与圆有关的比例线段

学案3 与圆有关的比例线段

【学习目标】

1．理解相交弦定理及其推论；掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明

2．掌握切线长定理及构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力

【知识梳理】

(1)相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的____相等．

(2)割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的 ____相等．

(3)切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的_______．

(4)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的______．

【基本技能】

1、如图，已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A ，B 两点，割线PCD 经过圆心，

若PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O 的半径为_____________.

2、如图，PC 切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E.

已知⊙O 的半径为3，PA ＝2，则PC ＝________，OE ＝________.

3、如图，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，

PD ＝2a 3

，∠OAP ＝30°，则CP ＝________. 4、如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点

P .若PB ＝1，PD ＝3，则BC AD

的值为________．

5、如图所示，已知⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝4，

DE ＝CE ＋3，则CD 的长为________．

6、已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，

圆心O到AC的距离为22，AB＝3，则切线AD的长为______．

【典型例题】

例1. 如图，半径为2的⊙O中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，

则线段DE的长为________．

相交弦定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明，解题

时要与相似三角形及圆周角、弦切角等相关知识综合应用

例2. 如图所示，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，∠BAC 的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E，求AD·AE的值．

在圆中通过连接圆上的两点、作圆的切线等可以创造使用圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理的条件，这是在圆的问题上解决角之间关系的重要技巧．

变式训练2. 如图，⊙O与⊙O′外切于P，两圆公切线AC，分别切⊙O、⊙O′于A、C两点，AB是⊙O的直径，BE是⊙O′的切线，E为切点，连AP、PC、BC.

求证：AP·BC＝BE·AC.

例3.如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连接CB，并延长与PQ相交于Q点，若AQ=6，AC=5，求弦AB的长.

【能力提升】

1．如图，AB、CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的中垂线，已知

AB＝6，CD＝25，则线段AC的长度为________．

2．⊙O的两条弦AB、CD相交于点P，已知AP＝2，BP＝6，CP∶PD＝1∶3，则PD的长＝________.

3、如图所示，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，⊙O分别与边AB、AC相

切，切点分别为E、C，则⊙O的半径为________．

4.如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点 A.若BD⊥

AE,AB=4,BC=2,AD=3,则DE=________;CE=___________.

5、自圆O外一点P引圆的切线，切点为A，M为PA的中点，过M引

圆的割线交圆于B，C两点，且∠BMP＝100°，∠BPC＝40°，则∠

MPB的大小为________．

6.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AP 和过C 的切线互相

垂直，垂足为P ，过B 的切线交过C 的切线于T ，PB 交⊙O 于Q,若

∠BTC=120°,AB=4,则PQ ·PB=__________.

7.如图，AB 为⊙O 的直径，CB 切⊙O 于B ，CD 切⊙O 于D ，交BA

的延长线于E ，若EA=1，ED=2，则BC 的长___________.

8.如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB=PB=1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为_________.

9．如图9，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G ，

（1）求证：点F 是BD 中点；

（2）求证：CG 是⊙O 的切线；

（3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径．

图

9

答案

基本技能：

1、2

2、4，

5

9

3、a

8

9

4、

3

1

5、解析由相交弦定理知，

EA·EB＝EC·ED.(*)

又∵E为AB中点，AB＝4，DE＝CE＋3，

∴(*)式可化为22＝EC(CE＋3)＝CE2＋3CE，

∴CE＝－4(舍去)或CE＝1.

∴CD＝DE＋CE＝2CE＋3＝2＋3＝5.

6、15

典例分析：

例1.[审题视点] 由勾股定理求AD，再由相交弦定理求DE.

解析延长DO交圆O于另一点F，易知OD＝1，则AD＝AO2＋OD2＝ 5.由

相交弦定理得，AD·DE＝BD·DF，即5·DE＝1×3，DE＝35 5.

答案35 5

例2.[审题视点] 由切割线定理知P A2＝PB·PC，可得直径BC的长，要求AD·AE，由△ACE∽△ADB，得AD·AE＝CA·BA，只要求出CA，BA的长即可．

解如图所示，连接CE，∵P A是⊙O的切线，PBC是⊙O的割线，

∴P A2＝PB·PC.又P A＝10，PB＝5，∴PC＝20，BC＝15.

∵P A切⊙O于A，

∴∠P AB ＝∠ACP .

又∠P 为公共角，∴△P AB ∽△PCA .

∴AB CA ＝P A PC ＝1020＝12.

∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝90°.

∴AC 2＋AB 2＝BC 2＝225.∴AC ＝65，AB ＝3 5.

又∠ABC ＝∠E ，∠CAE ＝∠EAB ，

∴△ACE ∽△ADB ，∴AB AE ＝AD AC .

∴AD ·AE ＝AB ·AC ＝35×65＝90.

变式训练2 证明 由题意可知∠APC ＝90°，连BP ，则∠APB ＝90°，∴B 、P 、C 在同一直线上，即P 点在BC 上，由于AB ⊥AC ，易证Rt △APB ∽Rt △CAB . ∴AB CB ＝PB AB ，即AB 2＝BP ·BC ，又由切割线定理，得BE 2＝BP ·BC ，∴AB ＝BE ，又Rt △APB ∽Rt △CAB ，

∴AB CB ＝AP CA ，即AP ·BC ＝AB ·AC ，

∴AP ·BC ＝BE ·AC .

例3 ∵PQ 为切线，∴∠PAC=∠ABC,∵AC 是∠PAB 的平分线， ∴∠BAC=∠PAC.∴∠ABC=∠BAC,∴BC=AC=5,

由切割线定理，可得AQ 2=QB ·QC ，

∴62=QB ·(QB+5)，解得QB=4.

