2020高考数学 全国各地模拟试题分类汇编8 平面向量 理
2020全国各地模拟分类汇编理：平面向量
【浙江省宁波四中2020届高三上学期第三次月考理】已知向量的模为1，且b a ,满足
2||,4||=+=-b a b a ，则b 在a 方向上的投影等于___________
【答案】3-
【四川省南充高中2020届高三第一次月考理】已知a ρ、b ρ
均为单位向量，它们的夹角为60°，
那么=+b a ρ
ρ3（ ）
A ．7
B ．10
C ． 13
D ．4 【答案】C
【四川省成都市双流中学2020届高三9月月考理】已知()()3,1,2,a b λ==r r
，若//a b r r ，则
实数λ的值为（ ） A ．23-
B ．32-
C ． 23
D ．32
【答案】C
【四川省德阳市2020届高三第一次诊断理】已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60?，那
么26a a b +?等于（ ）
A ．1+
B ．4
C ．3
D ．7
【答案】B
【陕西省长安一中2020届高三开学第一次考试理】若两个非零向量,a b r r
满足
2a b a b a +=-=r r r r r
，则向量a b +r r 与a b -r r 的夹角（ ）
A ．
6
π
B ．
4
π
C ．
23π D ．56π
【答案】C
【山东省临清三中2020届高三上学期学分认定理】已知向量a=(3,-1),b=(-1,m),c=(-1,2)，若(a+b)⊥c ，则m= . 【答案】2
【陕西省宝鸡中学
2020
届高三上学期月考理】已知
534
15
,0,,===
则与的夹角为（ ）
A ．6
5π
-
B ．6π
C ．6
π或65π
D ．65π
【答案】D
【陕西省宝鸡中学2020届高三上学期月考理】已知o 为平面内一定点,设条件p:动点M 满足
??
?
??++=→
→→
AC AB OA OM λ,λ∈R;条件q:点M 的轨迹通过△ABC 的重心．则条件p 是条
件q 的（ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【陕西省宝鸡中学2020届高三上学期月考理】已知,3,2,==⊥b a b a ρρ
ρρ且b a ρρ23+与b
a ρρ-λ垂直，则实数λ的值为 【答案】
2
3
【山东省冠县武训高中2020届高三二次质检理】如右图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )
A.AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r
B.BD AD AB =-u u u r u u u r u u u r
C.11AO AB AD 22=+u u u r u u u r u u u r
D.5AE AB AD 3
=+u u u r u u u r u u u r
【答案】D
【山东省冠县武训高中2020届高三二次质检理】在ABC ?中，AB 3,AC 2==，若O 为ABC
?内部的一点，且满足OA OB OC 0++=u u u r u u u r u u u r r ，则AO BC ?=u u u r u u u r
（ ）
A.12
B.25
C.1
3 D.14
【答案】C
① ③④安徽省六校教育研究会2020届高三联考】连续投掷两次骰子得到的点数分别为
n m ,，向量(,)a m n =r 与向量)0,1(=b ρ的夹角记为α，则α)4
,0(π
∈的概率为
（ ） （A ）
18
5 （B ）
12
5 （C ）
2
1 （D ）
12
7 【答案】B 【湖北省武昌区2020届高三年级元月调研】已知||1,||2,()a b a a b ==
⊥-且，
则向量a 与向量b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．45° C ．90° D ．135° 【答案】B
【浙江省杭州第十四中学2020届高三12月月考】若 △ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的
圆，且 3450OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则 OC AB ?u u u r u u u r
的值为
(A) 15- (B)
15 (C) 6
5
-
(D) 65
【答案】A
【甘肃省天水一中2020学年度第一学期高三第四阶段考】已知O 为ABC ?内一点，且
=++2,则AOC ?与ABC ?的面积比值是（ ）
A.
