空间向量与立体几何专题复习

空间向量与立体几何专题复习

1.已知向量b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为 （ ）

A ．0°

B ．45°

C ．90°

D ．180°

2.已知:)2,2,1(),12,5,(x x B x x x A -+--,当||AB 取最小值时,x 的值等于( )

A.19

B.7

8- C. 7

8 D.14

19

3．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM

与CN 所成角的余弦值是 （ ）

A ．5

2-

B ．52

C ．53

D ．

10

10 4.已知→

-a =（2，-1，3），→

-b =（-4，2，x ），若→

-a 与→

-b 夹角是钝角，则x 取值范围是 ( )

A.（-∞，

310） B.（-∞，2） C.（310，+∞） D.（-∞，3

10-） 5. 已知向量→

-a =（2，-3，5）与向量→

-b =（3，15

,

2

λ）平行，则λ等于（ ） A. 23 B. 92 C. 92- D. 2

3

-

6. 已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上

的中线长为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 7. 下列各组向量中不平行的是（ ）

A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b a

B ．)0,0,3(),0,0,1(-==d c

C )0,0,0(),0,3,2(==f e

D ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g

8.已知向量a ＝（1,1,0），b ＝（－1,0，2），且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直，则k 的值是（ ）

A ． 1

B ． 51

C ． 53

D ． 5

7

9.设|m |＝1，|n |＝2，2m ＋n 与m －3n 垂直，a ＝4m －n ，b ＝7m ＋2n ，则,??a b ＝ 10. 已知→

-a =（3，-3，-1），→

-b =（2，0，3），→

-c =（0，0，2），求→

-a ·（→

-b +→

-c ）=__________。 11．若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n= .

12．已知A 0,2,3)B 2,1,6),(1,1,5)C --（

、（, 则ABC △的面积S=_____. 13.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1D ，DB 的中点，G 在棱CD 上CG=4

1

CD ，H 是C 1G 的中点.(1)求证：EF ⊥B 1C;(2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值;(3)求FH 的长.

14.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为CD 的中点.

（1）求证：EB 1⊥AD 1；（2）求D 1E 与A 1C 所成角的余弦值.

15. 如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：EF ⊥CD ；

16.如图，在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=AB=2，3BC =，90=∠ABC °,平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点.

（Ⅰ）求证：AB ⊥PE ；（Ⅱ）求二面角A-PB-E 的大小.

高中数学空间向量与立体几何测试题及答案

一、选择题 1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ） Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形 答案：Ａ 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC 的表达中错误的一个是（ ） Ａ．11111AA A B A D ++ Ｂ．111AB DD D C ++ Ｃ．111AD CC D C ++ Ｄ．11111 ()2 AB CD AC ++ 答案：Ｂ 3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ 4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ． 1 2 Ｄ．2- 答案：Ｂ 5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ． 649 答案：Ｂ 6．已知非零向量12e e ，不共线，如果1222122833e e e e e e =+=+=-， ，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （ ） Ａ．一定共圆 Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面 答案：Ｃ 7．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对 角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，，

的中点，则2a 等于（ ） Ａ．2BA AC · Ｂ．2AD BD · Ｃ．2FG CA · Ｄ．2EF CB · 答案：Ｂ 8．若123123123=++=-+=+-，，a e e e b e e e c e e e ，12323d e e e =++，且x y z =++d a b c ，则，，x y z 的值分别为（ ） Ａ．51122--，， Ｂ．51122 -，， Ｃ．51122 --，， Ｄ．51122 ，， 答案：Ａ 9．若向量(12)λ=，，a 与(212)=-， ，b 的夹角的余弦值为8 9，则λ=（ ） Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或 255 Ｄ．2或255 - 答案：Ｃ 10．已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（ ） Ａ．7412??- ???，， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，， 答案：Ｄ 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（ ） Ａ．60° Ｂ．90° Ｃ．3arccos 3 Ｄ．3arccos 6 答案：Ｄ 12．给出下列命题： ①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···； ②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面； ③已知⊥a b ，则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合． 正确的结论的个数为（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：Ｃ 二、填空题 13．已知(315)(123)==-，，，，，a b ，向量c 与z 轴垂直，且满足94==-，··c a c b ，则c = ． 答案：2221055?? - ??? ，，

空间向量和立体几何练习题及答案.

