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2015年高三第一轮复习.导数的几何意义

1．导数的几何意义

函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的_________，即k ＝f ′(x 0)．函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为_____________________． 2．导数的物理意义

物体的运动方程s ＝s (t )在t ＝t 0处的导数，就是物体在t 0时刻的______________．

3.由导数的几何意义，求切线的斜率，即是求切点处所对应的导数．因此，求曲线在某点处的切线方程，可以先求函数在该点的导数，即为曲线在该点的切线的斜率，再用直线的点斜式形式，写出切线的方程，其步骤为：

(1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；

(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． 4．求曲线的切线方程需注意两点

(1)当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线平行于y 轴(垂直于x 轴此时导数不存在)时，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得切线方程为x ＝x 0；

(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．

注意：若在点(x 0，f (x 0))处切线l 的倾斜角为π

2，此时切线垂直于x 轴，导数不存在，不能用上述方法求切线的方程，

可根据切线的定义直接得切线方程为x ＝x 0. 5.导数几何意义应用的三个方面

导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；

(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)

x 1－x 0

求解．

题型一.求曲线上某点处的切线方程

例1.已知曲线y ＝1

x 3上一点P ????2，83，求： (1) 点P 处的切线的斜率；(2)点P 处的切线方程．

解 (1)∵y ＝13x 3，∴y ′＝lim Δx →0

Δy Δx ＝lim Δx →0 13(x ＋Δx )3－1

3x 3Δx ＝1

3lim Δx →0 3x 2Δx ＋3x Δx 2＋Δx 3Δx ＝13lim Δx →0

(3x 2＋3x Δx ＋Δx 2)＝x 2，

y ′|x ＝2＝22＝4.

(2)在点P 处的切线方程是y －8

＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.

[说明] 求函数f (x )图象上点P 处的切线方程的步骤：先求出函数在点(x 0，y 0)处的导数f ′(x 0)(即过点P 的切线的斜率)，再用点斜式写出切线方程．

变式.求曲线y ＝1

x 在点????12，2处的切线的斜率，并写出切线方程． [解析] ∵y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1

x Δx ＝lim Δx →0 －1x 2＋x Δx

＝－1x 2，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1

2＝－4.

∴切线方程为y －2＝－4????x －1

2，即4x ＋y －4＝0. 题型二.求切点坐标

例2.在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线，

(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)与x 轴成135°的倾斜角．

[分析] 设切点坐标为(x 0，y 0)，根据导数的几何意义，求出切线的斜率，然后利用两直线平行、垂直的条件求出切点坐标．

[解析] f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点．

(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)．

(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝9

，即P ????－32，94. (3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1，即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝1

4，即P ????－12，14. 变式1.f ′(x)是函数f (x )＝1

3x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为( )

A.0

B.3

C.4

D.－7

解析：选B ∵f (x )＝1

3x 3＋2x ＋1，∴f ′(x )＝x 2＋2.∴f ′(－1)＝3.

2．曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线方程为( )

A ．x ＋y ＋2＝0

B ．x ＋y －2＝0

C ．x －y ＋2＝0

D ．x －y －2＝0

解析：选A ∵f (x )＝2x －x 3，∴f ′(x )＝2－3x 2.∴f ′(－1)＝2－3＝－1.又f (－1)＝－2＋1＝－1，∴切线方程为 y ＋1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＋2＝0.

3.已知曲线y ＝13x 3＋4

3.①求曲线在点P (2,4)处的切线方程；②求斜率为4的曲线的切线方程．③ 求曲线过点P (2,4) 的

切线方程.

解 ①∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋4

上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.

∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.

②设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝x 20＝4，x 0＝±2.切点为(2,4)或????－2，－4

3， ∴切线方程为y －4＝4(x －2)或y ＋4

＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0或12x －3y ＋20＝0.

③设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ????x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －????13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋4

3. ∵点P (2，4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋\f(4,3)，即x 30－3x 20＋4＝0.∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0.∴x 2

0(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0. ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0.解得x 0＝－1或x 0＝2.故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.

题型三.导数的几何意义

例3.曲线y ＝x 3在x 0＝0处的切线是否存在，若存在，求出切线的斜率和切线方程；若不存在，请说明理由．

[解析] 令y ＝f (x )＝x 3，Δy ＝f (0＋Δx )－f (0)＝Δx 3，Δy Δx ＝Δx 2，当Δx 无限趋近于0时，Δy

Δx 无限趋近于常数0，这说明割

线会无限趋近于一个极限位置，即曲线在x ＝0处的切线存在，此时切线的斜率为0(Δy

Δx 无限趋近于0)，又曲线过点(0,0)，

故切线方程为y ＝0.

[说明] (1)y ＝x 3在点(0,0)处的切线是x 轴，符合切线定义．这似乎与学过的切线知识有所不同，其实不然，直线与曲线有两个公共点时，在其中一点也可能相切．如图所示．

1.已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则点A 处的切线斜率等于( ) A ．2 B ．4 C ．6＋6Δx 2 D ．6

2.求抛物线y ＝x 2过点????

52，6的切线方程．

1.[解析] ∵y ＝2x 3

，∴y ′＝lim Δx →0 Δy

Δx ＝lim Δx →0 2(x ＋Δx )3－2x 3Δx ＝2lim Δx →0 Δx 3＋3x Δx 2＋3x 2Δx Δx ＝2lim Δx →0

(Δx 2＋3x Δx ＋3x 2)＝6x 2.∴

y ′|x ＝1＝6.∴点A (1,2)处切线的斜率为6.

2.解] 设切线过抛物线上的点(x 0，x 20)，由导数的意义知此切线的斜率为2x 0.

又因为此切线过点????52，6和点(x 0，x 20)，其斜率应满足x 2

0－6x 0－

＝2x 0，∴x 2

0－5x 0＋6＝0，解得x 0＝2或x 0＝3. ∴切线方程为y －4＝4(x －2)或y －9＝6(x －3)；化简得：4x －y －4＝0或6x －y －9＝0.

1.设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A.不存在 B.与x 轴平行或重合 C.与x 轴垂直 D.与x 轴斜交

2.下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在此点处的切线倾斜角为π

4的是( )

A.(0,0)

B.(2,4)

C.????14，116

D.????

12，14

3．曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( ) A.－4 B.0 C.4 D.不存在

4.已知曲线y ＝1

2x 2－2上一点P ????1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.135° D.165°

5.如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )

A.f ′(x 0)＞0

B.f ′(x 0)＜0

C.f ′(x 0)＝0

D.f ′(x 0)不存在

6.下列说法正确的是( )

A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线

B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在

C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在

D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线 7.曲线y ＝x 2在点P (1,1)处的切线方程为( ) A.y ＝2x B.y ＝2x －1 C.y ＝2x ＋1 D.y ＝－2x

8.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A.1 B.12 C.－1

D.－1

9．自由落体运动方程是s (t )＝1

2gt 2，物体在t ＝2这一时刻的速度是____________．

10．已知曲线y ＝13x 3＋4

3，则过点P (2,4)的切线方程是________．

11．抛物线y ＝x 2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －5，则点P 的坐标为________．

12．求曲线f (x )＝2

x 在点(－2，－1)处的切线的方程．

1. [解析] 由导数的几何意义知，f (x )在(x 0，f (x 0))处切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝0.∴切线与x 轴平行或重合．

2. [解析] f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20

Δx ＝lim Δx →0 2x 0·Δx ＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (2x 0＋Δx )＝2x 0.

∵切线倾斜角为π4.∴函数在切点x 0处的导数值为1.令2x 0＝1，x 0＝12，∴y ＝1

3.[解析] y ′|x ＝0＝lim Δx →

Δy

＝lim Δx →0

(－2Δx )＝0.故选B. 4. [解析] ∵y ＝1

2x 2－2，∴y ′＝lim Δx →0

????12(x ＋Δx )2－2－???

12x 2－2Δx ＝lim Δx →0 x ·Δx ＋1

2(Δx )2

Δx ＝lim Δx →0 ?

???x ＋12Δx ＝x . ∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ????1，－3

2处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.故选B. 5. [解析] 切线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12，即f ′(x 0)＝－1

＜0.故选B.

6. [解析] 根据导数的几何意义可知，曲线在某点处的切线斜率为该点的导数，因此C 正确．故选C.

7. [解析] ∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2－x 2

Δx ＝2x ＋Δx ，∴lim Δx →0 Δy

Δx

＝2x ，∴y ′|x ＝1＝2，∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.

8.[解析] ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →1 a (1＋Δx )2－a ×12Δx ＝lim Δx →0 2a Δx ＋a (Δx )2

Δx ＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1.