21 B. 31 C. 3
2
D. 1 【答案】A
【黑龙江省绥棱一中2020届高三理科期末】若向量0(1,2)A =-u u r ，0(3,4)B =-u u r ，则12
AB u u u r 等
于 （）
A (-2,3)
B (2,-3)
C (2,3)
D (-2,-3) 【答案】A
【北京市朝阳区2020届高三上学期期末考试】已知平面向量(3,1)=a ，(,3)x =b ，且a ⊥b ，则实数x 的值为 （）
A ．9
B ．1
C ．1-
D ． 9- 【答案】C
【北京市西城区 2020学年度第一学期期末】已知向量=a ，(0,2)=-b .若实数k 与向量c 满足2k +=a b c ，则c 可以是（ ）
（A ）1)-（B ）(1,-
（C ）(1)-（D ）(- 【答案】D
【安徽省六校教育研究会2020届高三联考】给出下列命题,其中正确的命题 是 （写出所有正确命题的编号．．）． ① 非零向量 a b r r 、
满足||||||a b a b ==-r r r r
，则a r 与a b +r r 的夹角为30o ； ② 已知非零向量 a b r r 、
，则“0a b ?>r r ”是“ a b r r
、的夹角为锐角”的充要条件； ③ 命题“在三棱锥O ABC -中，已知2OP xOA yOB OC =+-u u u r u u u r u u u r u u u r
，若点P 在ABC △所
在的平面内，则3x y +=”的否命题为真命题；
④ 若()()0AB AC AB AC +?-=u u u r u u u r u u u r u u u r
，则ABC △为等腰三角形．
【答案】 ① ③④
【黑龙江省绥棱一中2020届高三理科期末】设M 是△ABC 内一点，且AB AC ?=u u u r u u u r
030BAC ∠=，定义()(,,)f M m n p =，其中,,m n p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的
面积，若1()(,,)2f M x y =，则14
x y
+的最小值是 【答案】18
【西安市第一中学2020学年度第一学期期中】在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，
3,1AB BD ==，则AB AD ?=u u u r u u u r
。
【答案】
152
【北京市东城区2020学年度高三数第一学期期末】若非零向量a ，b 满足b a b a -==，则a 与b a +的夹角为 ． 【答案】ο30
【浙江省名校新高考研究联盟2020届第一次联考】
已知三点),3(),,2(),,1(321y C y B y A 不共线，其中i y {}9,8,7,6,5,4∈)3,2,1(=i . 若对ABC ?的内心I ，存在实数λ，使得IB IC IA ?=+λ，则这样的三角形共有 个. 【答案】30
【安徽省望江县2020届高三第三次月考理】已知平面上三点A 、B 、C 满足
AB CA CA BC BC AB CA BC AB ?+?+?===则,5||,4||,3||的值等于 （ ）
A ．25
B ．24
C.－25
D ．－24
【答案】C
【安徽省皖南八校2020届高三第二次联考理】设向量,a b v v 满足：3||2,,||222
a a
b a b =?=+=v v v v v
，
则||b v
等于
A 、
12 B 、1 C 、3
2
D 、2 【答案】B
【解析】 1,83422
2
2
2
=∴=++=+?+=+b b b b a a b a
【浙江省塘栖、瓶窑、余杭中学2020届高三上学期联考理】如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，
弦AC ＝5，则AO uuu r ·BC u u u r
的值（ ）
(A) －8 (B) －1 (C) 1 (D) 8 【答案】D
【2020湖北省武汉市部分学校学年高三新起点调研测试】在平等四边形ABCD 中，AC 与BD 交
于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F 。若AC u u u r ,,a BD b AF ==u u u r u u u r
则=
（ ）
A ．
1142
a b + B ．1
233
a b +
C ．
1124
a b + D ．
21
33
a b + 【答案】D
【2020湖北省武汉市部分学校学年高三新起点调研测试】已知向量,,a b c 满足
20,,||2,||1a b c a c a c -+=⊥==且，则|b|= 。
【答案】22
【湖北省部分重点中学2020届高三起点考试】已知(2,1)a =r
，b r ∥a r ，a r ·b r =10，则
b =r
.
