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【省会检测】2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)

2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)

一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知i为虚数单位,则=()

A.5 B.5i C.D.

2.已知等差数{a n},若a2=10,a5=1,则{a n}的前7项的和等于()A.112 B.51 C.28 D.18

3.已知集合M是函数的定义域,集合N是函数y=x2﹣4的值域,则M∩N=()

A.B.

C.且y≥﹣4}D.?

4.若双曲线的一条渐近线方程为y=﹣2x,该双曲线的离心率是()

A.B.C.D.

5.执行如图程序框图,若输入的n等于10,则输出的结果是()

【省会检测】2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)

A.2 B.﹣3 C.D.

6.已知某公司生产的一种产品的质量X(单位:克)服从正态分布N(100,4).现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品,其中质量在[98,104]内的产品估计有()

(附:若X服从N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X<μ+2σ)=0.9544)

A.3413件B.4772件C.6826件D.8185件

7.将函数y=cosx﹣sinx的图象先向右平移φ(φ>0)个单位,再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a倍,得到y=cos2x+sin2x的图象,则φ,a的可能取值为()

A.B.C.D.

8.已知数列{a n}的前n项和为S n,若3S n=2a n﹣3n,则a2018=()A.22018﹣1 B.32018﹣6 C.()2018﹣D.()2018﹣

9.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()

【省会检测】2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)

A.5π+18 B.6π+18 C.8π+6 D.10π+6

10.已知直线2x﹣y+1=0与曲线y=ae x+x相切(其中e为自然数的底数),则实数a的值是()

A.B.1 C.2 D.e

11.某企业生产甲、乙两种产品,销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A、B两种设备上加工,生产一件甲产品需用A设备2小时,B设备6小时;生产一件乙产品需用A设备3小时,B设备1小时.A、B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时,若生产的产品都能及时售出,则该企业每月利润的最大值为()

A.320千元B.360千元C.400千元D.440千元

12.已知函数f(x)=2|x|﹣x2,g(x)=(其中e为自然对数的底数),若函数h(x)=f[g(x)]﹣k有4个零点,则k的取值范围为()

A.(﹣1,0)B.(0,1) C.(﹣,1)D.(0,﹣)

二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)

13.若平面向量满足,则=.14.已知m是常数,(mx﹣1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,且a1+a2+a3+a4+a5=33,则m=.

15.抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴交于点A,过抛物线E上一点P

(第一象限内)作l的垂线PQ,垂足为Q.若四边形AFPQ的周长为16,则点P 的坐标为.

16.在四面体ABCD中,AB=AD=2,∠BAD=60°,∠BCD=90°,二面角A﹣BD﹣C 的大小为150°,则四面体ABCD外接球的半径为.

三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(12.00分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a﹣2b)cosC+ccosA=0.

(1)求角C;

(2)若,求△ABC的周长的最大值.

18.(12.00分)2014年9月,国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区,从当年秋季新入学的高一学生开始实施,高考不再分文理科.每个考生,英语、语文、数学三科为必考科目并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科学科目,政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.

(1)求他所选考的三个科目中,至少有一个自然科学科目的概率;

(2)已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目,两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.8,所选的自然科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.75,且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量X表示他所选考的三个科目中考试成绩获A等的科目数,求X的分布列和数学期望.

19.(12.00分)如图,在多面体ABCDEF中,ABCD是正方形,BF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,BF=DE,点M为棱AE的中点.

(1)求证:平面BMD∥平面EFC;

(2)若DE=2AB,求直线AE与平面BDM所成的角的正弦值.

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20.(12.00分)在平面直角坐标系中,圆O交x轴于点F1,F2,交y轴于点B1,B2.以B1,B2为顶点,F1,F2分别为左、右焦点的椭圆E,恰好经过点.(1)求椭圆E的标准方程;

(2)设经过点(﹣2,0)的直线l与椭圆E交于M,N两点,求△F2MN面积的最大值.

21.(12.00分)已知.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)≤ax恒成立,求a的值.

请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]

22.(10.00分)在直角坐标系xOy中,曲线(θ为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ﹣2cosθ=0.

(1)求曲线C2的普通方程;

(2)若曲线C1上有一动点M,曲线C2上有一动点N,求|MN|的最小值.

[选修4-5:不等式选讲]

23.已知函数f(x)=|2x﹣1|.

(1)解关于x的不等式f(x)﹣f(x+1)≤1;

(2)若关于x的不等式f(x)<m﹣f(x+1)的解集不是空集,求m的取值范围.

2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知i为虚数单位,则=()

A.5 B.5i C.D.

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【解答】解:=.

故选:A.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.

2.已知等差数{a n},若a2=10,a5=1,则{a n}的前7项的和等于()A.112 B.51 C.28 D.18

【分析】利用等差数列通项公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出{a n}的前7项的和.

