第9章含参量积分
第九章 含参变量积分
Ⅰ 基本概念与主要结果
一 含参量正常积分
1 定义
设(,)f x y 为矩形区域[,][,]R a b c d =?上的二元函数，若[,]y c d ?∈，一元函数(,)f x y 在[,]a b 上可积，则其积分值是y 在[,]c d 上取值的函数，记为()y ?，即
()(,),[,].b
a
y f x y dx y c d ?=∈?
称之为含参量的有限积分，y 称为参变量。
更一般地，我们有如下含参量积分：{}
((,)()(),)f G x y a y x b y y αβ=≤≤≤≤在
()
()
()(,),[,].b y a y y f x y dx y ?αβ=∈?
其中(),()a x b x 为[,]αβ上的连续函数。
2 分析性质 （1）连续性
设二元函数(,)f x y 在区域{
}(,)()
(),G x y c x x d x a
x b =≤≤≤≤上连续，其中
(),()c x d x 为[,]a b 上连续函数，则函数
()
()
()(,)d x a x F x f x y dy =?
在],[b a 上连续。
（2）可微性 若函数f 与
f x
?
?在[,][,]a b c d ?上连续，则 ()(,)d
c
I x f x y dy =?
在[,]a b 上可微，且
'
()(,)d
c I x f x y dy x
?
=??
（3）可积性 若(,)f x y 在[,][,]a b c d ?上连续，则()I x 和()J y 分别在[,]a b 和[,]c d 上
可积。
此说明，在连续的假设之下，同时存在两个求积顺序不同的积分：
(,)b
d a c f x y dy dx ????????与(,)d b c a f x y dx dy ??????
?? 为了书写简便起见，上述两个积分分别写作：
(,)b d
a
c
dx f x y dy ??
与
(,)d
b
c
a
dy f x y dx ?
?
统称为累次积分。
（4）若(,)f x y 在[,][,]a b c d ?上连续，则
(,)b
d a
c
dx f x y dy ?
?=(,)d b
c
a
dy f x y dx ??
一、参量的常积分
1、 一致收敛性及其判别法
定义1 设函数定义在无界区域{}
(,)()(),G x y c x x d x a x b =≤≤≤≤上，若对每一固定的[,]x a b ∈，反常积分
(,)c
f x y dy +∞
?
都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，记之为()I x ，则有
()(,)c
I x f x y dy +∞
=?
，[,]x a b ∈ （1）
称（1）式为定义在[,]a b 上的含参量的无穷限反常积分，简称含参量无穷积分。 定义2（一致收敛）若含参量积分（1）满足：0,0N ε?>?>，当M N >时，[,]x a b ?∈，有
|(,)(,)|M
c
c
f x y dy f x y dy ε+∞
-
?，
则称含参量积分（1）在[,]a b 上一致收敛于()I x ，或简称
(,)b
a
f x y dy ?
在[,]a b 上一致
收敛。 判别法则
定理1（柯西准则）含参量无穷积分（1）在[,]a b 上一致收敛的充要条件是：
120,,,,[,]M c A A M x a b ε?>?>>?∈当时，有
2
1
|(,)|A A f x y dy ε
定理2（魏尔斯特拉斯M-判别法）设有函数()g y ，使得
(,)(),,.f x y g y a x b c y ≤≤≤≤<+∞
若
()c
g y dy +∞
?
收敛，则(,)c
f x y dy +∞
?
在[,]a b 上一致收敛。
定理3 含参量反常积分（1）在[,]a b 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{}n A （其中1A c =），函数项级数
1
1
1
(,)()n n
A n A n n f x y dy u x +∞
∞
===∑∑?
在[,]a b 上一致收敛。（参具体华师大P181） 定理4（狄利克雷判别法）设
（1） 对一切实数N c >，含参量反常积分
(,)N
c
f x y dy ?
对参量x 在上一致有界，即0,,[,]M N c x a b ?>?>?∈,有
(,);N c
f x y dy M ≤?
(2)对每个[,]x a b ∈，函数(,)g x y 关于y 是单调递减的且当y →∞时，对参量x ，
(,)g x y 一致收敛于0，则含参量反常积分(,)(,)c
f x y
g x y dy +∞
?
在[,]a b 一致收敛。
定理5（阿贝尔判别法）设 （1）
(,)c
f x y dy +∞
?
在[,]a b 上一致收敛；
（2） 对每一个[,]x a b ∈，函数(,)g x y 为y 的单调函数，且对参量x ，(,)g x y 在[,]
a b 上一致有界，即0,(,)L g x y L ?<<。1
则含参量反常积分
(,)(,)c
f x y
g x y dy +∞
?
在[,]a b 一致收敛。
2、 含参量反常积分的性质
定理1（连续性）设(,)f x y 在[,][,)a b c ?+∞上连续，若()(,)c
I x f x y dy +∞
=?
在[,]a b 上
一致收敛，则()I x 在[,]a b 上连续。
定理2（可微性）设(,)f x y ，(,)x f x y 在区域[,][,)a b c ?+∞上连续，若
()(,)c
I x f x y dy +∞
=?
在[,]a b 上收敛，(,)x c
f x y dy +∞
?
在[,]a b 上一致收敛，则()I x 在
[,]a b 可微，且
'
()(,)x c
I x f x y dy +∞
=?
定理3（可积性）设(,)f x y 在[,][,)a b c ?+∞上连续，若()(,)c
I x f x y dy +∞
=
?
在[,]a b 上
一致收敛，则()I x 在[,]a b 上可积，且
(,)b
a
c
dx f x y dy +∞
?
?
=(,)b
c
a
dy f x y dx +∞
??
定理4 设(,)f x y 在[,)[,)a c +∞?+∞上连续，若
（1）
(,)a
f x y dx +∞
?
关于y 在任何闭区间[,]c d 上一致收敛，(,)c
f x y dy +∞
?
关于x 在任
何闭区间[,]a b 上一致收敛； （2）积分
|(,)|a
c
dx f x y dy +∞
+∞?
?与|(,)|c
a
dy f x y dx +∞+∞
??
中有一个收敛，则另一个也收敛，且两者相等。
定理5 关于含参量的无界函数反常积分与含参量无穷积分十分类似，从略。 二、欧拉积分
含参量积分
1
1
1
10
(,)(1)(0,0),()(0)p q s x B p q x
x dx p q s x e dx s +∞
----=->>Γ=>??
分别称为第一类和第二类Euler 积分（又称贝塔（Beta ）函数与格马（Gamma ）函数），它们具有下列性质： 1 Γ函数
（1）()s Γ在定义域0s >内连续且可导；
（2）递推公式：(1)(),(1)!()s s s n n n Z +
Γ+=ΓΓ+=∈ 2 B 函数
（1） 在定义域内连续；
（2） 递推公式：
1
(,)(,1),(0,1),
11
(,)(1,),(1,0),1
(1)(1)
(,)(1,1),(1,1).
(1)(2)
q B p q B p q p q p q p B p q B p q p q p q p q B p q B p q p q p q p q -=
->>+--=->>+---=-->>+-+-
（3） 对称性：(,)(,)B p q B q p =
3、两者之间的关系
()()
(,),(0,0)()
p q B p q p q p q ΓΓ=
>>Γ+
4、注意Γ函数与B 函数的其他表现形式
2
21
110
111212120
()2.
(,)(1)2sin cos s s x
x s s px p q q p s x e dx x
e dx p x e dx B p q x x dx d π???
-+∞
+∞
+∞
---------Γ====-=?
?
?
??
Ⅱ 例题选讲 一、基本题
例1求函数1
220
()ln()F x x y dx =
+?
的导数（0y >）
解：0,0,y ε?>?>使得1
y εε
≤≤
，显然被积函数
22ln()x y +与
222
2
2ln()y
x y y x y
?+=?+ 在闭区域1
[0,1;,]εε
上都连续，因此，有
1
1'22220021
()ln()2arctan y F y x y dx dx y x y y
?=+==?+?
? 例2 证明：若函数()f x 在区间[,]a b 连续，则函数
11
()()(),[,](1)!n x a
y x x t f t dt x a b n -=-∈-?
是微分方程()
()()n y x f x =的解，并且满足条件'(1)()()()0n y a y a y
a -==== 。 证明：设1
(,)()
()n F x t x t f t -=-，则(,),(,)x f x t f x t 在[,][,]a b a b ?上连续，因此有
'212
(1)()11()(1)()()()()(1)!(1)!
1()()(2)!
()()()()
x n n a x n a x
n a
n y x n x t f t dt x x f x n n x t f t dt n y x f t dt
y x f x ----=--+---=
--==???