∵∠QAB=∠QCA,∴△QAB ∽△QCA,∴

AB QA AC QC

=, ∴AB 6545=+,解得AB=103. 能力提升：

1、30

2、62

8

3、

3

4、由圆的割线定理知：AB·AC=AD·AE，

∴AE=8，∴DE=5，连接EB，∵∠EDB=90°,

∴EB为直径，∴∠ECB=90°.

由勾股定理，得EB2=DB2+ED2=AB2-AD2+ED2=16-9+25=32. 在Rt△ECB中，EB2=BC2+CE2=4+CE2,

∴CE2=28，∴CE=27.

答案：5 27

5、解析如图，连接AE，∵AB是⊙O的直径，

∴AE⊥BE，又E是BD的中点，

∴∠BAE＝∠EAC，

从而E是BC的中点，

∴BE＝EC＝6，AB＝AC＝18，

由CD·CA＝CE·CB，得(18－AD)×18＝6×12，故AD＝14.

答案14

6.【解析】连接OC、AC，则OC⊥PC，

则O、C、T、B四点共圆，∠COB=60°,

故∠AOC=120°.

由AO=OC=2知AC=23，

在Rt△APC中，∠ACP=60°,

因此PC=3.

根据切割线定理得PQ·PB=PC2=3.

答案：3

7、∵CE为⊙O的切线，D为切点，

∴ED2=EA·EB.

又∵EA=1,ED=2,∴EB=4,

又∵CB、CD均为⊙O的切线，∴CD=CB.

在Rt△EBC中，设BC=x,则EC=x+2.

由勾股定理：EB2+BC2=EC2，

得42+x2=(x+2)2,得x=3,∴BC=3.

答案：3

8【解析】连接AB，∵PA切⊙O于点A，B为PO中点，

∴AB=OB=OA，

∴∠AOB=60°,∴∠POD=120°,

方法一：在△POD中，

由余弦定理得PD2=PO2+DO2-2PO·DOcos∠POD=4+1-4×(1

)=7,

2

∴PD=7.

方法二：过点D作DE⊥PC，垂足为E，∵∠POD=120°,

∴∠DOC=60°，可得OE=12，DE=

32

，在Rt △PED 中， ∴PD=22253PE DE 744+=

+=. 答案：7 9、解:(1)证明：∵CH ⊥AB ，DB ⊥AB ，∴△AEH ∽AFB ，△ACE ∽△ADF, ∴FD

CE AF AE BF EH ==，∵HE ＝EC ，∴BF ＝FD (2)方法一：连接CB 、OC ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°∵F 是BD 中点，

∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO

∴∠OCF=90°，∴CG 是⊙O 的切线。

方法二：可证明△OCF ≌△OBF(略)

(3)解：由FC=FB=FE 得：∠FCE=∠FEC ，可证得：FA ＝FG ，且AB ＝BG

由切割线定理得：（2＋FG ）2＝BG×AG=2BG 2 ……①

在Rt △BGF 中，由勾股定理得：BG 2＝FG 2－BF 2 ……②

由①、②得：FG 2-4FG-12=0，解之得：FG 1＝6，FG 2＝－2（舍去） ∴AB ＝BG ＝24，∴⊙O 半径为2。

九年级数学教案数学教案-和圆有关的比例线段_0172文档

2020 九年级数学教案数学教案－和圆有关的比例线段_0172文档 EDUCATION WORD

九年级数学教案数学教案－和圆有关的比例线段 _0172文档 前言语料：温馨提醒，教育，就是实现上述社会功能的最重要的一个独立出来的过程。其目的，就是把之前无数个人有价值的观察、体验、思考中的精华，以浓缩、 系统化、易于理解记忆掌握的方式，传递给当下的无数个人，让个人从中获益，丰 富自己的人生体验，也支撑整个社会的运作和发展。 本文内容如下：【下载该文档后使用Word打开】 教学建议 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理．这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点；这些定理和推论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明． 难点：正确地写出定理中的等积式．因为图形中的线段较多，学生容易混淆． 2、教学建议 本节内容需要三个课时．第1课时介绍相交弦定理及其推论，

做例1和例2．第2课时介绍切割线定理及其推论，做例3．第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3． （1）教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生研究性学习学习 （2）在教学中，引导学生“观察――猜想――证明――应用”等学习，教师组织下，以学生为主体开展教学活动． 第1课时：相交弦定理 ： 1．理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算； 2．学会作两条已知线段的比例中项； 3．通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神； 4．通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法．： 正确理解相交弦定理及其推论． ： 在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理． 教学活动设计 （一）设置学习情境（一）设置情境

小班数学教案数学教案-和圆有关的比例线段

小班数学教案|数学教案－和圆有关的比例线段教学建议 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理．这些定理和推论不但是本节的 重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点；这些定理和推论是重要的工具性知识，主 要应用与圆有关的计算和证明． 难点：正确地写出定理中的等积式．因为图形中的线段较多，学生容易混淆． 2、教学建议 本节内容需要三个课时．第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例2．第2课 时介绍切割线定理及其推论，做例3．第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3． （1）教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生 研究性学习意识，激发学生的学习热情； （2）在教学中，引导学生“观察——猜想——证明——应用”等学习，教师组织下，以学生为主体开展教学活动． 第1课时：相交弦定理 教学目标： 1．理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算； 2．学会作两条已知线段的比例中项； 3．通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和 探索精神； 4．通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法． 教学重点： 正确理解相交弦定理及其推论． 教学难点：

在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明 中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从 而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理． 教学活动设计 （一）设置学习情境 1、图形变换：（利用电脑使AB与CD弦变动） ①引导学生观察图形，发现规律：∠A＝∠D，∠C＝∠B． ②进一步得出：△APC∽△DPB． ． ③如果将图形做些变换，去掉AC和BD，图中线段 PA，PB，PC，PO之间的关系会发 生变化吗?为什么? 组织学生观察，并回答． 2、证明： 已知：弦AB和CD交于⊙O内一点P． 求证：PA·PB＝PC·PD． （A层学生要训练学生写出已知、求证、证明；B、C层学生在老师引导下完成） （证明略） （二）定理及推论 1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PD． 2、从一般到特殊，发现结论． 对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互相垂直如图，AB是直径，并且AB⊥CD于P． 提问：根据相交弦定理，能得到什么结论? 指出：PC2＝PA·PB．