【解答】解:∵等差数列{a n},a2=10,a5=1,

∴,

解得a1=13,d=﹣3,

∴{a n}的前7项的和为:S7=7a1+=7×13+21×(﹣3)=28.

故选:C.

【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.

3.已知集合M是函数的定义域,集合N是函数y=x2﹣4的值域,则

M∩N=()

A.B.

C.且y≥﹣4}D.?

【分析】求函数的定义域即可得出集合M,求函数y=x2﹣4的值域即可得出集合N,然后进行交集的运算即可.

【解答】解:解1﹣2x>0得,x<;

∴;

y=x2﹣4≥﹣4;

∴N={y|y≥﹣4};

∴.

故选:B.

【点评】考查函数定义域、值域的定义及求法,以及交集的运算.

4.若双曲线的一条渐近线方程为y=﹣2x,该双曲线的离心率是()

A.B.C.D.

【分析】根据双曲线的渐近线方程建立方程关系,结合双曲线的离心率公式进行计算即可.

【解答】解:双曲线的渐近线方程为y=±x,

∵双曲线的一条渐近线方程为y=﹣2x,

即=2,则b=2a,

则双曲线的离心率为e=====.

故选:C.

【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算,结合双曲线的渐近线方程是解决本

题的关键.

5.执行如图程序框图,若输入的n等于10,则输出的结果是()

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A.2 B.﹣3 C.D.

【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值,模拟程序的运行过程,可得答案.

【解答】解:若输入的n等于10,则

当i=1时,满足进行循环的条件,a=﹣3,i=2;

当i=2时,满足进行循环的条件,a=﹣,i=3;

当i=3时,满足进行循环的条件,a=,i=4;

当i=4时,满足进行循环的条件,a=2,i=5;

当i=5时,满足进行循环的条件,a=﹣3,i=6;

当i=6时,满足进行循环的条件,a=﹣,i=7;

当i=7时,满足进行循环的条件,a=,i=8;

当i=8时,满足进行循环的条件,a=2,i=9;

当i=9时,满足进行循环的条件,a=﹣3,i=10;

当i=10时,满足进行循环的条件,a=﹣,i=11;

当i=11时,不满足进行循环的条件,

故输出的a=﹣,

故选:C.

【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答.

6.已知某公司生产的一种产品的质量X(单位:克)服从正态分布N(100,4).现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品,其中质量在[98,104]内的产品估计有()

(附:若X服从N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X<μ+2σ)=0.9544)

A.3413件B.4772件C.6826件D.8185件

【分析】根据正态分布性质求出P(98≤X≤104),从而可估计出质量在[98,104]内的产品个数.

【解答】解:∵X服从正态分布N(100,4),

∴P(98≤X<100)=0.6826=0.3413,

P(100≤X≤104)=0.9544=0.4772,

∴P(98≤X≤104)=0.3413+0.4772=0.8185.

∴质量在[98,104]内的产品估计有10000×0.8185=8185.

故选:D.

【点评】本题考查了正态分布的性质,属于基础题.

7.将函数y=cosx﹣sinx的图象先向右平移φ(φ>0)个单位,再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a倍,得到y=cos2x+sin2x的图象,则φ,a的可能取值为()

A.B.C.D.

【分析】直接利用正弦型函数的平移和伸缩变换求出结果.

【解答】解:函数y=cosx﹣sinx=的图象先向右平移φ(φ>0)个

单位,

【省会检测】2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)

得到y=的图象,再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a倍,

得到y=cos2x+sin2x=的图象,

所以:①a=

②﹣φ+,

解得:(k∈Z),

故当k=0时,.

故选:D.

【点评】本题考查的知识要点:正弦型函数的图象的平移和伸缩变换问题的应用.

8.已知数列{a n}的前n项和为S n,若3S n=2a n﹣3n,则a2018=()A.22018﹣1 B.32018﹣6 C.()2018﹣D.()2018﹣

【分析】推导出a1=S1=(2a1﹣3),从而a1=﹣3,由S n=(2a n﹣3n),得当n ≥2时,S n

=(2a n﹣1﹣3n+3),从而推导出{a n+1}是以﹣2为首项,以﹣2为公﹣1

比的等比数列,由此能求出a2018的值.

【解答】解:∵数列{a n}的前n项和为S n,3S n=2a n﹣3n,

∴a1=S1=(2a1﹣3),

解得a1=﹣3,

S n=(2a n﹣3n),①,

=(2a n﹣1﹣3n+3),②,

当n≥2时,S n

﹣1

①﹣②,得a n=﹣﹣1,

∴a n=﹣2a n﹣1﹣3,∴=﹣2,

∵a1+1=﹣2,

∴{a n+1}是以﹣2为首项,以﹣2为公比的等比数列,

∴,∴,

∴a2018=(﹣2)2018﹣1=22018﹣1.

