注册公用设备工程师 公共基础理论力学

理论力学

第一节静力学

静力学是研究物体在力作用下的平衡规律的科学。所谓平衡，一般是指物体相对于地面保持静止或匀速直线运动状态。使物体保持平衡的作用力系称为平衡力系。

一、静力学基本概念

（一）力的概念

力是物体间的相互作用，这种作用使物体的运动状态或物体的形状发生改变，前者称为力的外效应，后者称为力的内效应。理论力学只讨论力的外效应。

力对物体的效应取决于力的大小、力的方向和力的作用点，因而力是一矢量。

集中力的单位是N(牛顿)或kN(千牛)。

（二）刚体

所谓刚体，就是在力的作用下不变形的物体。在静力学中，所研究的物体都是指刚体。

（三）静力学公理

公理一二力平衡公理

作用在同一刚体上的两个力，使刚体平衡的必要和充分条件是：这两个力等值、共线、反向。受两力作用而平衡的构件或直杆分别称为二力构件或二力杆。

公理二加减平衡力系公理

在作用于刚体上的任意一个力系中，加上或去掉任何一个平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。

应用公理一与公理二可以得出一个推论，力的可传性；作用于刚体上的力可沿其作用线移动，而不改变该力对刚体的效应。故作用于刚体上力的三要素可表述为：力的大小、作用线和指向。因而，力矢是滑动矢量。

公理三力的平行四边形法则

作用于物体上同一点的两个力，可以合成为作用于该点的一个合力，它的大小和方向由这两个力的矢量为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示(图4—1—1a)。亦可用图4—1—1b所示的力三角形ABC表示，并将其称为力三角形法则。合力R与分力F1、F2的矢量表达式为

R=F1+F2

公理四作用与反作用定律

两物体间相互作用的一对力，总是等值、反向、共线，并分别作用在这两个物体上。

公理五刚化原理

当变形体在已知力系作用下处于平衡时，若将此变形体转换成为刚体，则其平衡状态不变。此公理表明，刚体静力学的平衡条件是变形体平衡的必要条件，而非是充分条件。

（四）三力平衡定理

一刚体受不平行的三力作用而处于平衡时，此三力的作用线必共面且汇交于一点。

应当指出，三力作用线共面且汇交于一点，此仅是不平行的三力平衡的必要条件而不是充分条件。

（五）约束与约束反力

阻碍物体运动的限制物称为约束。约束对被限制物的作用力称为约束反力，简称反力。约束反力以外的其他力统称为主动力。约束反力的方向恒与约束所能阻止的物体的运动或运动趋势的方向相反。表4—1—1列出了工程中常见的几种基本约束类型及其约束反力。

（六）受力图

受力图是分析研究对象全部受力情况的简图。其步骤：首先取脱离体，其次画上全部主动力和约束反力。对于方向不能确定的约束反力如铰链约束，有时可利用平衡条件来判断。

画受力图时，应注意复铰(两个以上物体用圆柱销相连接)、作用于铰处的集中力和作用于相邻两刚体上的线分布力等情况的处理方法。

二、力的投影·力对点之矩与力对轴之矩

力在直角坐标轴上的投影

X＝Fcosα＝FxyCOSφ

Y=Fcosβ= FxySINφ

Z=Fcosγ

式中α,β,γ为力F与各轴正向间的夹角；Fxy是力F在OXY平面上的投影(图4-1-2)是个矢量；角φ为Fxy与X轴正向间的夹角。

若将力F沿直角坐标轴分解，则有

F=F X+F Y+F Z=Xi+Yj+Zk

（二）力对点之矩(简称力矩)

在平面中，力对点之矩是个代数量，即

m o(F)=±Fd

点O称为矩心，d为力臂。通常规定力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩取正号；反之取负号。

