第7讲不等式
【高频考点】
1.简单线性规划
【概念】线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题,它是一种重要的数学模型.简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划,其最优解可以用数形结合方法求出.我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域,然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值.
【例题解析】
例:若目标函数z=x+y中变量x,y满足约束条件.
(1)试确定可行域的面积;
(2)求出该线性规划问题中所有的最优解.
解:(1)作出可行域如图:对应得区域为直角三角形ABC,
其中B(4,3),A(2,3),C(4,2),
则可行域的面积S==.
(2)由z=x+y,得y=﹣x+z,则平移直线y=﹣x+z,
则由图象可知当直线经过点A(2,3)时,直线y=﹣x+z得截距
最小,
此时z最小为z=2+3=5,
当直线经过点B(4,3)时,直线y=﹣x+z得截距最大,
此时z最大为z=4+3=7,
故该线性规划问题中所有的最优解为(4,3),(2,3)
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型,解这种题一律先画图,把每条直线在同一个坐标系中表示出来,然后确定所表示的可行域,也即范围;最后通过目标函数的平移去找到它的最值.
【典型例题分析】
题型一:二元一次不等式(组)表示的平面区域
典例1:若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是()
A.B.C.D.
分析:画出平面区域,显然点(0,)在已知的平面区域内,直线系过定点(0,),结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可.
解答:不等式组表示的平面区域如图所示.
由于直线y=kx+过定点(0,).因此只有直线过AB中点时,直线y=kx+能平分平面区域.
因为A(1,1),B(0,4),所以AB中点D(,).
当y=kx+过点(,)时,=+,所以k=.
答案:A.
点评:二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法:直线定界,测试点定域.
注意不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线.测试点可以选一个,也可以选多个,若直线不过原点,则测试点常选取原点.
题型二:求线性目标函数的最值
典例2:设x,y满足约束条件:,求z=x+y的最大值与最小值.
分析:作可行域后,通过平移直线l0:x+y=0来寻找最优解,求出目
标函数的最值.
解答:先作可行域,如图所示中△ABC的区域,且求得A(5,2)、B
(1,1)、C(1,),作出直线l0:x+y=0,再将直线l0平移,当l0
的平行线l1过点B时,可使z=x+y达到最小值;当l0的平行线l2过点
A时,可使z=x+y达到最大值.故z min=2,z max=7.
点评:(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得,也可能在边界处取得.(2)求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义,明确和直线的纵截距的关系.
题型三:实际生活中的线性规划问题
典例3:某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表:
年产量/亩年种植成本/亩每吨售价
黄瓜4吨 1.2万元0.55万元
韭菜6吨0.9万元0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入﹣总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为()
A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50
分析:根据线性规划解决实际问题,要先用字母表示变量,找出各量的关系列出约束条件,设出目标函数,转化为线性规划问题.
解析设种植黄瓜x亩,韭菜y亩,则由题意可知
求目标函数z=x+0.9y的最大值,
根据题意画可行域如图阴影所示.
当目标函数线l向右平移,移至点A(30,20)处时,目标函数取得
最大值,即当黄瓜种植30亩,韭菜种植20亩时,种植总利润最大.故
答案为:B
点评:线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,转化为简单的线性规划问题,再按如下步骤完成:(1)作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l;(2)平移﹣﹣将l平行移动,以确定最优解的对应点A的位置;
(3)求值﹣﹣解方程组求出A点坐标(即最优解),代入目标函数,即可求出最值.
题型四:求非线性目标函数的最值
典例4:(1)设实数x,y满足,则的最大值为.
(2)已知O是坐标原点,点A(1,0),若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则|+|的最小值是.
分析:与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.
解答:(1)表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,在点(1,)处取到最大值.
(2)依题意得,+=(x+1,y),|+|=可视为点(x,y)与点(﹣1,0)间的距离,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域,结合图形可知,在该平面区域内的点中,由点(﹣1,0)向直线x+y=2引垂线的垂足位于该平面区域内,且与点(﹣1,0)的距离最小,因此|+|的最小值是=.
故答案为:(1)(2).
点评:常见代数式的几何意义有
(1)表示点(x,y)与原点(0,0)的距离;
(2)表示点(x,y)与点(a,b)之间的距离;
(3)表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率;
(4)表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.
【解题方法点拨】
1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.
2.在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时,要注意:当b>0时,截距取最大值时,z 也取最大值;截距取最小值时,z也取最小值;当b<0时,截距取最大值时,z取最小值;截距取最小值时,z取最大值.
2.基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式.其可表述为:两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数.公式为:≥(a≥0,b≥0),变形为ab≤()2或者a+b ≥2.常常用于求最值和值域.
