数学分析十讲习题册、课后习题答案
习 题 1-1
1．计算下列极限
（1）lim x a
x a a x x a
→--, 0;a >
解：原式lim[
]x a a a
x a a a x a x a x a
→--=---=()|()|x a x a x a a x ==''- =1
ln a
a a a a a --?=(ln 1)a
a a -
（2）sin sin lim
sin()
x a x a
x a →--；
解：原式sin sin lim x a x a
x a
→-=-(sin )'cos x a x a ===
（3
）2
lim 2), 0;n n a →∞->
解：原式2n =20[()']x x a ==2
ln a = （4）1lim [(1)1]p
n n n
→∞+-，0;p >
解：原式111(1)1lim ()|p p p x n n n
x =→∞
+-'===11
p x px p -== （5）10
10
0(1tan )(1sin )lim
;sin x x x x
→+-- 解：原式101000(1tan )1(1sin )1
lim lim tan sin x x x x x x →→+---=--
=99
0010(1)|10(1)|20t t t t ==+++=
（6）
1x →，,m n 为正整数；
解：原式1
11x x →=-11
11
()'
()'
m
x n
x x x ===n m
=
2．设()f x 在0x 处二阶可导，计算00020()2()()
lim h f x h f x f x h h
→+-+-. 解：原式000()()lim 2h f x h f x h h →''+--=00000()()()()
lim 2h f x h f x f x f x h h
→''''+-+--=
000000()()()()lim lim 22h h f x h f x f x h f x h h →→''''+---=+-00011
()()()22
f x f x f x ''''''=+=
3．设0a >，()0f a >，()f a '存在，计算1
ln ln ()lim[
]()
x a x a f x f a -
→. 解：1
ln ln ()lim[]()
x a x a f x f a -→ln ()ln ()
ln ln lim f x f a x a
x a e --→=
ln ()ln ()lim
ln ln x a f x f a x a e
→--=ln ()ln ()lim ln ln x a
f x f a x a x a x a e →----=g
'()
()
f a a f a e
=g
习 题 1-2
1.求下列极限 （1
）lim x →+∞
;
解：原式lim 1)(1)]0x x x →+∞
=+--= ，其中ξ在1x -与1x +之间 （2）40cos(sin )cos lim sin x x x
x
→-;
解：原式=40sin (sin )
lim
x x x x ξ→--=30sin sin lim()()()x x x x x ξξξ→--?=16
，其中ξ在x 与sin x 之间 （3）
lim x →+∞
解：原式116611lim [(1)(1)]x x x x →+∞=+--5
6111
lim (1)[(1)(1)]6x x x x
ξ-→+∞=?+?+--
5611lim (1)33x ξ-→+∞=+= ，其中ξ在11x -与1
1x
+之间 （4） 2
11lim (arctan arctan );1
n n n n →+∞-+
解：原式2
2111lim ()11n n n n ξ→+∞=-++g 1=，其中其中ξ在11n +与1n
之间 2．设()f x 在a 处可导，()0f a >，计算11()lim ()n
n n n f a f a →∞??+??-?
?. 解：原式
1111
(ln ()ln ())
lim (ln ()ln ())lim n n f a f a n f a f a n n
n n
n e
e
→∞+--+--→∞
==
11
ln ()ln ()ln ()ln ()
[lim lim ]11n n f a f a f a f a n n n n
e
→∞→∞
+---+-
=()()
2()()()
()
f a f a f a f a f a f a e
e
'''+
==
习 题 1-3
1．求下列极限
（1）0(1)1
lim (1)1
x x x λμ→+-+-,0;μ≠
解：原式0lim
x x x λλμμ
→==
（2
）0
x →;
解：02ln cos cos 2cos lim
12
x x x nx
I x
→-???=20ln cos ln cos 2ln cos 2lim x x x nx x →++???+=- 20cos 1cos 21cos 1
2lim x x x nx x →-+-+???+-=-22220(2)()lim x x x nx x →++???+=21
n
i i ==∑ （3）0
1
1
lim )1
x
x x e →-
-（; 解：原式01lim (1)x x x e x x e →--=-201lim x x e x x →--=01lim 2x x e x →-=01
lim 22
x x x →== （4）1
12
lim [(1)]x
x
x x x x →+∞
+-;
解：原式1
1ln(1)ln 2
lim ()x x x
x
x x e
e
+→+∞
=-21lim (ln(1)ln )x x x x x →+∞=+-g 1
lim ln(1)x x x
→+∞=+
1
lim 1x x
x
→+∞
== 2. 求下列极限 （1）2
2
2
1cos ln cos lim
sin x x x x x
e e x
-→----;
解：原式2222
01122lim
12x x x x x →+==- （2）0ln()2sin lim sin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e x
x x x
→++--;
解：原式0ln(11)2sin lim sin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e x x x x →++-+=--012sin lim sin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e x
x x x
→+-+=--
02lim
442x x x x
x x x
→++==--
习 题 1-4
1．求下列极限
（1）2
1lim (1sin )n n n n
→∞
-；
解：原式2
331111lim [1(())]3!n n n o n n n →∞
=--
+11
lim((1))3!6
n o →∞=+=
（2）求3
3
601lim sin x x e x x
→--；
解：原式36
3
633
6600()112lim lim 2
x x x x
x o x x e x x x →→++---=== （3）2
1lim[ln(1)]x x x x
→∞-+；
解：原式222111lim[(())]2x x x o x x x →∞=--+12=
（4）21lim (1)x x
x e x
-→+∞+；
解：原式21
1[ln(1)]
2
lim x x x
x e
e +--
→∞
==
此题已换3．设()f x 在0x =处可导，(0)0f ≠，(0)0f '≠.若()(2)(0)af h bf h f +-在
0h →时是比h 高阶的无穷小，试确定,a b 的值.
解：因为 ()(0)(0)()f h f f h o h '=++，(2)(0)2(0)()f h f f h o h '=++ 所以00()(2)2(0)(1)(0)(2)(0)()
0lim
lim
h h af h bf h f a b f a b f o h h h
→→'+-+-+++== 从而 10a b +-= 20a b += 解得：2,1a b ==- 3．设()f x 在0x 处二阶可导，用泰勒公式求0002
()2()()
lim
h f x h f x f x h h →+-+-
解：原式
222
200001000220
''()''()()'()()2()()'()()2!2!
lim
h f x f x f x f x h h o h f x f x f x h h o h h
→++
+-+-++=22201220''()()()
lim h f x h o h o h h
→++=0''()f x = 4. 设()f x 在0x =处可导，且20sin ()lim(
) 2.x x f x x x →+=求(0),(0)f f '和01()
lim x f x x
→+. 解 因为 2200sin ()sin ()
2lim()lim x x x f x x xf x x x x
→→+=+= []
22
()(0)(0)()lim
x x o x x f f x o x x
→'++++=
222
0(1(0))(0)()
lim x f x f x o x x →'+++=
所以 1(0)0,(0)2f f '+==,即(0)1,(0)2f f '=-= 所以 01()
lim
x f x x
→+01(0)(0)()lim x f f x o x x →'+++=02()lim 2x x o x x →+==
习 题 1-5
1. 计算下列极限
(1) n
解：原式n =
2n ==
(2)2212lim (1)n
n n a a na a na
+→∞+++???+> 解：原式21lim (1)n n n n na na n a ++→∞=--2lim (1)n n na n a →∞=--21
a a
=
- 2． 设lim n n a a →∞=，求 (1) 1222lim n
n a a na n
→∞+++L ； 解：原式22lim (1)n n na n n →∞=--lim 212
n n na a
n →∞==
- (2) 12lim 111
n n
n
a a a →∞+++L ，0,1,2,,.i a i n ≠=L
解：由于1211111
lim lim n n n n
a a a n a a →∞→∞+++==L ，
所以12lim 111
n n
n
a a a a →∞=+++L
3．设2lim()0n n n x x -→∞-=，求lim n n x n →∞和1
lim n n n x x n
-→∞-.