在空间问题中，力对点之矩是个定位矢(图4—1—3)，其表达式为

m o(F)=r×F

=(yZ-zY)i+(zX-xZ)j+(xY-yX)k

力矩的单位为N·m(牛·米)或kN·m(千牛·米)。

（三）力对轴之矩

力对任一z轴之矩是一代数量，其表达式为

M z(F)=m o(F xy)= ±F xy d

式中正、负号用右手法则确定(图4-1-4)。显然，当力F与矩轴Z共面(包括平行或相交)时，力对该轴之矩等于零。力对轴之矩的单位与力矩相同。

若取矩心O为直角坐标系的原点，则力对点O之矩可由力对轴之矩来计算，即

m o(F xy)= m x(F)i+ m y(F)j+ m z(F)k

汇交力系的合成与平衡

汇交力系合成结果有两种可能：其—，是一个合力R，合力矢为

R=∑F i

合力作用线通过汇交力系的汇交点；其二，合力R等于零，即

R=0 或∑F i=0

这是汇交力系平衡的必要与充分条件。

求解汇交力系的合成与平衡问题各有两种方法，即几何法和解析法，如表4—1—2所示。对于空间汇交力系，由于作图不方便，一般都采用解析法。

表4—1—2 求解汇交力系的两种方法

合力R 平衡条件R=0

几何法R的大小和方位由力多边形的封闭

原力系构成的力多边形自行封闭

边决定，指向是首力的始端至末力

的终端

解

析

法

平面R=(∑Xi)i+(∑Yj)j ∑Xi=0

∑Yj=0

有两个独立方程，可解两个未知量空间R=(∑Xi)i+(∑Yj)j+(∑Zk)K ∑Xi=0

∑Yj=0

∑Zk=0

有三个独立方程，可解三个未知量

四、力偶理论

（一）力偶

两个等值、反向、不共线的平行力组成的力系称为力偶，记为(F、F’)。力偶只能引起物体的转动而不能使物体移动，力偶中两个力对任一根轴的投影之和恒等于零。由此可知，力偶没有合力。既不能与一个力等效，也不能与一个力相平衡。力偶只能与力偶等效或相平衡。

（二）力偶矩

力偶的转动效应决定于力偶矩，它的计算如表4—1—3所述。

表中，F为组成力偶的力的大小，d为力偶中两力作用线间的垂直距离，并称为力偶臂。力偶矩的单位为N·m(牛·米)或kN·m(千牛·米)。

应当注意，力偶矩矢与矩心位置无关，这一点与力对点之矩是不同的。

综上可知，两个力偶等效条件是该两力偶矩矢相等。由此等效条件可以得出下列两个推论。

推论1：只要保持力偶矩矢不变，力偶可在其作用面内任意移转，或从刚体的一个平面移到另一个平行平面内，而不改变其对刚体的转动效应。

推论2：在保持力偶矩大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶的力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对刚体的转动效应。

（三）力偶系的合成与平衡

力偶系合成结果有两种可能，即为一个合力偶或为平衡。具体计算时，通常采用解析法，如表4-1-4所述。

表中，m ix、m iy、m iz分别为力偶矩矢Mi在相应坐标轴上的投影。

可以证明，力偶中两个力F和F’，对任一x轴之矩的和等于该力偶矩矢m在同一根轴上的投影，即

式中α为m与x轴正向间的夹角。

五、任意力系的合成与平衡

（一）力线平移定理

力线平移定理：作用于刚体上的力F，可以平移到刚体上的任意点O，但必须在此力线与O所决定的平面内附加一力偶，此力偶矩矢的大小与方向等于力F对O点的矩矢，即m＝mo(F)，如图4-1-9所示。图中F＝F’＝F’’。

显然，同平面的一个力F’和一个力偶矩矢为m的力偶也一定能合成一个力，其力矢F=F’，力F的作用点到力F’作用线的距离为

d=m/F’

力线平移定理是任意力系简化的理论依据。

（二）任意力系的合成

1．合成的一般结果

以O点为简化中心，任意力系合成的一般结果为

力矢R’称为原力系的主矢，它的大小和方向与简化中心位置无关；力偶矩矢M0(或力偶矩M0)称为原力系对简化中心O点的主矩，一般地说与简化中心位置有关。

2．合成的最后结果

任意力系(包括空间和平面)向一点简化后，其最后合成结果可能出现表4—1—5所列出的几种情况.