【实例解析】
例1:下列结论中,错用基本不等式做依据的是.
A.a,b均为负数,则.
B. .
C. .
D. .
解:根据均值不等式解题必须满足三个基本条件:“一正,二定、三相等”可知A、B、D均满足条件.
对于C选项中sin x≠±2,
不满足“相等”的条件,
再者sin x可以取到负值.
故选:C.
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数,而不是式子当中的某一个组成元素;B分子其实可以写成x2+1+1,然后除以分母就可换成基本不等式.这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的,而且求最值也很方便.
例2:利用基本不等式求的最值?当0<x<1时,如何求的最大值.解:当x=0时,y=0,
当x≠0时,=,
用基本不等式
若x>0时,0<y≤,
若x<0时,﹣≤y<0,
综上得,可以得出﹣≤y≤,
∴的最值是﹣与.
这是基本不等式在函数中的应用,他的解题思路是首先判断元素是否大于0,没有明确表示的话就需要讨论;然后把他化成基本不等式的形式,也就是化成两个元素(函数)相加,而他们的特点是相乘后为常数;最后套用基本不等式定理直接求的结果.
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1:求下列函数的值域.
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【解题方法点拨】
技巧一:凑项
点评:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值.
技巧二:凑系数
例2:当0<x<4时,求y=x(8﹣2x)的最大值.
解析:由0<x<4知,8﹣2x>0,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值.注意到2x+(8﹣2x)=8为定值,故只需将y=x(8﹣2x)凑上一个系数即可.
y=x(8﹣2x)=[2x?(8﹣2x)]≤()2=8
当2x=8﹣2x,即x=2时取等号,当x=2时,y=x(8﹣x2)的最大值为8.
评注:本题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求最大值.
技巧三:分离
例3:求y=的值域.
解:本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离.
y===(x+1)++5,
当x>﹣1,即x+1>0时,y≥2+5=9(当且仅当x=1时取“=”号)
技巧四:换元
对于上面例3,可先换元,令t=x+1,化简原式在分离求最值.
技巧五:结合函数f(x)=x+的单调性.
技巧六:整体代换
点评:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错.
技巧七:取平方
点评:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件.
总之,我们利用基本不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积极创造条件利用基本不等式.
3.指、对数不等式的解法
【概述】指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点,第一点是判断指、对数的单调性,第二点就是学会指数和指数,对数和对数之间的运算,下面以例题为讲解.
【例题解析】
例1:已知函数f(x)=e x﹣1(e是自然对数的底数).证明:对任意的实数x,不等式f(x)≥x恒成立.
解:(I)设h(x)=f(x)﹣x=e x﹣1﹣x
∴h'(x)=e x﹣1﹣1,
当x>1时,h'(x)>0,h(x)为增,
当x<1时,h'(x)<0,h(x)为减,
当x=1时,h(x)取最小值h(1)=0.
∴h(x)≥h(1)=0,即f(x)≥x.
这里面是一个综合题,解题的思路主要还是判断函数的单调性,尤其是指数函数的单调性,考查的重点其实是大家的计算能力.
例2:已知函数f(x)=log a(x﹣1),g(x)=log a(3﹣x)(a>0且a≠1),利用对数函数的单调性,讨论不等式f(x)≥g(x)中x的取值范围.
解:∵不等式f(x)≥g(x),即log a(x﹣1)≥log a(3﹣x),
∴当a>1时,有,解得2<x<3.
当1>a>0时,有,解得1<x<2.
综上可得,当a>1时,不等式f(x)≥g(x)中x的取值范围为(2,3);
当1>a>0时,不等式f(x)≥g(x)中x的取值范围为(1,2).
这个题考查的就是对数函数不等式的求解,可以看出主要还是求单调性,当然也可以右边移到左边,然后变成一个对数函数来求解也可以.
【考点点评】本考点其实主要是学会判断各函数的单调性,然后重点考察学生的运算能力,也是一个比较重要的考点,希望大家好好学习.
【精讲精练】
一.选择题(共30小题)
1.(2017?新课标Ⅲ)设x,y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是()A.[﹣3,0] B.[﹣3,2] C.[0,2] D.[0,3]
2.(2017?新课标Ⅱ)设x,y满足约束条件,则z=2x+y的最小值是()A.﹣15 B.﹣9 C.1 D.9
3.(2019?浙江)若实数x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值是()A.﹣1 B.1 C.10 D.12
4.(2018?天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=3x+5y的最大值为()A.6 B.19 C.21 D.45
5.(2017?北京)若x,y满足,则x+2y的最大值为()
A.1 B.3 C.5 D.9
6.(2017?新课标Ⅰ)设x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为()A.0 B.1 C.2 D.3
7.(2016?北京)若x,y满足,则2x+y的最大值为()
A.0 B.3 C.4 D.5
8.(2016?北京)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x﹣y的最大值为()
A.﹣1 B.3 C.7 D.8
9.(2015?福建)若变量x,y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于()A.2 B.﹣2 C.D.