即()y x 是微分方程()
()()n y
x f x =的解，显然'(1)()()()0n y a y a y a -====
例3 证明：若函数()f x 存在二阶导数，函数()F z 存在连续导数，则函数
11(,)[()()]()22x at
x at
u x t f x at f x at F z dz a +-=-+++?
是弦振动方程22
222u u a t x
??=??的解。 证：由题设知2222u u
t x
????与均存在，且有
''''2''''
''211
[()()()][()()]221
[()()][()()]22[()()][()()]22
u f x at a f x at a aF x at aF x at t a
a f x at f x at F x at F x at u a a af x at af x at F x at F x at t ?=--++?+++-?=+--++--?=++-++--? 同理：
2''''
''211[()()][()()]22u f x at f x at F x at F x at x a ?=++-++--? 于是22
222u u a t x
??=?? 例4 求122
0lim 1x dx
x ααα+→++?
解：记122()1dx I x αααα+=++?，由于221
,1,1x ααα
+++α和x 的连续函数，因此()I α在 0α=处连续，所以1200lim ()(0)14
x dx I I x π
α→===
+?。 例5 计算积分 12
0(1)
1l n x I d x
x +=+? （武汉大学） 解：考虑含参量积分120(1)
()1ln x I dx x
αα+=+? 显然(0)0,(1)1I I ==，且2
ln(1)
(,)1x f x x αα+=+在[0,1][0,1]?上满足积分号下可微定理条
件，于是1
'
20()(1)(1)xdx
I x x αα=
++? 由于222
1()(1)(1)111x x x x x x
αα
ααα+=-+++++ 所以
1112220001211
00021()()111111[arctan |ln(1)|ln(1)|]12x I a dx dx dx x x x
x x x ααααααα=
+-++++=++-++???
2
11
(ln 2ln(1))142
πααα=+-++ 从而
1
1
'20
02110011
()(ln 2ln(1))1421ln(1)|ln 2arctan |(1)82
ln 2(1)
4
I d d I I πααααααπααπ
=+-++=++-=
-?
?
又
1
'0
()(1)(0)(1)I d I I I αα=-=?
，所以(1)ln 28
I I π
==
例6 证明无穷积分
ux ue dx +∞
-?
在[,](0)a b a >上一致收敛。
证法一（定义法）设0A >，则有
()ux
ux Au A
A
ue dx e d ux e +∞
+∞
---=--=?
?
已知a u b ≤≤，所以
||ux Au Aa A
ue dx e e +∞
---=≤?
于是0ε?>，要使不等式Aa
e ε-<成立，只需11ln A a ε>
，取011
ln A a ε
=，则当0A A >时，[,]u a b ?∈，有
||ux Aa A
ue dx e ε+∞
--≤
即无穷积分
ux ue dx +∞
-?
在[,](0)a b a >一致收敛。
此法常用积分是可计算的或是可估值的。
证法二（优函数法），[,]u a b ?∈，有
ux ax ue be --≤，
而无穷积分
ax be dx +∞
-?
收敛，故原无穷积分在[,](0)a b a >上一致收敛。
例7 证明：含参量无穷积分
sin xy
dy y
+∞
?
在[,)δ+∞上一致收敛（0δ>），但在(0,)+∞
内不一致收敛。
证：由于0A ?>，有
sin sin A
Ax xy
u dy du y u
+∞
+∞=?
?
而
0sin x dx x
+∞
?收敛，故0,0M ε?>?>，当'
A M >时，有 'sin ||A x dx x
ε+∞
A δ
=，则当0A A >时，x δ?≥，有Ax M >，从而有
sin ||A
xy
dy y
ε+∞
故
0sin xy
dy y +∞
?在[,)δ+∞上一致收敛。
下证0sin xy dy y
+∞?在(0,)+∞内非一致收敛，
即0000,0,,(0,)A A A x ε?>?>?>?∈+∞，有
00|(,)|A f x y dy ε+∞
≥?
事实上，由（1）知
0sin sin A A x xy
u dy du y u
+∞
+∞=?
?
而
0sin u du u +∞
?收敛于2
π
，故对任意的正数0ε和0A >，总存在0A A >及0x ，使得 000sin sin ||A x u u du du u u
ε+∞+∞-
du du du u u u εε+∞+∞+∞-<<+???
现取001sin 2x
dx x
ε+∞=?，由上式立得0000sin 2A xy dy y εεε+∞>-=? 注：0sin 2
x dx x π+∞=?。
例8，证明无穷积分0sin yx x e dx x
+∞
-?在[0,)+∞上一致收敛。 证：由于0sin x
dx x +∞?收敛，且不含参量y ，所以关于y 是一致收敛，又yx e -关于x 是单
调的，且01,[0,)yx
e y -≤≤?∈+∞，即一致有界，由阿贝尔判别法知其在[0,)+∞上一致收
敛。
例9 证明：若(,)f x y 在[,][,)a b c ?+∞上连续，又
(,)c
f x y dy +∞
?
在[,]a b 上收敛，但
在x b =处发散，则
(,)c f x y dy +∞
?
在[,)a b 上非一致收敛。
（北航） 证：假设积分(,)c
f x y dy +∞
?
在[,)a b 上一致收敛，则对于任给0,M c ε>?>，当
',A A M >时，对一切[,)x a b ∈有
'
|(,)|A A
f x y dy ε
由题设知(,)f x y 在'
[,][,]a b A A ?上连续，所以'
(,)A A
f x y dy ?
也是x 的连续函数，因此，在
上式中令x b →-得：当'
,A A M >时，
'
|(,)|A A
f b y dy ε≤?
此说明
(,)c
f x y dy +∞
?
在x b =处收敛，这与假设矛盾，故非一致收敛。
例10 计算0
sin sin (0,)px
bx ax
I e dx p b a x
+∞
--=>>?
解：因为
sin sin cos b a bx ax
xydy x
-=? 所以
(cos )cos b b
px px a
a
I e xydy dx dx e xydy
+∞+∞--==???? （2）
由于|cos |px
px e xy e --≤，而0
px e dx +∞-?收敛，故0
cos px e xydx +∞
-?在[,]a b 一致收敛，
又cos px
e
xy -在[0,)[,]a b +∞?上连续，因此（2）式可交换积分顺序，于是
022022sin ()cos (|)arctan arctan b px x x a b a y xy p xy I dy e dy p y
p b a dy p y p p
+∞-=+∞
=+-=++==-+???
例11计算0sin ax
dx x
+∞?
解：在上例中令0b =，则得
0sin ()arctan (0)px ax a
F p e dx p x p
+∞-==>? （3）
由阿贝尔判别法知上述含参量积分在0p ≥上一致收敛（例8），故()F p 在0p ≥上
连续，且
sin (0)ax
F dx x
+∞
=?
由（3）式可得
(0)lim ()lim arctan
sgn 2
p p a F F p a p π
++→→===
特别地，当1a =时，
0sin 2
x dx x π
+∞
=?（狄利克雷积分） 注：此题中被积函数sin ax
x
不存在初等函数的原函数（0a ≠时），所以不能直接求这
个无穷积分，为此在被积函数中引入一个“收敛因子”(0)px
e p ->。这是一种较为有效的方
法，应于以足够的重视。
例12 计算
2
sin (
)x dx x
+∞
-∞
?
。 解：无穷积分显然收敛，且是偶函数，因此
2200
000sin 1cos 21
(
)2(1cos 2)()1cos 22sin 2sin 22x x dx dx x d x x n x x x
dx dx x x x
π+∞
+∞+∞-∞+∞+∞+∞-==---=-+==?????
例13 试计算1
()2
Γ，从而计算20x e dx +∞-?。
解：由B 函数与Γ函数之间的关系立得
211()()
111
22(,)[()]11222()22
B ΓΓ==ΓΓ+。
又
212120111(,)2sin cos ()222
p q B d p q π
???π--====?
从而1
()2
Γ=
2
120
111()2222
t
x e
dx e t dt -+∞
+∞
--=?=Γ=?
?
例14 计算1
,0,0(1)
p p q
x dx p q x -+∞+>>+?
解：令
11t x =+，则21
dx dt t =-，于是 1012011110
11()(1)(1)(,)
p p p q p q q p x t dx t dt x t t t t dt B q p -+∞-++---=-??+=-=???
例15 证明：若0,0,b a αβ>>>，有
111()()(,)()b
a
x a b x dx B b a αβαβαβ--+---=-?
证：
令x a
u b a
-=
-，(),()(1),()x a b a u b x b a u dx b a du -=--=--=-，从而有
1
111110
1
()()()(1)(,)()b
a
x a b x dx b a u u du
B b a αβαβαβαβαβ--+---+---=--=-?
?
例16 证明尤拉等式
21
1
4
π
=
?
?
证：4
x t =，则3
414dx t dt -=，于是
31
1142
00
1111(1)(,)4442
t t dt B --=-=??
