基于改进的C-C方法的相空间重构参数选择
基于改进的C-C 方法的相空间重构参数选择*
陆振波 蔡志明 姜可宇
(海军工程大学电子工程学院, 武汉430033)
摘 要：针对混沌时间序列相空间重构C-C 方法的三点不足，提出了一种基于改进的C-C 方法的确定最优时延与嵌入窗的新算法。在关联积分计算过程中引入了权衡计算精度与速度的可调参数，合理选择该参数，能在不严重损失估计精度的前提下，大大加快计算速度。在理论分析的基础上，用所提出的算法对三种混沌序列进行相空间重构，仿真结果表明该算法对最优时延的选择更准确，对最优嵌入窗的选取更可靠。
关键词：混沌，时间序列分析，相空间重构，关联积分
Determination of embedding parameters for phase space
reconstruction based on improved C-C method
Lu Zhen-bo Cai Zhi-ming Jiang Ke-yu
(Electronic Engineering College, Navy Engineering University, WuHan 430033, China)
Abstract : A new algorithm to determine delay time and embedding window was presented based on the improved C-C method modified the classical C-C method in three aspects. Considering precision and rapidity of computation, an optimal parameter was introduced into the computation of correlation integral. On the foundation of theory study, phase space reconstruction of three kinds of chaotic time series is carried out, and the result of simulations verify that the algorithm is more applicable for determining appropriate delay time and embedding window.
Key Words : chaos, time series analysis, phase space reconstruction, correlation integral
1 引言
近年来，混沌时间序列分析方法在很多科研和工程领域中得到广泛应用。相空间重构是混沌时间序列分析的基础，Takens [1]等人提出了用延迟坐标法对混沌时间序列},,2,1|{N i x x i ???==进行相空间重构
},,2,1,],,,,[|{)1(M i x x x X X X T t m i t i i i i ???=???==?++ (1)
其中m 为嵌入维，t 为时延，t m N M )1(??=为相空间中的点数。
Takens 定理证明了如果嵌入维m ≥12+d ，d 为系统动力学维数，则重构的动力系统与原动力系统在拓扑意义上等价。Takens 定理 *国家重点实验基金(批准号:514450801JB1101)和 国家重点实验基金(批准号:51444030105JB1101)资助的课题 联系人:E-mail: luzhenbo@https://www.wendangku.net/doc/5d19295609.html,
在时间序列无限长且无噪声干扰的条件下，提供了嵌入维的选取依据，这时时延t 可取任意值。然而系统动力学维数d 未知，实际时间序列又是有限长且有噪声干扰的，因此选择合适的时延t 和嵌入维m 是关键。
有关时延t 与嵌入维m 的选取，现在主要有两种观点。一种观点认为两者是互不相关的，如求时延的自相关法[2]、互信息法[3]，求嵌入维的G-P 算法[4]或FNN(flase nearest neighbors)法[5]等。另一种观点认为两者是相关的，如嵌入窗法[6] 、C-C 方法[7]。1996年，D.Kugiumtzis 提出了相空间重构的嵌入窗法，指出时延t 的选取不应独立于嵌入维m ，而应依赖于嵌入窗t m w )1(?=τ，并且要求w τ≥p τ，这里p τ为混沌系统的平均轨道周期。严格来讲混沌系统不存在周期性，然而对于存在伪周期的低维混沌系统来讲，平均轨道周期是指混沌吸引子在永不重合而又彼此相似的相空间轨道上振荡的平均周期。1999年，H.S.Kim 等人基于嵌入窗法的思想提出了C-C 方法，该方法使用关联积分同时估计出时延与嵌入窗。