故选:A.

【点评】本题考查数列的第2018项的求法,解题时要认真审题,仔细解答,合理地运用放缩法进行证明.注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.

9.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()

【省会检测】2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)

A.5π+18 B.6π+18 C.8π+6 D.10π+6

【分析】判断几何体的形状,利用三视图的数据,求解几何体的表面积即可.【解答】解:由题意可知,几何体是两端是半球,中间是圆柱的一半,

球的半径为:1,圆柱的高为3,半径为1,

所以则该几何体的表面积为:4π×12+π×12+π×3+2×3=6+8π.

故选:C.

【点评】本题考查几何体的三视图的应用,判断几何体的形状是解题的关键,考查空间想象能力以及计算能力.

10.已知直线2x﹣y+1=0与曲线y=ae x+x相切(其中e为自然数的底数),则实数a的值是()

A.B.1 C.2 D.e

【分析】先设出切点坐标,根据导数的几何意义求出在切点处的导数,再根据切点既在曲线y=ae x+x的图象上又在直线2x﹣y+1=0上,从而求出切点横坐标,即可求出a的值.

【解答】解:设切点坐标为(m,n)

y'|x=m=ae m+1=2,2m﹣n+1=0,n=ae m+m,

解得,m=0,n=1,

切点(0,1)

而切点(0,1)又在曲线y=ae x+x上

∴a=1,

故选:B.

【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于基本知识的考查.

11.某企业生产甲、乙两种产品,销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A、B两种设备上加工,生产一件甲产品需用A设备2小时,B设备6小时;生产一件乙产品需用A设备3小时,B设备1小时.A、B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时,若生产的产品都能及时售出,则该企业每月利润的最大值为()

A.320千元B.360千元C.400千元D.440千元

【分析】设甲、乙两种产品月产量分别为x、y件,写出约束条件、目标函数,画出可行域找出最优解,求出目标函数的最大值即可.

【解答】解:设甲、乙两种产品月的产量分别为x,y件,

约束条件是,

目标函数是z=2x+y;

由约束条件画出可行域,如图所示的阴影部分;

由z=2x+y,结合图象可知,z=2x+y在A处取得最大值,

由,

可得A(150,60),

此时z=2×150+1×60=360(千元).

故选:B.

【省会检测】2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)

【点评】解决线性规划的应用题时,其步骤为:①分析题目中相关量的关系,列出不等式组,即约束条件②由约束条件画出可行域③分析目标函数Z与直线截距之间的关系④使用平移直线法求出最优解⑤还原到现实问题中.

12.已知函数f(x)=2|x|﹣x2,g(x)=(其中e为自然对数的底数),若函数h(x)=f[g(x)]﹣k有4个零点,则k的取值范围为()

A.(﹣1,0)B.(0,1) C.(﹣,1)D.(0,﹣)

【分析】分别讨论函数f(x),g(x)的性质和画出图象,函数h(x)=f[g(x)]﹣k有4个零点,即为f[g(x)]=k有四个解,可令t=g(x),k=f(t),通过图象观察,分析即可得到结论.

【解答】解:函数f(x)=2|x|﹣x2为偶函数,且f(x)的最大值为1,

作出f(x)的图象(如右黑线)

【省会检测】2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)

由g(x)=的导数为g′(x)=,

可得x>﹣1时,g(x)递增,x<﹣2或﹣2<x<﹣1时,g(x)递减,

x=﹣1取得极小值,

作出g(x)的图象(如右红线),

函数h(x)=f[g(x)]﹣k有4个零点,

即为f[g(x)]=k有四个解,

可令t=g(x),k=f(t),

若﹣1<k<0,则t1<﹣2,t2>2,

则t=g(x)有3解,不符题意;

若0<k<1,则k=f(t)有4解,两个负的,两个正的,

则t=g(x)可能有4,6解,不符题意;

若k∈(﹣,1),则k=f(t)有4解,两个负的,两个正的,

(一个介于(,1),一个大于1),

则t=g(x)有6解,不符题意;

若k∈(0,﹣),则k=f(t)有4解,两个负的,两个正的(一个介于(0,

【省会检测】2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)

),一个大于1),

则t=g(x)有4解,符合题意.

故选:D.

【省会检测】2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)

【点评】本题考查复合函数的图象交点问题,以及函数的零点个数,考查数形结合思想方法,以及分类讨论思想方法,属于中档题.

二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)

13.若平面向量满足,则=﹣1.

【分析】把已知两等式两边平方,作差得答案.

【解答】解:由,得,①

由,得,②

①﹣②得:,

∴.

故答案为:﹣1.

【点评】本题考查平面向量的数量积运算,是基础的计算题.

14.已知m是常数,(mx﹣1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,且a1+a2+a3+a4+a5=33,则m=3.