【答案】52
【江苏省南京师大附中2020届高三12月检试题】在ABC △中，BD uuu r 2DC =u u u r
，
AD mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，则m
n
= ．
【答案】
12
【江苏省南通市2020届高三第一次调研测试】在△ABC 中，π6
A ∠=
，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合），且22||||AB AD BD DC =+?u u u r u u u r u u u r u u u r
，则B ∠等于 ．
【答案】
5π12
【上海市南汇中学2020届高三第一次考试(月考)】已知12,e e u r u u r
是平面上两上不共线的向量，向量12122,3a e e b me e =-=+r u r u u r r u r u u r
，若//a b r r ，则实数m= 。
【答案】6-
【上海市南汇中学2020届高三第一次考试(月考)】若ABC ?的面
积
,3,22ABC S AB BC ?∈?=??
u u u r u u u r 且则AB BC u u u r u u u r 与夹角的取值范围是（ ）
A ．[
,]32
ππ
B ．[
,]43
ππ
C ．[
,]64
ππ
D ．[
,]63
ππ
【答案】D
B 【湖北省武昌区2020
届高三年级元月调研】已知||1,||()a b a a b ==
⊥-且，则向量a
与向量b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．45° C ．90° D ．135° 【答案】B
【山东聊城市五校2020届高三上学期期末联考】在△ABC 中，
)3,2(),1,(,90==?=∠k C ，则k 的值是
（ ）
A ．5
B ．－5
C ．
23 D ．2
3- 【答案】A
【哈尔滨市六中
2020
学年度上学期期末】已知点G 是ABC ?重
心,),(R AC AB AG ∈+=μλμλ,若2,120-=?=∠AC AB A ο
,
的最小值是( )
A.
33 B.22 C.32 D.4
3 【答案】C
【江西省2020届十所重点中学第二次联考】已知△ABC ，D 为AB 边上一点，若
12,,3
AD DB CD CA CB λλ==+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
则（ ）
Ａ．23 Ｂ．13 Ｃ．13- Ｄ． 23
-
【答案】A
【慈溪中学2020学年高三数学期中测试】已知向量,,a b c r r r
满足
||2,||||,()()0a a b b a c b c =-=-?-=r r r r r r r r .若对每一确定的b r ，||c r
的最大值和最小值分别为m,n,则对任意b r
，m-n 的最小值是 （ ）
A ．
14 B ．12 C ．3
4
D ．1 【答案】D
【福建三明市普高2020学年第一学期联合测试】若平面向量a ()1,2－＝与向量b 的夹角是
0180,且|b |53＝,则b 的坐标是( )
A ．(3,-6)
B ．(-6,3)
C ．(6, -3)
D ．(-3, 6) 【答案】A
【辽宁省沈阳四校协作体2020届高三上学期12月月考】已知(0,1),)a b x ==u u r u r ,向量a
u u r
与b u r
的夹角为
3
π
,则x 的值为 ( )
A.3±
B.9± D.3 【答案】D
【辽宁省沈阳四校协作体2020届高三上学期12月月考】ABC ?的外接圆圆心为O ,半径为2，
=++,且||||=,向量 方向上的投影为
（ ）
A.3-
B.3-
C. 3
D.3 【答案】C
【江西省2020届十所重点中学第二次联考理】已知向量(2,3)=a ，(2,1)=-b ，则a 在b 方
向上的投影等于
【答案】-
【株洲市2020届高三质量统一检测】已知向量a ，b 满足|a | = 8，|b | = 6， a ·b = -24，则a 与b 的夹角为 【答案】
3
2π 【广东省江门市2020年普通高中高三调研测试】已知)1 , 3(1-=e ，)2
3
, 2
1(2=e ，若221)3(e t e ?-+=，21e t e k ?+?-=，若⊥，则实数k 和t 满足的一个关系式
是 ，t
t k 2
+的最小值为 ．
【答案】04)3(2
=--k t t ，4
7-
【银川一中2020届高三年级第二次月考】 设向量)cos ,1(),3,(sin x b x a -==，若b a ⊥，
)2
,0(π
∈x ，则=x .