本文针对混沌时间序列相空间重构C-C 方法的三点不足，提出了一种基于改进的C-C 方法的确定最优时延与嵌入窗的新算法，该算法对最优时延的选择更准确，对最优嵌入窗选取更可靠。在关联积分计算过程中引入了权衡计算精度与速度的可调参数，合理选择该参数，能在不严重损失估计精度的前提下，大大加快计算速度。
2 C-C 方法[7]
考虑混沌时间序列},,2,1|{N i x x i ???==，以时延t ，嵌入维m ，重构相空间}{i X X =，i X 为相空间中的点，则嵌入时间序列的关联积分为
∑≤<≤>??=
M
j i ij r d r M M t r N m C 10),()1(2),,,(θ (2) 其中 )(∞?=j i ij X X d
0 ,1)( ;0 ,0)(≥=<=x x x x 若 若θθ
关联积分是个累积分布函数，表示相空间中任意两点之间距离小于r 的概率。这里点与点之间的距离用矢量之差的无穷范数表示。定义检验统计量
),,,1(),,,(),,,(1t r N C t r N m C t r N m S m ?= (3)
实际(3)式的计算过程为：将时间序列},,2,1|{N i x x i ???==分解成t 个互不重迭的子序列，t 为重构时延，即
}
, ,2 ,|{
}
2, ,2 ,2|{}
1, ,1 ,1|{21N t t i x x t N t i x x t N t i x x i t i i ???==?????????+????+==+????+== (4)
这里N 为t 的整数倍。计算(3)式定义的统计量采用分块平均的策略，即 ∑=?=t
s m s s t r t N C t r t N m C t t r N m S 1
2)],,,1(),,,([1),,,( (5) 令∞→N 有
∑=?=t
s m s s t r C t r m C t t r m S 1
2)],,1(),,([1),,( (6) 如果时间序列}{i x x =独立同分布，那么对固定的t m ,，当∞→N 时，对于所有的r ，均有),,(2t r m S 恒等于零。但实际时间序列是有限长且元素间存在相关性，实际得到的),,(2t r m S 一般
不等于零。),,(2t r m S ～t 反映了时间序列的自相关特性，
仿照求时延的自相关法原理，最优时延d τ可取),,(2t r m S ～t 的第一个零点。或者取),,(2t r m S ～t 对所有半径r 相互差别最小的时间点，此时表示重构相空间中的点最接近均匀分布，重构吸引子轨道在相空间完全展开。选择最大和最小的两个半径r ，定义差量
)},,(min{)},,(max{),(222t r m S t r m S t m S j j ?=? (7)
),(2t m S ?度量了),,(2t r m S ～t 对所有半径r 的最大偏差。综上，最优时延d τ可取),,(2t r m S ～t 的第一个零点或),(2t m S ?～t 的第一个局部极小点。
根据BDS 统计结论可以得到N 和r m ,的合理估计，这里取3000=N ，5,4,3,2=m ，σ5.0×=i r i ，)(x std =σ(σ为时间序列的标准差)，4,3,2,1=i 。计算
∑∑===52m 4
1
22),,(161)(i i t r m S t S (8) ∑=?=?5
2
m 22),(41)(t m S t S (9) 寻找)(2t S 的第一个零点或)(2t S ?的第一个局部极小点即为最优时延d τ。另外，由于统计量计算式
(5)采用分块平均的策略，对于周期为T 的时间序列，当kT t =时(k 为大于零的整数)，)(2t S 与)(2t S ?均为零。综合考虑)(2t S 和)(2t S ?，定义指标
)()()(222t S t S t S cor +?= (10)
寻找)(2t S cor 的全局最小点即可获得嵌入窗w τ，即平均轨道周期的最优估计。
3 改进的C-C 方法
C-C 方法的基本策略是：先定义关联积分，再构造统计量),,,(1t r N m S ，依据BDS 统计结论确
定r N m ,,的合适取值范围，
实际计算中利用),,,(2t r N m S ～t 的统计结论，实现最优时延d τ与嵌入窗w τ的估计。
