量等，相应的用系统中各粒子的微观量描述的系统状态，称为微观态；描述系统整体特性的可观测物理量称为宏观量，如温度、压强、热容等，相应的用一组宏观量描述的系统状态，称为宏观态。 四、热学相关内容的分类 按研究角度和研究方法的不同，热学可分成热力学和气体动理论两个组成部分。热力学不涉及物质的微观结构，只是根据由观察和实验所总结得到的热力学规律，用严密的逻辑推理方法，着重分析研究系统在物态变化过程中有关热功转换等关系和实
热学(李椿+章立源+钱尚武)习题解答_第二章 气体分子运动论的基本概念
第二章 气体分子运动论的基本概念 2-1 目前可获得的极限真空度为10-13 mmHg 的数量级，问在此真空度下每立方厘米内有多少空气分子，设空气的温度为27℃。 解： 由P=n K T 可知 n =P/KT=) 27327(1038.11033.1101023 213+?????-- =3.21×109(m –3 ) 注：1mmHg=1.33×102 N/m 2 2-2 钠黄光的波长为5893埃，即5.893×10-7 m ，设想一立方体长5.893×10-7 m ， 试问在标准状态下，其中有多少个空气分子。 解：∵P=nKT ∴PV=NKT 其中T=273K P=1.013×105 N/m 2 ∴N=6 23375105.5273 1038.1)10893.5(10013.1?=?????=--KT PV 个 2-3 一容积为11.2L 的真空系统已被抽到1.0×10-5 mmHg 的真空。为了提高其真空度， 将它放在300℃的烘箱内烘烤，使器壁释放出吸附的气体。若烘烤后压强增为1.0×10-2 mmHg ，问器壁原来吸附了多少个气体分子。 解：设烘烤前容器内分子数为N 。，烘烤后的分子数为N 。根据上题导出的公式PV = NKT 则有： )(0 110011101T P T P K V KT V P KT V P N N N -=-= -=? 因为P 0与P 1相比差103 数量，而烘烤前后温度差与压强差相比可以忽略，因此 T P 与 1 1 T P 相比可以忽略 1823 2 23111088.1) 300273(1038.11033.1100.1102.11??+???????=?=?---T P K N N 个 2-4 容积为2500cm 3 的烧瓶内有1.0×1015 个氧分子,有4.0×1015 个氮分子和3.3×10-7 g
气体分子运动论的基本概念
第二章气体分子运动论的基本概念 §1 物质的微观模型 一、物质微观模型： 1、宏观物体是由大量微粒—分子（或原子）组成的， 2、物体内的分子在不停地运动着，这种运动是无规则的剧烈程度与物体的温度有关。 3、分子之间有相互作用。 二、物质三种聚集态的成因 分子力的作用将使分子聚集在一起，在空间形成某种规则的分布（有序排列），而分子的无规则运动将破坏这种有序排列，使分子分散开来。事实上，物质分子在不同的温度下所以会表现为三种不同的聚集态，正是由这两种相互对立的作用所决定的。 §2 理想气体的压强 一、理想气体的微观模型： 1、分子本身的形成比起分子之间的平均距离来可以忽略不计。 2、除碰撞的瞬间外，分子之间以及分子与容器器壁之间都无相互作用。 3、分子之间以及分子与容器器壁之间的碰撞是完全弹性的，即气体分子的动能不因碰撞而损失。 二、压强公式 1、压强产生的微观实质：是大量气体分子对器壁不断碰撞的结果。（举例说明）。 2、理想气体压强公式的推导过程：思路：欲求分子施于器壁的压强P，应先求出大量分子施于器壁的力F。这个力除以器壁的面积，就得到分子施于器壁的压强。设：有一个边长分别为L1、L2、L3的长方体容器，在平衡态下，共有N个Array分子，分子的质量为m，分子数密度为n=N/V。 ①单个分子在一次碰撞中施于A1面的冲 量，（A1面垂直于x轴） 设某一分子的速度为V i，速度三个分量分别为： V ix、V iy、V iz由于碰撞是完全弹性的，所以碰 撞前后分子在y、z两方向上的速度分量不变， 在x方向上的速度分量由V ix变为-V ix， 大小不变方向反向。这样，分子在碰撞过程中 的动量改变为：-m V ix -m V ix =-2m V ix.按动量定理，这就等于A1面施于分子的冲量，而根据牛顿第三定律，分子施于A1面的冲量为：+2m V ix ②dt时间内分子之施于A1面的冲量：它应等于2m V ix乘以dt时间内分子之于A1面碰 撞的次数，即：