1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． （1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，

必修2立体几何+选修2-1空间向量专题复习学案：空间向量与立体几何(含答案-可直接打印)

必修2立体几何+选修2-1空间向量专题复习学案：空间向量与立体几何(含答案-可直接 打印) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2 专题复习：空间向量与立体几何 题型一：空间几何体的三视图、表面积和体积 1．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视 图为( ) 2．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A ．9π＋42 B ．36π＋18 C.92π＋12 D.92 π＋18 3.如果圆锥的侧面展开图半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母 线的夹角)是（ ） A.?30 B.?45 C.?60 D.?90 4.球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于 . 5.如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形， 俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何 体的体积是 . 6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为?45，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积等于 . 题型二：空间向量的运算及坐标表示 1.已知空间四边形OABC ，其对角线OB 、AC ，M 、N 分别是边OA 、CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG=2GN ，用向量,,OA OB OC 表示向量OG 是 （ ） A.2233 OG OA OB OC =++； B.122233 OG OA OB OC =++； C.111633OG OA OB OC =++ D.112 633 OG OA OB OC =++ 2、给出下列命题 ①已知a b ⊥,则()() a b c c b a b c ?++?-=?; ②A 、B 、M 、N 为空间四点,若,,BA BM BN 不构成空间的一个基底,则A 、B 、M 、N 共面; ③已知a b ⊥,则,a b 与任何向量不构成空间的一个基底; ④已知{} ,,a b c 是空间的一个基底,则基向量,a b 可以与向量m a c =+构成空间另一个基底. 正确命题个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3、已知平行四边形ABCD 中，A (4，1，3)、B (2，－5，1)、C (3，7，－5)，则D 的坐标为( ) A ．)1,4,2 7 (- B ．(2，3，1) C ．(－3，1，5) D ．(5，13，－3) 4、1,2,,a b c a b ===+且c a ⊥,则向量a b 与的夹角为（ ） A ．30? B ．60? C ．120? D ．150? 5．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 6．若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a λ，且a 与b 的夹角余弦为9 8 ，则λ等于（ ） A ．2 B ．2- C ．2-或552 D ．2或552 - 7．空间四边形OABC 中，OB OC =，3 AOB AOC π ∠=∠=，则cos <,OA BC >的值 是（ ） A ． 21 B ．22 C ．－2 1 D ．0 8.已知b a ,是空间二向量，若b a b a b a 与则,7||,2||,3||=-==的夹角 为 . 题型三：空间向量在立体几何中的应用 例1如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为BC 的中点，N 为AB 的中点，P 为BB 1的中点． (Ⅰ)求证：BD 1⊥B 1C ； (Ⅱ)求证：BD 1⊥平面MNP ．

平面向量及空间向量高考数学专题训练

平面向量及空间向量高考数学专题训练（四） 一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分） 1．设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b ， 则锐角α为（ ） A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =?满足，则点P 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3．已知向量值是相互垂直，则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(（ ） A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4．已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-（ ） A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5．将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a （2,3 π ）平移，再将所得图像上各点的横坐标 变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（ ） A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x －3 π )－2 C.y=(321π+x )－2 D.y=sin(321π-x )+2 6．若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为（ ） A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则?的值为 （ ） A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10．O 为空间中一定点，动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0,

空间向量与立体几何教案(强烈推荐)

空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处

理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量 叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当 我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与a 同向， 当λ<0时与a 反向的所有向量。 （3）若直线l ∥a ，l A ∈，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。

专题7.6 利用空间向量证明平行与垂直-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)

第七篇立体几何与空间向量 专题7.06利用空间向量证明平行与垂直 【考试要求】 1.理解直线的方向向量及平面的法向量； 2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系； 3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理； 4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题； 5.能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面的距离问题； 6.并能描述解决夹角和距离的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 【知识梳理】 1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l 的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量. 2.空间位置关系的向量表示 3.异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