解：因为2lim()0n n n x x -→∞
-=，所以222lim()0n n n x x -→∞
-=
且2121lim()0n n n x x +-→∞
-=
从而有stolz 定理2222lim
lim 022
n n n n n x x x
n -→∞→∞-==，
且2121
21
lim lim 0212
n n n n n x x x n ++-→∞→∞-==+ 所以lim 0n n x n →∞=，11
1lim lim lim 01
n
n n n n n n x x x x n n n n n --→∞→∞→∞--=-=-
4．设11
0x q <<
，其中01q <≤，并且1(1)n n n x x qx +=-， 证明：1
lim n n nx q
→∞=.
证明：因11
0x q
<<，所以
211211(1)111
(1)()24qx qx x x qx q q q
+-=-≤=<，所以
210x q <<，用数学归纳法易证，1
0n x q <<。
又111n n n
x
qx x +=-<，从而n x 单调递减，
由单调有界原理，lim n n x →∞
存在，记lim n n x L →∞
=
在1(1)n n n x x qx +=-两边令n →∞，可得lim 0n n x →∞
=
所以11lim lim
lim 111
n n n n n n n
n nx x x x →∞→∞→∞+==-
11(1)lim lim (1)n n n n n n n n n n n n
x x x x qx x x x x qx +→∞→∞+-==---11lim n n qx q q →∞-== 习 题 1-6
1. 设()f x 在(,)a +∞内可导，且()
lim ,x f x A x
→+∞
= lim ()x f x →+∞'存在.
证明:lim ().x f x A →+∞
'=
证明：()()
lim
lim lim ()1
x x x f x f x A f x x →+∞
→+∞→+∞''=== 2. 设()f x 在(,)a +∞上可微， lim ()x f x →+∞
和lim ()x f x →+∞
'存在. 证明:lim ()0x f x →+∞
'=.
证明：记lim ()x f x A →+∞
=（有限），lim ()x f x B →+∞
'=（有限），则
()()()
lim ()lim lim x x x x x x x x e f x e f x e f x A f x A B e e
→+∞→+∞→+∞'+====+ 从而0B = 所以lim ()0x f x →+∞
'=
3. 设()f x 在(,)a +∞上可导，对任意的0α>,
lim[()()]x f x xf x αβ→+∞
'+=，证明:lim ()x f x β
α
→+∞
=
. 证明：因为0α>，所以lim x x α
→+∞
=+∞，由广义罗必达法则得
()lim ()lim x x x f x f x x αα→+∞→+∞=11
()()
lim x x f x x f x x ααααα--→+∞'+= lim[()()]x x
f x f x α
→+∞
'=+
β
α
=
4．设()f x 在(,)a +∞上存在有界的导函数，证明:()
lim
0ln x f x x x
→+∞=.
证明：()()lim lim ln ln 1x x f x f x x x x →+∞→+∞'=+，()f x '有界，1
lim 0ln 1
x x →+∞=+，
所以()()
lim lim 0ln ln 1
x x f x f x x x x →+∞→+∞'==+
习 题 2-1
（此题已换） 1. 若自然数n 是无理数.
1.是无理数
证明：反证法. q
p
=
,,(N q p ∈且q p ,互质)， 于是由2
2
3p q =可知,2q 是2p 的因子，从而得12=q 即2
3p =,这与假设矛盾
2. 求下列数集的上、下确界. （1）11 ,n N n ??
-
∈????
解：1,inf 0supE E == （2）1(1),n n N n
??+∈???
?
解：,inf 2supE e E == （3）11(1)(1),n n n N n +?
?
-+
-∈???
?
解：1,inf 1supE E ==-
（4）2
1|, (1, )2y y x x ??
=∈-???
?
. 解：1,inf 0supE E ==
3．设{}
2
|2,E x x x Q =<∈，验证inf E =证明：,E x ∈?由22
另一方面，设21->α也是E 的下界，由有理数集在实数系中的稠密性， 在),2(1α-区间中必有有理数x '，则E x x ∈'?<'22 且11αα?<'x 不是E 的下界.按下确界定义， inf E = 4．用定义证明上（下）确界的唯一性. 证明：设β为数集E 的上确界，即E sup =β.按定义， E x ∈?有β≤x .若β'也是E 的上确界且 ββ≠'.不妨设ββ>'，则对E x ∈?>-'=0,0ββε 有)(0βββ-'-'>x 即,0β>x 矛盾. 下确界的唯一性类似可证 习 题 2-2 1．用区间套定理证明：有下界的数集必有下确界. 证明：设a 是E 的一个下界，b 不是E 的下界，则b a <. 令)(2 1 1b a c += ，若1c 是E 的下界，则取b b c a ==111 ,； 若1c 不是E 的下界，则取111 ,c b a a ==. 令)(2 1 112b a c += ，若2c 是E 的下界，则取1222 ,b b c a ==； 若2c 不是E 的下界，则取2212 ,c b a a ==；……， 按此方式继续作下去，得一区间套]},{[n n b a ，且满足： n a 是E 的下界，n b 不是E 的下界),2,1(Λ=n . 由区间套定理],[n n b a ∈?ξ Λ,2,1=n ，且ξ==∞ →∞ →n n n n b a lim lim . 下证E inf =ξ： E x ∈?)1( 都有),2,1( Λ=≥n a x n ，而ξξ≥?=∞→x a n n lim ， 即ξ是E 的下界. ,)2(ξξ>'?由于ξ=∞ →n n b lim ，从而当n 充分大以后， 有 2. 设()f x 在[,]a b 上无界.证明：存在0[,]x a b ∈, 使得()f x 在0x 的任意邻域内无界. 证明：由条件知，)(x f 在2]b)(a ,[+a 上或] ,2)([b b a +上无界， 记使)(x f 在其上无界的区间为],[11b a ；再二等分],[11b a ， 记使)(x f 在其上无界的区间为],[22b a ，……，继续作下去， 得一区间套]},{[n n b a ，满足)(x f 在],[n n b a ),2,1(Λ=n 上无界. 根据区间套定理，Λ,2,1 ],[0=∈?n b a x n n ，且0lim lim x b a n n n n ==∞ →∞ →. 因为对任意的0>δ，存在N ，当N n ≥时，有),(],[00δδ+-?x x b a n n ，从而可知)(x f 在),(00δδ+-x x 上无界 3.设()f x ,()g x 在[0,1]上满足(0)0f >,(1)0f <,若 ()g x 在[0,1]上连续, ()()f x g x +在[0,1]上单调递增. 证明：存在[0,1]ξ∈,使()0f ξ=. 证明：记1,011==b a 且二等分[0,1].若0)2 1(≥f ， 则记;1,2112== b a 若,0)21(≤f 则记2 1,022==b a . 类似地,对已取得的],[n n b a 二等分,若0)2 (≥+n n b a f ， 则记n n n n n b b b a a =+=++11,2；若0)2 (≤+n n b a f ， 则记.2 ,11n n n n n b a b a a +==++按此方式继续下去， 得一区间套]},{[n n b a ，其中.0)(,0)(≤≥n n b f a f 根据区间套定理可知，,3,2,1],,[Λ=∈?n b a n n ξ 且有 n n n n b a ∞ →∞ →==lim lim ξ. 因为)(x g 在]1,0[上连续，所以).)(()(),()(∞→→→n g b g g a g n n ξξ 注意到 )()()()()()(n n n n n n b g b g b f a g a f a g ≤+≤+≤ 可得 )]()([lim )]()([lim )(n n n n n n b g b f a g a f g +=+=∞ →∞ →ξ， 再由 )()()()()()(n n n n b g b f g f a g a f +≤+≤+ξξ 可知 )()()()(ξξξξg g f g ≤+≤ ， 0)(=ξf . 习 题 2-3 1. 证明下列数列发散. (1)1(1)221n n n x n = +-+, 1,2,;n =L 证 因为03 41 221 ,114221122→++-=→++=+n n x n n x n n ， )(∞→n 所以}{n x 发散. (2)1123(1)n n n y n n n n -= -+-+-L , 1,2,.n =L 证明：因为)( ,2 1 121 ,212122∞→→++=-→-=+n n n y n n y n n 所以}{n y 发散. 2．证明:单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列. 证明： ?由收敛数列与子列的关系，结论显然 ? 不妨假设数列{}n x 单调递增，且存在收敛子列lim k n k x A →∞ =， 由极限定义 对任意给定的0ε>，总存在正整数1K ，当1k K >时，k n x A ε-<， 从而有k n A A x ε ε-<<+； 由于lim k k n →∞ =∞，对任意n ，存在正整数21K K >， 当2k K >时，2 k n n >，取1 1k N n +=， 则任意n N >时，11 2 k k n N n n A x x x x A εε+-<=<<<+ 所以 n x A ε-<，即lim n n x A →∞ = 3. 