深入分析，C-C 方法存在三点不足。第一，实际中)(2t 的第一个零点并不等于)(2t S ?的第一个局部极小点。而且对于周期为T 的时间序列，kT t =(k 为大于零的整数)是)(2t S 的零点，该零点很有可能既是)(2t S 的第一个零点，又是)(2t S cor 的全局最小点，从而得到相互矛盾的结论。因此本文认为，将)(2t S 的第一个零点视为最优时延d τ是不合适的，只需考虑)(2t S ?的第一个局部极小点作为最优时延d τ。第二，统计量计算式(5)采用分块平均的策略，当kT t =时(k 为大于零的整数))(2t S ?等于零，而且)(2t S ?出现随t 增大而不断增长的高频起伏，当最优时延d τ值较大时，这种高频起伏甚至影响到)(2t S ?的第一个局部极小点的选择。第三，理想情况下)(2t S cor 的全局最小点即是最优嵌入窗w τ，实际中)(2t S cor 存在若干个局部极小点与全局最小点在数值上相当接近，干扰了全局最小点的判读；甚至最优嵌入窗w τ所对应的t 不是全局最小点，最终导致最优嵌入窗w τ的错误估计。基于以上C-C 方法的不足，本文提出了改进的C-C 方法的相空间重构参数选择。
这里进一步比较),,,(1t r N m S 与),,,(2t r N m S 。在(5)式中当固定r m ,，∞→N 时，),,,(2t r N m S 出现随t 增大而不断增长的高频起伏；而(3)式中在相同前提下，),,,(1t r N m S ～t 总体上与),,,(2t r N m S ～t 具有相同的起伏规律，但去除了),,,(2t r N m S 中的高频起伏。因此参照前
面用),,,(2t r N m S 求得)(2t S 与)(2t S ?方法，
这里用),,,(1t r N m S 求得)(1t S 与)(1t S ?，改进的C-C 方法寻找)(1t S ?的第一个局部极小点作为最优时延d τ。与原C-C 方法选择)(2t S ?第一个局部极小
点相比，新方法对最优时延d τ的选择更为准确，
这种优势特别是在最优时延d τ取值比较大时更为明显。另外，对于周期为T 的时间序列，当固定r m ,，∞→N 时，kT t =(k 为大于零的整数)既是),,,(1t r N m S 的局部极大值点又是),,,(2t r N m S 的零点，因此改进的C-C 方法寻找)()(21t S t S ?的周期点作为最优嵌入窗w τ。与原C-C 方法选择)(2t S cor 的全局最小点相比，)()(21t S t S ?在周期点位置存在比较明显的局部峰值，使对最优嵌入窗w τ选取更为可靠。
为加快计算速度，统计量定义式(3)也可采用分块平均的方法计算关联积分。考虑混沌时间序列}{i x x =，以时延t ，嵌入维m ，重构相空间}{i X X =。为表述方便，将关联积分定义式(2)左边),,,(t r N m C 改写成),(r X C 形式，右边不变。这样，检验统计量的定义式(3)可改写成
),(),(),,,(1r x C r X C t r N m S m ?= (11)
再令
k s k s k s s i X X i s k ,,2,1},,2,,|{,???=???++== (12)
k k s k s s i x x i s k ,,2,1s },,2,,|{,???=???++== (13)
这里s k X ,与s k x ,分别是X 与x 中k 个互不相交子集，k 为独立于时延t 的常数。因此统计量定义式(11)的近似表达式为，
m k s s k k s s k r x C k r X C k t r N m S ]),(1[),(1),,,(1
,1,1∑∑==?= (14) 这里k 是权衡计算精度与速度的可调参数。当1=k 时，(14)式就与(11)式等价，此时统计量),,,(1t r N m S 的计算精度最高。当k 取值较大，分块计算关联积分存在误差，但这种误差对不同时延t 几乎只相差一个常数，几乎不影响局部极值点的判读。另一方面，由于关联积分计算的时间复杂度为))((2
k M O ，增大k 值，计算速度急剧加快。因此在实际中，在不严重损失估计精度的前提下，适当地增大k 的取值，可大大加快),,,(1t r N m S 的计算速度，本文k 取50。 4 仿真实验
仿真实验先后考察Rossler 、Duffing 、Lorenz 三种混沌系统x 分量，用四阶Runge-Kutta 法积分方程组，初始值]1,0,1[],,[?=z y x ，除去前面50000个点，用后面3000个点，Rossler 和Duffing 积分步长05.0=h ，Lorenz 积分步长01.0=h 。
Rossler 方程
5
,2.0 ,2.0)( , ),(===?+=+=+?=f e d f x z e z dy x y z y x (15) Duffing 方程