9.[解析] Δs Δt ＝12g (t ＋Δt )2－1

2gt 2

Δt ＝12g ·Δt ＋gt .lim Δt →0

＝Δs Δt ＝lim Δt →0 ????12g Δt ＋gt ＝gt .∴ 当t ＝2时，速度为2g . 10. 解 ∵y ′＝x 2，点P (2,4)在曲线上，∴过点P (2,4)的切线的斜率为4.∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即y －4x ＋4＝0.

11. [解析] lim Δx →0 Δy

Δx ＝lim Δx →0

(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ，令2x ＝4，∴x ＝2，即在点(2,4)处的切线平行于直线y ＝4x －5.

12.[解析] 由于点(－2，－1)恰好在曲线f (x )＝2x 上，所以曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f (x )＝2

x 在

点(－2，－1)处的导数．而f ′(－2)＝lim Δx →0 f (－2＋Δx )－f (－2)Δx ＝lim Δx →0 2

－2＋Δx ＋1

Δx ＝lim Δx →0 1－2＋Δx ＝－1

2，

故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y ＋1＝－1

2(x ＋2)，整理得x ＋2y ＋4＝0.

1．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点(a ，3)，则该曲线在该点的切线方程是( ) A ．y ＝－4x －1 B ．y ＝4x －1 C ．y ＝4x ＋8 D ．y ＝4x 或y ＝4x －4

2.曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．3 B ．－3 C ．9 D ．15

y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线的斜率k ＝3，切线方程为y －12＝3(x －1)，即y ＝3x ＋9.令x ＝0，得y ＝9，故选C. 3．曲线y ＝ax 2＋1与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18 B ．14 C.1

2 D ．1

4．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标是( ) A ．(1,0) B ．(－1，－4)

C ．(1,0)或(－1，－4)

D ．(0,1)或(4,1)

5．曲线y ＝x 2－3x 在点P 处的切线平行于x 轴，则点P 的坐标为________．

6．曲线f (x )＝x 3在点A 处的切线的斜率为3，则该曲线在点A 处的切线方程为____________．

7．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是________．

8．已知曲线y ＝x 2－1与y ＝x 3＋1在x 0点的切线互相垂直，求x 0的值．

1.解由3＝2a (a )2＋1得a ＝1或a ＝－1(舍)．又y ′|x ＝1＝4，所以切线方程为y －3＝4(x －1)，即y ＝4x －1.故选B.

2. [解析] y ′＝lim Δx →0 [(x ＋Δx )3＋11]－(x 3＋11)Δx ＝lim Δx →0 3x 2·Δx ＋3x ·Δx 2＋Δx 3Δx ＝lim Δx →0 (3x 2＋3x ·Δx ＋Δx 2)＝3x 2

.∴曲线

3.[解析] y ′＝lim Δx →0 [a (x ＋Δx )2＋1]－ax 2－1Δx ＝lim Δx →0 2ax ·Δx ＋a Δx 2

Δx ＝lim Δx →0

(2ax ＋a Δx )＝2ax

设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1，∴x 0＝12a .∵切点在直线y ＝x 上，∴y 0＝12a 代入y ＝ax 2＋1得12a ＝14a ＋1∴a ＝1

4.故选B.

4. [解析] 设P 0(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →

f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1.因此P 0(1,0)或(－1，－4)．故选C. 5. [解析] ∵y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－3(x ＋Δx )－x 2＋3x

Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx ＋3)＝2x －3，

令y ′＝0，得x ＝32，代入曲线方程y ＝x 2－3x 得y ＝－9

6.[解析] 设点

A (x 0，x 30)，

则k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3－x 30Δx ＝lim Δx →0

(3x 2

0＋3x 0·Δx ＋Δx 2)＝3x 20＝3.∴x 0＝±1.∴切点的坐标为(1,1)或(－1，－1)，∴所求的切线方程为y －1＝3(x －1)或y ＋1＝3(x ＋1)，即3x －y －2＝0或3x －y ＋2＝0. 7. [解析] ∵y ′＝lim Δx →0 3(x ＋Δx )2－4(x ＋Δx )＋2－3x 2＋4x －2

Δx ＝lim Δx →0 (6x ＋3Δx －4)＝6x －4，

∴y ′|x ＝1＝2.所求直线的斜率为2，所以所求直线的方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.

8.[解析] 函数y ＝x 2

－1在x 0处的导数为：y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－1－x 20＋1

Δx ＝lim Δx →0

2x 0·Δx ＋(Δx )2Δx ＝2x 0.

函数y ＝x 3

＋1在x 0处的导数为：y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3＋1－x 30－1Δx ＝lim Δx →0

(Δx )3＋3x 0·(Δx )2＋3x 20·Δx Δx ＝3x 2

0， ∵两曲线在x 0处的切线互相垂直，显然两切线的斜率都存在，∴2x 0·3x 2

0＝－1，解得x 0＝－

导数的计算

1.函数y ＝f (x )＝C 的导数为y ′＝0，y ′＝0的几何意义为函数y ＝C 图象上每一点处的切线斜率都为0.

若y ＝C 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态． 2.函数y ＝f (x )＝x 的导数为y ′＝1.y ′＝1表示函数y ＝x 图象上每一点处的切线的斜率都为1，若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

3.函数y ＝x 2的导数为y ′＝2x .y ′＝2x 表示函数y ＝x 2图象上点(x ，y )处的斜率为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，y ′＝2x 表明：当x <0时，随着x 的增加，函数y ＝x 2减少得越来越慢；当x >0时，随着x 的增加，函数y ＝x 2增加得越来越快．若y ＝x 2表示路程关于时间的函数，则y ′＝2x 可以解释为当某物体作变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x .

4.我们用导数的定义求得这些常用函数的导数及推导出的幂函数的求导公式，在以后的求导运算中，可以直接应用，不必再用定义去求导数．题型一.求幂函数的导数

例1.求下列函数的导数：(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5

x 3.

[解析] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝????1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5.(3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35 )′＝35x －2

5 ＝355x 2

. [说明] 求幂函数的导数的关键是正确运用幂的运算化为y ＝x a 的形式．变式.求下列函数的导数：(1)y ＝x 10；(2)y ＝1x 7；(3)y ＝5

x 2.

[解析] (1)y ′＝(x 10)′＝10x 10－

1＝10x 9. (2)y ′＝(x －

7)′＝－7x

－7－1

＝－7x －

8＝－7x

(3)y ′＝(5

x 2)′＝(x 25 )′＝25x 25 －1＝25x －3

5 .

题型二.求曲线在某一点处的导数例2.求函数f (x )＝3

x 2在x ＝1处的导数．

[解析] f (x )＝3

x 2＝x 23 ，f ′(x )＝23x －1

3 ＝23·3x ，f ′(1)＝23·3

1＝23.

变式.下列结论中不正确的是( )

A ．若y ＝x 4，则y ′|x ＝2＝32

B ．若y ＝1x

，则y ′|x ＝2＝－2

C ．若y ＝1x 2·x

，则y ′|x ＝1＝－52 D ．若y ＝x －

5，则y ′|x ＝－1＝－5

[解析] ∵y ′＝???

?1x ＝(x －

12 )′＝－12·x －32 ，∴y ′|x ＝2＝－12·(2) －3

2 ＝－28.∴B 不对.

题型三.幂函数导数的应用

例3.已知曲线y ＝5x ，求：(1)曲线上与直线y ＝2x －4平行的切线的方程；(2)求过点P (0,5)且与曲线相切的切线的方程．

[分析] 首先求得曲线在切点处的导数，即切线的斜率，再根据条件确定斜率的值，最后利用点斜式方程写出切线方程．

[解析] (1)设切点为(x 0，y 0)，由y ＝5x ，得y ′|x ＝x 0＝52x 0 .因为切线与y ＝2x －4平行，所以52x 0

＝2，所以x 0＝25

16，

所以y 0＝254，则所求切线的方程为y －25

＝2????x －2516，即16x －8y ＋25＝0. (2)因为点P (0,5)不在曲线y ＝5x 上，故需设切点坐标为M (t ，u )，则切线的斜率为52t .又因为切线斜率为u －5t ，所以

2t ＝u －5t ＝5t －5t ，所以2t －2t ＝t ，得t ＝4或t ＝0(舍去)．所以切点M 为(4,10)，斜率为5

4，所以所求切线的方程为

y －10＝5

(x －4)，即5x －4y ＋20＝0.

[说明] 根据导数的几何意义求曲线的切线方程是本节的典型问题，一类为点在曲线上，另一类为点不在曲线上，注意不同类型问题的不同思路与解法的掌握．

变式.求曲线y ＝1

x 与曲线y ＝x 的交点坐标，并分别求在该交点处的两曲线的切线方程．

[解析] 由?????

y ＝1x y ＝x ?1

＝x ∴x ＝1，代入曲线方程，有y ＝1.∴两曲线的交点坐标为(1,1)．

由函数y ＝1x 得y ′＝????1x ′＝(x －1)′＝－x 2

∴曲线y ＝1x 在点(1,1)处的切线斜率为k 1＝y ′|x ＝1＝－1. ∴曲线y ＝1

在(1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.