设极限lim (sin cos )x a x b x →+∞ +存在,证明：0a b ==. 证明：记lim (sin cos )x a x b x A →+∞ +=由海茵定理， 取(1) 2()n x n n π=→+∞→+∞，得b A = 取(2) 2()2 n x n n π π=+ →+∞→+∞，得a A = 取(3) 2()4 n x n n π π=+ →+∞→+∞ ，得 ()2 a b A +=，解得0a b A === （此题取消）4. 数列{}n x 收敛于a 的充要条件是：其偶数项子列和奇数项子列皆收敛于.a （此题改为4）5. 已知有界数列{}n x 发散，证明:存在两个子列{}(1)n x k 和{} (2) n x k 收敛 于不同的极限. 证明：因为{}n x 有界，由致密性定理，必有收敛的子列{} (1)n x k ，设a x k n k =∞ →) 1(lim . 又因为{}n x 不收敛，所以存在00>ε，在),(00εε+-a a 以外，有{}n x 的无穷多项， 记这无穷多项所成的子列为{}) 2(n x ，显然{})2(n x 有界.由致密性定理，必有收敛子列{}(2) n x k ， 设 () b x k n k =∞ →2lim ，显然 a b ≠. 习 题 2-5 1. 用柯西收敛准则判定下列数列的收敛性 (1) 11111(1);23n n x n +=- +-+-L 解：1111 (1)12p n p n x x n n n p ++-= -++-+++L 1111111 ()(1)1231p n n n n p n n += ---+-<<+++++L 所以，对0,[1/],,n p n N n N x x εεε+?>?=?>-<，即{}n x 为柯西列 (2) 2012n n n x a a q a q a q =++++L (1,,0,1,)k q a M k <≤=L . 解：1 1n n p n p n n n p x x a q a q +++++-=++L 1 1 1 (1)1n n p M q M q q q q ++-≤+++≤ -L 所以，对(1) 0,max{1,[ln ]/ln 1},,n p n q N q n N x x M εεε+-?>?=-?>-<，即{}n x 为 柯西列 2. 满足下列条件的数列{}n x 是不是柯西列? (1) 对任意自然数p ,都有lim 0;n p n n x x +→∞ -= 解：不是柯西列，如11 12n x n =+++L ，对任意的自然数p ，lim 0;n p n n x x +→∞-=但数 列{}n x 不收敛。 (2)11n n n n x x k x x +--≤-,(01,2,3,);k n <<=L 解：111n p n n p n p n p n n x x x x x x x +++-+-+-≤-+-+-L 1121n p n p n p n p n n x x x x x x ++-+-+-+≤-+-++-L 12121()n p n p n k k k x x +-+--≤+++-L 211 1n x x k k --≤ - 所以，对21 (1)0,[ln ]/ln 1,,n p n k N k n N x x x x ε εε+-?>?=+?>-<-，即{}n x 为柯西列 (3) 1 1 n k k k x x M +=-≤∑(1,2,,0)n M =>L . 证明：记1 1 n n k k k S x x +== -∑，则n S 单调递增有上界M ，从而必有极限，记lim n n S S →∞ = 对0,,,2 n N n N S S ε ε?>??>-< 从而111n p n n p n p n p n n x x x x x x x +++-+-+-≤-+-+-L 1121n p n p n p n p n n x x x x x x ++-+-+-+≤-+-++-L 11n p n S S +--=- 11n p n S S S S ε+--≤-+-< 故 {}n x 是柯西列 习 题 3-1 1.设定义在[,]a b 上的函数()f x 在(,)a b 内连续,且lim ()x a f x +→和lim ()x b f x - →存在(有限). 问()f x 在(,)a b 上是否有界? 是否能取得最值? 解：在闭区间[,]a b 上构造辅助函数 ?? ???==∈=-+ . ),(, ,)(), ,( ),()(b x b f a x a f b a x x f x g 则)(x g 在[,]a b 上连续，从而)(x g 在[,]a b 上有界. 由于)( )()(b x a x f x g <<=，故 )(x f 在(,)a b 上也有界，即存在01>M ，使得 ),( ,)(1b a x M x f ∈≤. 令 {} )( ,)(max ,1b f a f M M =，则有 ],[ ,)(b a x M x f ∈≤. 条件同上，但()f x 在(,)a b 上却不一定能取得极值. 例如：(),(,)f x x x a b =∈ 2.设()f x 在(,)-∞+∞内连续,且lim ()x f x →±∞ =+∞.证明()f x 在(,)-∞+∞内可取得最小 值. 证明：因为lim ()x f x →-∞ =+∞，所以0A ?<，当x A <时，有()(0)f x f > 因为lim ()x f x →+∞ =+∞，所以0B ?>，当x B >时，有()(0)f x f > 从而当(,)(,)x A B ∈-∞?+∞时，有()(0)f x f > 又()f x 在[,]A B 连续，从而一定可以取到最小值m ，即0[,]y A B ?∈，使当[,]x A B ∈时， 0()()m f y f x =≤且0()(0)m f y f =≤； 故(,)(,)x A B ∈-∞?+∞时，有0()(0)()f x f f y >≥ 所以()f x 在0y 处取到最小值 习 题 3-2 （此题已换）1. 设1a ,2a ,30a >,123b b b <<. 证明:方程312123 0a a a x b x b x b ++=---在12(,)b b 和23(,)b b 内恰好各有一个实根. 1. 证明开普勒(Kepler)方程()sin 01x x a εε=+<<有唯一实根 证明：令()sin f x x x a ε=--，则()f x 在[1,1]a a -+连续且 (1)1sin(1)0f a a ε-=---<，(1)1sin(1)0f a a ε+=-+>， 由零点原理(1,1)a a ξ?∈-+，使()0f ξ=，即方程sin x x a ε=+至少有一实根 又'()1cos 0f x x ε=->，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增，所以方程sin x x a ε=+有唯一实根 （此题已换）2. 设函数()f x 在（, a b ）内连续且有极值点. 证明: 存在 1212,(, ), ,x x a b x x ∈≠使得12()().f x f x = 2.设0a >，讨论方程2 x e ax =实根的个数 解：step1.令2 ()x f x e ax =-，则0 lim (),lim ()(0)1x x f x f x f →-∞ →=-∞==，由零点原理， ()0f x =在(,0)-∞至少有一实根，又'()20x f x e ax =->((,0))x ∈-∞，所以()f x 在 (,0)-∞单调递增，从而方程2x e ax =在(,0)-∞内有且仅有一实根。 step2.令2()x e g x x =，则0lim (),lim ()x x g x g x +→+∞→=+∞=+∞，且3 (2) '()x e x g x x -= ，所以 当02x <<时，函数()g x 单调递减；当2x <<+∞时，函数()g x 单调递增，所以函数 ()g x 在点2x =取得极小值2 (2)4 e g =。所以，当204e a <<时，方程()g x a =在(0,) +∞无解；当24e a =时，()g x a =在(0,)+∞有一解；当2 4e a >时，()g x a =在(0,)+∞有两解 综上：当204e a <<时，方程2x e ax =有一解；当24e a =时，2 x e ax =有两解；当24 e a > 时，2 x e ax =有三解 3.设()f x 在[,]a b 上连续, [,]n x a b ∈,lim ()n n f x A →∞ =.证明存在[,]a b ξ∈使 ()f A ξ=. 证法1 因为()f x 在[,]a b 上连续，所以存在最大值M 和最小值m ，且使M x f m n ≤≤)(，从而有M x f A m n n ≤=≤∞ →)(lim .由介值定理知],[b a ∈?ξ，使()f A ξ=. 证法2 因为{}n x 有界，所以存在收敛子列)( ],[∞→∈→k b a x k n ξ.而()f x 在[,]a b 上连续，故有A x f x f f n n n k k ===∞ →∞ →)(lim )(lim )(ξ 习 题10-2 1. 设()f x 在[]0,1上连续， 2n ≥为自然数. 证明： （1）若(0)(1)f f =，则存在1[0, ],n n ξ-∈使得1 ()();f f n ξξ=+ 证明：令1()()()F x f x f x n =-+，则1 ()[0, ]n F x C n -∈，且 1(0)(0)()F f f n =-，112()()()F f f n n n =-，11 ,()()(1)n n F f f n n --=-L 从而11 (0)()()0n F F F n n -++=L 若{0,1,2,,1}i n ?∈-L ，使()0i F n =，取i n ξ=即可 否则{0,1,2,,1}i j n ?≠∈-L ，使()()0i j F F n n n n ， 使()0F ξ= 综上，1[0, ]n n ξ-?∈，使()0F ξ=，即1 ()()f f n ξξ=+ （2）若(0)0, (1)1,f f ==则存在(0,1),ξ∈使得11 ()().f f n n ξξ+=+ 解：取n x f n x f x F 1 )()1()(--+=，方法同上 2.