【解析版】抚州市金溪二中2018-2019年八年级下期中数学试卷

江西省抚州市金溪二中2019-2019学年八年级下学期期中数学试卷

一、选择题（本题共有6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）若a＜b，下列不等式中错误的是（）

A．a+z＜b+z B．a﹣c＞b﹣c C．2a＜2b D．﹣4a＞﹣4b

2．（3分）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

3．（3分）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）

A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°

4．（3分）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）

A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点

C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条角平分线的交点

5．（3分）小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板．三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸那端仍然着地．那么小明的体重应小于（）

A．49千克B．50千克C．24千克D．25千克

6．（3分）如图，已知AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线MN交AB于D，AC于M．以下结论：

①△BCD是等腰三角形；②射线CD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长

C△BCD=AB+BC；④△ADM≌△BCD．

正确的有（）

A．①②B．①③C．②③D．③④

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

7．（3分）x的2倍与12的差大于6，用不等式表示为．

8．（3分）若关于x的不等式（1﹣a）x＞2可化为x＞，则a的取值范围是．

9．（3分）如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为．

10．（3分）将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图，则三角板的最大边的长为cm．

11．（3分）如图，E为正方形ABCD内一点，△AEB按顺时针方向旋转一个角度后成为△CFB，则旋转了度．

12．（3分）如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为．

13．（3分）如图，已知一次函数y=kx+b，观察图象回答下列问题：x时，kx+b＜0．

14．（3分）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为．

三、（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

15．（5分）作图题

（1）如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将△ABC向下平移4个单位，得到△A′B′C′，再把△A′B′C′绕点C′顺时针旋转90°，得到△A″B″C″请你画出△A′B′C′和△A″B″C′（不要求写画法）．

（2）如图，已知点O和△ABC，试画出与△ABC关于点O成中心对称的图形．

16．（5分）解不等式，并把解集表示在数轴上．

四．（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

17．（6分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB 于点E．若∠B=30°，CD=1，求BD的长．

18．（6分）解不等式组：．

五．（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

19．（8分）已知x=3是关于x的不等式的解，求a的取值范围．

20．（8分）如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE．求证：FD=BE．

六．（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．（9分）已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD．求证：D 在∠BAC的平分线上．

22．（9分）某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买3000千克以上（含3 000千克）的有两种销售方案．甲方案：每千克9元，由基地送货上门．乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费为5 000元．

（1）分别写出该公司的两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式．

（2）当购买量在什么范围内时，选择哪种方案付款较少？说明理由．

七．（本大题共2题，第23题10分，第24题12分，共22分）

23．（10分）小杰到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多（设为a人，a ＞8），就站在A窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人．

（1）此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少？（用含a的代数式表示）

（2）此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队，且到达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少，求a的取值范围．（不考虑其它因素）

24．（12分）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．

（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m 上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试证明FD=FE．

江西省抚州市金溪二中2019-2019学年八年级下学期期

中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共有6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）若a＜b，下列不等式中错误的是（）

A．a+z＜b+z B．a﹣c＞b﹣c C．2a＜2b D．﹣4a＞﹣4b

考点：不等式的性质．

分析：根据不等式的基本性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．

解答：解：A、运用不等式的基本性质1，正确；

B、运用不对等式的基本性质1，不等号的方向不变，应为a﹣c＜b﹣c，故本选项错误；

C、运用不等式的基本性质2，正确；

D、运用不等式的基本性质3，正确．

故选B．

点评：本题主要考查不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；

（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．

只有运用性质3时不等号的方向改变．

2．（3分）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

考点：中心对称图形；轴对称图形．

分析：根据轴对称图形与中心对称图形的定义解答．

解答：解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；

B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；

C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；

D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

故选：B．

点评：此题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形的定义，正确把握相关定义是解题关键．

3．（3分）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）

A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°

考点：等腰三角形的性质．

专题：分类讨论．

分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．

解答：解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，

②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，

综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．

故选：B．

点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．

4．（3分）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）

A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点

C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条角平分线的交点

考点：角平分线的性质；作图—应用与设计作图．

分析：由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．

解答：解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，

∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．

故选D．

点评：本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

5．（3分）小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板．三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸那端仍然着地．那么小明的体重应小于（）