又由函数y ＝x ，得y ′＝(x )′＝(x 12 )′＝12x －

2 ，∴曲线y ＝x 在(1,1)处的切线斜率为k 2＝y ′|x ＝1＝12

∴曲线y ＝x 在(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)，即x －2y ＋1＝0.∴y ＝1

x 与y ＝x 的交点为(1,1)，且在该交点处的切

线方程分别为x ＋y －2＝0和x －2y ＋1＝0. 1．f (x )＝0的导数为( )

A ．0

B ．1

C ．不存在

D ．不确定 2．y ＝

13x 2

的导数为( )A.23x －13 B ．x 23 C ．x －

3 D ．－23

x －53

3.y ＝2

在点A (1,2)处的切线方程为( )

A ．2x ＋y －4＝0

B ．2x －y ＋2＝0

C ．2x ＋y ＋4＝0

D ．2x －y －2＝0 4.曲线y ＝1

3x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )

A ．1

B ．－π4 C.π4 D ．5π

5.函数y ＝cose x 的导数是( )

A ．cose x

B ．sine x

C ．－e x sine x

D ．－e x 6．直线y ＝x 5的斜率等于5的切线的方程为( )

A ．5x －y ＋4＝0

B ．x －y －4＝0

C ．x －y ＋4＝0或x －y －4＝0

D ．5x －y ＋4＝0或5x －y －4＝0 7.质点沿直线运动的路程和时间的关系是s ＝5

t ，则质点在t ＝4时的速度为( )

2523

B ．

110523

C.25523 D ．110

523

8．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( )

A ．y ＝x －1

B ．y ＝－x －1

C ．y ＝2x －2

D ．y ＝－2x －2 9．曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n 等于________． 1.0曲线y ＝sin x

x 在点M (π，0)处的切线方程是________．

11．在曲线y ＝4

x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．

12．已知曲线y ＝13x 3＋4

3.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．

1. [解析] 常数函数的导数为0.

2. [解析] y ′＝(x －23)′＝－23·x －5

.∴选D.

3. [解析] ∵f ′(x )＝－2

x 2，f ′(1)＝－2，∴由点斜式直线方程得y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0.

4. [解析] ∵y ＝13x 3，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π

5. [解析] y ′＝(cose x )1＝－sine x ·(e x )′

＝－e x sine x ，故选C.

6. [解析] ∵y ′|x ＝x 0＝5x 40＝5，∴x 0＝±1.∴切点坐标为(1,1)，(－1，－1)．又切线斜率为5，由点斜式得切线方程为5x －y ＋4＝0或5x －y －4＝0.故选D.

7. [解析] ∵s ′|t ＝4＝15t －45|t ＝4＝1

105

.故选B.

8. [解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1,切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A. 9. [解析] ∵y ′＝n ·x n －

1，y ′|x ＝2＝n ·2n －

1＝12.∴n ＝3.

10.解析：∵f (x )＝sin x x ，∴f ′(x )＝x ·cos x －sin x x 2

，∴f ′(π)＝－ππ2＝－1π.∴切线方程为y ＝－1π(x －π)，即x ＋πy －π＝0. 11. [解析] ∵y ＝4x －

2，∴y ′＝－8x －

3，∴－8x －

3＝－1，∴x 3＝8，∴x ＝2，∴P 点坐标为(2,1)．

12.[解析] (1)设y ＝f (x )＝13x 3＋4

，则y ′＝x 2，∴k ＝f ′(2)＝4，∴所求切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.

(2)设切点A ????x 0，13x 30＋43，则切线方程为y －????13x 30＋43＝x 2

0(x －x 0)．又切线过点P (2,4)，

∴4－????13x 30＋43＝x 20(2－x 0)，即x 30－3x 2

0＋4＝0，∴x 0＝－1或x 0＝2，∴切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0. 1．已知函数f (x )＝x 3的切线斜率等于1，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定

2.若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )

A.－1

B.－2

C.2

D.0

3.若对任意的x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数解析式为( ) A.f (x )＝x 4 B.f (x )＝x 4－2 C.f (x )＝x 4＋1 D.f (x )＝x 4－1

4.已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－1

2x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( )

A.33 B ．333C. 3 D ．3

5.函数y ＝x 2过点(2,1)的切线方程为________．

6.已P (－1,1)，Q (2,4)是曲线f (x )＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程是________．

7.若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________．

8.若曲线y ＝e x 在x ＝1处的切线与直线2x ＋my ＋1＝0垂直，求m 的值．

9.求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．

1. [解析] 设切点为(x 0，x 30)，∵f ′(x )＝3x 2，∴k ＝f ′(x 0)＝3x 20，即3x 20＝1，∴x 0＝±33

，即在点??

??33，

39和点????－33

，－3

9处有斜率为1的切线，故选B. 2. [解析] 本题考查函数知识、求导运算及整体代换的思想，f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )， f ′(1)＝4a ＋2b ，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2，要善于观察，故选B.

3. [解析] 由f ′(x )＝4x 3知，f (x )中含有x 4项，然后将x ＝1代入四个选项中验证，B 正确，故选B.

4.[解析] 由导数的定义容易求得，曲线y ＝x 3－1在x ＝x 0处切线的斜率k 1＝3x 20，曲线y ＝3－1

x 2在x ＝x 0处切线的斜率为k 2＝－x 0，由于两曲线在

x ＝x 0处的切线互相垂直，∴3x 20·

(－x 0)＝－1，∴x 0＝3

，故选D. 5. [解析] y ′＝2x ，设切点P (x 0，y 0)，则

y 0＝x 20.切线斜率为

2x 0＝x 20－1x 0－2

，∴x 20－4x 0＋1＝0，∴x 0＝2±3， ∴斜率k ＝2x 0＝4±23，∴切线方程为y －1＝(4±23)(x －2)． 6. [解析] y ＝x 2的导数为y ′＝2x ，设切点M (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0.

∵PQ 的斜率k ＝4－12＋1

＝1，又切线平行于PQ ，∴k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1.∴x 0＝1

2.∴切点M ????12，14.

∴切线方程为y －14＝x －1

，即4x －4y －1＝0.

7.解y ′＝12x ,切线方程为y －a ＝12a (x －a ),令x ＝0得，y ＝a 2，令y ＝0得,x ＝－a ，由题意知12·a

2·a ＝2，∴a ＝4.

8.[解析] ∵y ′＝e x ，∴曲线y ＝e x 在x ＝1处的切线的斜率k ＝e.∴切线方程为y －e ＝e(x －1)，即e x －y ＝0.由题意，得2e －m ＝0，∴m ＝2e.

9.[解析] ∵过抛物线上一点的切线且与直线x －y －2＝0平行的直线与x －y －2＝0的距离最短．y ′＝2x ，令2x ＝1

∴x ＝12代入y ＝x 2得y ＝14，∴切点为????12，14，则切线方程为y －14＝x －12，即x －y －1

4＝0. ∴x －y －14＝0与x －y －2＝0的距离为|2－14

12＋(－1)2＝728，∴72

8即为所求的最短距离．

导数的运算

几种常见函数的导数

1.察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开．

2.将x a

的求导公式与a x

的求导公式对比记忆，两公式最易混淆；将a x

的求导公式与log a x 的求导公式强化记忆，此两公式最难记；将sin x 的求导公式与cos x 的求导公式对比记忆，注意正负号．例1.求下列函数的导数．

(1)y ＝e x ； (2)y ＝10x ； (3)y ＝lg x ； (4)y ＝log 12x ； (5)y ＝4

x 3； (6)y ＝????sin x 2＋cos x 22－1.

[解析] (1)y ′＝(e x )′＝e x .(2)y ′＝(10x )′＝10x ln10.(3)y ′＝(lg x )′＝1x ln10.(4)y ′＝(log 1

2 x )′＝1x ln 12＝－1

x ln2

(5)y ′＝(4

x 3)′＝(x 34)′＝34x －1

4 ＝344

.(6)∵y ＝???sin x 2＋cos x 22－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－1＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x . [说明]熟记基本初等函数的求导公式，是计算导数的关键．特别注意各求导公式的结构特征，弄清(e x )′与(a x

)′,(ln x )′与(log ax )′的差异,防止混淆．对于不具备基本初等函数特征的函数，应先变形，后求导．变式.求下列函数的导数：(1)y ＝???1e x

；(2)y ＝???110x ；(3)y ＝lg5；(4)y ＝3lg 3x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1.

[解析] (1)y ′＝????????1e x ′＝????1e x ln 1e ＝－1e x ＝－e －x . (2)y ′＝????????110x ′＝????110x ln 110＝－ln1010

x ＝－10－x ln10. (3)∵y ＝lg5是常数函数，∴y ′＝(lg5)′＝0.