1
,5.7 ,5.0 ,05.0 ,cos )1( ,2=====++??==ωδωδf a z z f x ax y y y x (16) Lorenz 方程
92
.45,4,16 , ),(===?=?+?=??=r b bz xy z y rx xz y y x x σσ (17) C-C 方法及其改进的C-C 方法对以上三种混沌系统x 分量的重构结果如图1～图6所示。比较图1与图2，图1(b)在117=t 获得全局最小点，,图2(b)也在117=t 获得周期点，234=t 是图1(b)和图2(b)的2倍周期点。因此原C-C 方法与改进的C-C 方法均能实现对Rossler 系统x 分量的正确
重构。比较图3与图4，图3(b)在251=t 获得全局最小点，
图4(b)在126=t 获得周期点，251=t 是2倍周期点，图3(b)在126=t 得不到全局最小点。因此改进的C-C 方法正确估计了Duffing 系统x 分量的最优嵌入窗w τ，而原C-C 方法得到的嵌入窗是最优嵌入窗w τ的2倍。比较图5与图6，图5(b)在183=t 获得全局最小点，但是当t 分别等于100、225、237时)(2t S cor 值与183=t 时相当接近，
这使实际中误判的可能大大增加。另外，由于Lorenz 系统起始点取值的差异，以及过渡点数的不同，将导致)(2t S cor 曲线有微小的变化，可能错误选择全局最小点，在文献[7]中选择了100=t 作为全局最小点；图6(b)在46=t 获得周期点，92=t 是2倍周期点。因此对Lorenz 系统x 分量而言，改进的C-C 方法对最优嵌入窗w τ的选择远优于原C-C 方法。关于最优时延d τ的选择，两种方法所得到的结果基本一致，但由于)(1t ?去除了)(2t S ?随t 不断增长的高频起伏，前者比后者更平滑，且)(1t S ?在周期点不为零，因此改进的C-C 方法对最优时延d τ的判定更准确。
t 图1 C-C方法重构Rossler系统x分量
t 图2 改进的C-C方法重构Rossler系统x分量
t 图3 C-C方法重构Duffing系统x分量
t
图4 改进的C-C方法重构Duffing系统x分量
t
图5 C-C方法重构Lorenz系统x分量
t
图6 改进的C-C方法重构Lorenz系统x分量
5 结论
本文深入研究了相空间重构的C-C方法，分析了其存在的三点不足，提出了一种基于改进的C-C 方法的确定最优时延与嵌入窗的新算法。在关联积分计算过程中引入了权衡计算精度与速度的可调参数，合理选择该参数，能在不严重损失估计精度的前提下，大大加快计算速度。对三种混沌序列的仿真实验表明，该方法对最优时延的选择更准确，对最优嵌入窗的选取更可靠。
参考文献
[1] F.Takens. Determing strange attractors in turbulence[J]. Lecture notes in Math. 1981,898:361-381.
[2] H.Kantz, T.Schreiber, Nonlinear Time Series Analysis[M]. Cambridge: Cambridge University Press,
1997,p127.
[3] A.M.Fraser, H.L.Swinney. Independent coordinates for strange attractors form time series[J]. Phys. Rev.
A. 1986,33:1134-1140.
[4] P.Grassberger, I.Procaccia. Measuring the strangeness of strange attractors[J]. Physica D, 1983,
9:189-208
[5] M.B.Kennel, R.Brown, H.D.I.Abarbanel. Determining embedding dimension for phase-space
reconstruction using a geometrical construction[J]. Phys. Rev. A 1992,45:3403.
[6] D.Kugiurmtzis. State space reconstruction parameters in the analysis of chaotic times series – the role
of the time window length[J]. Physica D, 1996,95:13-28.