表中，中心轴是指组成力螺旋的力的作用线。

因平面任意力系是空间任意力系的特殊情况，其向O点简化的主矩可视为垂直于力系作用平面的一个主矩矢，因此上表4-1-5(除力螺旋外)所述亦可适用于平面任意力系。

当任意力系合成为一合力R时，则有

即合力对任一点(或任一轴如z轴)之矩，等于力系中各力对同一点(或同一轴)之矩的矢量和(或代数和)，并称之为合力矩定理。对于平面力系，合力矩定理可表示为

在计算力对坐标轴之矩时，应用合力矩定理，常可使计算简化。这时，可先将原力沿坐标轴分解为三个分力，然后计算各分力对坐标轴之矩。

由于平行力系是任意力系的特殊情况，故任意力系的合成结果也适用于平行力系。

（三）力系的平衡条件与平衡方程

任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢与力系对任一点的主矩都等于零，即

据此得出表4—1-6所列出的各组平衡方程。但应当指出，在空间任意力系和空间平行力系的平衡方程组中，其投影方程亦可用对轴的力矩方程来替代。当然，该力矩方程必须是独立的平衡方程，即可用它来求解未知量的平衡方程。

3．平行分布的线荷载的合成

沿物体中心线分布的平行力，称为平行分布线荷载，简称线荷载。沿单位长度分布的线荷载称为线荷载集度，以q表示。其单位为N／m(牛／米)或kN／m(千牛／米)。

同向线荷载合成结果为一合力R，该合力的大小和作用线位置可通过求积分的方法和合力矩定理求得。

均匀分布和线性分布的线荷载的合成结果如图4—1—10所示。

六、物体系统的平衡

（一）静定与静不定问题

若未知量的数目等于独立平衡方程的数目，则应用刚体静力学的理论，就可以求得全部未知量，这样的问题称为静定问题，如图4-1-11a。若未知量的数目超过独立平衡方程的数目，则单独应用刚体静力学的理

论就不能求出全部未知量，这样的问题称为静不定问题，如图4—1—11b。

（二）物体系统平衡问题的解法和步骤

1．判断物体系统是否属于静定系统。

物体系统是否静定，仅取决于系统内各物体所具有的独立平衡方程的个数以及系统未知量的总数，而不能由系统中某个研究对象来判断系统是否静定。若由n个物体组成的静定系统，且在平面任意力系作用下平衡，则该系统总共可列出3n个独立平衡方程以解出3n个未知量。当然，若系统中某些物体受其他力系作用时，则其独立平衡方程数以及所能求出的未知量数均将相应变化。

2．选取研究对象的先后次序的原则是便于求解。根据已知条件和待求量，可以选取整个系统为研究对象，也可以是其中的某些部分或某一物体为研究对象；

3．分析研究对象的受力情况并画出受力图。在受力图上只画外力而不画内力。在各物体的拆开处，物体间的相互作用力必须符合作用与反作用定律。画物体系统中某研究对象的受力图时，不能将作用在系统中其他部分上的力传递、移动和合成。

4．列出平衡方程。平衡方程要根据物体所作用的力系类型列出，不能多列。为了避免解联立方程，应妥当地选取投影轴和矩轴(或矩心)。投影轴应尽量选取与力系中多数未知力的作用线垂直；而矩轴应使其与更多的未知力共面(矩心应选在多数未知力的交点上)。力求做到一个平衡方程中只包含一个未知量。