(4)∵y ＝3lg 3

x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln10. (5)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .

题型二.求函数在某点处的导数

(1) 求函数y ＝a x 在点P (3，f (3))处的导数；(2)求函数y ＝ln x 在点P (5，ln5)处的导数．

[解析] ∵y ＝a x ，∴y ′＝(a x )′＝a x ·ln a ，则y ′|x ＝3＝a 3·ln a . (2)∵y ＝ln x ，∴y ′＝(ln x )′＝1x ，则y ′|x ＝5＝1

[说明] 求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：①先求函数的导函数；②把对应点的横坐标代入导函

数求相应的导数值．

题型三.求函数在某点处的切线方程:求过曲线y ＝sin x 上的点P ????π4，2

2且与在这点处的切线垂直的直线方程．

[解析] ∵y ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .∴经过这点的切线的斜率为2

，从而可知适合题意的直线的斜率为－ 2. ∴y ′|

＝cos π4＝22.∴由点斜式得适合题意的直线方程为y －22＝－2(x －π4)，即2x ＋y －22－2

π＝0.

[说明] 在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数y ′是否为零，当y ′＝0时，切线平行于x

轴，过切点P 垂直于切线的直线斜率不存在

变式.求曲线y ＝cos x 在点A (π6，3

2)处的切线方程．

[解析] ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x .y ′|＝－sin π6＝－12，∴k ＝－1

∴在点A 处的切线方程为y －

32＝－12(x －π

)．即6x ＋12y －63－π＝0. 1．若f (x )＝cos π

4，则f ′(x )为( )

A ．－sin π4

B ．sin π4

C ．0

D ．－cos π

1.[答案] C

2．函数f (x )＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 2.[答案] A

3．给出下列命题：①y ＝ln2，则y ′＝12; ②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－2

27; ③y ＝2x ，则y ′＝2x ·ln2;

④y ＝log 2x ，则y ′＝1

x ln2 其中正确命题的个数为( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

3. [解析] 由求导公式知②③④正确．

4.设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′(π

4)＝( )

A. 2 B ．－2 C ．0 D ．

[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ，∴f ′(π4)＝cos π4＋sin π

＝2，故选A.

5．设函数f (x )＝cos x 则???

?f ????π2′等于( ) A.0 B.1 C.－1 D.以上均不正确

[解析] ∵f ????π2＝cos π2＝0，∴????f ????π2′＝0′＝0，故选A. 6.设函数f (x )＝sin x ，则f ′(0)等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．以上均不正确

[解析] ∵f ′(x )＝(sin x )′＝cos x ，∴f ′(0)＝cos0＝1.故选A. 7．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D.1

[解析] ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝2＝12，故图象在x ＝2处的切线斜率为1

8．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( ) A.12 B ．－12 C.1e D ．－1

[解析] ∵y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k ，切点坐标为????1k ，1，又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k ＝1，∴1k ＝e ，k ＝1

e . 9．函数

f (x )＝sin x 在x ＝π

3处的切线方程为________．

[答案] x －2y ＋3－π

＝0

10．y ＝1

3在点A ????2，18处的切线方程为________． [解析] ∵????1x 3′＝－3x －4，∴y ＝1x 3在点A ????2，18处的切线的斜率为－316.∴切线方程为y －18＝－316(x －2)，即3x ＋16y －8＝0.

11．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是____________________________．

[解析] ∵曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1,0)∴y ′|x ＝1＝1，切线的斜率为1，所求切线方程为：y ＝x －1. 12．(1)y ＝e x 在点A (0,1)处的切线方程；(2)y ＝ln x 在点A (1,0)处的切线方程．

[解析] (1)∵(e x )′＝e x ，∴y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为1.∴切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0. (2)∵(ln x )′＝1

x ，∴y ＝ln x 在点A (1,0)处的切线的斜率为1.∴切线方程为y ＝1×(x －1)，即x －y －1＝0.

1．物体运动的图象(时间x ，位移y )如图所示，则其导函数图象为( )

[解析] 由图象可知，物体在OA ，AB ，BC 三段都做匀速运动，位移是时间的一次函数，因此其导函数为常数函数，并且直线OA ，直线AB 的斜率为正且k OA >k AB ，直线BC 的斜率为负，故选D. 2.下列函数中，导函数是奇函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝e x C ．y ＝ln x D ．y ＝cos x －1

[解析] 由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，故A 错；又y ＝e x 时，y ′＝e x 为非奇非偶函数，∴B 错；C 中y ＝ln x 的定义域x >0，∴C 错；D 中y ＝cos x －1

时，y ′＝－sin x 为奇函数，∴选D.

3．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，则f 2010(x )的值是( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x

[解析] 依题意：f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，按以上规律可知：f 2010(x )＝f 2(x )＝－sin x ，故选B.

4．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2

[解析] y ′＝1x ＋a ，设切点为(m ，n )，则切线斜率为1

m ＋a

＝1，即m ＋a ＝1，n ＝ln(m ＋a )＝ln1＝0.

又(m ，n )在直线y ＝x ＋1上，∴m ＝－1，从而a ＝2.故选B.

5．过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点坐标为________，切线方程为________． [解析] 设切点为(x 0，e x 0)，又y ′＝(e x )′＝e x ，∴切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝e x 0，

∴切线方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)．又切线过原点，∴－ e x 0＝－x 0·e x 0，即(x 0－1)·e x 0＝0，∴x 0＝1， ∴切点为(1，e)，斜率为e ，∴切线方程为y ＝e x .

6．函数y ＝log 2x 图象上一点A (a ，log 2a )处的切线与直线(2ln2)x ＋y －3＝0垂直，则a ＝________. [解析] y ＝log 2x 在点A (a ，log 2a )处的切线斜率为k 1＝y ′|x ＝a ＝1x ln2|x ＝a ＝1a ln2

.已知直线斜率k 2＝－2ln2. ∵两直线垂直，∴k 1k 2＝－2

＝－1，∴a ＝2.

7.若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为________．

[解由f (x )＝x 2

－2x －4ln x ，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2

－2x －4

x ＝2·x 2－x －2x ＝2·(x ＋1)(x －2)x

，

f ′(x )>0，解得x >2，故f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)．

8．设点P 是y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最短距离．

[解析] 根据题意得，平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切的切点为P ，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图，即求在曲线y ＝e x 上斜率为1的切线，由导数的几何意义可求解．令P (x 0，y 0)，∵y ′＝(e x )′＝e x ，

∴由题意得e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，y 0＝1，即P (0,1)．

利用点到直线的距离公式得最短距离为

. 9．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的

切线互相垂直？并说明理由．

[解析] 由于y ＝sin x 、y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)，∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为k 1＝

y ′|x ＝x 0＝cos x 0，k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sin x 0.若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，

也就是sin2x 0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．

2.导数的运算法则

(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)f (x )

g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2

(g (x )≠0)．

3.复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

1．导数的四则运算法则跟加、减、乘、除法的运算法则一样，属于数学中必记的法则．首先要牢牢记住公式，切忌把[f (x )g (x )]′写成f ′(x )g ′(x )，把??

??f (x )g (x )′记成f ′(x )

g ′(x )

；其次应注意若两个函数不可导，它们的和、差、积、商不一定不可导，如设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1

x ，则f (x )、g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0

处是可导的．

2．函数和与差的导数运算法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差)

即：()f 1(x )±f 2(x )±f 3(x )±…±f n (x )′＝f ′1(x )±f ′2(x )±…±f ′n (x )． 3．由[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．立即可得[Cf (x )]′＝Cf ′(x )．

由??

??f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2

(x )可得????1g (x )′＝－g ′(x )

g 2(x )

. 4．一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )

和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f [g (x )]．如函数y ＝(2x ＋3)2是由y ＝u 2和u ＝2x ＋3复合而成的.复合函数y ＝f [g (x )]的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x .即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 5.说明：(1)分清复合函数的复合关系，看它是由哪些基本初等函数复合而成的，适当选定中间变量；(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin2x )′＝2cos2x ，而(sin2x )′≠cos2x ；(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求y

＝sin ????2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝cos u ×2＝2cos ????2x ＋π3； (4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写．题型一.导数的四则运算

例1.求下列函数的导数．(1)y ＝x 4

－3x 2

－5x ＋6；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝x －1x ＋1；(4)y ＝2x ＋1x 2＋x 2

2x ＋1

[解析] (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′＋(6)′＝4x 3－6x －5.

(2)解法1：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11. 解法2：∵y ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.

(3)解法1：y ′＝? ??

??x －1x ＋1′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2 .

解法2：∵y ＝1－

2x ＋1，∴y ′＝? ????1－2x ＋1′＝? ??