[7] H.S.Kim, R.Eykholt, J.D.Salas. Nonlinear dynamics, delay times and embedding windows[J]. Physica
D, 1999,127:48-60.
作者简介
陆振波(1978-)，男，安徽安庆人，博士生，研究方向：水声信号处理、混沌时间序列分析、模式识别与人工智能
电子邮件：luzhenbo@https://www.wendangku.net/doc/5d19295609.html,
个人主页：https://www.wendangku.net/doc/5d19295609.html,
时间序列相空间重构及其应用研究(精)
时间序列相空间重构及其应用研究 摘要时间序列的重构分析是从产生该序列的系统特性的角度提取该时间序列的特征量,在这种分析方法的应用过程中,关联积分和关联维的正确、快速计算是重要的第一步.本文对混沌时间序列相空间重构中最佳延迟时间间隔和嵌入维数的选取方法作了综述, 基于时间序列分析的方法,提出了一种神经网络时间序列预测及建模方法. 关键词时间序列 ,相空间重构,延迟时间间隔, 关联维,神经网络 1 引言 混沌是一种低阶确定性的非线性动力系统所表现出来的非常复杂的行为,它对现代科学具有广泛而深远的影响,几乎覆盖了一切学科领域,尤其是在物理学、天体力学、数学、生物学、经济学等方面得到了广泛的应用.在对混沌时间序列的各种分析中,如混沌预测(prediction of chaos)。动力学不变量(dynamical invariants)的估计。混沌信号的诊断(detection of chaos)等,所要进行的第一步工作是要对混沌信号进行相空间重构.1981年Takens提出了相空间重构的延时坐标法,奠定了相空间重构技术的基础,这种方法用单一的标量时间序列来重构相空间,包括吸引子、动态特性和相空间的拓扑结构.现已成为最主要、最基本的相空间重构方法[1]. 分形维是用来描述混沌信号的一个重要参数,目前主要流行是基于GP算法的关联维提取算法。 2 G.P算法的描述 自从人们发现延迟时间对重构相空间的重要之后,便开始了探索确定延迟时间的方法,并取了显著的成效，相空间重构理论认为,要保证相空间重构的正确性,所选用的延迟时间必须使重构相空间的各个分量保持相互独立,选择的延迟时间如果太大, 就混沌吸引子而言,由于蝴蝶效应的影响,时间序列的任意两个相邻延迟坐标点将毫不相关,不能反映整个系统的特性;而延迟时间选择过小的话,时间序列的任意两个相邻延迟坐标点又非常接近,不能相互独立,将会导致数据的冗余。.因此我们需要一种方法来选择恰当的 ,于是围绕这一条件便先后出现了用自相关函数和互信息来确定延迟时间的方法[3]。自相关函数能够提供信号自身与它的时延之间由冗余到不相关比较这种的度量,一般取自相关函数值首次出现零点时的时延为所要确定的时间延迟。现描述如下: 对于单变量时间序列x 1, x 2 , x 3 ,…, x n 取延迟时间为 ,则其自相关函数为: （9） 其中,n为时间序列点数, 为时间序列的平均值.延迟时间的选取原则是让时间序列内元素之间的相关性减弱,同时又要保证时间序列包含的原系统的信息不会丢失.研究表明,当关联函数C的值第一次为0(或近似为0)对应的延迟时间比较合适[4]. 4 关联维m的选取
相空间重构参数选择方法的研究
１ 前言 混沌时间序列分析与预测的基础是Ｔａｋｅｎｓ，Ｐａｃｋａｒｄ等提出的状态空间的重构 理论［１，２］ ，即把具有混沌特性的时间序列重建为一种低阶非线性动力学系统。通过相空间重构，可以找出混沌吸引子在隐藏区的演化规律，使现有的数据纳入某种叫描述的框架之下，从而为时间序列的研究提供了种崭新的方法和思路［３］。相空间重构 相空间重构参数选择方法的研究 谢忠玉１，２ 张 立２ １．哈尔滨工程大学自动化学院 １５０００１； ２．黑龙江工程学院电子工程系 １５００５０ 是非线性时间序列分析的重要步骤，重构的质量将直接影响到模型的建立和预测。而重构相空间或者说构造一个非线性时间序列的嵌入，需要选择两个重要参数——嵌入维数ｍ和延迟时间τ。对于无限长、无噪声数据序列，延迟时间τ的选取理论上没有限制，而嵌入维数ｍ可以选择充分的大。实际中，由于数据长度有限并可能带噪，τ和ｍ的选择对相空间的重构质量就尤其重要。关于嵌入维数ｍ和延迟时间τ的选取，现在主要有两种观点。一种观点认为两者是互不相关的，如求时延的自相关法、互信息法，求嵌入维的Ｇ－Ｐ算法、ＦＮＮ（ｆｌａｓｅ ｎｅａｒｅｓｔ ｎｅｉｇｈｂｏｒｓ） 法等。另一种观点认为两者是相关的，如时间窗口法、Ｃ－Ｃ法和嵌入维、时间延迟自动算法等［４］ 。多数研究人员认为，第２种观点在工程实践中更为实用、合理。