21
131(,)442
B =
?
从而
2
1
1
21131()()()()
142423516()()44
11[()]424
πΓΓΓΓ=
ΓΓ=Γ=?
?
二、提高题
1、积分号下可微性与可积性
例1 设()()||b
a
F y f x y x dx =
-?
，
其中a b <，而()f X 为可微函数，求"
()F x （华中师大）
解：当(,)y a b ∈时， ()()||b
a
F y f x y
x d x =-?
=()()()()y b
a
y
f x y x dx f x x y dx -+-??
于是'()()()y
b a
y
F y f x dx f x dx =
-?
?
"()()()2()F x f y f y f y =+=
当y b ≥时，()()()b
a
F y f x y x dx =
-?
从而
"'()(),()0y a
F y f x dx F y ==?
同理，当y a ≤时，"
()0F y =因此
"
()F y =2(),(,)
0,(,)f y y a b y a b ∈????
注：事实上在y a =与y b =点处的导数应由左右导数定义求之，其结果是一样的。
例2 设2cos 0
()cos(sin )r F r e r n d π
θθθ=?
，求证：()2F r π≡.
证：20
(0)2F d π
θπ=
=?
。因此只需证明：'()0F r =。
事实上（验证条件）22'
cos 0
()cos(sin )r F r e
r d π
π
π
θπ
θθθ=+=+?
?
?
,
而
2cos cos(sin )r e
r d π
θ
π
θθθ+?=0
cos cos(sin )r e r d θπ
θθθ-+?
代入立得'
()0F r =。
例3设函数(,)u x y 在2
R 内有连续的二阶偏导数，且22220u u
x y
??+=??。而(,)u x y 的
一阶数对任意固定的y R ∈，是x 的以2π为周期的函数。
证明：函数22
20()[()()]a u u f y dx c x y ??=-≡???（常数），y R ∈（武汉大学）
证明：记22(,)()()u u F x y x y
??=-??，则(,)F x y 及(,)y F x y 在2
R 均连续，因此，
2'
22'0()[()()]y u u f y dx x y
π??=-???
=
22222
[22]u u u u dx x x y y y π
????-??????
22222
02[]u u u u dx x x y y x π????=+??????
2222202[]u u u u
dx x x y y x π
????=+??????
=
20|0u u x y
π
??=?? 其中u x ??和u
y
??均是以2π为周期的函数。
例4计算积分20
1cos ()(ln
)(||1)1cos cos a x dx
I a x x
π
αα+=<-?
解法
'
'201cos ()(ln )1cos cos a x dx
I a x x π
α+=-?
22202
1cos dx a x π
=-? 22
02(1)dt a t +∞=-+?
0)|x +∞
==
由
0到a ，并注意到()0I α=得()arcsin .I a απ=，因此，本小题的关键在于验
证含参量适合积分号下求导的条件。事实上0:||1,,a a a R ?
a a π
-上，由于
0,0221cos [],lim (ln )
1cos 2cos 1
lim (ln1)1cos cos 2x a y
x a y
a x
y a a a x a x a x x
y
ππ
→-
→→-
→+?∈--=+
?
-= 补充
(
,)22
f a a π
=，易知函数(,)f x a 在00[0,
;,]2
a a π
-上连续，此外，
'00222(,)2(,[,])1cos 2
f x a x a y a a a x απ
=
→→-→∈--，
'00(,)(,)
22(,)lim
22()2lim 2a a f a a f a f a a
a a a a
αππ
π?→?→+?-=?+?-==? 补
'
(
,)22
f a απ
=，则在00[0,
;,]2
a a π
-上'(,)f x a α亦连续，从而在
00[0,
;,]2
a a π
-上满足积分号下可微分，由a 的任意性知命题为真。
解法
211ln 121dx x
c x x +=+--?
从而
1222011cos ln 2,0,11cos 1cos 1(cos )2
a x dy a x a x a x a x y π
+=≤≤-<<--? 仿上补充定义则可得
122
2220001
12222
01011cos ln 2cos 1cos 1(cos )21(cos )arcsin |arcsin a x dy dx a dx x a x a x y dx a dy a a x y ay a
π
π
πππ+=--==-==?????
?
例5 计算1
01sin(ln )
,(0,0)ln b a
x x I dx a b x x
-=>>?
解：由于
.ln b a
b
y
a
x x x dy x
-=?
所以
101
sin(ln ),b y a I dx x dy x
=??
记1
(,)sin(ln ),01,y f x y x x a y b x
=<≤≤≤。补充定义
(0,)0,[,]f y y a b =∈
容易验证(,)f x y 在[0,1;,]a b 上连续，因此
101
sin(ln ),b y a I dy x dx x
=??
而
1
1000
(1)(1)0
221sin(ln )sin(ln )sin 11((1)sin cos )|1(1)1(1)y y
y t y t x dx x x dx x e tdt
e y t t y y +-∞
+-∞
=-=-=
+-=++++???
所以
2
1
arctan(1)arctan(1),1(1)b
a I dy
b a y ==+-+++?
注：也可用分部积分法求之：
1
10011110011111
0012201sin(ln )sin(ln )1
[sin(ln )]|cos(ln )111111cos(ln )[cos(ln )]|sin(ln )1111111
sin(ln )(1)(1)
y y
y y x x y y y x x y x dx x x dx
x x x x x dx
y y x x x x x dx x x dx y y y y y x
x x dx y y ++==++===-=-?+++==++++++=+++??????
解之得
1
2
11sin(ln )1(1)y
x dx x y ?=++? 例6计算222
0()ln(sin )(1)I x a x dx a π
=
->?
解：记2
2
()ln(sin )f x a x =-，则
'22
2(,)sin a a
f x a a x
=
- 0001,1,(,1)a a εεε?>?>∈+使得。在矩形区域00[0,
;,1]2
π
εε+上(,)f x a 和(,)a f x a 均连
续，因此
'
2
22
2()sin a
I a dx a x
π
=-? 令tan x t =，则2
2
2
2
sec ,sin 1t xdx dt x t ==+，从而
'22022
22200
011
()211)2(1)|I a a dt t t
a t d dt a t a t a +∞+∞+∞+∞=+-
+==+-==
??积分得
()ln(I a a c π=+ （1）
其中c 为积分常数，下求常数c ，在（1
）中取a =，则得
ln(1I c π=++ （2）
因此只需求出I 即可，由已知条件得
220
ln(1cos )I x dx π
=+?
记222
()ln(1cos )J x dx π
αα=
+?
。容易验证它满足积分号下可微定理的条件，从而
2'
2
220
2202
222202
22002cos ()1cos 1112111112(1)(1)
211
()112(2x
J dx
x t dt t t
dt t t dt dt t t π
αααααααααππα+∞+∞+∞+∞=++=+++=+++=-+++=-=?????
又(0)0J =，所以
'
00
()()1)ln2
J J t dt
αα
απππ
===-
??
由此得
(1)1)ln2
Jππ
=-
即1)ln2
Iππ
=-，将其代入（2）得ln2
cπ
=-，从而
()ln(ln2
I a
αππ
=+-
解记2222
2
()ln(sin cos)
F b b x a x dx
π
=+
?，
则()
F I a
=，先求出()
F b。
22
'2
22222222
00
22222222
22
2sin1
()2
sin cos1
1111
2()
1
1
2().(0)
2
b x t
F b dx b dt
b x a x b t a t
b dt
b a t b a b t a
a
b b
b a b a b
π
ππ
+∞
+∞
==
+++
=-
-+-+
=-=>
-+
??
?
积分得
()ln()
F b a b c
π
=++，c为积分常数
令b a
=得0()ln(2),ln2
F a a c c
ππ
==+=-，于是
()ln()ln2
F b a b
ππ
=+-
令b=
()ln(ln2
I a F a
ππ
==+-
2、一致收敛性（定义法，柯西收敛准则，M-判别法，Abel和Ririchlet判别法）
例7，证明：
x
xe dx
α
+∞
-
?在0
0αα
<≤<+∞上一致收敛，但0α
<<+∞在内非一致收敛。（南开大学）
证：
2
A
x x A
A A
A
A e
xe dx xe dx e
α
ααα
αα
-
+∞+∞
---
?>
==+
??
00
2
00
0()
A A
Ae e
A
αα
αα
--
≤+→→∞
于是0,0,
M A M
ε
?>?>?>，有00
2
00
A A
Ae e
αα
ε
αα
--
+<，从而
[,)
αα
?∈+∞，有
x
A
x e d x
αε
+∞-
<
?，即
x
xe dx
α
+∞
-
?在0
0αα
<≤<+∞上一致收敛。
在(0,)
+∞上，由前面知：0
A
?>，有
2
11
x A A
A
xe dx Ae e
ααα
αα
+∞
---
=+
?