4.求直线与平面所成的角 设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n | |a ||n |. 5.求二面角的大小 (1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD → 〉. (2)如图②③，n 1，n 2 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角). 6.点到平面的距离 用向量方法求点B 到平面距离基本思路：确定平面法向量， 在平面内取一点A ，求向量AB → 到法向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面α的法向量为n ，点B 到平面α的距离d ＝|AB →·n | |n |. 【微点提醒】 1.平面的法向量是非零向量且不唯一. 2.建立空间直角坐标系要建立右手直角坐标系. 3.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|. 4.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.( )

空间向量专题讲解

空间向量的概念解析 例1、下列说法中正确的是（ ） A.若｜a ｜=｜b ｜，则a,b 的长度相同，方向相同或相反 B.若向量a 是向量b 的相反向量，则｜a ｜=｜b ｜ C.空间向量的减法满足结合律 D.在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC += 练习 1、给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点相同；③若空间向量a,b 满足｜a ｜=｜b ｜，则a=b ；④若空间向量m,n,p 满足m=n,n=p,则m=p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等，其中正确命题的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 2、下列四个命题： （1）方向相反的两个向量是相反向量 （2）若a,b 满足｜a ｜＞｜b ｜，且a,b 同向，则a ＞b （3）不相等的两个空间向量的模必不相等 （4）对于任何向量a,b ，必有｜a+ b ｜≤｜a ｜+｜b ｜ 其中正确命题的序号为（ ） A.（1）（2）（3） B.（4） C.（3）（4） D.（1）（4） 空间向量的线性运算 例1、 已知长方体ABCD-A ’B ’C ’D ’,化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量 （1）AA CB '-（2）AB B C C D '''''++（3） 111222 AD AB A A '+- 练习 1、如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量的共有（ ） ①1()AB BC CC ++②11111()AA A D DC ++ ③111()AB BB BC ++④11111()AA A B BC ++ A.1个 B.2个 C.3个 D.4 个

空间向量与立体几何知识点归纳总结52783

空间向量与立体几何知识点归纳总结 一．知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1 ）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝λb 。 （3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ= <=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与共线的单位向量为a ± 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数 ,x y 使p xa yb =+。 （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一 个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

(完整版)空间向量与立体几何题型归纳

空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VADL底面ABC (1)证明AB丄平面VAD (2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形，侧棱PA丄底面ABCD AB骑, BC=1 , PA=2, E为PD的中点. (1)求直线AC与PB所成角的余弦值; (2)在侧面PAB内找一点N使NE!平面PAC并求出N点到AB和AP的距 离.(易错点，建系后，关于N点的坐标的设法，也是自己的弱项)

3. 如图，在长方体 ABCD-ABCD 中，AD=AA=1, AB=2,点E 在棱 AB 上移动. 证明：DE 丄AD; 当E 为AB 的中点时，求点 A 到面ECD 的距离; 7T AE 等于何值时，二面角 D — EC- D 的大小为-(易错点：在找平面DEC 的法向量的时候，本 来法向量就己经存在了 ，就不必要再去找，但是我认为去找应该没有错吧 ，但法向量找出来了 ， 和 那个己经存在的法向量有很大的差别 ，而且，计算结果很得杂，到底问题出在哪里?) 4. 如图，直四棱柱 ABCD — A I B I C I D I 中，底面ABCD 是等腰梯形，AB // CD , AB = 2DC =2, E 为BD i 的中点，F 为AB 的中点，/ DAB = 60° (1)求证：EF //平面 ADD 1A 1; ⑵若BB 1 ~2-，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值. N ： 5 题到 11 题都是运用基底思想解题 5. 空间四边形 ABCD 中, AB=BC=CD AB 丄BC, BC 丄CD , AB 与CD 成60度角，求AD 与BC 所 成角的大小。 (1) (2) (3) A B

空间向量与立体几何知识点

立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式 cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求 两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．

（3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量． （4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的范围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|． （3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补． 7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距

专题11.4 空间向量的应用(专题训练卷)(解析版)