??－2x ＋1′＝－(2)′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2

[说明] (1)熟练掌握和运用函数的和、差、积、商的导数公式,并进行简单、合理的运算，注意运算中公式运用的准确性．

(2)灵活运用公式，化繁为简，如小题(2)这种类型，展开化为和、差的导数比用积的导数简单容易．题型二.复合函数的导数

例2.求下列函数的导数．(1)y ＝sin3x ；(2)y ＝3－x .

[解析] (1)设y ＝sin u ，u ＝3x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·3＝3cos3x . (2)设y ＝u ，u ＝3－x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝12u ·(－1)＝－123－x

[说明] 1.复合函数的求导法则

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x (其中y ′x 表示y 对x 的导数)．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 2．求复合函数的导数需处理好以下环节：

(1)中间变量的选择应是基本函数结构；(2)关键是正确分析函数的复合层次；

(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；(4)善于把一部分表达式作为一个整体； (5)最后要把中间变量换成自变量的函数．

变式.求下列函数的导数：(1)y ＝cos ????3x －π

6；(2)y ＝ln(2x 2＋3x ＋1)．

[解析] (1)设y ＝cos u ，u ＝3x －π

，∴y ′x ＝－sin u ·3＝－3sin ????3x －π6. (2)设y ＝ln u ，u ＝2x 2＋3x ＋1，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1

u ·(4x ＋3)＝4x ＋32x 2＋3x ＋1

题型四.综合应用

例四.设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)·…·(x ＋n )，求f ′(0)．

[解析] 令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)·…·(x ＋n )，∴f (x )＝xg (x )．两边求导f ′(x )＝x ′g (x )＋xg ′(x )＝g (x )＋xg ′(x )， ∴f ′(0)＝g (0)＋0·g ′(0)＝g (0)＝1×2×3·…·n ＝n ！，即f ′(0)＝n ！. [说明] 灵活应用导数乘法的运算法则．变式.求满足下列条件的函数f (x )：

(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.

[解析] (1)依题意可设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，

由f (0)＝3，得d ＝3，由f ′(0)＝0，得c ＝0.由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0可建立方程组

????? 3a ＋2b ＝－312a ＋4b ＝0，解得?????

a ＝1

b ＝－3

，所以f (x )＝x 3－3x 2＋3. (2)由f ′(x )为一次函数知，f (x )为二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .将f (x )、f ′(x )代入方程得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)·(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0. 要使方程对任意x 都成立，则需要a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1.解得a ＝2，b ＝2，c ＝1.所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.

1．函数f (x )＝a 4＋5a 2x 2－x 6的导数为( )

A ．4a 3＋10ax 2－x 6

B ．4a 3＋10a 2x －6x 5

C ．10a 2x －6x 5

D ．以上都不对 2．函数y ＝2sin x cos x 的导数为( )

A ．y ′＝cos x

B ．y ′＝2cos2x

C ．y ′＝2(sin 2x －cos 2x )

D ．y ′＝－sin2x 3.下列求导运算正确的是( )

A ．(x ＋1x )′＝1＋1x 2

B ．(log 2x )′＝1

x ln2 C ．(3x )′＝3x D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x

4.曲线f (x )＝x ln x 在x ＝1处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋2 B ．y ＝2x －2 C ．y ＝x －1 D ．y ＝x ＋1 5．函数y ＝(x －a )(x －b )的导数是( )

A ．ab

B ．－a (x －b )

C ．－b (x －a )

D ．2x －a －b

6．函数f (x )＝x 2＋a 2

x (a >0)在x ＝x 0处的导数为0，则x 0是( )

A.a

B.±a

C.－a

D.a 2 7．下列函数在x ＝0处没有切线的是( )

A ．y ＝3x 2＋cos x

B ．y ＝x sin x

C ．y ＝1x ＋2x

D ．y ＝1cos x

8.函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( )

A ．f (x )＝a x

B ．f (x )＝log a x

C ．f (x )＝x e x

D ．f (x )＝x ln x

9．函数y ＝2x 3－3x 2＋4x －1的导数为____________．

10.若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 11．曲线y ＝sin3x 在点P ????

π3，0处切线的斜率为________．

12．求下列函数的导数．(1)y ＝3x －lg x ；(2)y ＝(x 2＋1)(x ＋1)；(3)y ＝x ＋3

x 2＋3；(4)y ＝－sin x ＋e x .

1. [解析] f ′(x )＝(a 4)′＋(5a 2x 2)′－(x 6)′＝－6x 5＋10a 2x .

2. [解析] y ′＝(2sin x cos x )′＝2(sin x )′·cos x ＋2sin x (cos x )′＝2cos 2x －2sin 2x ＝2cos2x .

3.[解析] 根据对数函数的求导法则可知B 正确．

4. [解析] ∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴在x ＝1处曲线f (x )的切线方程为y ＝x －1.

5.[解析] 解法1：y ′＝(x －a )′(x －b )＋(x －a )(x －b )′＝x －b ＋x －a ＝2x －a －b .

解法2：∵y ＝(x －a )(x －b )＝x 2－(a ＋b )x ＋ab ∴y ′＝(x 2)′－[(a ＋b )x ]′＋(ab )′＝2x －a －b ，故选D. 6. [解析] 解法1：f ′(x )＝???

?x 2

＋a 2

x ′＝2x ·x －(x 2

＋a 2

)x 2

＝x 2

－a 2

x 2，∴f ′(x 0)＝x 2

0－a 2

x 20＝0，得：x 0＝±a . 解法2：∵f ′(x )＝????x 2

＋a 2

x ′＝????x ＋a 2

x ′＝1－a 2

x 2，∴f ′(x 0)＝1－a 2

x 20＝0，即x 20＝a 2

，∴x 0＝±a .故选B. 7. [解析] ∵函数y ＝1x ＋2x 在x ＝0处不可导，∴函数y ＝1

x ＋2x 在x ＝0处没有切线．故选C.

8. [解析] 若f (x )＝a x ，则f ′(x )＝(a x )′＝a x ln a ，x ∈R ，不满足题意，排除A ；

若f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝1

x ln a (a >0，a ≠1)，x ≠0，不满足题意，排除B ；若f (x )＝x e x ，则f ′(x )＝e x ＋x e x ，x ∈R ，不满

足题意，排除C ，故选D.

9.[解析] y ′＝(2x 3)′－(3x 2)′＋(4x )′＝6x 2－6x ＋4.

11. [解析] 设u ＝3x ，则y ＝sin u ，∴y ′x ＝cos u ·(3x )′＝3cos u ＝3cos3x ∴所求斜率k ＝3·cos ????3×π

3＝3cosπ＝－3. 10. [解析] 本题主要考查求导公式及导数的几何意义，∵y ＝x ln x ，∴y ′＝ln x ＋1，设P (x 0，y 0)，∵P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，∴y |x ＝x 0＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e ，将x 0＝e 代入y ＝x ·ln x 得y 0＝e ，∴P 点坐标为(e ，e )，解答本题的关键在于掌握曲线在某点处的切线斜率为此点处的导数值．

12.[解析] (1)y ′＝(3x )′－(lg x )′＝3x ·ln3－1

x ln10

.(2)y ＝(x 2＋1)(x ＋1)＝x 3＋x 2＋x ＋1，∴y ′＝3x 2＋2x ＋1.

(3)y ′＝? ????x ＋3x 2＋3′＝(x ＋3)′(x 2

＋3)－(x ＋3)(x 2

＋3)′(x 2＋3)2＝(x 2

＋3)－(x ＋3)·2x (x 2＋3)2

＝－x 2

－6x ＋3(x 2＋3)2. (4)y ′＝(－sin x )′＋(e x )′＝－cos x ＋e x .

1．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为1

2，则切点的横坐标为( )

A ．3

B ．2

C ．1 D.1

2.曲线y ＝x sin x 在点???

?－π2，π

2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为( )

A.π22 B ．π2 C ．2π2 D ．1

(2＋π)2 3.设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

4.已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝( ) A ．9 B ．6 C ．－9 D ．－6

5．若f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝________.

6.曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________________．

7.曲线y ＝x 2x －1在点(1,1)处的切线为l ，则l 上的点到圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0上的点的最近距离是________．

8．设y ＝8sin 3x ，求曲线在点P ????

π6，1处的切线方程．

9．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．

1. [解析] 由f ′(x )＝x 2－3x ＝1

得x ＝3.故选A.

2. [解析] 曲线y ＝x sin x 在点????－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的面积为π

2.故选A.

3. [解析]令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1

x ＋1.∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3，故选D.

4. [解析] y ′＝4x 3＋2ax ，y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，∴a ＝－6.

5. [解析] ∵f ′(x )＝[log 3(x －1)]′＝1(x －1)ln3(x －1)′＝1(x －1)ln3

，∴f ′(2)＝1

ln3.