对任意固定的
A ，上式当0α→+时极限为+∞，于是
0001,0,,(0,)A A A εα?=?>?>?∈+∞，有
00
1x A xe dx α+∞
->?
由定义知其非一致收敛。
例8证明：2
()x e dx α+∞
---∞
?
在a b α≤≤上一致收敛，在α-∞<<+∞上非一致收敛。
证：
2
()x e
dx α+∞
---∞
?
=2
()0
x e
dx α+∞
--?+2
()x e
dx α---∞
?
对
2
()x e dx α+∞
---∞?来说，[,]a b α?∈有2
2
()()||,x x b e e x b α----≤≥
而2()x b b
e dx +∞
--?
收敛，故2
()0
x e dx α+∞
--?一致收敛。
同理
2
()x e
dx α---∞
?
在[,]a b 上一致收敛，从而2
()x e dx α+∞
---∞
?在[,]a b 上一致收敛。
0A ?>，有2
()x a
e
dx α+∞
--?=2
)x A e dx α
α+∞
--→+∞?
，即2
()0
x e
dx α+∞
--?非一致收敛，
从而
2
()x e dx α+∞
---∞
?
非一致收敛。
例9试证：
20sin (1)x x
dx x αα+∞
+?在0α<<+∞上非一致收敛，
证明： 因sin x α无穷多次变号，要估计2sin (1)A x x
dx x αα+∞+? 是困难的。而Cauchy 准则告
诉我们，只要考虑充分远处有限区间'[,"]A A 上的积分即可。事实上，'
"0A A ?>>有
"
"'
'222sin sin (1)1A A A A x x x x dx dx x x x
αααα=++?
? 而x →+∞时，22
1x x +严格单增趋于1，因此，无论A 多么大，只要'
A A >充分大，当'
x A ≥时，有
22112
x x ≥+ 取"
'1A A =+，当时'[,"]x A A ∈，随着sin 0,x x
ααα+→严格趋于1，因此，只要(0)
αα>充分小，便有sin 1
2
x x αα≥
于是22
sin 1
14
x x x x αα≥+ 这样便有 "
'2sin 1
(1)4A A x x dx x αα≥+?由Cauchy 准则知其非一致收敛
例10 试证：1011
sin dx x x
α?在02α<<上非一致收敛
证明：令
1
t x
=，则1201111sin sin dx tdt x x t αα+∞-=??
'"30,2,244
A A n A A n A ππ
ππ??=+>
有sin x ≥
"""
'''
22"22sin 11
||()
1(2)
3(2)4
A A A A A A t dt dt dt t t A n ααα
ααππ----≥≥→→-+??
因此原积分在02α<<上非一致收敛（用Ririchlet 判别法易知其收敛）
例11 判断11201(1)(ln )(1,2,)n
x x dx n x
++=?
是否一致收敛。 解：0x =为奇点，且
11
22111|(1)(ln )|(ln )1n
x x x x x
++≤-
而（1x =也是奇点）
11
22000111
lim ln lim lim ln 011x x x x x x x x
x →+→+→+?=-=-- 故积分1
12011(ln )1dx x x
-?收敛，从而原积分一致收敛（1,2,n = ）。 注：以前此研究的含参量积分中的参量的取值为一区间，此题中参量n 的取值为正整数。
例12 判断
40
sin cos x x xdx α+∞
?
在[,]a b α∈（有限区间）上是否一致收敛。
解：0A ?>，由分部积分法得：
444
4
223
sin cos cos cos sin cos cos cos |442A
A A A x x xdx
x x x x x x dx dx
x x x ααααα+∞
+∞+∞+∞=---?
??
由M 判别法易得右端两个积分关于[,]a b α∈均一致收敛，非凡第一项一致收敛于零，因此原积分在[,]a b 上一致收敛。
例13 证明：0
()sin x e I dx x
α
α-+∞
=
?
关于[0,](01)b b α∈<<一致收敛。
证：这是一个具有无穷多个奇点的函数，它可转化为
(1)0
()sin x n n n e I dx x
π
α
π
α-∞
+==∑?
令x n t π=+，则
2
02
1
()()1sin sin 1()1sin sin t
t
n n t
t
e e I e
dt dt e t
t
e e dt dt e t t π
π
π
α
παππππααα--∞
--=---==-=+-∑?
?
??
以
1
sin b t
为优函数知上式右端两个积分在[0,]b 上均一致收敛，故()I α在[0,]b 上一致收敛。 例14 试证积分2
0cos p x
dx x
+∞?在0||1p p ≤<上一致收敛。 证：222112001cos cos cos p p p x x x dx dx dx I I x x x +∞+∞=+=+???，对于2
110cos p
x
I dx x =? 有
2cos 11
||(01,||1)p p p x x p p x x x ≤≤<≤≤<
且
01
01
p dx x ?收敛，故由M 判别法知1I 在0||1p p ≤<上一致收敛。
对于2
21cos p x I dx x +∞=?，令2
x t =
，则dx =，于是 2112
1cos 2
p t I dt t +∞+=? 其中
1
cost A
dt ?
一致有界
0112
2
1
1
00,()p p t t t
+-≤
≤→→+∞当
即
12
1p t
+一致收敛于０，由Ririchlet 判别法知其在0||1p p ≤<上一致收敛。
例15 设函数()f x 在0x ≥时连续，积分0
()x f x dx α+∞
?
在,()a b a b αα==<时收敛，
试证该积分在[,]a b α∈上一致收敛。（河北师大）
证：0x =可能为其奇点，该积分可化为
10
1
()()()x f x dx x f x dx x f x dx ααα+∞
+∞
=+?
??
其中
1
10
()()a a x f x dx x x f x dx αα-=???，而1
()a x f x dx ?收敛（一致收敛）
， a
x
α-在[0,1]关于α单调一致有界，由Abel 判别法知其一致收敛。
对于
1
1
()()b
b
x f x dx x
x f x dx α
α+∞+∞
-=??
?，1
()b x f x dx +∞
?收敛（一致收敛）
b x α-在[1,)+∞关于α单调一致有界，由Abel 知其一致收敛。
综合之，命题为真。
例16 证明：
sin 2x
x e dx x αα
+∞
-+?
在[0,]b α∈上一致收敛(0b >)，并计算00sin 2lim
x
x e dx x ααα
+∞
-→++?（吉林大学）
证：由于x
e α-对x 单调，且||1x e
α-≤，因此，由Abel 定理，只需证明积分 0sin 2x dx x α+∞+?
在[0,]b 上一致收敛，由Ririchlet 判别法立明，其值为2π
3 含参量反常积分的极限与连续。
例17 设{()}n f x 是[0,)+∞上的连续函数列，满足条件： （1） 在[0,)+∞上|()|()n f x g x ≤，且0
()g x dx +∞?收敛；
（2） 在任何有限区间[0,](0)A A >上，序列{()}n f x 一致收敛于()f x ；
试证明：0
lim
()()n n f x dx f x dx +∞
+∞
→∞=?
?
（复旦大学，同济大学，华中师大）
证：只需证明：0,0,N ε?>?>当n N >时，有
|()()|n f x dx f x dx ε+∞
+∞
-
?
事实上，
|()()||()()||()||()|A
n n n A
A
f x dx f x dx f x f x dx f x dx f x dx +∞
+∞
+∞
+∞
-≤-++?
????
由|()|()n f x g x ≤可得|()|()f x g x ≤，从而有
|()()||()()|2()A n n A
f x dx f x dx f x f x dx
g x dx +∞
+∞
+∞
-≤-+?
?
??
于是0ε?>，由
()g x dx +∞?
收敛知，0A ?>，当x A ≥时，有
|()|3
x
g x dx ε
+∞<
?
对此固定的0A >，已知，()n f x 在[0,]A 上一致收敛于()f x ，所以，0N ?>，当n N >时
|()()|3n f x f x A
ε
-≤
从而可得0
|
()()|n f x dx f x dx ε+∞
+∞
-
?
例18 确定函数30ln(1)
()x g dx x
αα+∞
+=?的连续范围（四川大学） 解：0x =是其可能的奇点，()g α可化为
33
1
1201ln(1)
ln(1)()x x g dx dx I I x x ααα+∞++=+=+??
其中1I 以0为奇点，且33
ln(1)1
(0)x x x x
αα-+→+ ，因此当31α-<，即4α<时，
31
0ln(1)
x dx x α+?收敛，对于3
21ln(1)x I dx x α+∞+=?，当1α>时收敛，故原积分()g α当且仅当时14α<<收敛，即()g α的定义域为(1,4)
其次，(1,4),[,](1,4)a b α?∈??，使得(,)a b α∈，当01x <≤时，有 333ln(1)ln(1)ln(1)
||b
x x x x x x
αα+++=≤ 且31
0ln(1)
b x dx x
+?收敛，所以1I 在[,]a b 上一致收敛。 同理可证2I 在[,]a b 也一致收敛，故()g α在[,]a b 上一致收敛，由被积函数的连续性知()g α在[,]a b 连续，从而在(1,4)内连续。
例19 若
|()|f x dx +∞
-∞
?