专题11.4 空间向量的应用（专题训练卷） 一、单选题 1．（2020·江苏如东 高一期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为（ ） A ． 6 B ． 102 C ． 155 D ． 105 【答案】D 【解析】 以D 点为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1), 1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量． 110 cos ,558 BC AC ∴<>= =?． ∴直线1BC 与平面11BB DD 10 故选：D ． 2．（2020·河北新华 石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( )

A．1 6 B． 1 4 C． 1 6 -D． 1 4 - 【答案】A 【解析】 如图，以D为坐标原点，分别以1 ,, DA DC DD所在直线为,, x y z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则()( )()() 1 100,012,121,002 M N O D ，，，，，，，，，∴()() 1 1,1,2,1,2,1 MN OD =-=--．则 1 1 1 1 cos, 6 66 MN OD MN OD MN OD ? === ?．∴异面直线 MN与 1 OD所成角的余弦值为 1 6 ,故选A． 3．（2020·辽宁高三其他（文））如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为（） A 6 B 26 C 15 D 10 【答案】D 【解析】 以D点为坐标原点，以DA、DC、1 DD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，

2021年高考数学专题复习：空间向量及其运算

2021年高考数学专题复习：空间向量及其运算 一、单选题 1．若向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2a b -=（ ） A ．(4,1,0)- B ．(4,1,4)-- C ．(4,1,0)- D ．(4,1,4)-- 2．在平行六面体ABCD－A 1B 1C 1D 1中，向量1D A －1D C －11AC 是( ) A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 3．已知空间直角坐标系O xyz -中， )3,2,1(=， )2,1,2(=， ) 2,1,1(=，点Q 在 直线OP 上运动，则当QA QB ?取得最小值时，点Q 的坐标为（ ） A ．131,,243?? ??? B ．133,,224?? ??? C ．448,,333?? ??? D ．447,,333?? ??? 4．已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱1AA ，1BB ，1CC 分别交于三点M ，N ，Q ，若MNQ △为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）． A ．2 B ．4 C ． D ．5．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是（ ） A ．OM OA OB OC =-- B ．111 532 OM OA OB OC = ++ C ．0MA MB MC ++= D ．0OM OA OB OC +++= 6．对于空间向量()1,2,3a =，(),4,6b λ=，若//a b ，则实数λ=（ ）

A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 7．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知 AB a =， AD b =， 1AA c =，则用向量a ， b ，c 可表示向量 1BD 等于 A ．a b c ++ B ．a b c -+ C ．a b c +- D ．a b c -++ 8．在空间直角坐标系中，()()2,2,0,1,,1,OA a b OB c d O ==-为坐标原点，满足 22221,4a b c d +=+=，则下列结论中不正确的是（ ） A ．·OA O B 的最小值为-6 B ．·OA OB 的最大值为10 C ．AB D ．AB 最小值为1 二、填空题 9．在正方体1111ABCD A B C D -中，给出以下向量表达式： ①111()A D A A AB --； ②111()BC BB DC +-； ③1()2AD AB DD --； ④1111 ()B D A A DD ++. 其中能够化简为向量1BD 的是______________（填序号）. 10．已知向量()1,2,3a =,() 2 ,2,b x x y y =+-,并且a ?b 共线且方向相同,则x y +=

高三数学专题复习：空间向量

一、知识梳理 【高考考情解读】 高考对本节知识的考查以解答题的形式为主：1.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的证明、空间角(主要是线面角和二面角)的计算.2.以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题． 1． 直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)(以下相同)． (1)线面平行：l ∥α?a ⊥μ?a ·μ＝0?a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. (2)线面垂直：l ⊥α?a ∥μ?a ＝k μ?a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. (3)面面平行：α∥β?μ∥v ?μ＝λv ?a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3. (4)面面垂直：α⊥β?μ⊥v ?μ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0. 2． 直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算 设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)(以下相同)． (1)线线夹角：设l ，m 的夹角为θ(0≤θ≤π2)，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|a 21＋b 21＋c 21a 22＋b 22＋c 22 . (2)线面夹角：设直线l 与平面α的夹角为θ(0≤θ≤π2)，则sin θ＝|a ·μ||a ||μ| ＝|cos 〈a ，μ〉|. (3)面面夹角：设平面α、β的夹角为θ(0≤θ<π)，则|cos θ|＝|μ·v ||μ||v | ＝|cos 〈μ，v 〉|. 提醒 求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析． 3． 求空间距离 直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离，点P 到平面α的距 离：d ＝|PM →·n ||n | (其中n 为α的法向量，M 为α内任一点). 二、课前预习 1．平面α的法向量为m ，向量a 、b 是平面α之外的两条不同的直线的方向向量，给出三个论断：①a ⊥m ；②a ⊥b ；③m ∥b .以其中的两个论断作为条件，余下一个论断作为结论， 写出所有正确的命题______________________． 2.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1， ∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，则cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值为________． 3．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，