设)(x f 在[],a b 上连续，且()d 1, b a f x x =? ()d ,b a xf x x μ=? 22()d .b a x f x x μ=? 证明：存 在[,],a b ξ∈使()0.f ξ= 证：由已知经计算得 2()()d 0b a x f x x μ-=? 1）若a μ≤或b μ≥，由积分中值定理，(,)a b ξ?∈，使2 ()()0f ξμξ-=，从而()0f ξ= 2）否则，a b μ<<，222()()d ()()d ()()d 0b b a a x f x x x f x x x f x x μμ μμμ-=-+-=? ?? a ）若 2 2()()d ()()d 0b a x f x x x f x x μ μ μμ-=-=? ?，同1），由积分中值定理 12(,),(,)a b ξμξμ?∈?∈，使12()()0f f ξξ== b ）2()()d a x f x x μ μ-? 与2()()d b x f x x μ μ-?异号，由中值定理，12(,),(,)a b ημημ?∈?∈ 使 2 2 11()()d ()()a x f x x f μ μημη-=-? ，且2222()()d ()()b x f x x f μ μημη-=-? 所以12()()0f f ηη<，有零点原理，12(,)(,)a b ξηη?∈?使()0f ξ= 3. 设12 ()cos cos cos cos n n n f x x x x x -=++++L ,求证 (1) 对任意自然数n , 方程()1n f x =在[0,)3 π内有唯一实根; 证明：1n =时，1()cos 1f x x ==在[0, )3 π上有唯一实根0x = 1n >时，有，(0)110n f n -=->且11 ()1032 n n f π+-=-<，由零点存在原理， (0,)3n x π?∈，使()1n n f x =，即()1n f x =在(0,)3 π 上有一实根 又12 '()(cos (1)cos 2cos 1)(sin )0n n n f x n x n x x x --=+-+++- 调递减，所以方程()1n f x =在[0,)3 π内有唯一实根 (2) 设[0, )3 n x π ∈是()1n f x =的根,则lim 3 n n x π →∞ = . 证：对0x >，1()()n n f x f x +<，从而111()1()()n n n n n n f x f x f x +++==<，有因为1()n f x +严格单调递减，故1n n x x +>，即{}n x 严格单调递增。又{}n x 有界，所以{}n x 收敛。 设lim n n x A →∞ =，由于(0, )3 n x π ∈，所以limcos ()0n n n x →∞ =，在 121()cos cos cos cos n n n n n n n n f x x x x x -==++++L cos cos 1cos n n n n x x x -= -，令n →∞，有cos 11cos A A =-，所以1cos 2A =，3A π=即lim 3n n x π →∞= 4. 设()f x 在[,]a b 上连续，不恒为常数,且[,] ()min ()()x a b f a f x f b ∈==.证明存在(,)a b ξ∈， 使 ()d ()()a f t t a f ξ ξξ=-? ． 证：令()()()()x a F x f t dt x a f x = --? ，因为()f x 在[,]a b 上连续，不恒为常数,且 [,]()min ()()x a b f a f x f b ∈==，所以0(,)x a b ?∈，使0[,] ()max ()x a b f x f x ∈=，于是 000()()()()x a F x f t dt x a f x =--?0 0[()()]0x a f t f x dt =- ()()()()b a F b f t dt b a f b =--?[()()]0b a f t f b dt =->?，由零点原理： 证明存在0(,)(,)x b a b ξ∈?，使()0F ξ=，即()d ()()a f t t a f ξ ξξ=-? ． 习 题4-1 1．证明函数, 0 ()1, 0 x x f x x ?≠?=? =??没有原函数. 证：设()f x 存在原函数()F x ，即'()()F x f x =，则'(0)(0)1F f ==且1 11'()()222 F f ==，由于13'()'(0)24F F < <，由达布定理，1(0,)2ξ?∈，使3 '()()4 F f ξξξ===，矛盾，所以()f x 无原函数 2．设()f x 在[,]a b 上可导， 12,[,].x x a b ∈ 证明： （1）若12()()0,f x f x ''+= 则存在[,]a b ξ∈使()0f ξ'=； 证明：若12()()0f x f x ''==，则取1x ξ=或2x ξ=均可；否则12()()0f x f x '' f μ ξ'=. 证明：若12()()2 f x f x μ ''== ，则取1x ξ=或2x ξ=均可；否则 12[()][()]022f x f x μμ''-- f μ ξ'=； 综上存在[,]a b ξ∈使()2 f μξ'= 习 题4-2 1．求下列函数的导函数，并讨论导函数的连续性. （1）3 ()(1)f x x =+； 解：3 3 (1), 1 ()(1), 1 x x f x x x ?+>-?=?-+≤-??，则()f x 在1x =-连续，且 1x >-时，2'()3(1)f x x =+，1 lim '()0x f x +→-=，从而'(1)0f +-= 1x <-时，2'()3(1)f x x =-+，1 lim '()0x f x -→-=，从而'(1)0f --= 所以'(1)0f -= 从而'()f x 在1x =-连续。 所以22 3(1), 1'()3(1), 1 x x f x x x ?+>-? =?-+≤-??在(,)-∞+∞连续 （2）22, 0 (), 0 x x f x x x ?>?=?-≤??； 解：显然()f x 在1x =-连续，且 0x >时，'()2f x x =，0 lim '()0x f x + →=，从而'(0)0f +=； 0x <时，'()2f x x =-，0 lim '()0x f x - →=，从而'(0)0f -= 所以'(0)0f = 从而'()f x 在0x =连续。 所以2, 0 '()2, 0 x x f x x x >?=? -≤?在(,)-∞+∞连续 2. 设1sin ,0 ()0, 0 k x x f x x x ?≠?=??=?. 当k 分别满足什么条件时， （1）()f x 在0x =处连续； 解：0 (0)lim ()x f f x →=，即0 1 lim sin 0k x x x →=，所以0k > （2）()f x 在0x =处可导； 解：0 ()(0)lim x f x f x →-存在，即1 01lim sin k x x x -→存在，所以1k > （3）()f x '在0x =处连续？ 解：1 211sin cos , 0 '()0, 0k k kx x x f x x x x --?-≠?=??=?，由0 '(0)lim '()x f f x →=，即 12011 lim(sin cos )0k k x kx x x x --→-=，所以2k > 3．分别用两种方法证明符号函数不存在原函数. 证明：法一 设sgn()x 存在原函数()F x ，即'()sgn()F x x =，则'(1)sgn(1)1F ==且 '(1)sgn(1)1F -=-=-，由于1 '(1)'(1)2 F F -< <，由达布定理，(1,1)ξ?∈-，使1 '()sgn()2 F ξξ==，矛盾，所以sgn()x 无原函数 法二 由单侧导数极限定理，导函数不存在第一类间断点，而sgn()x 有第一类间断点0x =，从而 sgn()x 无原函数 习 题5-1 . 1. 设函数()f x 在[0,)+∞上可导. （1）若(0)1f =，()x f x e -≤.证明存在00x >使0 0()x f x e -'=-； 证明：令()()x F x f x e -=-，则()[0,)F x D ∈+∞，且0 lim ()(0)0x F x F →==，lim ()0x F x →+∞ =， 由广义洛尔定理，0(0,)x ?∈+∞使0'()0F x =，即0 0'()0x f x e -+=，所以00()x f x e -'=- (2) 若0()n x x f x e ≤≤，证明存在0ξ>使得1()()n n f e ξ ξξξ--'=； 证明：令()()n x F x f x x e -=-，则()[0,)F x D ∈+∞，且0 lim ()(0)0x F x F →==， lim ()0x F x →+∞ =，由广义洛尔定理，(0,)ξ?∈+∞使'()0F ξ=，即 12()0n n ne e f e ξξ ξ ξξξ--'- =，所以1() ()n n f e ξ ξξξ--'= 习 题5-2 1． 设()f x 在[0,1]上可导，且1 (1)()f x f x dx α= ? ，其中1α>为常数.证明：存在 (0,1)ξ∈，使'()()f f αξξξ=-. 证明：由积分中值定理，0(0,1)x ?∈，使1 000 (1)()()f x f x dx x f x αα= =? 令()()F x x f x α =，则()[0,1]F x D ∈，且0(1)()F F x =，由洛尔定理，0(,1)(0,1)x ξ?∈?， 使'()0F ξ=，即1 ()'()0f f αααξ ξξξ-+=，从而'()()f f αξξξ=- 2． 设()f x 在[0,1]上可导，且1 10 (1)().x f xe f x dx -= ? 证明：存在(0,1)ξ∈，使 '1 ()(1)().f f ξξξ =- 证明：由积分中值定理，0(0,1)x ?