存在，
证明函数()()cos g f x xdx αα+∞
-∞
=?在R 上一致连续。
（吉林大学，湘谭大学，四川师大）
证：要证()g α在R 上一致连续，即证：0,0,εδ?>?>当'
''
||ααδ-<时
'''|()()|g g ααε-<
事实上，0A ?>,有
''''''''''''
'''
'
''
|()()||()cos ()cos |
|()||cos cos |2|()|2|()||()|2|sin
||sin
|2
2
2|()|2|()||||()|A
A
A
A
A
A
g g f x xdx f x xdx f x x x dx
f x dx f x dx f x x x dx
f x dx f x dx A f x dx
αααααααααααα+∞
+∞
-∞
-∞
+∞-∞
-+∞
-∞
--+∞
-∞
-=-≤-+-≤++?≤++-?
?
??????A
A
-?
由
|()|f x dx +∞
-∞
?
收敛知，00,0,A ε?>?>当0A A ≥时，有
|()|,|()|8
8
A
A f x dx f x dx ε
ε
-+∞
-∞
<
<
?
?
对此A ，取2|()|A f x dx
ε
δ+∞
-∞=
?，则当'
''
||ααδ-<时，有
'''|||()|2
A
A
A f x dx ε
αα--<
?
综合之后可得：
'''|()()|g g ααε-<
4、含参量反常积分积分号下可微与可积
（1） 积分号下可微的Leibniz 法则
例20
设1
()g α+∞
=
?
（1） 求'
()g α；（2）计算()g α。
解：1x =是其奇点，可化为
第十九章 含参量正常积分.
第十九章 含参量正常积分 §19.1 含参量正常积分 教学要求： (1) 了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明 (2) 熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式． (3) 掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用 教学重点:含参量正常积分定义及其性质；掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用 教学难点：含参量正常积分的连续性，可微性和可积性； 一、含参量正常积分的概念 定义定义 设二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ?=上有定义，且对],[b a 内每一点 x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间],[d c 上可积，则定义了x 的 函数 ?=d c dy y x f x I ),()(，],[b a x ∈ （1） 设二元函数),(y x f 在区域 }),()(|),{(b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=上有定义， 函数)(x c ，)(x d 为],[b a 上的连续函数，且对],[b a 内每一点x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间)](),([x d x c 上可积，则定义了x 的函数 ? =) () (),()(x d x c dy y x f x F ，],[b a x ∈ （2） 称()(,)d c I x f x y dy =?和() () ()(,)d x c x F x f x y dy =?为含参量x 的正常积分，x 称为参变量。 类似可定义含参量y 的正常积分． 含参量积分在形式上是积分， 但积分值随参量的取值不同而变化， 因此实质上是一个函数。即含参量正常积分是以积分形式表达的函数，含参积分提供了表达函数的又一手段 . 二、含参量正常积分的连续性、可微性与可积性
含参量积分汇总
第十九章含参量积分 一.填空题 1.若在矩形区域上_________,则 2.含参量反常积分 在____________上一致收敛. 3.设在上连续,若含参量反常积分 在上___________,则在上连续. 4. 5.在中如令, 则 6. 对于任何正实数函数与B函数之间的关系为 7. 在上不一致收敛是指______________. 8. 9. 设, 则 10. 利用函数定义, 二.证明题 1. 证明在上一致收敛. 2. 证明在上一致收敛. 3.证明若函数在连续, 则, 有
4.证明在上非一致收敛. 5.证明 6.证明在上一致收敛. 7. 证明在上不一致收敛. 8. 证明 9. 证明 10. 证明在R上连续. 计算题1. 求 2. 求 3.设. 求 4. 求 5.用函数与B函数求积分 6.用函数与B函数求积分 7.求积分 8.从等式出发, 计算积分 9.设. 求
10.求 填空题答案 1. 连续. 2. R 3. 一致收敛. 4. 5.. 6. . 7. , 有 8. 1 9. . 10. . 证明题答案: 1. 证明: , 有 , 而收敛, 则 在上一致收敛. 2. 证: , 有, 而, 则 在上一致收敛. 3证: 已知在连续, 使. 设, 有 于是,
4.证: , 有 . 即在上非一致收敛. 5.证: 设有 . 6.证: 由于反常积分收敛,函数对每个单调, 且对任何, 都有. 故由阿贝耳判别法可知 在上一致收敛. 7. 证: 因在处不连续, 而在 内连续, 由连续性定理知, 在上不一致收敛. 8. 证: 令, 则. 9. 证: 令则, . 10. 证：
含参量反常积分一致收敛性的判别法资料
含参量反常积分一致收敛的判别法 王 明 星 （德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握. 关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法. 1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念 1.1 含参量无穷限反常积分 设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(,)c I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈ 称(,)c f x y dy +∞? 为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分. 1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分(,)c f x y dy +∞? 与函数()I x 对每一个固定的 [],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有 (,)()M c f x y dy I x ε-
数学分析之含参量积分
第十九章含参量积分 教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算。教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定；难点是一致收敛性的判定。 教学时数：12学时 §1含参量正常积分 一. 含参积分:以实例和引入. 定义含参积分和. 含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分. 1. 含参积分的连续性: Th19.5 若函数在矩形域上连续, 则函数 在上连续 . ( 证) P172 Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数和 在上连续, 则函数在上连续. ( 证) P173
2. 含参积分的可微性及其应用: Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连续, 则函数在上可导, 且 . ( 即积分和求导次序可换) . ( 证) P174 Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连续,函数和定义在, 值域在上, 且可微, 则含参积分 在上可微, 且 . ( 证)P174 例1 计算积分. P176. 例2设函数在点的某邻域内连续 . 验证当充分小时, 函数 的阶导数存在, 且. P177. §2 含参反常积分 一. 含参无穷积分:
1.含参无穷积分:函数定义在上( 可以是 无穷区间) . 以为例介绍含参无穷积分表示的函 数. 2. 含参无穷积分的一致收敛性: 逐点收敛( 或称点态收敛) 的定义: , , 使 . 引出一致收敛问题 . 定义(一致收敛性) 设函数定义在上 . 若对 , 使对成立, 则称含参无穷积分在( 关于)一致收敛. Th 19.5 ( Cauchy收敛准则) 积分在上一致收敛, 对成立 . 例1 证明含参量非正常积分在上一致收敛, 其中. 但在区间内非一致收敛 . P180 3. 含参无穷积分与函数项级数的关系:
含参量积分与欧拉积分
含参量反常积分与欧拉积分 姓名：于赛楠(114942059) 司秀秀(114942004) 胡月月(114942011) 郑素丹(114942026) 田玉方(114942054) 冯娜娜(114942028) 任亚南(114942034) 班级： 11级数学与应用数学一班 成绩： 日期： 2012.11.4
i含参量反常积分与欧拉积分 1.含参量反常积分 1.1含参量积分的定义 定义1设函数定义在无界区域R=｜上，其中为一区间，若对每一个固定的反常积分 (1) 都收敛，则它的值是x在上取值的函数，当记这个函数为 称(1)式为定义在上的含参量的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分. 定义2 设在区域R=上有定义，若对的某些值,为函数的暇点，则称为含参量的无界函数反常积分，或简称为 含参量反常积分. 1.2含参量反常积分一致收敛的定义及判定 1.2.1一致收敛的定义 定义3 设含参量反常积分与函数（）对任给的正数，总存在某一实数N，使得当时，对一切，都有｜｜，即｜｜，则称含参量反常积分在一致收敛于，或简单的 说含参量积分在上的一致收敛. 定义4 对任给正数，总存在某正数d-c,使得当0时，对一切 ,都有｜｜则称含参量反常积分在上一 致收敛. 1.2.2一致收敛的柯西准则 定理1 含参量反常积分在I上一致收敛的充要条件是：对于任给的正数，总存在某一实数M c，使得当M 时，对一切x I，都有 ｜｜< . 证明必要性 若在上一致收敛，则任意存在存在 及有,因此，任意N,
充分性若任意，存在任意 ｜｜ 则令，得,这就证明了在上 一致收敛. 例 1 假设在[,=内成立不等式 , 若, 在上一致收敛, 证明在上一 致收敛且绝对收敛. 证明因为在上一致收敛,根据一致收敛的柯准则可 知对总存在某一实数使得当对一切有， ｜｜= 而｜｜｜｜, 在上收敛，即在上绝对收敛 在上一致收敛. 综上在上一致收敛，且绝对收敛. 1.2.3一致收敛的充要条件 定理1含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是：对任意趋于的 递增数列{}(其中=c),函数项级数 在上一致收敛. 例2 设为上连续非负函数在