A．49千克B．50千克C．24千克D．25千克

考点：一元一次不等式的应用．

分析：本题可设小明的体重为x，则小明妈妈的体重为2x，爸爸的体重为150﹣3x，根据图形可知爸爸的体重大于小明和妈妈的体重和，由此可列出不等式x+2x＜150﹣3x，化简解出x的取值范围即可．

解答：解：设小明的体重为x，则小明妈妈的体重为2x，爸爸的体重为150﹣3x．

则有x+2x＜150﹣3x

即6x＜150

所以x＜25

因此小明的体重应小于25千克．

故选D．

点评：本题考查的是一元一次不等式的运用，解此类题目时要注意将题意转化为代数式的表达，再计算即可．

6．（3分）如图，已知AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线MN交AB于D，AC于M．以下结论：

①△BCD是等腰三角形；②射线CD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长

C△BCD=AB+BC；④△ADM≌△BCD．

正确的有（）

A．①②B．①③C．②③D．③④

考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．专题：证明题．

分析：根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理由AB=AC，∠A=36°可得到

∠B=∠ACB=72°，再根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质有∠ACD=∠A=36°，可计算出∠BCD=72°﹣36°=36°，∠BDC=180°﹣∠B﹣∠BCD=72°，则CB=CD，可对①进行判断；根据三角形的角平分线的定义可对②进行判断；根据DA=DC 和

三角形周长的定义可得到△BCD的周长C△BCD=DB+DC+BC=DB+DA+BC=AB+BC，则可对③进行判断；由于△ADM为直角三角形，而△BCD为顶角为36°的等腰三角形，

可对④进行判断．

解答：解：∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠B=∠ACB=72°，

∵AC的垂直平分线MN交AB于D，

∴DA=DC，

∴∠ACD=∠A=36°，

∴∠BCD=72°﹣36°=36°，

∴∠BDC=180°﹣∠B﹣∠BCD=72°，

∴CB=CD，

∴△BCD是等腰三角形，所以①正确；

∵∠BCD=36°，∠ACD=36°，

∴CD平分∠ACB，

∴线段CD为△ACB的角平分线，所以②错误；

∵DA=DC，

∴△BCD的周长C△BCD=DB+DC+BC=DB+DA+BC=AB+BC，所以③正确；

∵△ADM为直角三角形，而△BCD为顶角为36°的等腰三角形，

∴△ADM不等全等于△BCD，所以④错误．

故选B．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质．

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

7．（3分）x的2倍与12的差大于6，用不等式表示为2x﹣12＞6．

考点：由实际问题抽象出一元一次不等式．

分析：由x的2倍与12的差大于6得出关系式为：x的2倍﹣12＞6，把相关数值代入即可．

解答：解：∵x的2倍为2x，

∴x的2倍与12的差大于6可表示为：2x﹣12＞6．

故答案为：2x﹣12＞6．

点评：此题主要考查了列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．

8．（3分）若关于x的不等式（1﹣a）x＞2可化为x＞，则a的取值范围是a＜1．

考点：不等式的性质．

分析：根据不等式的性质2，可得答案．

解答：解：由关于x的不等式（1﹣a）x＞2可化为x＞，得

1﹣a＞0．

解得a＜1，

故答案为：a＜1．

点评：本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘以或除以同一个正数不等号的方向不变．

9．（3分）如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为10．

考点：平移的性质．

分析：根据平移的基本性质解答即可．

解答：解：根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，

则AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC，

又∵AB+BC+AC=10，

∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．

故答案为：10．

点评：本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD，DF=AC是解题的关键．

10．（3分）将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图，则三角板的最大边的长为6cm．

考点：含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．

分析：标上字母，过点B作BD垂直于纸条的一边，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB的长，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答即可．

解答：解：如图，过点B作纸条的一边的垂线，

∵纸条的宽为3cm，

∴BD=3cm，

∵∠BAD=30°，

∴AB=2BD=2×3=6cm，

∴根据勾股定理得，BC=AB=×6=6cm．

故答案为：6．

点评：本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．

11．（3分）如图，E为正方形ABCD内一点，△AEB按顺时针方向旋转一个角度后成为△CFB，则旋转了90度．

考点：旋转的性质．

分析：首先根据旋转的定义，可得旋转中心为点B，然后判断出AB按顺时针方向旋转到BC所在的位置，旋转了90度，所以△AEB按顺时针方向旋转一个角度后成为△CFB，旋转了90度，据此解答即可．