6. [解析] 本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法．y ′＝3ln x ＋4，故y ′|x ＝1＝4，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝4(x －1)，化为一般式方程为4x －y －3＝0.在求过某一点的切线方程时，先通过求导得出切线的斜率，利用点斜式即可写出切线方程，注意最后应将方程化为一般式．

7. [解析] y ′|x ＝1＝－1

(2x －1)2|x ＝1＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d ＝

22，圆的半径r ＝1，∴所求最近距离为22－1.

8.[解析] ∵y ′＝(8sin 3x )′＝8(sin 3x )′＝24sin 2x (sin x )′＝24sin 2x cos x ，∴曲线在点P ????

π6，1处的切线的斜率 k ＝y ′|x ＝π6＝24sin 2π6·cos π

6＝3 3.∴适合题意的曲线的切线方程为y －1＝33????x －π6，即63x －2y －3π＋2＝0. 9.[解析] ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过(1,1)点，∴a ＋b ＋c ＝1 ① ∵y ′＝2ax ＋b ，y ′|x ＝2＝4a ＋b ，∴4a ＋b ＝1 ② 又曲线过(2，－1)点，∴4a ＋2b ＋c ＝－1 ③ 解由①②③组成的方程组，得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.

导数的计算及其几何意义

导数的计算及其几何意义一、导数的概念及其几何意义 1.函数的平均变化率：定义：已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=- 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-，则当0x ?≠时，商 00()()f x x f x y x x +?-?=??称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率．注意：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0． 2.函数的瞬时变化率、函数的导数：定义：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-．如果当x ?趋近于0时，平均变化 00()()f x x f x y x x +?-?=??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0 x ?→时， 00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '．这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ?→时， 000()() ()f x x f x f x x +?-'→?” 或 “0000 ()() lim ()x f x x f x f x x ? →+?-'=?”．注：0'()f x 是个数． 3.可导与导函数：定义：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构

高中数学导数的概念、运算及其几何意义练习题

导数的概念、运算及其几何意义黑龙江依兰高中刘岩 A 组基础达标选择题： 1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时， (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（） A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度 B ．9.8/m s 是在1～（1+t ?）s 这段时间内的速度 C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ?）s 这段时间内的平均速度 D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2．已知函数f ’ (x)＝3x 2 , 则f (x)的值一定是（） A. 3x +x B. 3x C. 3x +c (c 为常数) D. 3x+c (c 为常数) 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f / (x)的图象是（） 4.下列求导数运算错误．．的是（） A. 20122013x 0132c x ='+）（ (c 为常数) B. x xlnx 2lnx x 2+='）（ C. 2x cosx xsinx x cosx +='）（ D . 3ln 33x x ='）（ 5．.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12 ，则切点的横坐标为（） A ． 2 B ． 3 C ． 12 D ．1 填空题： 1．若2012)1(/ =f ，则x f x f x ?-?+→?)1()1(lim 0= ，x f x f x ?--?+→?)1()1(lim 0= ，x x f f x ??+-→?4)1()1(lim 0= ， x f x f x ?-?+→?)1()21(lim 0= 。 2．函数y=(2x －3)2 的导数为函数y= x -e 的导数为 A x D C x B

高考数学真题导数专题及答案

2017年高考真题导数专题一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R，（1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在0处的导数等于0；（）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

届高三数学第一轮复习导数

导数第3章导数及其运用 §3.1导数概念及其几何意义重难点：了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义．考纲要求：①了解导数概念的实际背景． ②理解导数的几何意义．经典例题：利用导数的定义求函数y=|x|(x ≠0)的导数．当堂练习： 1、在函数的平均变化率的定义中，自变量的的增量x ?满足（） 2 3 ） 4 5A C 6A ．7A ．f ′(x0)>0 B ．f ′(x0)<0 C ．f ′(x0)=0 D ．f ′(x0)不存在 8．已知命题p ：函数y=f(x)的导函数是常数函数；命题q ：函数y=f(x)是一次函数，则命题p 是命题q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．设函数f(x)在x0处可导，则0 lim →h h h x f h x ) ()(00--+等于 A ．f ′(x0) B ．0 C ．2f ′(x0) D ．－2f ′(x0) 10．设f(x)=x(1+|x|),则f ′(0)等于

A ．0 B ．1 C ．－1 D ．不存在 11．若曲线上每一点处的切线都平行于x 轴，则此曲线的函数必是___． 12．两曲线y=x2+1与y=3－x2在交点处的两切线的夹角为___________． 13．设f(x)在点x 处可导，a 、b 为常数，则0 lim →?x x x b x f x a x f ??--?+) ()(=_____． 14．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在t=5时的瞬时速度________． 15.已知质点M 按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)， (1)当t=2，Δt=0.01时，求t s ??．法则3 2()()v x v x ???? 经典例题：求曲线y=2 1x x +在原点处切线的倾斜角. 当堂练习： 1.函数f （x ）=a4+5a2x2－x6的导数为 ( ) A.4a3+10ax2－x6 B.4a3+10a2x －6x5 C.10a2x －6x5 D.以上都不对 2.函数y=3x （x2+2）的导数是( ) A.3x2+6 B.6x2 C.9x2+6 D.6x2+6

导数的计算与导数的几何意义高考试题汇编(含答案)

专题三导数及其应用第七讲导数的计算与导数的几何意义 2019年 1.（2019全国Ⅰ文13）曲线2)3(e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________． 2.（2019全国Ⅱ文10）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+= 3.（2019全国三文7）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．a=e ，b =-1 B ．a=e ，b =1 C ．a=e -1，b =1 D ．a=e -1，1b =- 4.（2019天津文11）曲线cos 2 x y x =- 在点()0,1处的切线方程为__________. 5.（2019江苏11）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 . 2010-2018年一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)=+-+f x x a x ax ．若()f x 为奇函数，则曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为 A ．2=-y x B ．y x =- C ．2=y x D ．=y x 2．（2017山东）若函数e ()x f x (e=2．71828L ，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是 A ．()2 x f x -= B ．2 ()f x x = C ．()3 x f x -= D ．()cos f x x = 3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 A ．sin y x = B ．ln y x = C ．e x y = D ．3y x = 4．（2016年四川）设直线1l ，2l 分别是函数ln ,01 ()ln , 1x x f x x x -<?，图象上点1P ，2P 处

精编导数及其应用高考题精选含答案

导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线y x 在点1,1 处的切线方程为（） x 2 （A）y2x1（B）y2x1（C）y2x 3（D）y 2x2 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选A.因为y 2 2，所以，在点 1,1 处的切线斜率 2) (x 2 22 ，所以，切线方程为 y1 2(x 1) ，即 y2x1 ，故选A. ky x1 (12) 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为y 1x3 81x 234，则使该生产厂 3 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11 万件 (C)9万件(D)7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C，y' x2 81,令y0得x 9或x 9（舍去），当x 9 时y' 0；

当x9时y'0，故当x 9时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=x 2,y= x 3围成的封闭图形面积为（）（A）1 (B) 1 (C) 1 (D) 7 12 4 3 12 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的

面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】先求出曲线y=x2,y=x3的交点坐标，再利用定积分求面积. 【规范解答】选A,由题意得:曲线y=x2,y=x3的交点坐标为(0,0) ，(1,1)，故所求封闭图形的面积为1（x2-x3)dx= 1 1 1 0 1- 1= 故选A. 3 4 12 4 4.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P在曲线y= x 上，为曲线在点 e 1 P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（） (A)[0, )(B)[ , )( ,3 ](D)[ 3 ,) 4 4 2 2 4 4 【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围。【规范解答】选 D. 5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4） 4 1 dx等于（）2x A、2ln2 B、2ln2 C、ln2 D、ln2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算. 【思路点拨】记住1 的原函数. x 1 4 【规范解答】选D. dx=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2. 2 x 【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.