博弈论中的相关概念
新古典经济学前提： 理性选择——减少不确定； ——经济系统效用最大化。 理性——新古典经济学与博弈论的纽带 博弈论决策前提：理性的战略选择。 博弈论决策基础：最优反应，即带来最大收益的战略。 但是，在博弈论中最优反应不是理性的唯一表现，也不总是假定人是理性的。 新古典经济学决策的背景： 理性的个体面临特定的制度环境（产权、货币、高度竞争的市场），在此基础上以获取利益最大化为目的。 隐含的基础：只需考虑自身情况和市场条件，而不考虑他人行为。 弊端： ——限制了理论的使用范围，现实中竞争并不完全； ——无法解决货币经济以外的决策难题。 博弈论的优势： ——不仅考虑自身条件和市场环境，最重要的是还需考虑他人的行为。 游戏规则： 两个选手，轮流取币； 每次至少取一枚硬币； 只能从一行中取任意数量的硬币，不许从两行中选取； 取走最后一枚硬币的为胜者 囚徒困境的启示： 囚徒困境仅仅是二人博弈，多人博弈在现实中更多； 如果囚犯可以交流，结果显著不同； 如果多轮博弈，结果也有不同； 导致困境结论的分析过程令人注目，但最后结论并非理性。 通常假设参与者将采取最优反应战略而理性行事，最大化利润、力争在游戏中获胜、达到主观收益最大化，或者惩罚最小化，皆属于理性行为。 最优反应战略是在其他参与者战略已知或可预测条件下，给某参与者带来最大化收益的战略。 博弈分析的关键步骤是找出在别人选择既定的情况下自己的最优反应战略。 依据新古典经济学，我们把一个参与者的最优反应（best response）定义为，在其他参与者已经选定战略，或者可以预计到他们将选择何种战略时，能够给该参与者带来的最大收益的战略。 标准式——数字矩阵； 扩展式——树形图 不确定事件（contingency）： 相机战略（contingent strategy）：仅在不确定事件发生时才会采取的战略 信息集（information set）：节点2包含了决策者掌握的所有信息，因此也称为信息集。 扩展式的优势： ——展示了每一阶段掌握的信息； ——展示了参与者掌握信息的不完全 所有博弈问题均可用标准式描述，即绘制一个表格，边缘列出参与者的战略，里面列出参与者的收益；
第四章 气体动理论 总结
第四章 气体动理论 单个分子的运动具有无序性 布朗运动 大量分子的运动具有规律性 伽尔顿板 热平衡定律(热力学第零定律) 实验表明：若 A 与C 热平衡 B 与C 热平衡 则 A 与B 热平衡 意义：互为热平衡的物体必然存在一个相同的 特征--- 它们的温度相同 定义温度：处于同一热平衡态下的热力学系统所具有的共同的宏观性质,称为温度。 一切处于同一热平衡态的系统有相同的温度。 理想气体状态方程: 形式1: mol M PV =RT =νRT M 形式2: 2 2 2111T V p T V p ＝形式3: nkT P = n ----分子数密度(单位体积中的分子数) k = R/NA = 1.38*10 –23 J/K----玻耳兹曼常数 在通常的压强与温度下,各种实际气体都服从理想气体状态方程。 §4-2 气体动理论的压强公式 V N V N n ==d d 1）分子按位置的分布是均匀的 2）分子各方向运动概率均等、速度各种平均值相等 k j i iz iy ix i v v v v ++=分子运动速度 单个分子碰撞器壁的作用力是不连续的、偶然的、不均匀的。从总的效果上来看，一个持续的平均作用力。 2213 212()323 p nmv p n mv n ω === v----摩尔数 R--普适气体恒量 描述气体状态三个物理量： P,V T 压 强 公 式