∈，使01 11000 (1)()()x x f xe f x dx x e f x --==? 令1()()x F x xe f x -=，则()[0,1]F x D ∈，且0(1)()F F x =，由洛尔定理， 0(,1)(0,1)x ξ?∈?，使'()0F ξ=，即111()()'()0e f e f e f ξξξξξξξξ----+=，从而 1 '()(1)().f f ξξξ =- 3． 设)(x f 在[0, ]2 π上可导，且 2 ()sin 0f x xdx π =? .证明：存在(0,)2 π ξ∈使 ' ()()tan .f f ξξξ=- 证明：由积分中值定理，0(0, )2 x π ?∈，使2 000 0()sin ()sin f x xdx f x x π ==? 令()()sin F x f x x =，则()[0, ]2 F x D π ∈，且0(0)()F F x =，由洛尔定理， 0(0,)(0,)2 x π ξ?∈?，使'()0F ξ=，即()cos '()sin 0f f ξξξξ+=，从而 '()()tan .f f ξξξ=- 习 题6-1 1.若()f x 在区间I 上是凸函数，证明对任意四点,,,s t u v I ∈，s t u v <<<有 ()()()() f t f s f v f u t s v u --≤ --. 其逆是否成立？ 证明：因为()f x 在区间I 上是凸函数，由三弦不等式 ()()()() f t f s f u f t t s u t --≤ --，且 ()()()()f u f t f v f u u t v u --≤--，所以()()()() f t f s f v f u t s v u --≤ --成立。其逆成立 2. 设(),()f x g x 均为区间I 上的凸函数，证明：{}()max (),()F x f x g x =也是I 上凸函数.. 证明：设(0,1)λ∈，则对12,x x I ?∈，有 12[(1)]f x x λλ+-12()(1)()f x f x λλ≤+-12()(1)()F x F x λλ≤+-，且 12[(1)]g x x λλ+-12()(1)()g x g x λλ≤+-12()(1)()F x F x λλ≤+-，从而 12((1))F x x λλ+-1212max{[(1)],[(1)]}f x x g x x λλλλ=+-+- 数学分析十讲习题册、课后习题答案 习 题 1-1 1．计算下列极限 （1）lim x a x a a x x a →--, 0;a > 解：原式 lim[]x a a a x a a a x a x a x a →--=---=()| ()|x a x a x a a x ==''- =1 ln a a a a a a --?=(ln 1)a a a - （2）sin sin lim sin() x a x a x a →--； 解：原式sin sin lim x a x a x a →-=-(sin )' cos x a x a === （3 ）2lim 2), 0;n n a →∞ > 解：原式2 n =20[()']x x a ==2ln a = （4）1 lim [(1)1] p n n n →∞+-， 0;p > 解：原式 111(1)1lim ()|p p p x n n n x =→∞ +-'===11 p x px p -== （5）1010 0(1tan )(1sin )lim ;sin x x x x →+-- 解：原式 101000(1tan )1(1sin )1lim lim tan sin x x x x x x →→+---=-- =990 10(1)|10(1)|20t t t t ==+++= （6） 1x →，,m n 为正整数； 解：原式1 1 n x x →=-11 11 ()' ()' m x n x x x === n m = 2．设 () f x 在 x 处二阶可导，计算000 2 ()2()() lim h f x h f x f x h h →+-+-. 解 ： 原式 电子科大数学学院考研经验谈 “不忘初心，方得始终;既然选择了前方，便只顾风雨兼程;相约成都，相约科大”，这段话一直激励着我前进。没有伞的孩子，必须努力奔跑，你呢? 一、引言 看着电子科技大学拟录取名单上自己的名字，不知不觉到12点了，夜深人静的时刻总那么容易让人回想过去。半年考研生活的痛苦与纠结，可转眼间只能低头微微一笑。习惯用文字记录时间的点滴，趁这个安静的夜晚，写下我的考研心路历程。我天资不聪明，也并非学霸，我用了半年的时间准备初试，最后以总成绩排名第九进入电子科技大学数学学院。从一定程度上来说，我的一些经验和方法有一定的成功之处，如果你还没有一些详细的复习计划和规划，我的一些经验还是可以参考的。 文中有很多实例，包括我本科同学的考验情况和研友的一些例子。从本科同学说起，我们宿舍4个人，全部考研了并且全部考研成功。大家最初报考的院校分别是北京师范大学，陕西师范大学，湖南师范大学，电子科技大学。经过苦苦的奋斗和挣扎，最后尘埃落地，除了报湖南师范大学的调剂到杭州电子科技大学外，其他全部按第一志愿录取。 另外在我复试的时候所认识的研友，普通本科，但是却考出380的高分，这些例子说明考研贵在坚持，真真正正地静心坚持。考研路上半途而废的人身边有很多，不愿意努力的人也很多，努力也坚持，内心却不平静浮躁的人也很多，所以考研路上炮灰很多，原因也就在此。考研心态很重要，心理调节尤其重要，附件有心态调节的一些方法，希望对16的孩子们有用。 二、序言 我是来自一个普通农村家庭的孩子，带着对未来美好的憧憬，一直在求学这条道路上慢慢前行。很庆幸，通过自己的不懈努力，坚持，静心，最终如愿进入了电子科技大学。 初中开始考县城最好的高中，上了好高中才发现，初中的骄傲和自豪在这个优秀的高中淹没地无声无息。我开始迷茫彷徨，原来自己很弱小，很卑微，站在偌大的高中校园，没有一席安生之处。后来又因为种种原因，我再次看不见未来的光明，通过和班主任沟通，我选择当了班长，慢慢地我开始走出那段迷茫和不安，开始了正常的生活。怀着对大学的向往，怀着对知识改变命运的崇敬，曾今痛苦并快乐的的高中生活终究有了结果，如愿的上了大学。我是四川人，但是本科在北方上学。在北方的四年中，我真真的体会到地道的北方生活，同样也让我感悟到什么样的生活方式是我想要的。我不后悔在北方呆过的每一个春夏秋冬。 说起我的大学生活，只能说充实。我不是学霸，不会像很多学生一样，没事就在图书馆看书学习，而我更多的时间在于兼职。大一大二的时候，我几乎没有周六周日，我的周末几乎都在兼职，什么发单啊，服务员啊，促销啊，什么都干过。但是干得最多的还是我的本行家教，疯狂的时候，白天自己在学校上课，晚上骑车去家教，一上就是晚上9:30，然后住她家，第二天早上又骑车回学校上课。这也使得我大三大四的本科学费和生活费都是我自己交。除了兼职，闲暇的时间 2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????= dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()?+∞a dx x g 条件收敛，则()()?+∞ -a dx x g x f ][必然条件收敛（ ）. 4. 若()?+∞ 1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散 于正无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到 的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相 等，则（ ） A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞=--+12111n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1<=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的； 第十章 曲线积分 一、证明题 1.证明:若函数f 在光滑曲线L:x=x(t),y=y(t)(β≤≤αt )上连续，则存在点()L y ,x 00∈，使得，()?L ds y ,x f =()L y ,x f 00? 其中L ?为L 的长。 二、计算题 1.计算下列第一型曲线积分: (1) ()?+L ds y x ,其中L 是以0(0,0),A(1,0)B(0,1)为顶点的三角形; (2) ()?+L 2122ds y x ,其中L 是以原点为中心,R 为半径的右半圆周; (3) ?L xyds ,其中L 为椭圆22a x +22 b y =1在第一象限中的部分; (4) ?L ds y ,其中L 为单位圆22y x +=1; (5) () ?++L 222ds z y x ,其中L 为螺旋线x=acost,y=asinr, z=bt(π≤≤2t 0)的一段; (6) ?L xyzds ,其中L 是曲线x=t,y=3t 232,z=2t 2 1 ()1t 0≤≤的一段; (7) ?+L 22ds z y 2,其中L 是222z y x ++=2a 与x=y 相交的圆周. 2.求曲线x=a,y=at,z=2at 21(0a ,1t 0>≤≤)的质量,设其线密度为a z 2=ρ, 3.求摆线x=a(t －sint),y=a(1－cost)(π≤≤t 0)的重心,设其质量分布是均匀的. 4.若曲线以极坐()θρ=ρ()21θ≤θ≤θ表示,试给出计算 ()?L ds y ,x f 的公式.并用此公式计算下列曲线积分. (1)? +L y x ds e 22,其中L 为曲线ρ=a ??? ??π≤θ≤40的一段; (2)?L xds ,其中L 为对数螺线θ=ρx ae (x>0)在圆r=a 内的部分. 5.设有一质量分布不均匀的半圆弧,x=rcos θ,y=rsin θ(π≤θ≤0),其线密度θ=ρa (a 为常数),求它对原点(θ,0)处质量为m 的质点的引力. 6.计算第二型曲线积分: (1) ?-L ydx xdy ,其中L 为本节例2的三种情形; (2) ()?