【答案】
3
π 【山东聊城市五校2020届高三上学期期末联考】设a r ，b r ，c r 是单位向量，且a b c =+r r r
，则向量a r ，b r
的夹角等于 ．
【答案】o
60
【2020大庆铁人中学第一学期高三期末】设向量)cos 3,2(),3,sin 4(αα==，且∥，
则锐角α为______.
【答案】4π
【四川省成都外国语学校2020届高三12月月考】 已知平面向量)2,2(-=，)4,3(=，
?=?，则||的最小值是（ ）
A.2
B.2
C.2
1
D.22
【答案】D
【四川省成都外国语学校2020届高三12月月考】将函数1log 2-=x
y 的图象按向量a 平移后得到函数2log )]
3(4[2
+=-x y 的图象，则=（ ）
A.=(3,5)
B.=(3-,5)
C.=(3-,2)
D.=(3-,2-) 【答案】A
【江西省上饶县中学2020届高三上学期第三次半月考】已知ABC ?，D 是BC 边上的一点，
4||,2||,==?
???=λ， 若记b AC a AB ρρ==,，则用b a ρ
ρ,表示所得的结果为（ ）
A ．b a ρ
ρ2121-
B ．b a ρ
ρ3131-
C ．b a ρρ3131+-
D ．b a ρ
ρ3
121+
【答案】C
【江西省上饶县中学2020届高三上学期第三次半月考】设(2,4),(1,1)a b ==r r
，若
()b a mb ⊥+r r r
，则实数m = ．－3
【答案】3-
【山东省冠县武训高中2020届高三二次质检理】（本小题满分12分）
在ABC ?
中，若向量m (sin A sin B sin C),n A sin C,sin A sin B)=--=-+u u r r 且m u u r 与n r
共线 （1）求角B ； （2）若3
sin A 5
=
，求cosC 的值. 【答案】（1）依题意得
22sin A sin B sin(A A sin C)-=+-
2Asin C sin C -，
由正弦定理得：222a b c -=-，
222a c b ∴+-=
由余弦定理知：222a c b cos B B 2ac 4π
+-==∴=.
（2
）∵3sin A ,sin A A B 5=∴<∴<
又4
B ,A ,cos A 4
4
5
ππ=
∴<
∴=
， ∴
cosC=333cos(
A)cos cos A sin sin A 444πππ-=+=【陕西省宝鸡中学2020届高三上学期月考理】（本小题12分）已知向量
()()1,cos ,2,sin θθ=-=．
（1）若‖，求θtan ；
（2）当???
??
?-∈3,12ππθ时，求)(b a f -?=θ的最值。
【答案】解析：（1）由a ‖b 得θθcos 2sin -=，所以2tan -=θ
（2）[]
1)cos (sin 22cos sin )(2
++--?=θθθθθf =62sin 2
3
--
θ Θ??????-∈3,12ππθ ??????-∈∴32,62ππθ ∴)(θf 的最大值421-
，最小值2
15
- 【江西省上饶县中学2020届高三上学期第三次半月考】（本题满分12分）
已知向量(cos ,sin )OA λαλα=u u u r
(0)λ≠，(sin ,cos )OB ββ=-u u u r
，其中O 为坐标原点。
（1）若6
π
αβ-=
且1λ=求向量OA u u u r 与OB uuu r
的夹角；
（2）若2AB OB ≥u u u r u u u r
对任意实数,αβ都成立，求实数λ的取值范围。
【答案】解: （1）当1=λ时，向量u u u r
OA 与u u u r OB 的夹角3π
；
（2）2≥||||
u u u r u u u r AB OB 对任意的,αβ恒成立，即22(cos sin )(sin cos )4λαβλαβ++-≥对任意
的,αβ恒成立，即2
12sin()4λλβα++-≥对任意的,αβ恒成立，所以
{{2
2
00214214λλλλλλ><-+≥++≥或，解得33λλ≥≤-或，所求的实数的取值范围是33λλ≥≤-或.