19数学分析课件含参量积分.doc
第十九章含参量积分 目的与要求：1.掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参量正常积分的求导法则；2.掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法.3. 了解r函数与B函数的定义与有关性质 重点与难点：本章重点是含参量正常积分的连续性，可微性和可积性，含参量反常积分的一致收敛性概念，性质；难点则是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定理的证明 第一节含参量正常积分 ?含参量正常积分的概念 1定义 设二元函数/(x,y)在矩形区域R = [m]x[c,d]上有定义，且对[。,用内每一点们函数f (x, y)关于)，在闭区间]上可积，则定义了尤的函数 /⑴=y)d y, xe[a,h] (i) c 设二元函数/(、,)，)在区域 G = {(%, y)\ c(x) < y < d(x\ a 间[c(x),J(x)]±可积，则定义了尤的函数 d(；) F(x)= \f(x.y)dy , A* e [a.b] (2) c由 称(1)和(2)为含参量]的正常积分.类似可定义含参量)，的正常积分. 二含参量正常积分的连续性、可微性与可积性 1连续性 定理19. 1(连续性)若二元函数/(x,y)在矩形区域R = [a,h]x\c^d]±连续，则函数d Z(x)= 在[。㈤上连续. C 证设x 6 [a.h],对充分小的Ar, ^*x4-ZLr e [a,h](若工为区间端点则考虑Ar〉0或 k<0),于是 d Z(x + Ax)- /(x)= j[/(x + Ax,y)-/(x,y)]Jy (3) c 由于f^y)在有界闭区域R上连续，从而一致连续，即对任给的正数总存在某个正数 S ,对/?内任意两点(X], )与(尤2，光)，只要 X,-X2\<3,_光|<$ 就有F3，)"-/(尤2,光』<￡⑷所以由(3) (4)可得：当|4xj < 8 , 含参量反常积分的一致收敛判别法及推广 作者：蒋碧希 指导老师：张海 摘要 本文主要介绍了含参量反常积分（含参量无穷限反常积分、含参量瑕积分）的基本概念、性 质.然后参照无穷限反常积分的方法建立了相应的含参量瑕积分的一致收敛性.最后结合例题说明其在解题中的应用. 关键词 含参量无穷限反常积分 含参量瑕积分 一致收敛 1 引言 对于含参量无穷限反常积分的基本概念、性质、一致收敛性判别法大部分教材都有详细论述.而忽视了含参量瑕积分的一致收敛性的判定,其实两者之间是同中有异的.本文主要参照无穷限反常积分的方法建立相应的含参量瑕积分的一致收敛判别法，并探究其在解题中的应用. 2 含参量无穷限反常积分的一致收敛判别法 2.1 含参量无穷限反常积分的定义 设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y a x b c y =≤≤≤≤+∞上，若对每一个固定的[,]x a b ∈，反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? (1) 都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，当这个函数为()I x 时，则有 ()(,),[,],c I x f x y dy x a b +∞ =∈? (2) 称(1)式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分. 2.2 含参量反常积分的一致收敛概念 若含参量反常积分(1)与()I x 对任给的正数ε，总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切[,]x a b ∈，都有 (,)()M c f x y dy I x ε- (,)M f x y dy ε+∞ ，使得当M A A >21,时，对一切],[b a x ∈，都有 2 1 (,)A A f x y dy ε?ε,0>?M ,M A A >?21,时，使得],[b a x ∈?时，有 1 (,)2A f x y dy ε+∞ ?>?M ε，当M A A >21,时， 有 2 1 (,)A A f x y dy ε，总存在某一实数c M >，使得M A A >21,时，对一切 ],[b a x ∈，都有 2 1 (,)A A f x y dy ε §2 含参量反常积分 一 一致收敛性及其判别法 设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y x I c y =∈≤<+∞上，其中I 为一区间，若对固定的x I ∈，反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? （1） 都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数，当记这个函数为()x φ时，则有 ()(,),c x f x y dy x I φ+∞ =∈? ， （2） 称（1）式为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分。 如同反常积分与数项级数的关系那样，含参量反常积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似。 首先引入含参量反常积分的一致收敛概念及柯西准则。 定义1 若含参量反常积分（1）与函数()x φ对任何的正数ε。总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切x I ∈。都有 (,)()c f x y dy x φε+∞ -，使得当1 2 ,M A A >时，对一切x I ∈， 都有 1 2 (,)A f x y dy A ε），但在()0,+∞内不一致收敛。 第十九章 含参量积分 一. 填空题 1. 若(,)f x y 在矩形区域[,][,]R a b c d =?上_________,则 (,)(,)b d d b a c c a dx f x y dy dy f x y dx =? ??? 2. 含参量反常积分 2 cos 1xy dx x +∞+? 在____________上一致收敛. 3. 设(,)f x y 在[,][,)a b c ?+∞上连续,若含参量反常积分 ()(,)c I x f x y dy +∞= ? 在[,]a b 上___________,则()I x 在[,]a b 上连续. 4. (1)_______.n Γ+= 5. 在1110 (,)(1),0,0p q B p q x x dx p q --= ->>? 中如令 2cos x ?=, 则 (,)_______B p q = 6. 对于任何正实数,,p q Γ函数与B 函数之间的关系为(,)________.B p q = 7. (,)c f x y dy +∞ ? 在[,]a b 上不一致收敛是指______________. 8. 1 0lim _________.y -→=? 9. 设 2(), (1,1)(1sin )dx F y y y x π π-=∈-+?, 则 ()__________.F y '= 10. 利用Γ函数定义,4 ________.x e dx +∞ --∞ =? 二.证明题 1. 证明 22 222 1 () y x dx x y +∞ -+? 在(,)-∞+∞上一致收敛. 2. 证明 2 x y e dy +∞ -? 在[,](0)a b a >上一致收敛. 3. 证明若函数()f x 在[,]a A 连续, 则[,)x a A ?∈, 有 01lim [()()]()()x a h f t h f t dt f x f a h →+-=-? 第十九章 含参量积分 总练习题 1、在区间1≤x ≤3内用线性函数a+bx 近似代替f(x)=x 2，试求a,b 使得积分?-+3 122)(dx x bx a 取最小值. 解：设f(a,b)=?-+3 122)(dx x bx a ， 由f a (a,b)=2?-+3 12)(dx x bx a =4a+8b-3 52=0, f b (a,b)=2?-+3 12)(dx x bx a x =8a+ 352b-40=0, 得驻点a=3 11 -,b=4. 又f aa =2?31dx =4, f bb =2?312 dx x =3 52, f ab =f ba =2?31xdx =8, 即f aa ·f bb -f ab 2=316>0， ∴(311-,4)是f 唯一的极小值点，即a=3 11 -,b=4时，积分取最小值. 2、设u(x)=?1 0)(),(dy y v y x k ，其中k(x,y)=???>-≤-y x x y y x y x ),1(),1(与v(y)为[0,1]上 的连续函数，证明：u ”(x)=-v(x). 证：当0≤x ≤1时，u(x)=?10)(),(dy y v y x k =?-x dy y v x y 0)()1(+?-1 )()1(x dy y v y x . 由各项被积函数及其对x 偏导函数都连续知， u ’(x)=?-x dy y yv 0 )(+x(1-x)v(x)+?-1 )()1(x dy y v y -x(1-x)v(x) = -?x dy y yv 0)(+?-1 )()1(x dy y v y . u ”(x)=-xv(x)-(1-x)v(x)=-v(x). 3、求函数F(a)=?∞ +- 2)1sin(dx x x a 的不连续点， 并作函数F(a)的图像. 解：由?+∞ sin dx x ax =2 π sgna ， §2 含参量反常积分 教学目的：掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分 的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学要求： (1)掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法，含参量反常积分的性质，以及含参量反 常积分的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 掌握和应用狄里克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学建议： (1) 本节的重点是含参量反常积分的一致收敛性及魏尔斯特拉斯判别法．要求学生会用魏尔 斯特拉斯判别法判别含参量反常积分的一致收敛性． (2) 本节的难点是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与 可积性定理的证明．