解答：解：∵AB按顺时针方向旋转到BC所在的位置，旋转了90度，

∴△AEB按顺时针方向旋转一个角度后成为△CFB，则旋转了90度．

故答案为：90．

点评：此题主要考查了旋转的定义和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：（1）旋转中心为点B；（2）AB按顺时针方向旋转到BC所在的位置，旋转了90度．

12．（3分）如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为4．

考点：角平分线的性质；平行线的性质．

分析：根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案．

解答：解：过点P作MN⊥AD，

∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，∴AP⊥BP，PN⊥BC，

∴PM=PE=2，PE=PN=2，

∴MN=2+2=4．

故答案为：4．

点评：此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质，根据题意作出辅助线是解决问题的关键．

13．（3分）如图，已知一次函数y=kx+b，观察图象回答下列问题：x＜2.5时，kx+b＜0．

考点：一次函数与一元一次不等式．

专题：数形结合．

分析：观察函数图象得到x＜2.5时，一次函数图象在x轴下方，所以y=kx+b＜0．

解答：解：当x＜2.5时，y＜0，即kx+b＜0．

故答案为＜2.5．

点评：本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

14．（3分）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为32．

考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．

专题：规律型．

分析：根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及

A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．

解答：解：∵△A1B1A2是等边三角形，

∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，

∴∠2=120°，

∵∠MON=30°，

∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，

又∵∠3=60°，

∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，

∵∠MON=∠1=30°，

∴OA1=A1B1=1，

∴A2B1=1，

∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，

∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，

∵∠4=∠12=60°，

∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，

∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，

∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，

∴A3B3=4B1A2=4，

A4B4=8B1A2=8，

A5B5=16B1A2=16，

以此类推：A6B6=32B1A2=32．

故答案是：32．

点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出

A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题关键．

三、（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

15．（5分）作图题

（1）如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将△ABC向下平移4个单位，得到△A′B′C′，再把△A′B′C′绕点C′顺时针旋转90°，得到△A″B″C″请你画出△A′B′C′和△A″B″C′（不要求写画法）．

（2）如图，已知点O和△ABC，试画出与△ABC关于点O成中心对称的图形．

考点：作图-旋转变换．

专题：作图题．

分析：（1）得到平移后，旋转后的三角形的三个顶点，依次连接即可；

（2）延长AO到A′，使OA′=AO，同法得到其余点的对应点，顺次连接即可．

解答：解：（1）

；

（2）△A′B′C′就是所求作的三角形．

点评：综合考查了图形的平移，旋转，中心对称；根据不同的变换要求得到各关键点是解决本题的关键．

16．（5分）解不等式，并把解集表示在数轴上．

考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．

专题：计算题；数形结合．

分析：运用去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1的方法解不等式，然后把解集表示在数轴上．

解答：解：将原不等式去分母得，

x﹣1≤3（5﹣x）

去括号得：x﹣1≤15﹣3x

移项得：x+3x≤15+1

合并同类项得：4x≤16

系数化为1得：x≤4

这个不等式的解集在数轴上表示：

点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．

解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．

四．（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

17．（6分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB 于点E．若∠B=30°，CD=1，求BD的长．

考点：含30度角的直角三角形；角平分线的性质．

分析：根据角平分线性质求出CD的长和∠DAE的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出BD即可．

解答：解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，

∴CD=DE=1，

∵∠B=30°，

∴BD=2DE=2，

故答案为：2．

点评：本题考查了对含30度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用，求出DE的长是解此题的关键．

18．（6分）解不等式组：．

考点：解一元一次不等式组．

专题：计算题．

分析：先分别解两个不等式得到x＞﹣2和，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集．

解答：解：，

解不等式①得x＞﹣2，

解不等式②得，

原不等式组的解集为﹣2＜x≤．

点评：本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．

五．（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

19．（8分）已知x=3是关于x的不等式的解，求a的取值范围．

考点：不等式的解集．

专题：压轴题．

分析：先根据不等式的解的定义，将x=3代入不等式，得到9﹣＞2，解此不等式，即可求出a的取值范围．

解答：解：∵x=3是关于x的不等式的解，

∴3×3﹣＞，

整理得3a＜12，

解得a＜4．

故a的取值范围是a＜4．

点评：本题考查了不等式的解的定义及一元一次不等式的解法，比较简单，根据不等式的解的定义得出9﹣＞2是解题的关键．

20．（8分）如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE．求证：FD=BE．

考点：全等三角形的判定与性质；中心对称．

专题：证明题；压轴题．

分析：根据中心对称得出OB=OD，OA=OC，求出OF=OE，根据SAS推出△DOF≌△BOE 即可．

解答：证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，

∴OB=OD，OA=OC，

∵AF=CE，

∴OF=OE，

∵在△DOF和△BOE中

∴△DOF≌△BOE（SAS），

∴FD=BE．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，中心对称的应用，主要考查学生的推理能力．