12 2 ω=mv 理想气体的压强公式揭示了宏观量与微观量统计平均值之间的关系,说明压强具 有统计意义； 压强公式指出:有两个途径可以增加压强 1)增加分子数密度n 即增加碰壁的个数 2)增加分子运动的平均平动能 即增加每次碰壁的强度 思考题：对于一定量的气体来说，当温度不变时，气体的压强随体积的减小而增大（玻意耳定律）；当体积不变时，压强随温度的升高而增大（查理定律）。从宏观来看，这两种变化同样使压强增大，从微观（分子运动）来看，它们有什么区 别？ 对一定量的气体，在温度不变时，体积减小使单位体积内的分子数增多，则单位时间内与器壁碰撞的分子数增多，器壁所受的平均冲力增大，因而压强增大。而当体积不变时，单位体积内的分子数也不变，由于温度升高，使分子热运动加剧，热运动速度增大，一方面单位时间内，每个分子与器壁的平均碰撞次数增多； 另一方面，每一次碰撞时，施于器壁的冲力加大，结果压强增大。 §4-3 理想气体的温度公式 nkT p =23 p =n ω 1322 2 ω=mv =kT 1. 反映了宏观量 T 与微观量w 之间 的关系 ① T ∝ w 与气体性质无关；② 温度具有统计意义，是大量分子集 体行为 ，少数分子的温度无意义。2. 温度的实质：分子热运动剧烈程度的宏观表现。3. 温度平衡过程就是能量平衡过程。 二.气体分子运动的方均根速率 kT v m 2 32 1 2 = ?2 m ol 3kT 3R T v = =m M 在相同温度下，由两种不同分子组成的混合气体，它们的方均根速率与其质量的平方根成正比 当温度T=0时，气体的平均平动动能为零，这时气体分子的热运动将停止。然而事实上是绝对零度是不可到达的(热力学第三定律)，因而分子的运动是永不停息 的。 μRT m kT v v x = ==22 31 分子平均平动动能 温度的微观本质：理想气体的温度是分子平均平动动能的量度 摩尔质量
狭义相对论的基本原理
第五章相对论 第一节狭义相对论的基本原理 基础知识 1．下列说法中正确的是( ) A电和磁在以太这种介质中传播 B相对不同的参考系，光的传播速度不同 C.牛顿定律仅在惯性系中才能成立 D.时间会因相对速度的不同而改变 2．爱因斯坦相对论的提出，是物理学思想的一场重大革命，他( ) A.否定了牛顿的力学原理 B.提示了时间、空间并非绝对不变的属性 C.认为时间和空间是绝对不变的 D.承认了“以太”是参与电磁波传播的重要介质 3．爱因斯坦狭义相对论的两个基本假设： (1)爱因斯坦的相对性原理：_____________________________． (2)光速不变原理：_____________________________________． 4．下列哪些说法符合狭义相对论的假设( ) A在不同的惯性系中，一切力学规律都是相同的 B．在不同的惯性系中，一切物理规律都是相同的 C.在不同的惯性系中，真空中的光速都是相同的 D．在不同的惯性系中，真空中的光速都是不同的 5．在一惯性系中观测，两个事件同时不同地，则在其他惯性系中观测，它们( ) A．一定同时 B．可能同时 C.不可能同时，但可能同地 D．不可能同时，也不可能同地 6．假设有一列很长的火车沿平直轨道飞快匀速前进，车厢中央有一个光源发出了一个闪光，闪光照到了车厢的前后壁，根据狭义相对论原理，下列说法中正确的是( ) A地面上的人认为闪光是同时到达两壁的 B车厢里的人认为闪光是同时到达两壁的 C．地面上的人认为闪光先到达前壁 D．车厢里的人认为闪光先到达前壁 能力测试 7．关于牛顿力学的适用范围，下列说法正确的是( ) A.适用于宏观物体 B.适用于微观物体 C.适用于高速运动的物体 D.适用于低速运动的物体 8．下列说法中正确的是( ) A.相对性原理能简单而自然的解释电磁学的问题 B.在真空中，若物体以速度v背离光源运动，则光相对物体的速度为c-v C在真空中，若光源向着观察者以速度v运动，则光相对于观察者的速度为c+v D．迈克耳逊一莫雷实验得出的结果是：不论光源与观察者做怎样的相对运动，光速都是一样的 9．地面上的A、B两个事件同时发生，对于坐在火箭中沿两个事件发生地点连线，从A到B方向飞行的人来说哪个事件先发生( ) A．两个事件同时发生 B．A事件先发生 C．B事件先发生 D．无法判断 10．关于电磁波，下列说法正确的是( ) A.电磁波与机械波一样有衍射、干涉现象，所以它们没有本质的区别 B.在一个与光速方向相对运动速度为u的参考系中，电磁波的传播速度为c+u或c-u C电磁场是独立的实体，不依附在任何载体中 D．伽利略相对性原理包括电磁规律和一切其他物理规律 11．一列火车以速度v相对地面运动，如果地面上的人测得，某光源发出的闪光同时到达车厢的前壁和后壁(如图5-1-1)．那么按照火车上人的测量，闪光先到达前壁还是后壁?火车上的人怎样解释自己的测量结果? 12．如图5-1-2所示，在地面上M点，固定一光源，在离光源等距的A、B两点上固定有两个光接收器，今使光源发出一闪光，问 (1)在地面参考系中观察，谁先接收到光信号?