和圆有关的比例线段

和圆有关的比例线段 【同步达纲练习】(时间：45分钟，满分：100分) 一、填空题(8分×5=40分) (1)⊙O 内弦CD 垂直于直径AB ，E 为垂足，且AE=4cm ，BE=9cm ，CD=_4 _. (2)圆内两相交弦，一弦长3cm 被交点平分，另一弦被交点分成1：4，则此弦长为______. (3)已知圆的切线PT 的长是6cm ，割线PAB 的长是9cm ，则弦AB 的长是______. (4)在直径为2的圆外有一点P 到圆的最近点的距离为3，则过这点的切线长是______. (5)⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，已知：PA=6cm,AB=731 cm,PO=12cm,则⊙O 的半径 为______. 二、选择题(8分×5=40分) (1)圆的两弦相交，一弦被分为12cm 和8cm 两段，另一弦被分为3：8，则另一弦长是( ) A ．11cm B.9 cm C.22cm D.33cm (2)圆内接正方形ABCD 的边长为2,弦AK 平分边BC,则AK 的长为( ) A.556 B.554 C.5 D.221 (3)从圆外一点向半径为9的圆作切线,已知切线长为18,则从这一点到圆的最短距离是 ( ) A.93 B.93-9 C.95-9 D.9 (4)已知⊙O 外一定点P,P 与O 的距离为4cm,从P 点向圆作切线,切线长与圆的半径之差 为2cm,则圆的半径为( ) A.(1+7)cm B.(7-1)cm 或(1+7)cm C.(7-1)cm 或(1+7)cm D.(7-1)cm (5)已知PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,与圆相交于B 、C 两点,若PB=3,BC=6, 则PA 的长为( )

切线长定理 弦切角和圆有关的比例线段 通用版

切线长定理 弦切角和圆有关的比例线段 一. 本周教学内容： 切线长定理、弦切角和圆有关的比例线段 1. 切线长的概念：在经过圆外一点的切线上这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。 3. 弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，一边和圆相切的角叫做弦切角。 4. 弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。 5. 弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等。 6. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 7. 相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 8. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 9. 切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 二. 重点、难点： 重点是和圆有关的比例线段，难点是运用和圆有关的比例线段分析问题和解决问题。 易错点分析： 1. 要注意切线和切线长，这是两个不同的概念，前者是直线，后者是线段的长。 2. 注意弦切角与圆心角、圆周角的区别与联系，它们的空间位置不同，但在度数上有很密切的联系。另外弦切角的三个条件缺一不可。弦切角与切线有着密切的联系，做题时，遇到弦切角找到切点要连结半径，这样就有垂直的关系。 3. 相交弦定理、切割线定理及它们的推论，它们的结论都是线段的等积式，而不是比例式，它们可用来解关于计算和证明的题目。等积式中的各线段要记牢，不要记混。 【例题分析】 例1. 求证：圆外切四边形的两组对边的和相等。 A F B G E D H C 已知：四边形ABCD 为⊙O 的外切四边形，E 、F 、G 、H 分别为切点。求证：AB ＋CD ＝AD ＋BC 证明： AE AF O E F 、为⊙的切线，且切点为、 ∴====∴+++=++++=+AE AF BF BG DE DH CH CG AF FB DH CH AE BG DE CG AB CD AD BC ，同理，，即 例2. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 、BF 为⊙O 的切线，CF 切⊙O 于D ，DE AB ⊥于E ，交BC 于G ，求证：DG ＝EG

2012中考数学复习(45)：圆中成比例的线段

中考数学复习（45）：圆中成比例的线段 知识考点： 1、相交弦定理、切割线定理、割线定理是圆中成比例线段的重要的结论，是解决有关圆中比例线段问题的有力工具。 2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用，主要是用于计算线段的长。 精典例题： 【例1】已知如图，AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线BMN 交AD 的延长线于C ，且BM ＝MN ＝NC ，若AB ＝2。求： （1）BC 的长； （2）⊙O 的半径r 。 分析：由题设图形不难可以看出在本题中可综合运用勾股定理、切割线定理、割线定理来解题。 解：（1）设BM ＝MN ＝NC ＝x ，由切割线定理可得：BM BN AB ?=2 即)(22x x x +=解得：2= x ， ∴BC ＝233=x ； （2）在Rt △ABC 中，AC ＝1422=-AB BC 由割线定理可得：CM CN AC CD ?=? ∴7 14 2= ?= AC CM CN CD ∴14 145)714214(21)(21=-=-= CD AC r 【例2】如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10，PB ＝5， ∠BAC 的平分线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E ，求AE AD ?的值。 分析：由切割线定理有PC PB PA ?=2 ，可得直径BC 的长，要求AE AD ?，由△ACE ∽△ADB 得BA CA AE AD ?=?，也就是求CA 、BA 的长。 解：连结CE ∵PA 是⊙O 的切线，PBC 是⊙O 的割线 ∴PC PB PA ?=2 又PA ＝10，PB ＝5，∴PC ＝20，BC ＝15 ∵PA 切⊙O 于A ，∴∠PAB ＝∠ACP 又∠P 为公共角，△PAB ∽△PCA ∴ 2 1 2010===PC PA AC AB ∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝900 ∴2252 2 2 ==+BC AB AC ∴AC ＝56，AB ＝53 ? 例1图 O N M D C B A ?例2图 P O E D C B A

第二节 直线和园的位置关系、和圆有关的比例线段

第二节 直线和圆的位置关系、 和圆有关的比例线段 知识网络 一、直线和圆的位置关系 1.()()()d r d r d r d r ? ???? ?>?