10.(2015?四川)设实数x,y满足,则xy的最大值为()
A.B.C.12 D.16
11.(2015?湖南)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为()
A.B.2 C.2D.4
12.(2015?天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+6y的最大值为()A.3 B.4 C.18 D.40
13.(2015?湖南)若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为()
A.﹣7 B.﹣1 C.1 D.2
14.(2015?广东)若变量x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最小值为()A.4 B.C.6 D.
15.(2014?安徽)x,y满足约束条件,若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,则实
数a的值为()
A.或﹣1 B.2或C.2或﹣1 D.2或1
16.(2014?广东)若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,
则m﹣n=()
A.5 B.6 C.7 D.8
17.(2020?焦作一模)若x,y满足约束条件,则z=4x+3y的最小值为()
A.9 B.6.5 C.4 D.3
18.(2020?驻马店一模)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=4x﹣2y的最大值为()
A.12 B.10 C.8 D.6
19.(2020?平顶山一模)若直线+=1(a>0,b>0)过点(2,1),则2a+b的最小值为()A.10 B.9 C.8 D.6
20.(2020?郑州一模)若变量x,y满足约束条件,则y﹣2x的最小值是()A.﹣1 B.﹣6 C.﹣10 D.﹣15
21.(2020?淇滨区校级模拟)设实数x,y满足,则7x+3y﹣1的最小值为()A.﹣15 B.﹣13 C.﹣11 D.﹣9
22.(2019?河南模拟)若x,y满足不等式组,则z=﹣4x+y的最小值为()A.﹣12 B.﹣8 C.1 D.2
23.(2019?济南一模)已知实数x,y满足约束条件,则z=3x+y的最小值为()A.﹣5 B.2 C.7 D.11
24.(2019?河南三模)已知实数x,y满足,则z=的最大值为()A.B.C.D.
25.(2019?上饶二模)设x,y满足约束条件,则z=2x﹣4y的最小值是()A.﹣22 B.﹣13 C.﹣10 D.﹣25
26.(2019?安阳二模)设x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值为()A.6 B.2 C.﹣2 D.﹣3
27.(2019?山西模拟)设x,y满足约束条件,则z=﹣2x+y的最大值是()A.1 B.4 C.6 D.7
28.(2019?濮阳模拟)若变量x,y满足约束条件,则的最大值为()A.B.C.2 D.4
29.(2019?陕西一模)若x、y满足约束条件,则z=3x﹣2y的最小值为()A.B.﹣C.﹣5 D.5
30.(2019?大庆二模)设x、y满足约束条件,则z=2x﹣3y的最小值是()
A.﹣7 B.﹣6 C.﹣5 D.﹣3
二.填空题(共20小题)
31.(2018?新课标Ⅰ)若x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最大值为.32.(2017?新课标Ⅰ)设x,y满足约束条件,则z=3x﹣2y的最小值为.33.(2016?新课标Ⅲ)设x,y满足约束条件,则z=2x+3y﹣5的最小值为.34.(2015?新课标Ⅰ)若x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为.
35.(2014?上海)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为.
36.(2020?河南模拟)已知正数x,y满足x2+y2=1,则当x=时,+取得最小值,最小值为.
37.(2020?郑州一模)已知a>0,b>0,2a+b=4,则的最小值为.
38.(2019?中原区校级模拟)已知动点P(x,y)满足则的最大值为.39.(2019?河南模拟)已知(x,y)满足,则的最大值为
40.(2019?河南模拟)已知(x,y)满足,则x﹣2y的最大值为
41.(2019?郑州三模)若实数x,y满足条件则z=3x﹣2y的最大值为.42.(2019?石家庄模拟)若实数x,y满足不等式组,则z=2x+y的最小值是.43.(2019?濮阳二模)若x,y满足约束条件,则z=x﹣y的最大值为.44.(2019?茂名一模)若x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为.
45.(2019?西湖区校级模拟)已知a>0,b>0,且a+2b=1,则的最小值为.46.(2018?全国四模)ln(2x﹣1)<0的解集为.
47.(2018?郑州三模)已知实数x,y满足:,则3x+y的最大值为.
48.(2018?泉州二模)若x,y满足约束条件,则z=x2+y2的最小值为.49.(2018?河南模拟)已知实数x,y满足不等式组,则z=x﹣y﹣1的最小值为.50.(2018?河南模拟)已知实数x,y满足不等式组,则z=x﹣2y的最小值为.35918653