对较好学生在这方面提出高要求，布置有关习题；另外，由于这方面内容与函数项级数部分有类似之处，还可要求他们作比较与总结． 教学程序： 定义 设函数()y x f ,定义在无界区域R =(){}+∞<≤≤≤y c b x a y x ,,上，若对[]b a ,内每一个固定的x ，反常积分 ()?+∞ c dy y x f ,都收敛，则它的值定义了[]b a ,上一个x 的函数，记 ()x I = ()?+∞ c dy y x f ,，x ∈[]b a , （1） 称（1）式为定义在[]b a ,上的含参量x 的无穷限反常积分. 一 一致收敛概念及其判别法 1．一致收敛的定义 定义1 若含参量的反常积分（1）与函数()x I 对任给的正数ε，总存在某个实数c N >，使得当N M >时，对一切x ∈[]b a ,，都有 ()()ε<-?M c x I dy y x f , 即 ()ε，使得当M A A >21,时，对一切x ∈[]b a ,，都有 ()()ε<-?2 1 ,A A x I dy y x f 例1 证明参量的反常积分 ?+∞ sin dy y xy 含参量积分的分析性质及其应用 班级：11数学与应用数学一班 成绩： 日期：2012年11月5日 含参量积分的分析性质及其应用 1. 含参量正常积分的分析性质及应用 1.1含参量正常积分的连续性 定理1 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ?=上连续,则函数 ()x ?=?d c dy y x f ),(在[a,b]上连续. 例1 设 )sgn(),(y x y x f -=（这个函数在x=y 时不连续）,试证由含量积 分?=10 ),()(dx y x f y F 所确定的函数在),(-∞+∞ 上连续. 解 因为10≤≤x ,所以当y<0时,x-y>0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1. -1,x ),(+∞-∞上连续. 例2 求下列极限：（1）dx a x ? -→+1 1 220lim α; (2)?→2 20cos lim xdx x αα. 解 （1）因为二元函数22α+x 在矩形域R=[-1,1]?[-1.1]上连续,则由连续性定理得dx a x ? -+11 22在[-1,1]上连续.则 ??? --→-→==+=+1 1 22110 1 1 2201lim lim dx x dx a x dx a x αα. （2）因为二元函数ax x cos 2在矩形域]2 ,2[]2,0[π π- ?=R 上连续,由连续 性定理得,函数?202cos axdx x 在]2,2[ππ-上连续.则.3 8cos lim 202022 0==??→dx x axdx x α 例3 研究函数=)(x F dx y x x yf ? +1 2 2) (的连续性,其中f （x ）在闭区间[0,1]上是正 的连续函数. 解 对任意00>y ,取0>δ,使00>-δy ,于是被积函数 2 2) (y x x yf +在],[]1,0[00δδ+-?=y y R 上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F （y ）在 区间],[00δδ+-y y 上连续,由0y 的任意性知,F （y ）在),0(+∞上连续.又因 dx y x x yf dx y x x yf y F ?? +-=+-=-10221 22)() ()(,则F （y ）在)0,(-∞上连续.当y=0处0)(0=y F .由于)(x f 为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m>0. y m dx y x my dx y x x yf y F 1arctan )()(10221 22=+-≥+=?? ,从而04 )(lim 0>≥+→πm y F y ,但 F(y)在y=0处不连续,所以F （y ）在),0(),(+∞+∞-∞Y 上连续,在y=0处不连续. 定理2 设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|b x a x d y x c ≤≤≤≤),()(}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数 F(x,y)= ? ) () (),(x d x c dy y x f 在[a,b]上连续. 例4 求? +→++α α αα 12201lim x dx . 关于含参量反常积分的证明 引言 刚开始学习数学分析这门课时，老师就说过，在数学分析这门课中，极限的)(δεN -定义和积分等知识十分重要，可以说学好了它们就学好了数学分析这门课。在第四版数学分析教材下册第十九章中向我们介绍了含参量积分的相关知识。在本文中我将对含参量积分的性质的证明做一下归纳总结，希望与大家一同分享。 一、证明过程中用到的定理 定理1（函数项级数的连续性定理）若函数项级数∑n u ()x 在区间[]b a ,上一致收敛， 且每一项都连续，则其和函数在[]b a ,上也连续。 定理 2（函数项级数的逐项求积定理）若函数项级数∑n u ()x 在区间[]b a ,上一致收敛， 且每一项()x u n 都连续，则()∑ ? b a n x u dx =()∑? x u n b a dx . 定理 3（函数项级数的逐项求导定理））若函数项级数∑n u ()x 在区间[]b a ,上每一项都 有连续的导函数，[]b a x n ,∈为∑n u ()x 的收敛点，且()∑x u n '在[]b a ,上一致收敛，则 ()()()∑∑ =??? ??x u dx d x u dx d n n . 定理4 若()y x f ,在矩形区域[][]d c b a R ,,?=上连续，则 ()()dx y x f dy dy y x f dx d c b a b a d c ? ???= ,,. 定理5 含参量反常积分()dy y x f c ? +∞ ,在I 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞ +的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数 ()()∑ ? ∑∞ =∞ =+= 1 1 1 ,n A A n n N N x u dy y x f 在I 上一致收敛。 二、证明思想 由于直接从含参量反常积分入手不易证明，所以我们可以利用定理5将含参量反常积分 转化为已解决的函数项级数问题，从而证得。 三、含参量反常积分性质的证明 1、连续性 设()y x f ,在[]+∞?,c I 上连续，若含参量反常积分()()? +∞ = Φc dy y x f x ,在 I 上一致收敛，则()x Φ在[]b a ,上连续。 第十九章含参量积分 【教学目的】 1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法； 2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法； 3.掌握欧拉积分的形式及有关计算 【教学重点】含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定 【教学难点】一致收敛性的判定 【教学时数】12学时 §1含参量正常积分 一、含参量积分的定义 以实例和引入. 定义含参量积分和. 含参量积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参量积分表达的函数为含参量积分. 二、含参量积分的解析性质 1. 含参量积分的连续性 Th19.5 若函数在矩形域上连续 , 则函数 在上连续 . ( 证 ) P172 Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数和在 上连续 , 则函数在上连续. ( 证 ) P173 2. 含参量积分的可微性及其应用 Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连续, 则函数 在上可导 , 且 . ( 即积分和求导次序可换 ) . ( 证 ) P174 Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连续,函数和 定义在, 值域在上 , 且可微 , 则含参量积分在 上可微 , 且 . ( 证 )P174 例1 计算积分. P176. 例2 设函数在点的某邻域内连续 . 验证当充分小时 , 函数 的阶导数存在 , 且. P177. 三、作业 §2 含参量反常积分 一、含参量无穷积分: 1. 含参量无穷积分 函数定义在上 ( 可以是无穷区间 ) . 以 为例介绍含参量无穷积分表示的函数. 2. 含参量无穷积分的一致收敛性 逐点收敛( 或称点态收敛 ) 的定义: , , 使 . 引出一致收敛问题 . 定义 (一致收敛性 ) 设函数定义在上 . 若对, 使对成立, 则称含参量无穷积分在( 关于)一致收敛. Th 19.5 ( Cauchy收敛准则 ) 积分在上一致收敛, 对成立 . 例1 证明含参量非正常积分在上一致收敛 , 其中. 但在区间 内非一致收敛 3. 含参量无穷积分与函数项级数的关系: 3. 含参量的反常积分一致收敛性判别法 Weierstrass 判别法 设函数(,)f x t 定义在 {}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈?R 中，若 （a ） 对于每个A a >，(,)f x t 在[,]x a A ∈上为R-可积的； （b ） 存在()x ?，使得 ()a x dx ?+∞ ?收敛，且 (,)(), [,)f x t x x a ?≤∈+∞； 则反常积分(,)a f x t dx +∞ ? 关于t T ∈绝对一致收敛，亦即，反常积分 (,)a f x t dx +∞ ? 关于t T ∈一致 收敛. 我们称定理中的()x ?为(,)f x t 的优函数. Abel 判别法 设函数(,)f x t 、(,)g x t 定义在 {}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈?R 中，若 （a ） 若反常积分 (,)a f x t dx +∞ ? 关于t T ∈一致收敛； （b ） (,)g x t 是x 的单调函数，且存在常数0L >（与[,)x a ∈+∞、t T ∈无关），使得 (,)g x t L ≤； 则反常积分 (,)(,)a f x t g x t dx +∞ ? 关于t T ∈一致收敛. Dirichlet 判别法 设函数(,)f x t 、(,)g x t 定义在 {}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈?R 中，若 （a ） 对于每个A a >，(,)f x t 在[,]x a A ∈上为R-可积的，且积分 (,)A a f x t dx ?关于t T ∈ 一致有界，亦即，0M ?>（与A 、t 无关），使得 第十九章 含参量积分 1. 