5．由平衡方程解出未知量。若求得的约束反力或反力偶为负值。说明力的指向或力偶的转向与受力图中假设相反。若用它代入另一方程求解其他未知量时，应连同其负号一起代入。

6．利用不独立平衡方程进行校核。

（三）例题

有一刚架，所受荷载及支承情况如图 4 -1-12 ( a ）所示，试求支座 A 及B 处的反力。

【解】画出刚架的示力图如图4-1-12b 。图中已将铰支座 A 处的反力分解成为水平的及铅直的分力X A、Y A , 所有反力的指向都是假设的。

本题中有一个力偶荷载。由力偶的性质可知（l ）因力偶的两个力大小相等，方向相反，两个力的投影之和为零，故写投影方程时不必考虑力偶。（2）力偶对于任一点的矩都等于力偶矩，故写力矩方程时，可直接将力偶矩m 列人。

首先以A 点为矩心，写力矩方程

由此得

然后以水平方向为x轴，铅直方向为y轴，写投影方程

于是得

梁的一端牢固地插入墙内，另一端悬空，如图4-1-14 。这样的梁称为悬臂梁，插入墙内的一端称为插入端或固定端.设梁上受集度为q 的匀布荷载，并在 B 端受一集中力P 。试求A 端的约束力.

【解】

现在回到图4-1-14 所示的悬臂梁。作梁AB 的示力图如图4-1-16 。为了下面计算方便，首先将梁上的匀布荷载合成为一个合力Q , Q 的大小为Q = q l，方向与匀布荷载方向相同，作用点在AB 的中点。由梁的平衡条件得到三个平衡方程:

将Q= q l代人，解得

图所示为一三铰刚架，其顶部受沿水平方向均匀分布的铅垂荷载的作用，荷载集度为Q=8kN／m。已知：l=12m；h=6m；a=2m，求支座A、B的的反力。刚架自重不计。

【解】以整体为研究对象，受力图如图4—1—126所示。列平衡方程为

取BC部分为研究对象，受力图如图4—1—12b所示。列平衡方程为

负号表示XB的指向与图中假设相反。

再以整体为对象，列平衡方程

物重Q=12kN，由三杆AB、BC和CE所组成的构架及滑轮E支持，如图4—1—13a所示。已知：AD=DB=2m，CD=DE=1．5m。不计杆及滑轮的重量，求支座A和B的反力以及BC杆的内力。

[解] 以整体为对象，其受力图如图4-1-13^所示。设滑轮半径为r，则有

（四）平面桁架

1．定义

由若干直杆在两端用铰链彼此连接而成的几何形状不变的结构称为桁架。杆件与杆件的连接点称为节点。所有杆件的轴线在同一平面内的桁架称平面桁架，否则称为空间桁架。

2．对于桁架的分析计算作如下假设：

(1)各杆件都用光滑铰链连接。

(2)各杆件都是直杆。

(3)杆件所受的外荷载都作用在节点上。对于平面桁架各力作用线都在桁架平面内。

(4)各杆件的自重或略去不计，或平均分配到杆件两端的节点上。

根据以上假设，桁架中各杆件都是二力杆，只受到轴向力作用，受拉或者受压。

平面桁架内力计算方法

表4-1-7

节点法截面法

对象取节点为研究对象将桁架沿某个面(不限

于平面)截出一部分取为研

究对象

平衡方程应用平面汇交力系平衡

方程

应用平面力系平衡方程

3．平面桁架内力的计算方法

分析桁架的目的就在于确定各杆件的内力，通常有两种计算内力的方法，如表4—1—7所述。当需要计算桁架中全部杆件的内力时，可采用节点法；若仅计算桁架中某几根杆件的内力，一般以截面法较为方便，但有时也可综合应用节点法和截面法。在计算中，习惯将各杆件的内力假设成拉力。若所得结果为正值，说明杆件是拉杆，反之则为压杆。