高三数学第一轮复习导数讲义(小结)

高三数学第一轮复习导数讲义（小结）一．课前预习： 1．设函数()f x 在0x x =处有导数，且1)()2(lim 000=?-?+→?x x f x x f x ，则0()f x '=（ C ） ()A 1 ()B 0 ()C 2 ()D 2 1 2．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图（1）所示，则()y f x =的图象（ D ） 3．若曲线3y x px q =++与x 轴相切，则,p q 之间的关系满足（ A ） ()A 22()()032p q += ()B 23()()023 p q += ()C 2230p q -= ()D 2230q p -= 4．已知函数23()2 f x ax x =-的最大值不大于16，又当11[,]42x ∈时，1()8f x ≥，则a = 1 ． 5．若对任意3,()4,(1)1x R f x x f '∈==-，则()f x =42x -．四．例题分析：例1．若函数3211()(1)132 f x x ax a x = -+-+在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围．解：2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---，令()0f x '=得1x =或1x a =-， ∴当(1,4)x ∈时，()0f x '≤，当(6,)x ∈+∞时，()0f x '≥， ∴416a ≤-≤，∴57a ≤≤．例2．已知函数3()f x ax cx d =++(0)a ≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-，（1）求()f x 的单调区间和极大值；（2）证明对任意12,(1,1)x x ∈-，不等式12|()()|4f x f x -<恒成立．解：（1）由奇函数的定义，应有)()(x f x f -=-，R x ∈，即d cx ax d cx ax ---=+--33，∴ 0=d ，∴cx ax x f +=3)(，∴c ax x f +='23)(，由条件2)1(-=f 为)(x f 的极值，必有0)1(='f ，故???=+-=+0 32c a c a ，解得1=a ，3-=c ，∴x x x f 3)(3-=，)1)(1(333)(2-+=-='x x x x f ， ∴0)1()1(='=-'f f ，

高中数学-导数的几何意义及应用

高中数学导数及其应用复习学案类型一：利用导数研究函数的图像例2、若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（） (A) (B) (C) (D) 练习1．如右图：是f （x ）的导函数， )(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（）（A ）（B ）（C ）（D ） 2．设f '(x )是函数f (x )的导函数，y =f '(x )的图象如右图所示，则y =f (x )的图象最有可能的是（） B ． C ．类型二：导数几何意义的应用例3、（1）求曲线21x y x = -在点()1,1处的切线方程。（2）求抛物线y=2x 过点5,62?? ??? 的切线方程 y x y y x y x y x O 1 2 O 1 2 O 1 2 1 2 x y O 1 2 例1、设a ＜b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( ) a b a b a o x o x y o x y o x y

32151,09425217257.1..76444644y x y ax x a B C D ==+ ----练习：若存在过点（）的直线和都相切，则等于（）A.-1或-或或-或 7．曲线y ＝x 2－2x ＋a 与直线y ＝3x ＋1相切时，常数a 的值是________．类型三：利用导数研究函数的单调性例4、已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f(e)=2（e=2.71828…是自然对数的底数）. （I ）求实数b 的值；（II ）求函数f （x ）的单调区间；例5、已知函数f(x)= ax 1x 2 ++在(－2，＋∞)内单调递减，求实数a 的取值范围. 练习：若函数y =3 1x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围类型四：导数与极值 ()ln 6x f x x = 例、求函数的极值。 ()3227310,f x x ax bx a x a b =+++=-例、已知在有极值，求常数的值。练习1、已知f(x)=x 3+ax 2 +(a+6)x+1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) （A ）-1＜a ＜2 （B ）-3＜a ＜6 （C ）a ＜-1或a ＞2 （D ）a ＜-3或a ＞6 2、直线y ＝a 与函数f(x)＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则求a 的取值范围。类型五：导数与最值例8、已知函数f(x)=(x-k)e x . (1)求f(x)的单调区间；

高中数学知识点总结导数的定义及几何意义

导数的定义及几何意义 1．x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/ 叫函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0|/x x y = 。注：①函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。②在定义导数的极限式中，x ?趋近于0可正、可负、但不为0，而y ?可能为0。③x y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）及点（0x +x ?， )(00x x f ?+）的割线斜率。④导数x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在0x 点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）处的切线的斜率。⑤若极限x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。⑥如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；此时对于每一个x ∈),(b a ，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f ，称这个函数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间),(b a 内的导函数，简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。 [举例1]若2)(0/=x f ，则k x f k x f k 2)()(lim 000--→等于： (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/2 解析：∵2)(0/=x f ，即k x f k x f k ---+→-)()]([lim 000=2?k x f k x f k 2)()(lim 000--→=-1。 [举例2] 已知0,a n >为正整数设()n y x a =-，证明1'() n y n x a -=- 解析：本题可以对()n y x a =-展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明： x a x a x x y n n x ?---?+=→?)()(lim 0/ =

2016年高考导数试题及答案(精选)

1.(新课标1)已知函数有两个零点. (I)求a 的取值范围；(II)设x 1，x 2是的两个零点，证明： +x 2<2. 解：（Ⅰ） '()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+．（i ）设0a =，则()(2)x f x x e =-，()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1 ,)x ∈+∞时，'()0f x >．所以 ()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0 b <且ln 2a b <，则22 3()(2)(1)()022 a f b b a b a b b >-+-=->，故()f x 存在两个零点．（iii ）设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．若2 e a ≥-，则ln(2)1a -≤，故当 (1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以() f x 不存在两个零点．若2 e a <- ，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞．（Ⅱ）不妨设1 2x x <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1) -∞上单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<．由于 222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-，而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=，所以 222222(2)(2)x x f x x e x e --=---．设 2()( 2 ) x x g x xe x e -=---，则 2'()(1)()x x g x x e e -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <．从而22()(2)0g x f x = -<，故122x x +<． 2(新课标2)(I)讨论函数x x 2f (x) x 2 -= +e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2 x =(0)x e ax a g x x -->（）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.

导数的概念、运算及几何意义

导数的概率、运算以及几何意义１．函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=-， 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-，则当0x ?≠时，商00()()f x x f x y x x +?-?= ??称作函数()y f x =在区间[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）上的平均变化率．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-．如果当x ?趋近于0时，平均变化率 00()() f x x f x y x x +?-?= ??趋近于一个常数，那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作： “当0x ?→时，00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”，符号“→” 读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作()f x '．这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x ?→时，000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()() lim ()x f x x f x f x x ?→+?-'=?”．考点1：导数的定义【铺垫】求下列函数在区间[]22x +?，和[]33x +?，上的平均变化率 ①()f x x = ②2()f x x = 【例1】平均变化率与瞬时变化率 ⑴ 求下列函数在区间00[]x x x +?，上的平均变化率． ① ()f x x = ② 2()f x x = ③ 3()f x x = ④1 ()f x x = ⑤ ()f x ⑵ 求下列函数分别在1x =，2x =和3x =处的瞬时变化率． ① ()f x x = ② 2()f x x = ③ 3()f x x =④1 ()f x x =⑤()f x 【追问】从瞬时变化率角度分析每个函数的整体变化趋势，我们可以很明显的看出对于一次函数，二次函数，三次函数来说，次数越高，往后变化越快．【总结】由例1⑵看出一次函数的增长速度不变，二次函数三次函数的增长速度越来越快，提高班学案1 【拓1】求函数3()2f x x x =-在[]11x +?，上附近的平均变化率，在1x =处的瞬时变化率与导数．

高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数

2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年：设函数2 ()1x f x e x ax =---。（1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围 2019年：已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=．（I ）求,a b 的值；（II ）如果当0x >，且1x ≠时， ln ()1x k f x x x >+-，求k 的取值范围． 2019年：已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-．（Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若b ax x x f ++≥2 2 1)(，求b a )1(+的最大值．

2019：一卷：已知函数()f x ＝2 x ax b ++， ()g x ＝()x e cx d +，若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点P (0， 2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ， b ， c ， d 的值；（Ⅱ）若x ≥－2时， ()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围． 2019一卷：设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点（1， (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >． 2015一卷：已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ ， ()ln g x x =-．（Ⅰ）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m ， n 中的最小值，设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ，讨论()h x 零点的个数．

高三数学第一轮复习导数(1)教案文

导数（1）一、知识梳理：（阅读选修教材2-2第18页—第22页） 1、导数及有关概念：函数的平均变化率：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ?时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -?+=?，如果0→?x 时，y ?与x ?的比x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 在定义式中，设x x x ?+=0，则0x x x -=?，当x ?趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成 000000 ()()()()()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ?→→+?--'==?-. 2.导数的几何意义：导数0000()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率. 即0()k f x ='，要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点. 因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切

导数的几何意义及运算

导数的几何意义及运算复习一、导数的几何意义： )(0x f ?=x y ??=x x x x x f x f 0 000)()()(-?+-?+=x f x f x x ?-?+)()(00=K 当Δx----0时, )(0x f ? =K 趋近于一常数二、导数的求导公式及运算典型例题：例1、当h 无限趋近于0时,h h 4)4(22-+无限趋近于 ;h h 44-+无限趋近于 . 练习：若 )(0x f ?=3，当Δx 无限趋近于0时,x x f x f x x ??--?+)3()(00= . 例2.已知函数y=f(x)的图像在点（1，f(1)）处的切线方程是x-2y+1=0,则'(1)2(1)f f += 训练1：已知函数y=f(x)的图像在点（0，f(0)）处的切线方程是2x-y+2=0,则'(0)(0)f f += 2.曲线 '2(1) 1().(0)2x f x f x e f e x =-+在点（1，f(1)）处的切线方程为题型二：求切线方程例3、已知曲线y=3 4313+x , (1)、求曲线在点P （2,4）处的切线方程; (2)、求斜率为4的曲线的切线方程； (3）、求过点P （2,4）的切线方程；

练习1：已知曲线3 y x = （1）求曲线在点P （1,1）处的切线方程；（2）求与直线3x-y=0平行的直线方程；（3）求过点P(1，1)处的直线方程；练习2：已知kx+1=㏑x 有实数解,求k 的取值范围题型三：告诉切线方程求参数的值例4：函数y=12+x a 图像与直线y=x 相切,则a= . 练习：曲线y= 13++ax x 的一条切线方程为y=2x+1则实数a= 题型四：两个曲线的公切线例5.若存有过点（1,0）的直线与曲线3y x =和21594 y ax x =+-都相切，则实数a= 例6已知曲线C 1：y=x 2与C 2：y=-)2(2-x ,直线l 与C 1,C 2都相切,求直线l 的方程.