若f(x,y)在矩形域R =[a ,b]×[c,d]上 ，则????=d c b a b a d c dx y x f dy dy y x f dx ),(),(。 2. 含参量反常积分dy xy x ?+∞+021cos 在 上一致收敛。 3. 设f(x,y)在[a ,b]×[c,+∞]上连续，若含参量反常积分I （x ）=dy y x f c ? +∞),(在 [a ,b]上 ，则I （x ）在[a ,b]上连续。 4. =+Γ)1(n 。 5. 对于任何正实数p,q,Γ函数与B 函数之间的关系为B （p,q ）= 。 6. =+?-→dx y x y 112 20lim 。 一、 证明题。 7. 证明含参量反常积分dx x e y ? +∞ -12在),[+∞a 一致收敛（a 〉0）； 8. )0(,)1(ln )(110>=Γ-?a dx x a a 二、 计算题。 9. )2 1(n +Γ； 10. )25(-Γ 答案 一、 填空题。 1. 连续； 2. R ； 3. 一致连续； 4. n!； 5. B （p,q ）= )()()(q p q p +ΓΓΓ（p>0，q ﹥0）；6. 1； 二、 证明题。 7. 证明：),[+∞∈?a y ，e e e x x x a y y 2221--≤=； ?+∞-12dx x e a 收敛，由优函数判别法知：dx x e y ?+∞-12 在),[+∞a 一致收敛。 8. 证明：令e t x t x -=?=1ln ，dt dx e t --=，010∞t x ， ??∞--=01110)1(l n t a a dx x ·（-e t -）=dt ?∞-01t a ·)(a dt e t Γ=- 三、 计算题。 9. 解：π4 3)21(2123)121(23)23(23)123()25(=Γ?=+Γ=Γ=+Γ=Γ 10．解： π π222 !)!12(1 3)52)(32)(12()21(13)52)(32)(12()212()212()25)(23)(21()2 5()25)(23)(21(]1)25[()23)(21()23()23)(21(]1)23[()21()21()21(121)21(n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n -=?---=Γ?---=--Γ-----==-Γ---=+-Γ--=-Γ--=+-Γ-=-Γ-=??????+??? ? ?-Γ=+Γ 第十八章 含参量积分 第一节 含参量正常积分 从本章开始我们讨论多元函数的各种积分问题，首先研究含参量积分.设()y x f ,是定义在矩形区域[][]d c b a R ,,?=上的二元函数.当x 取[]b a ,上某定值时，函数()y x f ,则是定义在[]d c ,上以y 为自变量的一元函数.倘若这时()y x f ,在[]d c ,上可积分，则其积分值是x 在[]b a ,上取值的函数，记它为()x I ，就有 ()()[].,,,?=d c b a x dy y x f x I （1） 一般地，设()y x f ,为定义在区域()()(){}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=,|,上的二元函数，其中()x c ，()x d 为定义在[]b a ,上的连续函数（图18-1），若对于[]b a ,上每一固定的 x 值，()y x f ,作为y 的函数在闭区间()[()]x d x c ,上可积分，则其积分值是x 在[]b a ,上取值 的函数，记作)(x F 时，就有 )(x F ()()() [].,,, b a x dy y x f x d x c ∈=? （2） 图18-1 用积分形式所定义的这两个函数（1）与（2），通常为定义在[]b a ,上的含参量x 的（正常）积分，或简称含参量积分. 下面讨论含参量积分的连续性、可微性与可积性. 定理18-1(连续性) 若二元函数()y x f ,在矩形区域[][]d c b a R ,,?=上连续，则函数 ()()dy y x f d c ?=,x I 在[]b a ,上连续. 证 设[]b a x ,∈，对充分小的x ?，有[]b a x x ,∈?+（若x 为区间的端点，则仅考虑（0>?x 或0 第十九章 含参量积分 2含参量反常积分 一、一致收敛性及其判别法 概念1：设函数f(x,y)定义在无界区域R={(x,y)|x ∈I, c ≤y<+∞}上，I 为一区间，若对每一个固定的x ∈I, 反常积分?+∞ c dy y x f ),(都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数, 记φ(x)=?+∞c dy y x f ),(, x ∈I, 称?+∞ c dy y x f ),(为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，简称含参量反常积分. 定义1： 若含参量反常积分?+∞ c dy y x f ),(与函数φ(x)对任给ε>0, 总存在某实数N>c, 使当M>N 时, 对一切x ∈I, 都有)(),(x dy y x f M c Φ-?<ε, 即?+∞ M dy y x f ),(<ε, 则称含参量反常积分在I 上一致收敛于φ(x), 简单地说含参量积分?+∞ c dy y x f ),(在I 上一致收敛. 定理19.7：(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分?+∞ c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε, 总存在某一实数M>c, 使得当A 1, A 2>M 时，对一切x ∈I, 都有?2 1 ),(A A dy y x f <ε. 定理19.8：含参量反常积分?+∞ c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是： +∞ →A lim F(A)=0, 其中F(A)=? +∞ ∈A I x dy y x f ),(sup . 例1：证明含参量反常积分?+∞ 0sin dy y xy 在[δ,+∞)上一致收敛(δ>0)，但在(0,+∞)上不一致收敛. 116 第十二章 反常积分与含参变量的积分 一、 反常积分： 内容提要： 1、 反常积分收敛的定义： ● 无穷积分： ():lim ()A a a A f x dx f x dx +∞→+∞=? ? ● 瑕积分： 0 ():lim ()b b a a f x dx f x dx δ δ+-→=?? b 为瑕点 若极限存在，则称反常积分收敛，否则称其发散. ● 绝对收敛与条件收敛： 若|()|a f x dx +∞ ?收敛，则称()a f x dx +∞? 绝对收敛. 若()a f x dx +∞ ? 收敛，但不绝对收敛则称其为条件收敛. 2、 反常积分的敛散性判别： ● 比较判别法： 若0()() [,)f x c x x a ?≤≤?∈+∞ ()a x dx ?+∞ ? 收敛?()a f x dx +∞ ? 收敛 ()a f x dx +∞ ? 发散?()a x dx ?+∞ ?发散 若0()() [,]f x c x x a b ?≤≤?∈ ()b a x dx ??收敛?()b a f x dx ? 收敛 ()b a f x dx ? 发散?()b a x dx ??发散 若()() ()a x f x g x f x dx +∞ →+∞? 收敛()a g x dx +∞ ?? 收敛 ● Dirichlet 判别发： ·若()f x 满足 () ().[,),0A a a f x f x dx M A a dx x λλ+∞ ≤?∈+∞?>? ? 收敛. ·若()f x 满足 ().[,)()(),0x b a a f x dx M x a b x b f x dx λλ≤?∈?->? ?收 敛. ● ·()f x 满足： ().[,)A a f x dx M A a x ≤?∈+∞→+∞? 时()g x 单调趋 于0 ()()a f x g x dx +∞ ?? 收敛. 第十九章含参量积分 教案目地：1.掌握含参量正常积分地概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分地概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分地形式及有关计算. 教案重点难点：本章地重点是含参量积分地性质及含参量反常积分地一致收敛性地判定；难点是一致收敛性地判定.b5E2RGbCAP 教案时数：12学时 §1含参量正常积分 和引入含参积分:. 以实例一. . 定义含参积分和含参积分提供了表达函数地又一手段 .我们称由含参积分表达地函数为含参积分. 1. 含参积分地连续性: Th19.5 若函数在矩形域上连续, 则函数 > P172 证上连续 . ( 在Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数和 则函数上连续. ( 在在, 上连续证> P173p1EanqFDPw 2. 含参积分地可微性及其应用: Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连 上可导, , 则函数且在续 . ( 即积分和求导次序可换> . ( 证> P174 Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连 上, 且可微, 和续,函数定义在则含参积分值域在, 上可微, 在且DXDiTa9E3d . ( 证>P174 计算积分. P176. 例1 例2设函数在点地某邻域内连续 . 验证当充分小时, 函数 地阶导数存在, 且. P177. §2 含参反常积分 : 含参无穷积分. 一． 1.含参无穷积分:函数定义在上( 可以是 为例介绍含参无穷积分表示地函数无穷区间> . 以.RTCrpUDGiT 2. 含参无穷积分地一致收敛性:, , 使地定义: 逐点收敛( 或称点态收敛> . 引出一致收敛问题 . 定义(一致收敛性> 设函数定义在上 . 若对 成立对, 则称含参无穷积分, 使 ( 关于在>一致收敛.5PCzVD7HxA Cauchy积分> 收敛准则Th 19.5 在上一致收( 敛, 对成立 . 证明含参量非正常积分在上一致收敛, 例1 其中. 内非一致收敛 . P180但在区间jLBHrnAILg : 含参无穷积分与函数项级数地关系 3. 积分在上一致收敛Th 19.6 , 对任一数列在函数项级数, ↗, 上一致收敛. ( 证略>xHAQX74J0X 二. 含参无穷积分一致收敛判别法: Weierstrass M 判别法: 设有函数, 1. 使在上有含参量反常积分的一致收敛发判别法及推广汇总
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关于含参量反常积分的证明.
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数学分析教案华东师大版第十九章含参量积分