为简化计算，一般先要判别桁架中的零杆(内力为零的杆件)，对于图4—1—20所示的三种情况，零杆可以直接判断出来。

（五）例题

求桁架(图4—1—2la)中杆AC、CD、DE和EG的内力。

首先观察分析零杆。由图4—1—2la可知，杆HE、FC和FG为零杆。

其次用截面法求GE、CD、CA杆的内力。

作截面如图4—1—2la所示。取上半部为研究对象，画受力图如图4—1—2lb所示。

平衡方程

再次，用节点法求DE杆的内力。取节点F为研究对象，其受力图如图4 －1—21c所示。有

七、滑动摩擦

当两个相互接触的物体有相对滑动或有相对滑动趋势时，彼此间存在着阻碍滑动的机械作用，这种机械作用称为滑动摩擦力，这种现象称为滑动摩擦。

（一）静滑动摩擦力(简称静摩擦力)

静摩擦力是相互接触的两物体间具有相对滑动趋势时的摩擦力。即是阻止物体相对滑动的切向约束反力，它的方向与物体相对滑动趋势的方向相反，大小由平衡条件确定。但静摩擦力F的大小是在一定的范围内变化。即

0≤F≤F m

这是与其他约束反力不同之处。

最大静摩擦力Fm的大小由静摩擦定律决定，即

F m=f’N

式中f’为静摩擦系数，N为接触处的法向反力的大小。最大静摩擦力Fm存在于物体处于将动未动的临界状态。

（二）动滑动摩擦力(简称动摩擦力)

动摩擦力F’是相互接触的两物体间，具有相对滑动时的摩擦力。它的方向与物体相对滑动方向相反，

大小由动摩擦定律决定，即

F’=f’N

式中f'为动摩擦系数，N为接触处的法向反力的大小。一般情况下，系数f’略小于系数f。

（三）摩擦角与自锁现象

当存在摩擦时，支承面对平衡物体的反力是包括法向反力N和静摩擦力F，这两个力的合力R称为支承面对物体作用的全约束反力，简称全反力，如图4—1—23a所示。

当静摩擦力达到最大值时，全反力与支承面法线间的夹角φm称为摩擦角(图4—1—23b)。由图4－1—23b可知

即摩擦角的正切等于静摩擦系数。由于物体平衡时，静摩擦力F总是小于或等于最大摩擦力，因此，全反力与法向反力的夹角φ也总是小于或等于摩擦角φm，即

由上述可知，若作用于物体上的主动力的合力S，其作用线在摩擦角φm之外时，即θ>φm时(图4—1—24a)，则全反力R就不可能与S共线，从而它们不可能平衡，于是物体将发生滑动。反之，若主动力的合力S的作用线在摩擦角φm之内时，即口θ<φm时(图4—1—24b)，则无论主动力S多大，只要支承面不被压坏，S总可以与R相平衡，因而物体将保持不动。这种只须主动力的合力作用线在摩擦角的范围内，物体依靠摩擦总能静止，而与主动力大小无关的现象称为自锁。显然，若θ=φm (图4—1—24c)，则物体处于临界平衡状态。

（四）考虑滑动摩擦时物体的平衡问题

求解有摩擦时物体的平衡问题与不计摩擦时物体的平衡问题二者之间有共同点，即作用在物体上的力系都要满足力系的平衡条件。但考虑摩擦的平衡问题，也有其特殊点：

1．摩擦力的大小由平衡条件确定，同时应与最大摩擦力Fm比较。若F≤Fm，则物体平衡；否则，物体不平衡。

2，在临界状态下，摩擦力为最大值Fm，且应该满足Fm=fN的关系式。

3．由于摩擦力的大小在一定范围内变化，即o≤F≤Fm，因此物体的平衡位置或物体所受的力也有一个范围，称为平衡范围。为避免解不等式，往往假设物体处于临界状态。

4．摩擦力的方向总是与物体的相对滑动或相对滑动的趋势方向相反。当物体尚未达到临界状态时，摩擦力是未知的，如其指向无法预先判断，则可以假定；当物体到达临界状态时，其指向与相对滑动趋势的方向相反，不能任意假定。