有关嵌入维和延迟时间联合算法的研究是混沌时间序列分析的热点之一。 本文在国内外学者工作的基础上，结合时间窗法［５］和互信息法［６］，提出一种新的确定嵌入维数和时间延迟的联合算法。在 仿真试验中用本方法确定的嵌入参数计算 Ｌｏｒｅｎｚ系统的混沌不变量（关联维数Ｄ）， 算例表明本文提出的方法是有效的。 ２时间窗口法及互信息法 提出联合算法以时间窗口法及互信息法为基础计算嵌入维和延迟时间，时间窗口法及互信息法的基本原理和存在的问题如下： ２．１ 时间窗口法 １９９６年Ｋｕｇｉｕｍｔｚｉｓ提出延迟时间τ的选取不应该独立于嵌入维数ｍ，而应该依赖延迟时间窗口 τｗ＝（ｍ－１）τ （１） 具体算法为：首先根据原时间序列的波动求出平均轨道周期τｐ，在保证嵌入维数ｍ大于序列本身关联维Ｄ的前提下，均匀τｗ值后依据式（１）变换ｍ和τ的值，使用关联维作为验证指标，逐渐改变 τｗ的大小来确定最优的时间窗长度。经过多次试验发现，在一定时间窗长度下，大 致为τｗ≥τｐ，只要ｍ和τ的值满足式（１），最后求出的关联维就保持不变。时间窗口法的优势是：能够同时确定ｍ和τ，但时间窗口在确定ｍ和τ的值时经过大量的试验，因此计算量较大。２．２ 互信息法互信息法是估计重构相空间延迟时间的一种有效方法，它在相空间重构中有着 广泛的应用。考虑两个离散信息系统｛ｓ１，ｓ２，…ｓｎ｝和｛ｑ１，ｑ２，…ｑｎ｝构成的系统Ｓ和Ｑ。根据信息论的知识，从两个系统测量中所获得的平均信息量，即信息熵分别为：在给定Ｓ的情况下，我们得到的关于 系统Ｑ的信息，称为Ｓ和Ｑ的互信息，用下 式表示： 其中Ｐｓｑ（ｓｉ，ｑｊ）为事件ｓｉ和事件ｑｊ的联合
相空间重构python
from operator import sub import numpy as np from sklearn import metrics from sklearn.neighbors import NearestNeighbors from toolz import curry def global_false_nearest_neighbors(x, lag, min_dims=1, max_dims=10, **cutoffs): """ Across a range of embedding dimensions $d$, embeds $x(t)$ with lag $\tau$, finds all nearest neighbors, and computes the percentage of neighbors that that remain neighbors when an additional dimension is unfolded. See [1] for more information. Parameters ---------- x : array-like Original signal $x(t). lag : int Time lag $\tau$ in units of the sampling time $h$ of $x(t)$. min_dims : int, optional The smallest embedding dimension $d$ to test. max_dims : int, optional The largest embedding dimension $d$ to test. relative_distance_cutoff : float, optional The cutoff for determining neighborliness, in distance increase relative to the original distance between neighboring points. The default, 15, is suggested in [1] (p. 41). relative_radius_cutoff : float, optional The cutoff for determining neighborliness, in distance increase relative to the radius of the attractor. The default, 2, is suggested in [1] (p. 42). Returns ------- dims : ndarray The tested dimensions $d$. gfnn : ndarray The percentage of nearest neighbors that are false neighbors at each dimension. See Also -------- reconstruct References ----------