+-L dy dx y a 2,其中L 为摞线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(π≤≤2t 0)沿t 增加方向的 一段; (3) ?++-L 22y x ydy xdx ,其中L 为圆周222a y x =+,依逆时针方向; (4)?+L xdy sin ydx ,其中L 为y=sinx(π≤≤x 0) 与x 轴所围的闭曲线,依顺时针方向; (5)?++L zdz ydy xdx ,其中L 为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段. 7.质点受力的作用,力的反方向指向原点,大小与质点离原点的距离成正比,若质点由(a,0)沿椭圆移动到(0,b),求力所作的功. 8.设质点受力的作用,力的方向指向原点,大小与质点到xy 平面的距离成反比,若质点沿直线x=at,y=bt,z=ct(0c ≠) 从M(a,b,c)到N(2a,2b,2c),求力所作的功. 9.计算沿空间曲线的第二型曲线积分: (1) ?L xyzddz ,其中L 为x 2+y 2+z 2=1与y=z 相交的圆,其方向按曲线依次经过1,2,7,8卦限; (2) ()()() ?-+-+-L 222222dz y x dy x z dx z y ,其中L 为球面x 2+y 2+z 2=1在第一卦限部分的边界线,其方向按曲线依次经过xy 平面部分,yz 平面部分和zx 平面部分 . 学数学要多看书，但是初学者很难知道那些书好，我从网上收集并结合自己的经验进行了整理： 从数学分析开始讲起： 数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。 记住以下几点： 1，对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。 2，学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。 3，别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。 4，看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。 5，课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。 6，开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。 7，经常回头看看自己走过的路 以上几点请在学其他课程时参考。 数学分析书： 初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的： 1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒） 应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著 师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。3《数学分析》陈纪修等著 以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章，黄玉民 是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。 5《数学分析讲义》刘玉链 我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由最好的教授做的。细说就远了，总之可以看看。 6《数学分析》曹之江等著 内蒙古大学数理基地的教材，偏重于物理的实现，会打一个很好的基础，不会盲目的向n 维扩展。适合初学者。国家精品课程的课本。 统计专业和数学专业数学分练习题 计算题 1. 试求极限 .4 2lim )0,0(),(xy xy y x +-→ 2. 试求极限.)() cos(1lim 222222) 0,0(),(y x y x e y x y x ++-→ 3. 试求极限.1 sin 1sin )(lim )0,0(),(y x y x y x +→ 4. 试讨论.lim 4 22 )0,0(),(y x xy y x +→ 5. 试求极限 .1 1lim 2 2 22) 0,0(),(-+++→y x y x y x 6. ),(xy y x f u +=,f 有连续的偏导数，求 .,y u x u ???? 7. ,arctan xy z =,x e y = 求 .dx dz 8. 求抛物面 2 22y x z +=在点 )3,1,1(M 处的切平面方程与法线方程. 9. 求5362),(2 2+----=y x y xy x y x f 在)2,1(-处的泰勒公式. 10. 求函数)2(),(2 2y y x e y x f x ++=的极值. 11. 叙述隐函数的定义. 12. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容. 13. 叙述隐函数可微性定理的内容. 14. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数. 15. 讨论笛卡儿叶形线 0333=-+axy y x 所确定的隐函数)(x f y =的一阶与二阶导数. 16. 讨论方程 0),,(323=-++=z y x xyz z y x F 在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数. 17. 设函数23 (,,)f x y z xy z =, 方程 2223x y z xyz ++=. (1)验证在点0(1,1,1)P 附近由上面的方程能确定可微的隐函数(,)y y z x =和(,)z z x y =; (2)试求(,(,),)x f x y x z z 和(,,(,))x f x y z x y ,以及它们在点)(x f y =处的值. 18. 讨论方程组 数学分析十讲习题册、课后习题答案_ 数学分析十讲习题册、课后习题答案习题1-1 1．计算下列极限（1）, 解：原式= == （2）； 解：原式（3）解：原式（4），解：原式（5）解：原式= （6），为正整数； 解：原式2．设在处二阶可导，计算. 解：原式3．设，，存在，计算. 解： 习题1-2 1.求下列极限（1）; 解：原式，其中在与之间（2）; 解：原式===，其中在与之间（3）解：原式，其中在与之间（4）解：原式，其中其中在与之间2．设在处可导，，计算. 解：原式习题1-3 1．求下列极限（1）, 解：原式（2）; 解： （3）; 解：原式（4）; 解：原式2. 求下列极限（1）; 解：原式（2）; 解：原式习题1-4 1．求下列极限（1）； 解：原式（2）求； 解：原式（3）； 解：原式（4）； 解：原式此题已换3．设在处可导，，.若在时是比高阶的无穷小，试确定的值. 解：因为，所以从而解得： 3．设在处二阶可导，用泰勒公式求解：原式4. 设在处可导，且求和. 解因为所以,即所以习题1-5 1. 计算下列极限(1) ; ; 解：原式(2) 解：原式2．设，求(1) ； 解：原式(2) ，解：由于，所以3．设，求和. 解：因为，所以且从而有stolz定理，且所以，4．设，其中，并且，证明：. 证明：因，所以，所以，用数学归纳法易证，。 又，从而单调递减，由单调有界原理，存在，记在两边令，可得所以习题1-6 1. 设在内可导，且存在. 证明: 证明： 2. 设在上可微，和存在. 证明:. 证明：记（有限），（有限），则 从而所以 3. 设在上可导，对任意的, ，证明:. 证明：因为，所以，由广义罗必达法则得4．设在上存在有界的导函数，证明:. 证明：，有界，，所以习题2-1 （此题已换）1. 若自然数不是完全平方数，证明是无理数. 1.证明是无理数证明：反证法. 假若且互质，于是由可知,是的因子，从而得即,这与假设矛盾2. 求下列数集的上、下确界. （1）解： （2）解： （3）解： （4）. 解： 3．设，验证. 证明：由得是的一个下界. 另一方面，设也是的下界，由有理数集在实数系中的稠密性，在区间中必有有理数，则且不是的下界.按下确界定义， . 4．用定义证明上（下）确界的唯一性. 证明：设为数集的上确界，即.按定义，有.若也是的上确界且 .不妨设，则对有即矛盾. 下确界的唯一性类似可证习题2-2 1．用区间套定理证明：有下界的数集必有下确界. 证明：设是的一个下界，不是的下界，则. 令，若是的下界，则取； 若不是的下界，则取. 令，若是的下界，则取； 若不是的下界，则取； ……，按此方式继续作下去，得一区间套，且满足： 是的下界，不是的下界. 由区间套定理，且. 下证： 都有，而，即是的下界. 由于，从而当充分大以后，有.而不是的下界不是的下界，即是最大下界2. 设在上无界.证明：存在, 使得在的任意邻域内无界. 证明：由条件知，在上或上无界，记使在其上无界的区间为； 再二等分，记使在其上无界的区间为，……，继续作下去，得一区间套，满足在上无界. 根据区间套定理，，且. 因为对任意的，存在，当时，有，从而可知在上无界3.设,在上满足,,若在上连续, 在上单调递增. 证明：存在,使. 证明：记且二等分.若，则记若则记. 类似地,对已取得的二等分,若，则记； 2014 —--201５学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分,共２１分)（正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?( ） ． ２．若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[] ????= dx x g dx x f dx x g x f （ )． 3． 若()? +∞a dx x f 绝对收敛，()? +∞ a dx x g 条件收敛，则()()?+∞-a dx x g x f ][必然条件收敛（ )。 ４． 