2.【05连云港】如图，⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为?30，切线CD 与AB 的延长线交于 点D ，若⊙O 的半径为3，则CD 的长为 （A ）6 （B ）36 （C ）3 （D ）33 3.【05南通海门】 如图，已知AD 是△ABC 的外接圆的直径，AD =13 cm ，5 cos 13 B = ，则AC 的长等于 A ．5 cm B ．6 cm C ．10 cm D ．12 cm 4.【05北京】如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点是A 、B 。如果OP ＝4，PA =23，那么∠AOB 等于（ ） A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 5.【05河北】已知⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d 。若直线l 与⊙O 有交点， 则下列结论正确的是 A ．d ＝r B ．d ≤r C ．d ≥r D ．d ＜r 6.【05武汉】已知圆的半径为6.5cm ，如果一条直线和圆心的距离为9cm ，那么这条直线和 这个圆的位置关系是（ ）. （A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）相交或相离 7.【05梅山】如图， 点C 是O 上一点，M 、N 分别是CA 、CB 上的点，满足 CM CN CA CB =若点C 在⊙O 上运动，当C 运动到优弧上(不含点A 、点B)时，MN 的长 A.变大 B.变小 C.不变 D.有可能变大，也有可能变小 8.【05重庆课改】如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO ＝6㎝ ，AB ＝4㎝，则⊙O 的半径为 A ．45㎝ B ．25㎝ C ．213㎝ D ．13㎝ 二、填空题 （第 9题） D

最新4-1：和圆有关的比例线段-教案

高二数学选修4-1 五和圆有关的比例线段 教学目标： 1．理解相交弦定理及其推论；掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明； 2．掌握切线长定理及构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力 3．能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点．教学重点：正确理解相交弦定理及其推论．切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理． 教学难点：定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系 教学活动： 一．复习导入： 1. 证明：已知：弦AB和CD交于O O内一点P. 求证：PA?PB= PC PD . 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．从一般到特殊，发现结论．对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互相垂直思 考： (1)若AB是直径，并且AB丄CD于P.根据相交弦定理，能得到什么结论？ 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项． (2)若再连结AC , BC,则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有： 2 2 2 PC2= PA-PB ; AC2= AP-AB ; CB2= BP-AB 二.范例讲解一 例1：已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为 32 厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长. 根据题意列出方程并求出相应的解. 例2 :已知：线段a, b. 求作：线段c,使c2= ab. 分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可作出以线段a十b为直 径的半圆,仿照推论即可作出要求作的线段． 作法：口述作法．

修改稿：圆中的比例线段

例1 (交弦定理)圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 如图，⊙O中两弦AB，CD相交于P点．求证：PA·PB=PC·PD． 推论弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两线段的比例中项． 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于P．求证：PC2=PA·PB． 例2(切割线定理)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是点到割线与圆的两个交点的两条线段的比例中项． 如图，PC切⊙O于C，割线交⊙O于A，B．求证：PC2=PA·PB． 推论从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 如图，PAB，PCD是⊙O的两条割线．求证：PA·PB=PC·PD． 例3 如图，⊙O内两弦AB，CD的延长线相交于圆外一点E，由E引AD的平行线与直线BC交于F，作切线FG，G为切点，求证：EF=FG． 例4 在图中，已知CA，CB是⊙O的两条切线，A，B是切点，OC交直线AB于D，OF垂直直线CF于F，交直线AB于E．求证：OD·OC=OE·OF=OA2．

例5 如图，△ABC内接于圆O，∠BAC的平分线交⊙O于D点，交⊙O的切线BE于F，连结BD，CD．求证：(1)BD平分∠CBE； (2)AB·BF=AF·DC． 练习1． AD是⊙O的切线，D是切点，ABC是割线，DE⊥AO于E．(1)求证：AD2=AE·AO；(2)求证：∠AEB=∠C． 2．在⊙O中，弦AB⊥QO于D，AQ交圆O于C，连结BC交QO于P，求证：OA2=OP·OQ． 3．如图．四边形ABNM内接于圆O，BA和NM的延长线相交于P点，求证：AM·BM·PN=AN·BN·PM． 4．如图．AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圆直径，求证：AB·AC=AE·AD． 5．如图．设AB为半圆直径，弦AC和BD交于E，求证：AB2=AE·AC+BE·BD．(提示：作EF⊥AB于F．)

圆的比例线段教案

圆的比例线段教案 教学建议 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理．这些定理和推论不但是本节的 重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点；这些定理和推论是重要的工具性知识，主 要应用与圆有关的计算和证明． 难点：正确地写出定理中的等积式．因为图形中的线段较多，学生容易混淆． 2、教学建议 本节内容需要三个课时．第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例2．第2课 时介绍切割线定理及其推论，做例3．第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3． （1）教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生 研究性学习意识，激发学生的学习热情； （2）在教学中，引导学生“观察――猜想――证明――应用”等学习，教师组织下，以学生为主体开展教学活动． 第1课时：相交弦定理 教学目标： 1．理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算； 2．学会作两条已知线段的比例中项； 3．通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和 探索精神； 4．通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法． 教学重点： 正确理解相交弦定理及其推论． 教学难点：

在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理． 教学活动设计 （一）设置学习情境 1、图形变换：（利用电脑使AB与CD弦变动） ①引导学生观察图形，发现规律：∠A＝∠D，∠C＝∠B． ②进一步得出：△APC∽△DPB． ． ③如果将图形做些变换，去掉AC和BD，图中线段PA，PB，PC，PO之间的关系会发生变化吗?为什么? 组织学生观察，并回答． 2、证明： 已知：弦AB和CD交于⊙O内一点P． 求证：PA?PB＝PC?PD． （A层学生要训练学生写出已知、求证、证明；B、C层学生在老师引导下完成） （证明略） （二）定理及推论 1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于点P，那么PA?PB＝PC?PD． 2、从一般到特殊，发现结论． 对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互相垂直如图，AB是直径，并且AB⊥CD于P． 提问：根据相交弦定理，能得到什么结论? 指出：PC2＝PA?PB．