基于改进的C-C方法的相空间重构参数选择
基于改进的C-C 方法的相空间重构参数选择* 陆振波 蔡志明 姜可宇 (海军工程大学电子工程学院, 武汉430033) 摘 要：针对混沌时间序列相空间重构C-C 方法的三点不足，提出了一种基于改进的C-C 方法的确定最优时延与嵌入窗的新算法。在关联积分计算过程中引入了权衡计算精度与速度的可调参数，合理选择该参数，能在不严重损失估计精度的前提下，大大加快计算速度。在理论分析的基础上，用所提出的算法对三种混沌序列进行相空间重构，仿真结果表明该算法对最优时延的选择更准确，对最优嵌入窗的选取更可靠。 关键词：混沌，时间序列分析，相空间重构，关联积分 Determination of embedding parameters for phase space reconstruction based on improved C-C method Lu Zhen-bo Cai Zhi-ming Jiang Ke-yu (Electronic Engineering College, Navy Engineering University, WuHan 430033, China) Abstract : A new algorithm to determine delay time and embedding window was presented based on the improved C-C method modified the classical C-C method in three aspects. Considering precision and rapidity of computation, an optimal parameter was introduced into the computation of correlation integral. On the foundation of theory study, phase space reconstruction of three kinds of chaotic time series is carried out, and the result of simulations verify that the algorithm is more applicable for determining appropriate delay time and embedding window. Key Words : chaos, time series analysis, phase space reconstruction, correlation integral 1 引言 近年来，混沌时间序列分析方法在很多科研和工程领域中得到广泛应用。相空间重构是混沌时间序列分析的基础，Takens [1]等人提出了用延迟坐标法对混沌时间序列},,2,1|{N i x x i ???==进行相空间重构 },,2,1,],,,,[|{)1(M i x x x X X X T t m i t i i i i ???=???==?++ (1) 其中m 为嵌入维，t 为时延，t m N M )1(??=为相空间中的点数。 Takens 定理证明了如果嵌入维m ≥12+d ，d 为系统动力学维数，则重构的动力系统与原动力系统在拓扑意义上等价。Takens 定理 *国家重点实验基金(批准号:514450801JB1101)和 国家重点实验基金(批准号:51444030105JB1101)资助的课题 联系人:E-mail: luzhenbo@https://www.wendangku.net/doc/5d19295609.html,
混沌时间序列处理之第一步：相空间重构方法综述
第1章 相空间重构 第1章相空间重构 (1) 1.1 引言 (2) 1.2 延迟时间τ的确定 (3) 1.1.1自相关函数法 (4) 1.1.2平均位移法 (4) 1.1.3复自相关法 (5) 1.1.4互信息法 (6) 1.2嵌入维数m的确定 (7) 1.2.1几何不变量法 (7) 1.2.2虚假最近邻点法 (8) 1.2.2伪最近邻点的改进方法－Cao方法 (9) 1.3同时确定嵌入维和延迟时间 (10) 1.3.1时间窗长度 (10) 1.3.2 C-C方法 (10) 1.3.3 改进的C-C方法 (12) 1.3.4微分熵比方法 (14) 1.4非线性建模与相空间重构 (14) 1.5海杂波的相空间重构 (15) 1.6本章小结 (16) 1.7 后记 (16) 参考文献 (17)