若()? +∞1 dx x f 收敛，则必有级数()∑∞ =1 n n f 收敛（ ) 5． 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛,则{}n n g f +也在区间Ｉ上内闭一致收敛（ ）。 ６。 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发 散于正无穷大( ). 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ). 二. 单项选择题（每小题3分，共15分) 1．若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上( ) A.不连续 Ｂ． 连续 C ．可微 D 。不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积,而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不 相等,则（ ） Ａ． ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C 。 ()x f 在[]b a ,上一定可积,并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D 。 ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 Ｂ．绝对收敛 C.条件收敛 D ． 不确定 4。设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是( ） A ．若0lim =∞ →n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B 。 若1lim 1 <=+∞→ρn n n u u ,则级数∑n u 一定收敛; C ． 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D 。 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当,则级数∑n u 一定发散; 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是( ) A 。 ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B ． ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的; C ． ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； 数学学习方法及经验总结 数学学习方法及经验总结 一、预习、上课 用不用预习，实在话，可预习也可不预习。我一般有时间有兴趣就看看，或者把要点扫一遍。我是赞同预习的，教授的课一般观点比较高，思维跳跃比较大，只有预习了才能更准确地把握所要讲述的内容（或论题）。预习可以采取随意的方式，可以提前几天，几周，一、两个月预习，可以看一节，一章或一本书。不过一般提前几天，几节课的预习方式是 fast-reading 或 scanning ，即浏览一下，不必深究，大概有个整体印象就行。 上课要眼到，耳到，手到，脑到，心到。即认真看老师板书，认真听讲，认真做好记录，脑子里记着，心里认真体会、领悟。 上课我是记笔记的，记的主要是老师的思路，分析问题的角度以及方法，对某个问题的见解，还有的是好记性不如个烂笔头，多写一遍，记忆深刻些。不过记得要快，一边写一边想。大一老师给了充足的时间让我们记笔记，还是写一下好。后来除了记老师补充的问题外，还要记一下老师的思路、思维方式（想法）。 二、自学能力及功夫修炼（重要） 1、读书问题 ①教材：学校发一套，自己每门课应当再选一两套作为伴随教材，若有余力可以再选择几套外国教材作为补充教材。教材应当作为主要的书来读，一字一句考虑理解清楚,不能模棱两可。定义定理固然重要，但是证明和例题同样重要，所以都要彻底掌握。教材课后题是要做的，而且最好能独立完成其中一半以上。最好是正文看完就做这节的习题，思考整理一下，处理完了再走下一节。做习题是重要的一环，我们要锻炼分析问题解决问题的能力，这主要由做习题来实现，同时遇到问题快点下手解决，不要大眼瞪小眼，KCB齿轮油泵迟迟不动作，干想。做习题过程如下： 习题 1．验证下列等式 （1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以 有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0 数学分析复习题及答案 一.单项选择题 1．已知x e x x f +=3)(，则)0(f '=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．设3)21(lim -∞ →=+e x kx x ，则=k （ ） A. 6- B. 23 C. 32- D. 23- 3．? =dx xe x （ ） A. C e x + B. C e xe x x +- C. C e x x +- D. C e x ++1 4．下列函数在),(∞-∞内单调增加的是（ ） A. x y = B. x y -= C. 3x y = D. x y sin = 二、填空题 1．设函数==+dz e z y x 则全微分,2 2．.______________23sin lim 0 =→x x x 3．??? ????>+=<=0)1ln()(00 sin )(x x x k x k x x x x f 为常数在0=x 处连续，则_________=a 三、判断题 1．若函数f 在区间),(b a 上连续，则f 在),(b a 上一致连续。（ ） 2．实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点。（ ） 3．设f 为定义在)(0x U ?上的单调有界函数，则右极限)(lim 0 x f x x +→存在。（ ） 四、名词解释 1．用δε-的语言叙述函数极限的定义 2．用N -ε的语言叙述数列极限的定义 五、计算题 1．根据第四题第1小题证明04 )1(lim 2=--+∞→n n n n 2．根据第四题第2小题证明5311lim 22=++→x x x 3．设n n n x x x x x x x ++=++ ==+11,,11110010 ，，求证n n x ∞→lim 存在，并求其值。 4．证明：2)(x x f =在[]b a ,上一致连续，但在()+∞∞-,上不一致连续。 5．证明：若)(0x f '存在，则=??--?+→?x x x f x x f x )()(lim 000)(20x f ' 6．证明：若函数)(x f 在0x 连续，则)(x f 与)(2x f 也在0x 连续，问：若在)(x f 或) (2x f 在I 上连续，那么)(x f 在I 上是否必连续。 一、1.D 2.C 3. B 4.C 二、1. dy e dx e y x y x +++222 2.2 3 3. 1 三、1.× 2.√ 3.√ 四、 1. 函数极限定义：设函数f 在点0x 的某个空心邻域);(0δ'?x U 内有定义，A 为定数。 0>?ε，0>?δ，当δ<-<00x x 时，ε<-A x f )(，则A x f x x =→)(lim 0 。 2.数列极限定义：设为数列}{n a ，a 为定数，0>?ε，0>?N ，当N n >时，有ε<-a a n ，则称数列}{n a 收敛于a 。 五、1.证明：ε<-<-?++=-+<--+2 12121414)1(22n n n n n n n n n )2(>n 0>?∴ε，21+?? ????=?εN ，当N n >时，ε<--+4)1(2n n n ；得证。 2. 证明：)13()2() 1(5)13)(2(531122+-<++-=-++x x x x x x x 令1)2(<-x ，则31< 第一讲 习题解答 习题1-1 1 计算下列极限 ① ()1lim 11,0p n n p n →∞ ?? ??+->?? ??????? 解：原式=()1111110lim lim 110 p p p n n n n n n →∞→∞???? +-+-+ ? ?????=-()()0110lim 0p p n x x →+-+=-()() 01p x x p ='=+= ② () sin sin lim sin x a x a x a →-- 解：原式=()()()()sin sin sin sin lim lim sin x a x a x a x a x a x a x a x a →→---?=---=()sin cos x a x a ='= ③ 1x →，,m n 为自然数 解：原式 = 1 1 x x n m →=' == ④ ( ) lim 21,0n n a →∞ > 解：原式( ) () 10 ln 21lim ln 21 1lim ln 1 lim n x n x a e a n n x n e e e →∞ →?? ??- ? ??-→∞ === =()( ) ()()0ln 21ln 21 ln 21lim 2ln 20 x a a x x a a x x e e e a ---→' -==== ⑤ lim ,0x a x a a x a x a →->- 解：原式=lim x a a a x a a a a x x a →-+--lim lim x a a a x a x a a a x a x a x a →→--=---()()x a x a x a a x ==''=-()ln 1a a a =- ⑥ lim ,0x a a x x a x a a a a a x →->- （二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续， 但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。 