六．（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．（9分）已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD．求证：D 在∠BAC的平分线上．

考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．

专题：证明题．

分析：首先根据已知条件易证△BDE≌△CDF（AAS），则DE=DF，再由角平分线性质的逆定理可得D在∠BAC的平分线上．

解答：证明：在△BDE和△CDF中，

∵，

∴△BDE≌△CDF（AAS），

∴DE=DF，

又∵CE⊥AB，BF⊥AC，

∴D在∠BAC的平分线上．

点评：此题主要考查角平分线性质的逆定理，首先证明Rt△BDE≌Rt△CDF，是关键．

22．（9分）某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买3000千克以上（含3 000千克）的有两种销售方案．甲方案：每千克9元，由基地送货上门．乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费为5 000元．

（1）分别写出该公司的两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式．

（2）当购买量在什么范围内时，选择哪种方案付款较少？说明理由．

考点：一元一次不等式组的应用．

专题：应用题；压轴题；方案型．

分析：（1）甲方案的付款=甲水果单价×购买量，乙方案的付款=乙水果单价×购买量+运输费，根据这两个关系分别列式即可；

（2）将甲和乙的两种方案所需的付款数进行比较，从而确定购买量的范围．

解答：解：（1）y甲=9x（x≥3000），y乙=8x+5000（x≥3000）．

（2）当y甲=y乙时，即9x=8x+5000，

解得x=5000．

∴当x=5000千克时，两种付款一样．

当y甲＜y乙时，有

解得3000≤x＜5000．

∴当3000≤x＜5000时，选择甲种方案付款少．

当y甲＞y乙时，有x＞5000，

∴当x＞5000千克时，选择乙种方案付款少．

方法二：图象法

作出它们的函数图象（如图）

由函数图象可得，当购买量大于或等于3000千克且小于5000千克时，选择甲方案付款最少；当购买量等于5000千克时，两种方案付款一样；

当购买量大于5000千克时，选择乙方案付款最少．

点评：解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，及所求量的等量关系．要会用分类的思想来讨论求得方案的问题．本题要注意根据y甲=y乙，y甲＜y乙，y甲＞y乙，三种情况分别讨论，也可用图象法求解．

七．（本大题共2题，第23题10分，第24题12分，共22分）

23．（10分）小杰到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多（设为a人，a ＞8），就站在A窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人．

（1）此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少？（用含a的代数式表示）

（2）此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队，且到达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少，求a的取值范围．（不考虑其它因素）

考点：一元一次不等式的应用．

专题：应用题．

分析：（1）根据题意直接列式即可；

（2）根据“达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少”列不等式得求解即可．

解答：解：（1）他继续在A窗口排队到达窗口所花的时间为，即为（分）．

（2）由题意，得，

整理得：3a﹣24＞2a﹣4，

解得a＞20．

∴a的取值范围为a＞20．

点评：考查正确列代数式、不等式解决问题的能力．本题主要考查不等式知识，考查学生的应用能力，试题与实际生活的关系较紧密，有一定的能力要求．

24．（12分）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．

（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m 上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试证明FD=FE．

考点：全等三角形的判定与性质．

分析：（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；（2）由∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°就可以求出∠BAD=∠ACE，进而由AAS就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD=AE，DA=CE而得出结论；

（3）由等边三角形的性质就可以求出∠BAC=120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD=AE，进而得出△BDF≌△AEF，得出DF=EF．

解答：证明：（1）∵BD⊥DE，CE⊥DE，

∴∠BDA=∠CEA=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠CAE，

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，CE=DA，

∴DE=AE+DA=BD+CE；

（2）DE=BD+CE成立．

理由：∵∠BDA=∠BAC=90°，

∴∠DBA+∠DAB=∠CAE+∠DAB=60°，

∴∠DBA=∠CAE．

在△BAD和△ACE中

，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE=BD，AD=CE