【分析】在已知二项式中分别取x=0和x=1,联立即可求得m值.

【解答】解:在(mx﹣1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0中,

取x=0,得﹣1=a0,

取x=1,得(m﹣1)5=a5+a4+a3+a2+a1+a0,

∴a1+a2+a3+a4+a5=(m﹣1)5+1=33,

则(m﹣1)5=32,

即m=3,

故答案为:3.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,对x取特值是解答该题的关键,属于基础题.

15.抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴交于点A,过抛物线E上一点P (第一象限内)作l的垂线PQ,垂足为Q.若四边形AFPQ的周长为16,则点P 的坐标为(4,4).

【省会检测】2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)

【分析】设P(),(t>0),由四边形AFPQ的周长为16,可得2+++t=16,解得t=4,即可得点P的坐标.

【省会检测】2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)

【解答】解:如图,设P(),(t>0),则四边形AFPQ的周长为

AF+PF+PQ+AQ=16.

∴2+++t=16,解得t=4,

∴点P的坐标为(4,4),

故答案为:(4,4).

【省会检测】2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)

【点评】本题考查抛物线的定义、性质,属于基础题.

16.在四面体ABCD中,AB=AD=2,∠BAD=60°,∠BCD=90°,二面角A﹣BD﹣C

【省会检测】2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)

的大小为150°,则四面体ABCD外接球的半径为.

【分析】利用已知条件画出图形,判断球心的位置,转化求解球的半径即可.【解答】解:在四面体ABCD中,AB=AD=2,∠BAD=60°,∠BCD=90°,二面角A ﹣BD﹣C的大小为150°,四面体ABCD外接球,如图:

则△BCD在求出一个小圆上,BD的中点为圆心N,△ABD是正三角形,也在球的一个小圆上,圆心为M,作OM⊥平面ABD,ON⊥平面BCD,O为球心,二面角A﹣BD﹣C的大小为150°,作NP⊥BD,

则∠ANP=150°,可得∠ONM=60°,MN=,则ON=,BN=1,

外接球的半径为:=.

故答案为:.

【省会检测】2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)

【点评】本题考查球的内接体,二面角的平面角的应用,球与平面相交的性质的应用,考查空间想象能力以及计算能力.

三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(12.00分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a﹣2b)cosC+ccosA=0.

(1)求角C;

(2)若,求△ABC的周长的最大值.

【分析】(1)根据正弦定理,即可求出角的值,

(2)根据余弦定理可得基本不等式即可求出.

【解答】解:(1)根据正弦定理,由已知得:(sinA﹣2sinB)cosC+sinCcosA=0,即sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosC,

∴sin(A+C)=2sinBcosC,

∵A+C=π﹣B,∴sin(A+C)=sin(π﹣B)=sinB>0,

∴sinB=2sinBcosC,从而.

【省会检测】2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)

∵C∈(0,π),∴.

(2)由(1)和余弦定理得,即a2+b2﹣12=ab,

∴,

即(a+b)2≤48(当且仅当时等号成立).

所以,△ABC周长的最大值为.

【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关键.

18.(12.00分)2014年9月,国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区,从当年秋季新入学的高一学生开始实施,高考不再分文理科.每个考生,英语、语文、数学三科为必考科目并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科学科目,政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.

(1)求他所选考的三个科目中,至少有一个自然科学科目的概率;

(2)已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目,两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.8,所选的自然科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.75,且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量X表示他所选考的三个科目中考试成绩获A等的科目数,求X的分布列和数学期望.

【分析】(1)记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M,利用对立事件概率计算公式能求出该位考生选考的三个科目中,至少有一个自然科学科目的概率.

(2)随机变量X的所有可能取值有0,1,2,3.分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和期望.

【解答】解:(1)记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M,

则,

所以该位考生选考的三个科目中,至少有一个自然科学科目的概率为.

(2)随机变量X的所有可能取值有0,1,2,3.

因为,

【省会检测】2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)

【省会检测】2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)

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所以X的分布列为:

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【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.

19.(12.00分)如图,在多面体ABCDEF中,ABCD是正方形,BF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,BF=DE,点M为棱AE的中点.

(1)求证:平面BMD∥平面EFC;

(2)若DE=2AB,求直线AE与平面BDM所成的角的正弦值.

【省会检测】2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)

【分析】(1)连结AC,交BD于点N,推导出MN∥EC,从而MN∥平面EFC.推导出BDEF为平行四边形,则BD∥EF.从而BD∥平面EFC.由此能证明平面BDM ∥平面EFC.

(2)由DA,DC,DE两两垂直,建立空间直角坐标系D﹣xyz.利用向量法能求出直线AE与平面BDM所成角的正弦值.

【解答】证明:(1)连结AC,交BD于点N,

∴N为AC的中点,∴MN∥EC.

∵MN?平面EFC,EC?平面EFC,