【安徽省皖南八校2020届高三第二次联考理】（本题满分13分）已知椭圆C ：2214
x y +=，
直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，0OA OB ?=u u u v u u u v
（其中O 为坐标原点）。
（1） 试探究：点O 到直线AB 的距离是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由； （2） 求||||OA OB ?的最小值。
【答案】（Ⅰ）点O 到直线AB 的距离是定值. 设1122(,),(,)A x y B x y ，
①当直线AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性可知，12x x =，12y y =-.
∵0OA OB ?=u u u r u u u r ，即12120x x y y +=，也就是22
110x y -=，代入椭圆方程解得：
11||||x y ==
. 此时点O 到直线AB
的距离1||5
d x ==
. ………………………2分 ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，
与椭圆:C 2
214
x y +=联立， 消去y 得：2
2
2
(14)8440k x kmx m +++-=，
122
814km
x x k
+=-+，21224414m x x k -=+， ………………………3分 因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，
所以22
1212(1)()0k x x km x x m ++++=， ………………………4分
代入得：222
2
222
448(1)01414m k m k m k k
-+-+=++， 整理得22
54(1)m k =+， ………………………5分
O 到直线AB
的距离5
d =
=
. 综上所述，点O 到直线AB
. ………………………6分 （Ⅱ）（法一：参数法）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线OA 的斜率为(0)k k ≠，则OA 的方程为y kx =，OB 的方程为1
y x k
=-
， 解方程组2
2
1
4y kx x y =???+=??，得2
122212414414x k k y k ?=??+??=?+?， 同理可求得2
222222444444k x k y k ?=??+??=?+?
，
故
12
||
OA OB x x
?==9分
令2
1(1)
k t t
+=>
，则OA OB
?==，
令2
2
991125
()49()(1)
24
g t t
t t t
=-++=--+>，所以
25
4()
4
g t
<≤，即
8
2
5
OA OB
≤?<………………………………………………………………11分
当0
k=时，可求得2
OA OB
?=，故
8
2
5
OA OB
≤?≤，故OA OB
?的最小值为
8
5
，
最大值为2. ……………………………………………………………………13分
法二：（均值不等式法）由（Ⅰ）可知，O到直线AB
的距离d==.
在Rt OAB
?
中，d=
=，
即222
4
(||||)(||||)
5
OA OB OA OB
?=+，………………………9分
而22
||||2||||
OA OB OA OB
+≥?（当且仅当||||
OA OB
=时取等号）
代入上式可得：222
48
(||||)(||||)||||
55
OA OB OA OB OA OB
?=+≥?，
即
8
||||
5
OA OB
?≥，（当且仅当||||
OA OB
=时取等号）. ………………11分
故OA OB
?的最小值为
8
5
. (13)
分
法三：（三角函数法）由（Ⅰ）可知，如图，在Rt OAB
?中，点O到直
线AB
的距离||
OH=
设OAHθ
∠=，则BOHθ
∠=，故
||
||
sin
OH
OA
θ
=，
||
||
cos
OH
OB
θ
=.……
9分
所以，
2
8
||5
||||
sin cos sin2
OH
OA OB
θθθ
?==，…………11分
显然，当2
2
π
θ=，即
4
π
θ=时，OA OB
?取得最小值，最小值为
8
5
. …………13分
H B
A
高考数学试题分类汇编集合理
2013年全国高考理科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集 {}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则 ()=U A B ( ) A.{}134， ， B.{}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则 A.()01， B.(]02， C.()1,2 D.(]12， 【答案】D 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.* ,A N B N == B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C.{|01},A x x B R =<<= D.,A Z B Q == 【答案】D 5 ．（2013 年高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合 {|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9 【答案】C
历年高考数学试题分类汇编
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
高考数学试题分类大全
2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲.................................................................................................................................