最新和圆有关的比例线段练习题

和圆有关的比例线段 练习题

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 和圆有关的比例线段练习题 （一）计算 1．如图7-197，已知圆O 中弦CD 垂直于直径AB 于P 点，AP=4cm ，PD=2cm ．求OP 的长． 2．已知：圆内两条弦相交，一条弦被分成5cm ，15cm 两段，另一条弦被二等分．求另一条弦长． 3．已知：如图7-198，C 为半圆上的一点，直径AB=10cm ，E 4．圆内相交的两条弦，一条弦被交点所内分成的两条线段的长为4cm 和7cm ，另一条弦全长为16cm ，求这条弦被分成的两条线段的长． 5．已知：如图7-199，AB 是⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，弦BD 过OC 的中点E ．若⊙O 的半径为4cm ，求BD 的长．

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 6．圆的一条弦分直径为3cm 和7cm 两部分，且此弦和这条直径相交成30°角．求弦心距和弦长． 7 ．已知：如图7-200，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于E ，AE=4cm ，EB=12cm ，CD 被E 所分成的两线段的长度比为1∶2．求CD 的长． 8 ．已知：如图7-201，直径为AB 的半圆O 交⊙O'于C 和B 两 ，且DM ∶ME=2∶5．求⊙O'的直径． 9．已知：如图7-202，⊙O 直径DE ⊥AB 于M ，弦DF 交AB 10．已知：如图7-203，以⊙O 上任一点A 为圆心作圆，两圆相交于B 、C ，由A 引射线交BC 于F ，交⊙A 于D ，交⊙O 于E ，连

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 120°．求FC 的长． 11．已知：如图7-204，⊙O 中，弦 AB 与 CD 交于M ，弦心距 12．已知：如图7-205，两同心圆O 中，大圆直径AB 交小圆于点C 、D ，大圆的弦EF ⊥AB 于C ，ED 交小圆于G ．又知大圆半径为6cm ，小圆半径为CO=4cm ．求EG 的长． 13．已知：如图7-206，PA 是⊙O 的切线，A 是切点，PB 交⊙O 于C 且过圆心O ，D 是OB 的中点，连结 AD 并延长交⊙ O 于E ．若 14．已知：如图7-207，PCD 是过圆心O 的割线，PA 切⊙O 于A ，AB ⊥CD 于E ，若AB=6cm ，EC=1cm ．求：⊙O 的半径与AP 的长．

辽宁省北镇市第一初级中学2017届九年级数学复习几何教案第21课时和圆有关的比例线段1

初中几何教案 第七章：圆 第23课时：和圆有关的比例线段(一) 教学目标： 1、使学生理解相交弦定理及其推论； 2、初步学会运用相交弦定理及其推论； 3、使学生学会作线段的比例中项． 4、在推导定理的过程中培养学生由图形总结出几何性质的能力； 5、在运用相交弦定理时，使学生清楚是运用几何性质，代数解法解有关弦长计算问题，培养学生的综合运用能力； 教学重点： 使学生正确理解相交弦定理及其推论，这是以后学习中非常重要的定理． 教学难点： 在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理．而不能死记硬背，也不能只从形式上去认识定理，只知是线段的积，而对内容不加理解． 教学过程： 一、新课引入： 前边，我们已经学习了和圆有关的角，现在我们通过圆内一点引圆的两条弦，它们之间又有什么关系呢？ 二、新课讲解： 实际上，它们之间存在着数量关系．不妨从⊙O内一点P引圆的两条弦AB、CD，我们称它们为相交弦，这时，各弦分别被P点分成二条线段，只要连结AC、DB，我们马上发现这四条线段在两个三角形中，容易证得，这两个三角形是相似的，于是得到了这四条线段的比例线段，转化成乘积式后，便得到相交弦定理，教师指导学生观察相交弦定理中的两弦的位置是任意的，当两弦的位置特殊时，会出现怎样的情形呢？请同学打开练习本画一画． 学生动手画，教师巡视．

当图7-79三个图形都出现后，教师指出，当P点重合于圆心O时，是两条直径的相交弦，结论是显然的，并且没有因为位置上的变化而发生形式上的变化．我们不研究这种情形，然后指导学生观察图7-79(3)，这种特殊的位置：弦与直径垂直相交，会给相交弦定理带来怎样形式上的改变呢？最终指导学生完成相交弦定理的推论及证明． 1．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等． 2．如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项． 相交弦定理及其推论是和圆有关的比例线段中的两个数量关系式，在今后学习中有着重要的意义，教师必须严格要求学生独立完成定理的证明，加深对定理的理解． 练习一，P．126中1．如图7-80，AP=3cm，PB=5cm，CP=2.5cm，求CD．(答案：8.5cm) 练习二，教材P．126中2，如图7-81，O是圆心，OP⊥AB， AP=4cm，PD=2cm．求OP．(答案：3cm) 此两题是直接运用定理或推论． P．125例1 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm和16cm两段，第二条弦的长为32cm，求第二条弦被交点分成的两段的长． 分析，这是一道利用相交弦定理的计算题，由于无图对照，在叙述时务必讲清第几条弦，在由相交弦定理列出方程后，解一元二次方程只作为其中一个步骤．做答案时要特别注意，对x1、x2的解释，以防止最终出现两解．

914.和圆有关的比例线段-奥数精讲与测试(9年级)