大物习题解答-大学物理习题答案(许瑞珍_贾谊明)-第12章 气体动理论
第十二章 气体动理论 12－1 一容积为10L 的真空系统已被抽成1.0×10-5 mmHg 的真空，初态温度为20℃。为了提高其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使器壁释放出所吸附的气体，如果烘烤后压强为1.0×10-2 mmHg ，问器壁原来吸附了多少个气体分子? 解：由式nkT p =，有 3 2023 52/1068.1573 1038.1760/10013.1100.1m kT p n 个?≈?????==-- 因而器壁原来吸附的气体分子数为 个183201068.110101068.1?=???==?-nV N 12－2 一容器内储有氧气，其压强为1.01?105 Pa ，温度为27℃，求：（l ）气体分子的 数密度；（2）氧气的密度；（3）分子的平均平动动能；（4）分子间的平均距离。（设分子间等距排列） 分析：在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体。因此，可由理想气体的物态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解。又因可将分子看成是均匀等距排列的，故每个分子占有的体积为30d V =，由数密度的含意可知d n V ,10=即可求出。 解：（l ）单位体积分子数 3 25m 1044.2-?==kT p n （2）氧气的密度 3m kg 30.1-?===RT pM V m ρ （3）氧气分子的平均平动动能 J 1021.62321k -?==kT ε （4）氧气分子的平均距离 m 1045.3193-?==n d 12－3 本题图中I 、II 两条曲线是两种不同气体（氢气和氧气）在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线。试由图中数据求：（1）氢气分子和氧气分子的最概然速率；（2）两种气体所处的温度。 分析：由M RT v /2p =可知，在相同温度下，由于不同气体的摩尔质量不同，它们的最概然速率p v 也就不同。因22O H M M <，故氢气比氧气的p v 要大，由此可判定图中曲线II 所标13p s m 100.2-??=v 应是对应于氢气分子的最概然速率。从而可求出该曲线所对应的温度。又因曲线I 、II 所处的温度相同，故曲线I 中氧气的最概然速率也可按上式求得。 解：（1）由分析知氢气分子的最概然速率为
气体动理论
气体动理论 一、选择题 1．按照气体分子运动论，气体压强的形成是由于 （ ） （A ）气体分子之间不断发生碰撞； （B ）气体分子的扩散； （C ）气体分子不断碰撞器壁； （D ）理想气体的热胀冷缩现象． 2．理想气体中仅由温度决定其大小的物理量是（ ） （A ）气体的压强 （B ）气体分子的平均速率 （C ）气体的内能 （D ）气体分子的平均平动动能 3. 在一个容积不变的封闭容器内理想气体分子平均速率若提高为原来的2倍，则（ ） A ．温度和压强都提高为原来的2倍 B ．温度为原来的2倍，压强为原来的4倍 C ．温度为原来的4倍，压强为原来的2倍 D ．温度和压强都为原来的4倍 4．关于温度的意义，下列几种说法中错误的是：（ ） A ．气体的温度是分子平均平动动能的量度． B ．气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义． C ．温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同． D ．从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度． 5．容积为V 的容器中，贮有1N 个氧分子、2N 个氮分子和M kg 氩气的混合气体，则混合 气体在温度为T 时的压强为（其中A N 为阿佛伽德罗常数，μ为氩分子的摩尔质量）[ ] （A ）kT V N 1 （B ）kT V N 2 （C ）kT V MN A μ （D ）kT N M N N V A )(121μ ++ 6．