导数的概念和几何意义同步练习题(教师版)

导数的概念和几何意义同步练习题一、选择题 1．若幂函数()y f x =的图像经过点11(,)42 A ，则它在A 点处的切线方程是（） A. 4410x y ++= B. 4410x y -+= C ．20x y -= D. 20x y += 【答案】B 【解析】试题分析：设()a f x x =，把11(,)42A 代入，得1142a =，得12 a =，所以1 2()f x x ==() f x '= ，1 ()14f '=，所以所求的切线方程为11 24 y x - =-即4410x y -+=，选B.考点：幂函数、曲线的切线. 2．函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为( ) A 、 4π B 、0 C 、4 3π D 、1 【答案】A 【解析】试题分析：由)sin (cos )('x x e x f x -=，则在点()()0,0f 处的切线的斜率1)0('==f k ， 1.利用导数求切线的斜率； 2.直线斜率与倾斜角的关系 3．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（） A.2 e B.2 2e C.2 4e D.22 e 【答案】D 【解析】试题分析：∵点2 (2)e ，在曲线上，∴切线的斜率'22 2 x x x k y e e --===， ∴切线的方程为2 2 (2)y e e x -=-，即2 2 0e x y e --=，与两坐标轴的交点坐标为2 (0,)e -，(1,0)， ∴22 1122 e S e =??=.考点：1.利用导数求切线方程；2.三角形面积公式. 4．函数2 ()f x x =在点(2,(2))f 处的切线方程为( ) A ．44y x =- B ．44y x =+ C ．42y x =+ D ．4y = 【答案】A 【解析】试题分析：由x x f 2)(='得切线的斜率为4)2(='f ，又4)2(=f ，所以切线方程为)2(44-=-x y ，即44-=x y .也可以直接验证得到。考点：导数求法及几何意义 5．曲线e x y =在点A 处的切线与直线30x y -+=平行，则点A 的坐标为( ) （A ）() 11,e -- （B ）()0,1 （C ）()1,e （D ）()0,2

高三数学第一轮复习导数小结教案

高三数学第一轮复习讲义（小结一．课前预习：导数 1．设函数()f x 在0x x =处有导数，且1)()2(lim 000=?-?+→?x x f x x f x ，则0()f x '=（ C ） ()A 1 ()B 0 ()C 2 ()D 2 1 2．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图（1）所示，则()y f x =的（ ()A ()B ()C ()D 3．若曲线3y x px q =++与x 轴相切，则,p q 之间的关系满足（ A ） ()A 22()()032p q += ()B 23()()023 p q += ()C 2230p q -= ()D 2230q p -= 4．已知函数23()2f x ax x =-的最大值不大于16，又当11[,]42x ∈时，1()8 f x ≥，则a = 1 ． 5．若对任意3,()4,(1)1x R f x x f '∈==-，则()f x =42x -．四．例题分析：例1．若函数3211()(1)132f x x ax a x = -+-+在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围．解：2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---，令()0f x '=得1x =或1x a =-， ∴当(1,4)x ∈时，()0f x '≤，当(6,)x ∈+∞时，()0f x '≥， ∴416a ≤-≤，∴57a ≤≤．例2．已知函数3 ()f x ax cx d =++(0)a ≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-，（1）求()f x 的单调区间和极大值；（2）证明对任意12,(1,1)x x ∈-，不等式12|()()|4f x f x -<恒成立．解：（1）由奇函数的定义，应有)()(x f x f -=-，R x ∈，即d cx ax d cx ax ---=+--33，∴ 0=d ，∴cx ax x f +=3)(，∴c ax x f +='23)(，由条件2)1(-=f 为)(x f 的极值，必有0)1(='f ，故???=+-=+0 32c a c a ，解得1=a ，3-=c ，∴x x x f 3)(3-=，)1)(1(333)(2-+=-='x x x x f ， ∴0)1()1(='=-'f f ，当)1,(--∞∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在单调区间)1,(--∞上是增函数；（1）

导数的概念及几何意义运算

一、选择题 1．若f ′(x 0)＝2，则 f (x 0－k )－f (x 0)2k 等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D.12 答案：A 3．曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1, 则P 0点的坐标为( ) A ．(1,0) B ．(2,8) C ．(1,0)或(－1，－4) D ．(2,8)或(－1，－4) 解析：设P 0点的坐标为(x 0，y 0)，由f (x )＝x 3＋x －2得：f ′(x )＝3x 2＋1，令f ′(x 0)＝4，即3x 2 o ＋1＝4得x 0＝1或x 0＝－1，∴P 0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)．答案：C 4．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( ) A ．－15 B ．0 C.15 D ．5 解析：由已知f ′(x )是R 上以5为周期的奇函数，则f ′(5)＝f ′(0)＝0. 答案：B 5．设f (x )在x 0处可导，则 f (x 0＋t )－f (x 0－t )t 的值等于________．答案：2f ′(x 0) 6．过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．解析：设切点坐标为(x 0，y 0)，由y ＝e x 知y ′＝e x ，则y ′|x ＝x 0＝e x 0， ∴y 0x 0＝e x 0，即e x 0x 0 ＝e x 0，则x 0＝1，因此切点坐标为(1，e)．斜率为e. 答案：(1，e) e 7．曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 所围成的三角形面积为16 ，则a ＝________. 解析：由y ＝x 3知y ′＝3x 2，则y ′|x ＝a ＝3a 2.因此切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a ) 即y ＝3a 2x －2a 3，令y ＝0得：x ＝2a 3，令x ＝a 得y ＝a 3根据已知条件12|a －2a 3|·|a 3|＝16 ，解得：a ＝±1. 答案：±1 1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )

高三第一轮复习导数的概念及几何意义

高三一轮导学案学科数学编号11 编写人黄伟燕审核人文备组使用时间班级小组姓名代号评价文科数学专题复习11——导数的概念及运算【高考要求】 1．了解导数概念的实际背景。 2．通过函数图像直观理解导数的几何意义。 3．能根据导数定义求函数y=C(C 为常数)，231 , ,,y x y y x y x y x == ===， 4. 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 【学习目标】 1．能说出导数的几何意义，能记住求切线方程的方法。 2．会运用导数的定义求5种特殊函数的导数。 3．会用导数公式与四则运算法则求函数的导数。【复习重点】 1．求曲线的切线方程。 2．运用导数公式求函数的导数。【使用说明及学法指导】 1．认真阅读考试大纲和教材相关内容，自主完成知识梳理和基础自测题； 2．熟记变化率、割线斜率等基础知识，弄清切线斜率、求导公式等重要考点，理会解决求切线方程问题的思路与方法。预习案一、考点知识梳理（一）变化率问题 1、设()y f x =，1x 是数轴x 上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，2x 与1x 的差记为x ?，即x ?= 或者2x = ，x ?就表示从1x 到2x 的“增量”，相应地，函数值的“增量”记为y ?，即y ?= ；如果它们的比值 y x ??，则上式就表示为，此比值就称为平均变化率．即所谓平均变化率也就是的“增量”与的“增量”的比值．（二）导数的概念 1、函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0lim x y x →=△△△ ，我们称它为函数 ()y f x =在0x x =处的导数，记作0''0()|x x f x y =或，即：． 2、导数x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/ 是函数)(x f y =在点0x 处的，它反映函数)(x f y =在点0x 处变化的“快慢”程度． 3、利用定义求导数0()f x '，步骤为： S1：求函数的增量y ?= ；

8导数的计算及其几何意义 - 难 -讲义

导数的计算及其几何意义知识讲解一、导数的概念及其几何意义 1.函数的平均变化率：定义：已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=- 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-，则当0x ?≠时，商 00()()f x x f x y x x +?-?=??称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率．注意：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0． 2.函数的瞬时变化率、函数的导数：定义：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-．如果当x ?趋近于0时，平均变化 00()()f x x f x y x x +?-?=??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0 x ?→时， 00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '．这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ?→时， 000()() ()f x x f x f x x +?-'→?” 或 “0000 ()() lim ()x f x x f x f x x ? →+?-'=?”．注：0'()f x 是个数．

2015年高三第一轮复习.导数的几何意义

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