知识点、重点、难点 在圆中，有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理统称圆幂定理。 1.相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等。 推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半是它分直径所成的两部分的比例中项。 2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等。 3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法：(1)直接应用圆幂定理； (2)找相似三角形，当证明有关线段的比例式、等积式不能直接运用基本定理时，通常是由“三点定形法”证三角形相似，其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形。 圆幂定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系，它们之间有着密切的联系，我们应当熟悉以下基本图形。 例题精讲 例1：如图，已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，过点A 作⊙1O 的切线，交⊙2O 于点C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙1O 、⊙2O 于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P .当AD 与⊙2O 相切，且PA = 6，PC =2，PD =12时，求AD 的长。 解 连结AB .因为CA 切⊙1O ；于点A ，所以∠1 =∠D ．又∠1=∠E ，所以∠D =∠E .又∠2=∠3， 所以△APD ∽△CPE ，所以PA PD PC PE =， 即PA ·PE = PC ·PD ．因为PA =6，PC =2，PD =12，得6×PE =2×12，得 PE =4.由相交弦定理得PE ·PB =PA ·PC ，所以4PB =6×2，得PB =3.所以BD = PD －PB =9，DE =DP ＋PE =12＋4=16.因为DA 切⊙2O 于点A ，所以DA 2 = DB ·DE ，即AD 2 =9×16，得AD ＝12. 例2：如图，已知圆内接四边形ABCD ，延长AB 、DC 交于E ，延长AD 、BC 交于F ，EM 、FN 为圆的切线，分别以E 和F 为圆心、EM 和FN 为半径作弧，两弧交于K ，求证：EK ⊥FK ． 证明 连结EF ，过B 、C 、E 三点作圆交EF 于H ，连结CH .因为B 、C 、H 、E 共圆，所以∠1=∠2.因为A 、B 、C 、D 共圆，所以∠1=∠3，于是∠2 =∠3，故D 、C 、H 、F 共圆．由切割线定理得EM 2 =EC ·ED =EH ·EF ，FN 2 = FC ·FB=FH ·FE ，所以EM 2 ＋FN 2 =(EH ＋FH )·EF =EF 2 ．又因为EM=EK ，FN=FK ，所以EK 2 ＋FK 2 =EF 2 ．故△EKF 为直角三角形，且∠EKF =90°，即EK ⊥FK . 例3：如图，⊙1O 与⊙2O 相交于P 、Q 两点，在公共弦QP 延长线上取一点M ，过M 作两圆割线分别交两圆于A 、B 、C 、D . 求证： .AD BD DM AC CB CM = 证明 由切割线定理得MA ·MB = MP ·MQ =MC ·MD ，所以A 、B 、D 、C 四点共圆，可得∠ADB =∠ACB .又 11 sin ,sin 22 ADB ACB S AD BD ADB S AC BC ACB ??= ∠=∠，所以.ADB ACB S AD BD S AC BC ??=过C 作CG ⊥MB ，垂足为G ，过D 作DH ⊥MB ，垂足为H .所以CG ∥DH ，得△MGC ∽△MHD ，得.ADB ACB S DH DM S CG CM ??= =所以AD BD AC BC = .DM CM 例4：如图，两个同心圆的圆心为O ，大圆的弦AD 交小圆于B 、C ，大 圆的弦AF 切小圆于E ，经过B 、E 的直线交大圆于M 、N ，求证：(1) AE 2 =

人教版数学高二A版选修4-12.5与圆有关的比例线段

课后训练 1．如图，圆内接四边形ABCD的边BA、CD的延长线交于P，AC、BD交于E，则图中的相似三角形有()． A．2对B．3对C．4对D．5对 2．在半径为12 cm的圆中，垂直平分半径的弦的长为()． A．33cm B．27 cm C．123cm D．63cm 3．如图，PA、PB分别为O的切线，切点分别为A、B，PA＝7，在劣弧AB上任取一点C，过C作O的切线，分别交PA、PB于D、E，则△PDE的周长是()．A．7 B．10 C．14 D．28 4．如图，两个等圆O和O′外切，过O作O′的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB等于() A．90°B．60°C．45°D．30° 5．如图所示，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，2 3 a PD=， ∠OAP＝30°，则CP＝__________. 6．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA PB ?的最小值为__________． 7．如图，已知PA，PB为O的切线，AB与PO相交于点M，O的弦CD过点M，连接DP，CP. 求证：(1)设OP交O于点E，则OE2＝OM·OP； (2)∠DPA＝∠CPB．

8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，D 在AB 上，DE ⊥EB ． (1)求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线； (2)若AD ＝6，62AE =，求BC 的长 ． 如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E . (1)证明：△ABE ∽△ADC ； (2)若△ABC 的面积S ＝ 1 2 AD ·AE ，求∠BAC 的大小． 参考答案 1. 答案：C 解析：△PAD ∽△PCB ，△PAC ∽△PDB ，△ADE ∽△BCE ，△AEB ∽△DEC ，共4对． 2. 答案：C 解析：方法一：如图所示，OA ＝12 cm ，CD 为OA 的垂直平分线，连接OD ． 在Rt △POD 中， 22221266 3 cm PD OD OP =-=-=， ∴CD ＝2PD ＝123(cm)． 方法二：如图，由相交弦定理得PA ·PM ＝PC ·PD ． 又∵CD 为线段OA 的垂直平分线， ∴PD 2＝PA ·PM . 又∵PA ＝6 cm ，PM ＝6＋12＝18 cm ， ∴PD 2＝6×18，∴6 3 cm PD =， ∴CD ＝2PD ＝123(cm)． 3. 答案：C 解析：∵DA 、DC 为O 的切线， ∴DA ＝DC ．同理EB ＝EC ． ∴△PDE 的周长＝PD ＋PE ＋DE ＝(PD ＋DC )＋(PE ＋CE )＝(PD ＋DA )＋(PE ＋EB )＝PA ＋PB ＝7＋7＝14.