2020年高考数学模拟试卷汇编：专题4 立体几何(含答案解析)
2020年高考数学模拟试卷汇编 专题4 立体几何（含答案解析） 1．（2020·河南省实验中学高三二测（理））现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠= ∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为 （ ） A 3 B ．36 C 3 D 3 2．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( ) A ．16 B ．163 C ．163 D ．1283 3．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是（ ） A ．若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于β B ．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β C ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥ D ．若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β 4．（2020·江西省南昌市第十中学校高三模拟（理））榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，
它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。广泛用于建筑，同时也广泛用于家具。我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构，榫卯结构 中凸出部分叫榫（或叫榫头），已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是（ ） A ．36 B ．45 C ．54 D ．63 5．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．83π3 B ．4π1633 C 16343π+ D ．43π1636．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））在平面五边形ABCD E 中，60A ∠=?，63AB AE ==BC CD ⊥，DE CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120?，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为（ ） A ．63π B ．84π C ．252π D ．126π 7．（2020·陕西省西安中学高三三模（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
2020届全国各地高考试题分类汇编- 01集合
01 集合 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ） ． A . {1,0,1}- B . {0,1} C . {1,1,2}- D . {1,2} 【答案】D 【解析】根据交集定义直接得结果. 【详解】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=，故选：D. 【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2.（2020?全国1卷）设集合A ＝{x |x 2–4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |–2≤x ≤1}，则a ＝（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ? ?=≤-???? . 由于{}|21A B x x ?=-≤≤，故：12 a - =，解得：2a =-.故选：B. 【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3.（2020?全国2卷）已知集合U ＝{?2，?1，0，1，2，3}，A ＝{?1，0，1}，B ＝{1，2}，则 ()U A B ?=（ ） A . {?2，3} B . {?2，2，3} C . {?2，?1，0，3} D . {?2， ?1，0，2，3} 【答案】A 【解析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：{}1,0,1,2A B ?=-，则 (){}U 2,3A B =-.故选：A 【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.
2020年高考数学试题分类汇编 应用题 精品
应用题 1.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和 7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A ．4650元 B ．4700元 C ．4900元 D ．5000元 【答案】C 【解析】由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件 08071210672219 x y x y x y x y ≤≤??≤≤?? +≤??+≥?+≤??画 出可行域在12219x y x y +≤??+≤?的点7 5x y =??=?代入目标函数4900z = 2.（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少， 这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克） 与时间t （单位：年）满足函数关系：30 0()2 t M t M - =，其中M 0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）= A ．5太贝克 B ．75In2太贝克 C ．150In2太贝克 D ．150太贝克 【答案】D 3.（北京理）。根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ??? ??? ? ≥<=A x A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 【答案】D 4．（陕西理）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000 5．（湖北理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等 差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。 【答案】67 66 6.（湖北理）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大 桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
2018-2020三年高考数学分类汇编
专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 2020全国各地模拟分类汇编（文）：集合 【辽宁抚顺二中2020届高三第一次月考文】1．“lg lg x y >”是“1010x y >”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【辽宁省瓦房店市高级中学2020届高三10月月考】已知集合}1|1||{<-=x x M ， )}32(log |{22++==x x y y N 则=N M I （ ） A ．}21||{<≤x x B ．}20||{< 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 第 1 页 共 26 页 2021年高考数学模拟试卷汇编：立体几何 1．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ） A ．12 B ．2 C ．23 D ．163 2．（2020届河南省六市高三第一次模拟）已知圆锥的高为33，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( ) A ． 53 B ．329 C ．43 D ．259 3．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=?，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC V 的外心，则2PC =；②ABC V 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=?