参考答案 一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。 第十五章 傅里叶级数 一．填空题 1. 设)(x f 是周期为π2的函数，在),[ππ-上的表达式为 ???????<<=<≤--=ππππ x x x x f 0,2 ,0,0,0,2 )(，则)(x f 的傅里叶系数=n a . 2.若)(x f 在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上的傅里叶级数 ()=++∑∞ =1 sin cos 2n n n nx b nx a a . 3. 设, 0(),0,0 x x f x x ππ≤≤?=? -≤ 习 题 12.5 偏导数在几何中的应用 1． 求下列曲线在指定点处的切线与法平面方程： （1）?????+==.1,2x x z x y 在??? ??21,1,1点； （2）??? ? ??? =-=-=.2sin 4,cos 1, sin t z t y t t x 在2π=t 的点； （3）???=++=++.6, 0222z y x z y x 在)1,2,1(-点； （4）???=+=+. ,2 22222R z x R y x 在??? ??2,2,2R R R 点。 解 （1）曲线的切向量函数为2 1(1,2, )(1)x x +，在?? ? ??21,1,1点的切向量为1(1,2,)4。于是曲线在?? ? ??21,1,1点的切线方程为 )12(41)1(2-=-=-z y x ， 法平面方程为 252168=++z y x 。 （2）曲线的切向量函数为(1cos ,sin ,2cos )2 t t t -，在2 π =t 对应点的切向 量为(1,1。于是曲线在2 π = t 对应点的切线方程为 22 2 112 -= -=+- z y x π ， 法平面方程为 (1)(1)2 x y z π - ++-+- =402 x y π ++- -=。 （3）曲线的切向量函数为2(,,)y z z x x y ---，在)1,2,1(-点的切向量为 (6,0,6)-。于是曲线在)1,2,1(-点的切线方程为 ?? ?-==+2 2 y z x ， 法平面方程为 z x =。 （4）曲线的切向量函数为4(,,)yz xz xy --，在?? ? ??2, 2 , 2 R R R 点的切向量为22(1,1,1)R --。于是曲线在?? ? ??2, 2,2R R R 点的切线方程为 2 22R z R y R x +-=+-=-， 法平面方程为 02 2 =+ --R z y x 。 2.在曲线32,,t z t y t x ===上求一点，使曲线在这一点的切线与平面102=++z y x 平行。 解 曲线的切向量为2(1,2,3)t t ，平面的法向量为(1,2,1)，由题设， 22(1,2,3)(1,2,1)1430t t t t ?=++=， 由此解出1t =-或13 -，于是 )1,1,1(-- 和 )27 1 ,91,31(-- 为满足题目要求的点。 3. 求曲线t z t t y t x 22cos ,cos sin ,sin ===在2 π =t 所对应的点处的切线的 方向余弦。 解曲线的切向量函数为(sin 2,cos 2,sin 2)t t t -，将2 t π =代入得)0,1,0(-，它是单位向量，所以是方向余弦。 4. 求下列曲面在指定点的切平面与法线方程： （1）3432y x z +=，在点)35,1,2(； （2）4e e =+z y z x ，在点)1,2ln ,2(ln ； （3）3322,,v u z v u y v u x +=+=+=，在点1,0==v u 所对应的点。 解（1）曲面的法向量函数为32(8,9,1)x y -，以(,,)(2,1,35)x y z =代入，得 《数学分析》是数学系的一门重要基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和极限论、单元和多元微积分、级数论、反常积分等方面的系统知识。它一方面为后继课程（如《微分方程》、《实变函数》、《概率论与数理统计》及《普通物理学》等）提供一些所需的基础理论和知识，另一方面还对提高学生思维能力，开发学生智能加强“三基”（基础知识、基本理论、基本技能）及培养学生独立工作能力等起着重要的作用。 通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论、习题课、作业、辅导等），使学生对极限思想和方法有较深的认识和理解，从而有助于培养学生辩证唯物主义基本观点及正确理解《数学分析》的基本概念和论证方法及分析问题和解决问题的能力。 整个课程注重培养学生的数学逻辑及思想方法，训练学生举一反三的能力，在单元函数和多元函数相平行的内容以单元函数为主，引导学生通过独立思考得到多元函数的相应结论。数学分析是数学系最重要的一门基础课，是几乎所有后继课程的基础，在培养具有良好素养的数学及其应用人才方面起着特别重要的作用。从近代微积分思想的产生、发展到形成比较系统、成熟的“数学分析”课程大约用了300 年的时间，经过几代杰出数学家的不懈努力，已经形成了严格的理论基础和逻辑体系。但是随着当代科学技术（包括数学本身）的发展不断为数学的基础部分注入新鲜活力，此外，也为了适应培养21 世纪人才的需要，对数学分析课程的改革势在必行。 回顾数学分析的课程改革，有以下几个过程。解放前，该课程的讲授一般分两步：初等微积分与高等微积分。初等微积分主要讲授初等微积分的运算与应用，高等微积分才开始涉及到严格的数学理论，如实数理论、极限、连续等。这种教学的优点在于：学生入门容易，而且很快就能了解数学分析的一套连续量的演算体系，并从应用中体会到其威力。但这种做法导致耗时较长，理论跃度太大，学起来困难较大。上世纪50 年代以来学习苏联教材，从而出现了所谓的“大头分析”体系，即用较大的篇幅讲述极限理论，然后把微积分、级数等看成不同类型的极限。这种做法的优点在于：只要真正掌握了极限理论，整个数学分析学起来就快了，而且理论水平比较高。但容易导致学生在学“大头”中的极限理论时，目的性不明确，过分的严格要求带来的困难很多，结果也使很多学生失去学习兴趣，失去信心。另外，过分强调极限形式化的内容，忽略了数学分析提供微积分演算体系的本质，忽略了连续量演算的直观，造成学生忽视直观，忽视应用的倾向，对培养从事应用数学的人才不利。多年来，在我国，人们改造“大头分析”的试验不断，大体上都是把极限分成几步完成。我们的做法是：期望在“初高等微积分”和“大头分析”之间，走出一条循序渐进的道路，而整个体系在逻辑上 （十四） 《数学分析Ⅱ》考试题 一 填空（共15分，每题5分）： 1 设=∈-=E R x x x E sup ,|][{则 1 , =E inf 0 ; 2 设 =--='→5 ) 5()(lim ,2)5(5 x f x f f x 则54； 3 设?? ?>++≤=0 , )1ln(,0, sin )(x b x x ax x f 在==a x 处可导，则0 1 ， =b 0 。 二 计算下列极限：（共20分，每题5分） 1 n n n 1 )1 31211(lim ++++ ∞→ ; 解: 由于，n n n n 1 1)131211(1≤++++≤ 又，1lim =∞→n n n 故 。1)131211(lim 1 =++++∞→n n n 2 3 )(21lim n n n ++∞→； 解: 由stolz 定理, 3 )(21lim n n n ++∞→33)1()(lim --=∞→n n n n ) 1)1()(1(lim -+-+ -- =∞ →n n n n n n n n ) 1)1(2))(1(() 1(lim --+---+=∞→n n n n n n n n n .3 2)1)11(21 11lim 2=-- +- + =∞ →n n n n 3 a x a x a x --→sin sin lim ； 解: a x a x a x --→sin sin lim a x a x a x a x --+=→2sin 2cos 2lim .cos 2 2sin 2 cos lim a a x a x a x a x =--+=→ 4 x x x 10 ) 21(lim + →。 解: x x x 10 )21(lim +→.)21(lim 2 2 210e x x x =?? ??? ?+=→ 三 计算导数（共15分，每题5分）： 1 );(),1ln(1)(22x f x x x x f '++-+= 求 解: 。 1 11 11 1 1221122)(2 2 2 22 2+-= +- +=++++ - +='x x x x x x x x x x x x f 2 解: 3 设。 求)100(2 ,2sin )23(y x x y -= 解: 由Leibniz 公式 )23()2(sin )23()2(sin )23()2(sin 2)98(2 1002)99(11002)100(0100)100(' '-+'-+-=x x C x x C x x C y 6)2sin(26)2sin(2100)23)(2sin(22 98982991002999922100100?+++?+-+=?πππx x x x x x x x x x 2sin 2297002cos 26002sin )23(298992100?-?--= 。 ]2cos 12002sin )22970812[(2298x x x x --= 四 （12分）设0>a ，}{n x 满足： ,00>x ,2,1,0),(211 =+= +n x a x x n n n ;sin cos 33 表示的函数的二阶导数求由方程???==t a y t a x , tan sin cos 3cos sin 3)cos ()sin (22 33t t t a t t a t a t a dx dy -=-=''=。t t a t t a t dx y d sin cos 3sec )cos (sec 223222='-=数学分析十讲习题册、课后习题答案
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