中考数学第一轮复习第三十二课及圆有关比例线段.doc

2019-2020 年中考数学第一轮复习第三十二课与圆有关的比例线段 〖知识点〗 相交弦定理、切割线定理及其推论 〖大纲要求〗 1．正误相交弦定理、切割线定理及其推论； 2．了解圆幂定理的内在联系； 3．熟练地应用定理解决有关问题； 4．注意（ 1）相交弦定理、切割线定理及其推论统称为圆幂定理，圆幂定理是圆和相似 三角形结合的产物。这几个定理可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则 这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积相等（至于切线可看 作是两条交点重合的割线）。使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的 交点； （2）见圆中有两条相交想到相交弦定理；见到切线与一条割线相交则想到切割线定 理；若有两条切线相交则想到切线长定理，并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线 为对称轴的对称图形。 〖考查重点与常见题型〗 证明等积式、等比式及混合等式等。此种结论的证明重点考查了相似三角形，切割线定 理及其推论，相交弦定理及圆的一些知识。常见题型以中档解答题为主，也有一些出现在选 择题或填空题中。 〖预习练习〗 1.圆内两弦相交，其中一条弦长为8cm，且被交点平分，另一条被交点分为1:4 两部分，则这 条弦长为（） （A ） 2cm（B）8cm（C）10cm（D）16cm 2.自圆外一点所作过圆心的割线长是12cm，圆的半径为4cm，则过此点所引的切线长为（） （A ） 16cm （ B） 4 3 cm （ C） 4 2 cm （ D）以上答案都不对 3.如图，圆内接四边形ABCD 的 BA 、 CD 的延长线交于P，AC 、 BD 交 于 E，则图中相似三角形有（） （A ） 2 对（ B） 3 对（ C） 4 对（ D） 5 对 4.圆内两条弦AB 与 CD 相交于 E，如果 AE ＝ BE ， CE＝ 9， DE ＝ 4，那么 AB ＝ 5.从圆外一点P 向圆引两条割线PAB 、PCD，分别与圆相交于 A 、B、C、D，如果 PA＝ 4，PC ＝ 3，CD ＝ 5，那么 AB ＝ 6.Rt△ABC 中两条直角边分别为6cm，8cm，则外接圆半径为,内切圆半径为 7.PA、 PB 分别是⊙ O的切线，切点分别为A、 B，∠ AOB＝ 144°，则∠ P＝ 考点训练： 1.⊙ O 中直径 CD ⊥弦 AB于 E， AB＝ 6， DE∶ CE＝ 1∶ 3，则 (A) 3 (B) 3 (C) 23(D) 6 2. 由圆外一点作圆的切线长为6，过这点作过圆心的割线长为 (A) 19cm (B) 6cm (C) 4.5cm (D)以上答案都不对 3. 如图 1，⊙ O的半径为6， PQ＝ 6， AR＝ 8 则 QR的长为（ (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 DE的长为（） 12，则此圆半径长为（ ） ）

人教新课标版数学高二-练习2014人教数学选修4-1练习2.五 与圆有关的比例线段

1．圆内两条相交弦AB 和CD 交于点P ，AB ＝8，AB 把CD 分成两部分的线段长分别为3和4，那么AP 等于( ) A ．2 B ．6 C ．2或6 D ．3或 5 解析：选C.如图所示，由相交弦定理，得 AP ·(8－AP )＝3×4 ，解得AP ＝2或6. 2．如图，在△ABC 中，BC ＝14 cm ，AC ＝9 cm ，AB ＝13 cm ，内切圆分别和BC 、AC 、AB 切于点D 、E 、F ，那么AF 、BD 、CE 的长分别为( ) A ．AF ＝4 cm ，BD ＝9 cm ，CE ＝5 cm B ．AF ＝4 cm ，BD ＝5 cm ，CE ＝9 cm C ．AF ＝5 cm ，B D ＝4 cm ，C E ＝9 cm D ．A F ＝9 cm ，BD ＝4 cm ，CE ＝5 cm 解析：选A.∵BC 、AC 、AB 分别切圆于点D 、E 、F ， ∴AF ＝AE ，BF ＝BD ，CD ＝CE . 设AF ＝x cm ，BD ＝y cm ，CE ＝z cm ，则 ???? ? x ＋y ＝13，y ＋z ＝14，z ＋x ＝9. 解得x ＝4，y ＝9，z ＝5. ∴AF ＝4 cm ，BD ＝9 cm ，CE ＝5 cm. 3．如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∶BC ＝1∶2，AB ＝35，PD ＝40，

则过点P 的⊙O 的切线长是( ) A ．60 B ．40 2 C ．35 2 D ．50 解析：选A.由圆内接四边形的性质定理，可得△PAD 与△PCB 相似．∴AD BC ＝PD PB ，即 40 PA ＋35＝1 2，解得PA ＝45.若设过点P 的⊙O 的切线长为x ，则x 2＝PA ·PB ＝45×80，∴x ＝60，故选A. 4．(2012·高考北京卷)如图， ∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则( ) A ．CE ·C B ＝AD ·DB B ．CE ·CB ＝AD ·AB C ．A D ·AB ＝CD 2 D ．C E ·EB ＝CD 2 解析：选A.在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴CD 2＝AD ·DB .又CD 是圆的切线，故CD 2＝CE ·CB . ∴CE ·CB ＝AD ·DB . 5．如图，P 为半圆O 的直径AB 延长线上一点，且PB ＝OB ＝2，PC 切半圆O 于C ，CD ⊥AB 于D .则CD 长为( ) A ．2 3 B. 3 C.3 2 D ．4 3 解析：选B.连接OC .∵PC 为半圆O 的切线， ∴∠OCP ＝90°.