（五）例题

?的斜面上（图4 -1-42a ) ，另加一水平力P 使物块保持静重Q 的物块放在倾角 a 大于摩擦角

m

止．求P 的最小值与最大值. 设摩擦系数为f

?，如P太小则物块将下滑；如P过大，又将使物块上滑，所以需要分两种情形【解】因 a ＞

m

加以讨论。

先求恰能维持物块不致下滑所需的P的最小值P min。这时物块有下滑的趋势，所以

摩擦力向上，如图4-1-42 〔b 〕。

写出平衡方程：

由式（b ）得

将F L1 = fN1及（c ）代人（a ）式，得

?，代人上式，得

又 f = tg

m

其次，求不致使物块向上滑动的P 的最大值P max 。这时摩擦力向下，如图c 。写出平衡方程:

由式（f ）解出N2 ，并将F12 = f N2代人式（e ) ，即得

从上面分析计算可见，使物块保持静止应加的水平力P 为

八、重心

无论将物体怎样放置，重力的作用线总是通过物体上一个确定的点，称此点为物体的重心。

（一）物体的重心坐标公式

式中x c，y c、z c和x i、y i、z i分别表示物体和任一微小部分的重心的坐标；ω和ωi分别表示物体和任一微小部分的重量。

若以r c表示物体重心C对坐标原点O的矢径，以r i表示任一微小部分的重心对坐标原点O的矢径，则物体重心的坐标公式可表示为矢量形式，即

（二）均质物体的重心的坐标公式

均质物体的重心也就是该物体的几何形体的形心，其重心C的坐标公式如表4—1—8各式所列。

应当注意，在表4—1—8各式中的x i、y i、z i或x、y、z均表示相应的微小单元重心的坐标，根据所取的坐标系，它们可以是正值，也可以是负值。

物体的重心表4—1—8

（三）确定物体重心位置的方法

1．对称判别法

当均质物体具有对称面或对称轴或对称中心时，该物体的重心就在该对称面或对称轴或对称中心上。

2．积分法

当物体的形状易于用坐标的函数关系式表达时，该物体的重心坐标可用积分方法得到。

3．分割法

若均质物体是由几个简单形状的物体组成，则可选用表4—1—8所列的有限形式的坐标公式求得该物体的重心位置。

4．负面积法(或负体积法)

有些复杂形状的均质物体，可以看作为从某个简单形状物体中挖去一部分而成，则只要把被挖去的面积或体积取为负值，同样可以用分割法求该物体的重心位置。

（四）例题

【例4—1－6】求图4—1—32中所示的均质薄板的重心，已知e＝40cm，R1＝l0cm，R2=5cm，b=30cm。

[解] 取坐标轴如图示。因x轴是对称轴，故该薄板的重心必在x轴上，即yc=0。将板看作是由一个矩形板与一个半圆形板组合后挖去一个圆孔而成。则该均质薄板的重心坐标为

第二节运动学

运动学只研究运动的几何性质，包括物体在空间的位置随时间变化的规律、物体的运动轨迹、速度和加速度等，而不涉及运动与作用力、质量等之间的关系。

在研究某一物体运动时，必须选择一个参考体。在参考体上固结的坐标系称为参考坐标系或参考系。在大多数工程实际中，一般将固结于地球上的坐标系作为参考系。以后，如不加特别说明，就以此作为描述物体运动的参考系。

由于在运动学中不涉及到物体的质量，所以根据研究问题的性质将物体简化为点和刚体两种模型。所谓点是指不计大小和质量的几何点。而刚体是由无数个点组成的不变形的物体。

一、点的运动

点的运动是研究点相对于某一选定参考系的运动规律，包括点的运动方程、轨迹、速度和加速度等。描述点的运动有矢量法、直角坐标法和自然法等。矢量法常用于理论推导，具体计算时一般采用直角坐标法和自然法。通常。点的运动轨迹已知时，采用自然法；点的运动轨迹未知时，采用直角坐标法。

（一）点的运动的矢量法