1.1 引言 一般时间序列主要是在时间域或变换域中进行研究，而在混沌时间序列处理中，无 论是混沌不变量的计算、混沌模型的建立和预测都是在相空间中进行，因此相空间重构 是混沌时间序列处理中非常重要的第一步。 为了从时间序列中提取更多有用信息，1980年Packard 等人提出了用时间序列重构 相空间的两种方法：导数重构法和坐标延迟重构法[1]。从原理上讲，导数重构和坐标延 迟重构都可以用来进行相空间重构，但就实际应用而言，由于我们通常不知道混沌时间 序列的任何先验信息，而且从数值计算的角度看，数值微分是一个对误差很敏感的计算 问题，因此混沌时间序列的相空间重构普遍采用坐标延迟的相空间重构方法[2]。坐标延 迟法的本质是通过一维时间序列{()}x n 的不同时间延迟来构造m 维相空间矢量： {(),(),,((1))}x i x i x i m ττ=++?x(i) (1.1) 1981年Takens 等提出嵌入定理：对于无限长、无噪声的d 维混沌吸引子的标量时 间序列{()}x n ，总可以在拓扑不变的意义上找到一个m 维的嵌入相空间，只要维数 21m d ≥+[3]。Takens 定理保证了我们可以从一维混沌时间序列中重构一个与原动力系 统在拓扑意义下等价的相空间，混沌时间序列的判定、分析与预测是在这个重构的相空 间中进行的，因此相空间的重构是混沌时间序列研究的关键[2]。 1985年Grassberger 和Procaccia 基于坐标延迟法，提出了关联积分的概念和计算公 式，该方法适合从实际时间序列来计算混沌吸引子的维数，被称作G-P 算法[4]。G-P 算 法是混沌时间序列研究中的一个重要突破，从此对混沌时间序列的研究不仅仅局限于已 知的混沌系统，而且也扩展到实测混沌时间序列，从而为混沌时间序列的研究进入实际 应用开辟了一条道路[2]。 坐标延迟相空间重构技术有两个关键参数：即嵌入维m 和时间延迟τ的确定。在 Takens 定理中，对于理想的无限长和无噪声的一维时间序列，嵌入维m 和时间延迟τ可 以取任意值，但实际应用最后等时间序列都是含有噪声的有限长序列，嵌入维数和时间 延迟是不能任意取值，否则会严重影响重构的相空间质量。 有关时间延迟与嵌入维的选取方法，目前主要有两种观点。一种观点认为两者是互
c-cmethod 相空间重构
School % 此程序用来测试CC_method % 2008-12-01 % zhangli clear all clear all %利用方程获得 % 产生Lorenz 时间序列 % dx/dt = sigma*(y-x) % dy/dt = r*x - y - x*z % dz/dt = -b*z + x*y sigma=16; % Lorenz 方程参数 b=4; r=45.92; y=[-1,0,1]; % 起始点(1 x 3 的行向量) h=0.01; % 积分时间步长 k1=10000; % 前面的迭代点数 k2=3000; % 后面的迭代点数 Z=LorenzData(y,h,k1+k2,sigma,r,b); X=Z(k1+1:end,1); max_d=200; % 最大延迟时间 % 调用C_CMethod_inf，求tau tic [Smean_inf,Sdeltmean_inf,Scor_inf,tau_inf,tw_inf]=C_CMethod_inf(X,max_d); toc tau_inf tw_inf % 相关作图 figure('name','CC法求时间延迟'); plot(1:max_d,Smean_inf,'-b');hold on; plot(1:max_d,Sdeltmean_inf,'-*c');hold on; plot(1:max_d,Scor_inf,'-m');hold on; plot(1:max_d,zeros(1,max_d),'r'); title('C_CMethod_inf');xlabel('Lag'); legend('S(t)平均值','ΔS(t)平均值','Scor_inf'); % 将数据保持下来 fid=fopen('Smean_inf.txt','w'); fprintf(fid,'%f\n',Smean_inf); fclose(fid); fid=fopen('Sdeltmean_inf.txt','w'); fprintf(fid,'%f\n',Sdeltmean_inf); fclose(fid); fid=fopen('Scor_inf.txt','w'); fprintf(fid,'%f\n',Scor_inf); fclose(fid);