立体几何与空间向量-浙江省台州市书生中学2020届高三数学复习专题练习(无答案)

立体几何 例1.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =.三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为（ ） A ．72π B ．86π C ．112π D ．128π 2.三视图 例2.某简单组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．164+π B ．484π+ C ．4812π+ D ．4816π+ 3.常见几何体的体积计算公式 例3.已知直角三角形 ABC 两直角边长之和为3，将ABC ?绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为__________，此时该旋转体外接球的表面积为___________. 例4.如图，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，过球心且，是边长为等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且 ，则三棱锥体积的最大值为__________． 例5.如图，在几何体中，平面底面ABC ， 四边形是正方形，，Q 是的中点，且，． 求证：平面； 求二面角 的余弦值．

例6.如图几何体中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ， //EC PD ，且22PD AD EC ===.（1）求证：//BE 平面PDA ； （2）求PA 与平面PBD 所成角的大小. 例7．已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都 相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球n O 与三棱锥A BCD -的 三个面和球1n O -都相切（2n ≥，且n *∈N ），则球1O 的体积等于__________，球n O 的表面积等于__________. 例8.如图所示，在等腰梯形ABCD 中，，，E ，F 为AB 的三等分点，且将和分别沿DE 、CF 折起到A 、B 两点重合，记为点P ． 证明：平面 平面PEF ； 若，求PD 与平面PFC 所成角的正弦值．

最新平面向量及空间向量高考数学专题训练

平面向量及空间向量高考数学专题训练

平面向量及空间向量高考数学专题训练（四） 一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分） 1．设?Skip Record If...?cos?Skip Record If...?,?Skip Record If...?), ?Skip Record If...?sin?Skip Record If...?,且?Skip Record If...?∥?Skip Record If...?，则锐角 ?Skip Record If...?为（） A. ?Skip Record If...? B. ?Skip Record If...? C. ?Skip Record If...? D. ?Skip Record If...? 2．已知点?Skip Record If...?、?Skip Record If...?，动点?Skip Record If...?，则点P的轨迹是（） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3．已知向量?Skip Record If...?（） A. 1 B. ?Skip Record If...? C. ?Skip Record If...? D. ?Skip Record If...? 4．已知?Skip Record If...?是非零向量且满足?Skip Record If...?（） A. ?Skip Record If...? B. ?Skip Record If...? C. ?Skip Record If...? D. ?Skip Record If...? 5．将函数y=sinx的图像上各点按向量?Skip Record If...?（?Skip Record If...?）平移，再将所得图像上各点的横坐标变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（） A.y=sin(2x+?Skip Record If...?)+2 B.y=sin(2x－?Skip Record If...?)－2 C.y=(?Skip Record If...?)－2 D.y=sin(?Skip Record If...?)+2 6．若A,B两点的坐标是A(3?Skip Record If...?,3?Skip Record If...?,1),B(2?Skip Record If...?2?Skip Record If...?1),|?Skip Record If...?|的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25]

空间向量与立体几何知识点学生

用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥． （3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量． （4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos ,a b a b a b ?<>= ?， 但务必注意两异面直线所成角θ的范围是0,2π?? ? ??， 故实质上应有：cos cos ,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sin θ＝| cos φ|． （3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补． 7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量；

高中数学(理)空间向量知识点归纳总结及综合练习

空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a 平行于 b ，记作b a //。 》 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a b a b 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使 p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组 ,,x y z ，使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使 OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： ~ （1）空间直角坐标系中的坐标： （2）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ?=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=。 ②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 》