一瓶氦气和一瓶氮气(均为理想气体)都处于平衡状态，质量密度相同，分子平均平动动 能相同，则它们( ) A 、温度相同、压强相同； B 、温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强； C 、温度、压强都不相同； D 、温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强 7．压强、温度相同的氩气和氮气，它们的分子平均平动动能k ε和平均动能ε的关系为 （ ） （A ）和k ε都相等 （B ）和k ε都不相等 （C ）k ε相等，而 ε不相等 （D ）ε相等，而k ε不相等 8．mol 2的刚性分子理想气体甲烷，温度为T ，其内能可表示为：( ) A 、kT 5； B 、kT 6； C 、RT 5； D 、RT 6.
气体动理论知识点总结
气体动理论知识点总结 注意：本章所有用到的温度指热力学温度，国际单位开尔文。 T=273.15+t 物态方程 A N PV NkT P kT nkT V m PV NkT PV vN kT vRT RT M =→= =' =→===（常用） 一、 压强公式 11()33 P mn mn = =ρρ=22v v 二、 自由度 *单原子分子： 平均能量=平均平动动能=(3/2)kT *刚性双原子分子： 平均能量=平均平动动能+平均平动动能=325222 kT kT kT += *刚性多原子分子： 平均能量=平均平动动能+平均平动动能=3 332 2 kT kT kT +=
能量均分定理：能量按自由度均等分布，每个自由度的能量为(1/2)kT 所以，每个气体分子的平均能量为2 k i kT ε= 气体的内能为k E N =ε 1 mol 气体的内能22 k A i i E N N kT RT =ε== 四、三种速率 p = ≈v = ≈v = ≈ 三、 平均自由程和平均碰撞次数 平均碰撞次数：2Z d n =v 平均自由程： z λ= =v 根据物态方程：p p nkT n kT =?= 平均自由程： z λ==v
练习一 1．关于温度的意义，有下列几种说法： （1）气体的温度是分子平均平动动能的量度。（2）气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义。 （3）温度的高低反映物质内部分子热运动剧烈程度的不同。 （4）从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度。（错） 解：温度是个统计量，对个别分子说它有多少温度是没有意义的。 3．若室内升起炉子后温度从15℃升高到27℃，而室内气压不变，则此时室内的分子数减少了： 解：PV NkT = 211227315 0.9627327N T N T +===+ 1210.04N N N N ?=-= 则此时室内的分子数减少了4%. 4. 两容器内分别盛有氢气和氦气，若他们的温度和质量分别相等，则：（A ） （A ）两种气体分子的平均平动动能相等。 （B ）两种气体分子的平均动能相等。 （C ）两种气体分子的平均速率相等。 （D ）两种气体的内能相等。 任何气体分子的平均平动动能都是(3/2)kT ，刚性双原子分子： 平均能量=平均平动动能+平均平动动能=3 252 2 2 kT kT kT +=
气体动理论
一、选择题 ［ C ］1、（基础训练2）两瓶不同种类的理想气体，它们的温度和压强都相同，但体积不同，则单位体积内的气体分子数n ，单位体积内的气体分子的总平动动能(E K /V )，单位体积内气体的质量的关系为： (A) n 不同，(E K /V )不同，不同． (B) n 不同，(E K /V )不同，相同． (C) n 相同，(E K /V )相同，不同． (D) n 相同，(E K /V )相同，相同． 【提示】① ∵nkT p =，由题意，T ，p 相同，∴n 相同； ② ∵kT n V kT N V E k 2 3 23==，而n ，T 均相同，∴V E k 相同； ③ RT M M pV mol =→RT pM V M mol ==ρ，T ，p 相同，而mol M 不同，∴ρ不同。 ［ B ］2、（基础训练7）设图示的两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子 的速率分布曲线；令() 2 O p v 和() 2 H p v 分别表示氧气和氢气的 最概然速率，则 (A) 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线； ()2 O p v /() 2 H p v = 4． (B) 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线； ()2 O p v /() 2 H p v ＝1/4． (C) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线； ()2 O p v /() 2 H p v ＝1/4． (D) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线； ()2 O p v /() 2 H p v ＝ 4． 【提示】①最概然速率p v =p v 越小，故图中a 表示氧气分子的速率分布曲线； ②23 ,3210(/)mol O M kg mol -=?， 23 ,210(/)mol H M kg mol -=?， 得 ()() 2 2 O v v p p H 14 = ［ C ］3、（基础训练8）设某种气体的分子速率分布函数为f (v )，则速率分布在v 1~v 2
大学物理同步训练第10章气体动理论
第八章 气体动理论 一、选择题 1. 一定量的氢气（视为刚性分子的理想气体），若温度每升高1 K ，其内能增加20.8 J ，则该氢气的质量为（普适气体常量R =8.31 J ?mol ?1?K ?1） （A ）1.0×10?3 kg （B ）2.0×10?3 kg （C ）3.0×10?3 kg （D ）4.0×10?3 kg 答案：B 分析：内能公式E =ν?iRT 2?（式中ν为物质的量，i 为自由度；物质的量可由气体质量和气体摩尔质量算出，常见气体氢气2 g ?mol ?1、氦气4 g ?mol ?1、氮气28 g ?mol ?1、氧气32 g ?mol ?1、甲烷16 g ?mol ?1、水蒸气18 g ?mol ?1；单原子分子即惰性气体自由度i =3，双原子分子i =5，多原子分子如甲烷、水蒸气i =6）。由题可得?E =ν?5R?T 2?，代入可得物质的量ν=2×20.8(5×8.31)?≈1 mol ，故质量为2 g ，即B 选项。 2. 有一瓶质量为m 的氢气（视作刚性双原子分子的理想气体），温度为T ，则氢分子的平均动能为 （A ）3kT 2? （B ）5kT 2? （C ）3RT 2? （D ）5RT 2? 答案：B 分析：气体分子的平均动能为ε?=ikT 2?（式中i 为气体分子自由度，见选择题1）。 3. 有两瓶气体，一瓶是氦气，另一瓶是氢气（均视为刚性分子理想气体），若它们的压强、体积、温度均相同，则氢气的内能是氦气的 （A ）1/2倍 （B ）2/3倍 （C ）5/3倍 （D ）2倍 答案：C 分析：由物态方程pV =νRT 可知两瓶气体的物质的量ν相同。由内能公式（见选择题1）可得 E H 2E He =v ?5RT 2?v ?3RT 2?=53 4. A 、B 、C 3个容器中皆装有理想气体，它们的分子数密度之比为n A :n B :n C =4:2:1，而分子的平均平动动能之比为w ?A :w ?B :w ?C =1:2:4，则它们的压强之比p A :p B :p C 为
气体动理论习题解答