时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π?? ??? ；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC V 内轨迹的长度为2．其中正确的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．（2020届河南省濮阳市高三模拟）在四面体P ABC -中，ABC V 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ） A ．811B ．10C ．24 D ．1635．（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三二联）已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，且球心为线段BC 的中点，则三棱锥D ABC -的体积的最大值为（ ） A ．23 B ．43 C ．83 D ．163 6．（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三一联）已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形， 高考数学高三模拟考试试卷压轴题分项汇编专题03 导数（含解析）理 1. 【高考北京理第7题】直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )． A．4 3 B ．2 C． 8 3 D． 162 3 【答案】C 考点：定积分. 2. 【高考北京理第12题】过原点作曲线x e y=的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为. 【答案】(1,)e e 考点：导数的几何意义。 3. 【高考北京理第12题】如图，函数() f x的图象是折线段ABC， 其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64) ，，，，，，则((0)) f f=； 2 B C A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4 (1)(1) lim x f x f x ?→+?-=? ．（用数字作答） 【答案】 2 2 考点：函数的图像，导数的几何意义。 4. 【高考北京理第13题】已知函数2 ()cos f x x x =-，对于ππ22??-???? ，上的任意12x x ，，有如下条件： ①12x x >； ②22 12x x >； ③12x x >． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ． 【答案】② 考点：导数，函数的图像，奇偶性。 5. 【高考北京理第11题】设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，则该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为_________. 【答案】1- 考点：导数的几何意义。 6. 【高考北京理第15题】（本小题共13分） 已知函数.93)(2 3 a x x x x f +++-= （Ⅰ）求)(x f 的单调减区间； （Ⅱ）若)(x f 在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 【答案】 2008年高考数学试题分类汇编：集合 【考点阐述】 集合.子集.补集.交集.并集． 【考试要求】 （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 【考题分类】 （一）选择题（共20题） 1、（安徽卷理2）集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解： }{0A y R y = ∈>，R (){|0}A y y =≤e，又{2,1,1,2}B =-- ∴ }{()2,1R A B =--e，选D 。 2、（安徽卷文1）若A 为全体正实数的集合，{}2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解：R A e是全体非正数的集合即负数和0，所以}{() 2,1R A B =--e 3、（北京卷理1）已知全集U =R ，集合{} |23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合A ∩（C U B ）等于（ ） A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤ D ．{}|13x x -≤≤ 【标准答案】: D 【试题分析】: C U B=[-1, 4]，()U A B e＝{}|13x x -≤≤ 全国百套高考数学模拟试题分类汇编 08圆锥曲线 二、填空题 1、(启东中学高三综合测试二)已知抛物线ｙ2＝a(x+1)的准线方程是x= 3,那么抛物线的焦点坐标是______. 答案：(1，0) 2、(启东中学高三综合测试三)已知动圆P 与定圆C ：(x+2)2+y2=1相外切，又与定直线L ：x=1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是：。答案：y2=－8x 3、(皖南八校高三第一次联考)已知P 为双曲线19 162 2=-y x 的右支上一点，P 到左焦点距离为12，则P 到右准线距离为______；答案： 5 16 4、(北京市东城区高三综合练习一）已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为F1，F2，若在 双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为. 答案：1＜e≤2 5、(北京市东城区高三综合练习二)已知椭圆122 22=+b y a x 的左、右焦点分别为F1，F2，点P 为椭圆上一点，且 ∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，则椭圆的离心率e=. 答案：3－1 6、(北京市丰台区4月高三统一练习一)过双曲线M ：2 2 21y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l,若l 与双曲 线M 的两条渐近线相交于B 、C 两点 , 且AB BC =, 则双曲线M 的离心率为_____________. 答案：10 7、(北京市海淀区高三统一练习一)若双曲线192 22=-y a x ()0a >的一条渐近线方程为023=-y x ，则a=__________. 答案：2 8、(北京市十一学校高三数学练习题)已知双曲线]2,2[),(12222∈∈=-+ e R b a b y a x 的离心率，则一条渐近线 与实轴所构成的角的取值范围是_________． 答案：[π4,π 3 ]. 解析：依题意有2c a ≤≤，∴2224c a ≤≤，即22224a b a -≤≤，∴22 13b a ≤≤，得1b a ≤≤，∴ 4 3 π π θ≤≤ 9、(北京市西城区4月高三抽样测试)已知两点(1 0)A ，，(0)B b ，，若抛物线2 4y x =上存在点C 使ABC ?为等边三角形，则b ＝_________ . 2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角 2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2014年2卷 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2015年2卷 (1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B = （A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ 2016年1卷 （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ） （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3 (,3)2 2016-2 （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， 2016-3 （1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 2017-1 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017-3 1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2018-1 2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R e A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
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