中考专题复习之圆中成比例的线段

中考专题复习之圆中成比例的线段 知识考点： 1、相交弦定理、切割线定理、割线定理是圆中成比例线段的重要的结论，是解决有关圆中比例线段问题的有力工具。 2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用，主要是用于计算线段的长。 精典例题： 【例1】已知如图，AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线BMN 交AD 的延长线于C ，且BM ＝MN ＝NC ，若AB ＝2。求： （1）BC 的长； （2）⊙O 的半径r 。 分析：由题设图形不难可以看出在本题中可综合运用勾股定理、切割线定理、割线定理来解题。 解：（1）设BM ＝MN ＝NC ＝x ，由切割线定理可得：BM BN AB ?=2 即)(22 x x x +=解得：2= x ，∴BC ＝233=x ； （2）在Rt △ABC 中，AC ＝1422=-AB BC 由割线定理可得：CM CN AC CD ?=? ∴7 14 2=?= AC CM CN CD ∴14 145)714214(21)(21=-=-= CD AC r 【例2】如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线与BC 和 ⊙O 分别交于点D 和E ，求AE AD ?的值。 分析：由切割线定理有PC PB PA ?=2 ，可得直径BC 的长，要求AE AD ?，由△ACE ∽△ADB 得 BA CA AE AD ?=?，也就是求CA 、BA 的长。 解：连结CE ∵PA 是⊙O 的切线，PBC 是⊙O 的割线 ∴PC PB PA ?=2 又PA ＝10，PB ＝5，∴PC ＝20，BC ＝15 ∵PA 切⊙O 于A ，∴∠PAB ＝∠ACP 又∠P 为公共角，△PAB ∽△PCA ∴ 2 1 2010===PC PA AC AB ∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝900 ∴2252 2 2 ==+BC AB AC ∴AC ＝56，AB ＝53 又∠ABC ＝∠E ，∠CAE ＝∠EAB ∴△ACE ∽△ADB ，∴ AC AD AE AB = ∴905356=?=?=?AC AB AE AD ? 例1图 O N M D C B A ?例2图 P O E D C B A

和圆有关的线段成比例题的证明

和圆有关的线段成比例题的证明 和圆有关的线段成比例的证明题，是平几中常见而又重要的题型，本文就这类问题的证题思路作些介绍，其中最常用的方法是通过相似三角形来证明． 一、利用相似三角形来证 把欲证的比例式中的线段置于两个三角形中，通过证明这两个三角形相似，求得对应边成比例，从而获证。 例1如图1．P是⊙O外的一点，PA与⊙O相切于点A，PC与⊙O相交于点B和C，弦BD∥PA，AC与BD相交于点E． 由BD∥PA，可知∠P=∠3，且∠4=∠3．所以∠P=∠4，故有△PAB∽△ADE．从而问题获证． 二、利用等量代换来证 有的题目中，比例式里的几条线段都在同一直线上，不可能组成相似三角形，针对这种情况，往往采用先“等量代换”，然后再找相似三角形的方法进行分析． 例2如图2，⊙O与⊙A相交于B、C两点，且⊙O过圆心A，过A的直线交BC于F，交⊙A于D，交⊙0于E． 求证：AD2=AE·AF．

三、利用圆幂定理来证 如果比例式中的四条线段有一个公共端点且相乘的两条线段又都在同一直线上，那么可以设法证明这四条线段中除公共端点外的另四个端点共圆，就能利用相交弦定理或切割线定理及其推论证出比例式． 例3．如图3，PA是△ABC的外接圆O的切线．PD∥AC，与弦AB和BC分别相交于点E和D．求证：EA·EB=ED·EP 分析：要证EA·EB=ED·EP，只要证A、P、B、D四点共圆，因为∠1=∠C，且PD∥AC，又有∠2=∠C，所以∠1=∠2．故有A、P、B、D四点共圆，于是问题获证．(当然有∠1=∠2以后，也可以通过△EAP∽△EDB 获证) 四、利用“中间比”当媒介来证 当欲证的比例式的线段不是两相似三角形的对应线段时，需紧扣已知条件寻找中间比当媒介，从而获证． 例4如图4，两圆内切于A，自外圆圆上一点P引内圆的切线PT，T 为切点，外圆半径为R，内圆半径为r．

圆中的比例线段

圆中的比例线段 圆中的比例线段是由直线和圆的位置关系反映出线段间的数量关系所形成的一类几何问题，由于直线和圆的多种不同位置关系，因此就导致了形式多样的线段间数量关系。尽管如此，圆中比例线段的证明问题仍是有规律可循的，只要掌握正确的解题方法，就可以化难为易，使问题迎刃而解。 一、利用相似三角形 当成比例的四条线段分别位于两个三角形中时，可以从求证的比例式中去寻找相似三角形。利用相似三角形证明线段成比例是解决这类问题的最基本的方法。 例1、已知如图，ΔABC内接于⊙O，AD是直径，CF⊥AD于E，交AB于F。 求证：AC2＝AB?AF 例2、已知如图，AB＝AC，AB是⊙O的直径，DM是⊙O的切线，M是DM与AC的交点。 求证：DC:AC＝CM:DC 例3、已知如图，AB、CD是⊙O的直径，且AB⊥CD于O，过C点作弦CF交AB于E。 求证：2CO2＝CE?CF

二、利用等积或等量代换 当不能从所求证的比例式中找到两个相似三角形，可以根据已知条件或图形性质，寻求相等线段，替换比例式中线段，也可以寻找等积线段替换乘积中的相应线段，再利用相似三角形来证明。 例4、 已知如图， AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于G ，P 是CD 延长线上一点，PE 切⊙O 于E ，EB 交CD 于F 。 求证：PF 2＝PD ?PC 例5、 已知如图， ⊙O 的弦AB ∥CD ，P 是CD ⌒ 上一点，PA 、PB 交CD 于E 、F 两点，⊙O 的切线AG 交DC 延长线于G 。 求证：EF CE ＝DE GE 例6、 已知如图， AB 是⊙O 的直径，⊙C 切⊙O 于F ，切AB 于D ，DC 交⊙O 于E 。 求证：ED 2＝AB ?CD