习题 8-1 设想太阳是由氢原子组成的理想气体，其密度可当成是均匀的。若此理想气体的压强为1.35×1014 Pa 。试估计太阳的温度。（已知氢原子的质量m = 1.67×10-27 kg ，太阳半径R = 6.96×108 m ，太阳质量M = 1.99×1030 kg ） 解：m R M Vm M m n 3π)3/4(== = ρ 8-2 目前已可获得1.013×10-10 Pa 的高真空，在此压强下温度为27℃的1cm 3体积内有多少个气体分子？ 解：3 4623 10/cm 1045.210300 1038.110013.1?=????===---V kT p nV N 8-3 容积V ＝1 m 3的容器内混有N 1＝1.0×1023个氢气分子和N 2＝4.0×1023个氧气分子，混合气体的温度为 400 K ，求： （1） 气体分子的平动动能总和；（2）混合气体的压强。 解：（1） J 1014.41054001038.12 3)(23 3232321?=?????=+=-∑N N kT t ε （2）Pa kT n p i 323231076.21054001038.1?=????==-∑ 8-4 储有1mol 氧气、容积为1 m 3的容器以v =10 m/s 的速率运动。设容器突然停止，其中氧气的80%的机械运动动能转化为气体分子热运动动能。问气体的温度及压强各升高多少？（将氧气分子视为刚性分
子） 解：1mol 氧气的质量kg 10323-?=M ，5=i 由题意得 T R Mv ?=?ν2 5 %80212K 102.62-?=??T 8-5 一个具有活塞的容器中盛有一定量的氧气，压强为 1 atm 。如果压缩气体并对它加热，使温度从27 ℃上升到177 ℃，体积减少一半，则气体的压强变化多少？气体分子的平均平动动能变化多少？分子的方均根速率变化多少？ 解：已知 K 300atm 111==T p 、 根据RT pV ν=? 2 2 2111T V p T V p =?atm 3312==p p 8-6 温度为0 ℃和100 ℃时理想气体分子的平均平动动能各为多少？欲使分子的平均平动动能等于1 eV ，气体的温度需多高？ 解：（1）J 1065.515.2731038.12 32 3212311--?=???==kT t ε （2）kT 2 3 J 101.6ev 1t 19-==?=ε 8-7 一容积为10 cm 3的电子管，当温度为300 K 时，用真空泵把管内空气抽成压强为5×10-4 mmHg 的高真空，问此时（1）管内有多少空气分子？（2）这些空气分子的平均平动动能的总和是多少？（3）平均转动动能的总和是多少？（4）平均动能的总和是多少？（将空气分子视为刚性双原子分子，760mmHg = 1.013×105 Pa ）
气体动理论
7-4 一个能量为12 10ev 的宇宙射线粒子,射入一氖气管中,氖管中含有氦气0.10mol,如果宇宙射线粒子的能量全部被氖气分子所吸收而变为热运动能量,问氖气的温度升高了多少? 分析 对确定的理想气体，其分子能量是温度的单值函数，因此能量的变化对应着温度的变化。由能量守恒求解氖气的温度变化。 解: 依题意可得: 23 12193 0.1 6.0210 k T 10 1.6102 -??? ?=?? 7 71.610 1.28100.1 6.02 1.5 1.38 T K -=??= =???? 7-5 容器内贮有1摩尔某种气体。今自外界输入2 2.0910?焦耳热量,测得气体温度升高10K.求该气体分子的自由度。 分析 理想气体分子能量只与自由度和温度有关。 解： ,2A i E N k T ?=?222 2.091056.02 1.3810 A E i N k T ???∴===??? 7-7 温度为27C ?时,1mol 氢气分子具有多少平动动能?多少转动动能? 分析 气体的能量为单个分子能量的总合。 解：2323333 6.0210 1.3810300 3.741022t A E N kT J -==?????=? 23233 226.0210 1.3810300 2.491022 r A E N kT J -==?????=? 7-8有33210 m ?刚性双原子分子理想气体，其内能为26.7510 J ?。(1) 试求气体的压强； (2) 设分子总数为 225.410 ?个，求分子的平均平动动能及气体的温度． 分析 将能量公式2i E N kT =结合物态方程N P kT V =求解气体的压强。由能量公式2 i E N kT =求解气体的温度。再由气体的能量为单个分子能量的总合求解单个分子的平均平动动能。 解：(1) 设分子数为N 。 2i N E N kT P kT V ==据 及 52 1.3510E P pa iV = =?得 (2) 3252 kt kT E N kT ε=由