例析数形结合思想在一次函数中的应用

例析数形结合思想在一次函数中的应用

宁波市曙光中学陈怡颖

数与形，是两个最古老，最基本的研究对象，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。在数学中我们把数与形结合起来研究数学问题的方法叫做数形结合。数形结合，就是把问题的数量关系转化为图形的性质，把图形性质转化为数量关系，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。它主要有两个方面：以“数”解“形”，以“形”助“数”。

一次函数是初中数学的一个重点，数形结合思想在一次函数中的应用也是中考命题的一个热点。本文结合教学实践，谈谈数形结合思想在一次函数解题中的几个应用。

一、以“数”解“形”——把复杂的过程简单化

函数图象形象地展示了函数的性质，为我们研究数量关系提供了“形”的基础，因此在这类一次函数的问题中，我们应抓住特殊的点，及其所表示的实际意义，从而把复杂的过程简单化，把几何的问题代数化。

例1，如图所示，在x轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5．分别过这些点作x轴的垂线与三条直线y=ax，y=（a+1）x，y=（a+2）x相交，其中a＞0．则图中阴影部分的面积是（）

A.12.5

B.25

C.12.5a

D.25a

分析：此题初看比较复杂，从几何的角度解题，首先想

到的是平移，但图中阴影部分的梯形和空白部分的梯形是不全

等的，无法通过平移转移到同一个三角形中；如果把图中8

条直线15个交点坐标都求出来，计算量太大，不可行。但仔

细分析可以发现，这些梯形的顶点都在一次函数图象上，因此

它们满足函数解析式，而这三个一次函数解析式又是有联系

的，以最右边的阴影部分梯形为例，虽然它与下面的空白部分

梯形并不全等，但它们的上底都是4，下底都是5，可由当自变量分别为4和5所对应的函数值确定，梯形的高为1，因此它们的面积是相等的。其余阴影部分的面积亦同理可得。因此这里阴影部分的面积就是，直线y=ax，y=（a+1）x，x=5所围成的三角形面积。

?

+

-

=

÷

（，故选A。

S）

a

?

∴a

5

2

12

5.

÷

5

5=

2

5

1

解此题的关键在于，把不规则的图形转化为规则的图形，光从“形”的角度无法从平移实现，那么就要借助“数”，通过一次函数图象上的点满足解析式，以及点的横纵坐标所表示的实际意义解出梯形的底和高。

例2，如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（-2，-1），B（1，3）两点，并且交x 轴于点C，交y轴于点D．

（1）求一次函数解析式；

（2）求线段CD的长；

（3）求∠AOB的度数。

分析：（1）是基础题，根据两点确定一条直线，

用待定系数法把A，B两点代入即可得函数解析式。（2）

要求CD的长，可根据C，D两点的坐标所表示的几何

意义得到线段OD，OC的长度，通过解直角三角形来解

决。在（3）中，△AOB是个钝角三角形，直接求∠AOB

的度数比较复杂，可以转化为求它的补角。且题中各点的坐标已知，可以用坐标的几何意义

求线段的长度，由勾股定理的逆定理将边的条件转化为角的条件。

解：（1）把A （-2，-1），B （1，3）代入y=kx+b ，得

???

????==???=+-=+-3534,312b k b k b k 解得 3

534+=∴x y （2）令x=0,y=35,)3

5,0(D ∴ 令y=0,x=4

5-,)0,45(-∴C 由勾股定理可得，CD=12

2522=+OD OC （3）取点A 关于原点的对称点E （2,1），则点A ，O ，E 在同一直线上，

由勾股定理可得，OE=5，BE=5，OB=10

222BE OE OB +=

∴△EOB 是等腰直角三角形

∴∠BOE=45°，∠AOB=135°。

此题难度在于第（3）小题，当面对这样一个不规则的三角形的时候，求角度，“形”的角度显得一筹莫展，此时如果能用好平面直角坐标系这个大环境，熟知点的横纵坐标所表示的几何意义，用“数”的途径求得边长，再通过勾股定理这座桥梁，求出角的度数。

总结：在一次函数中，沟通“数”与“形”的就是图象，根据图象上的点坐标满足解析式，找到横纵坐标之间的联系，过点向坐标轴作垂线，坐标又能应用于构造直角三角形，易求线段的长度，图形的面积等几何量，从而将不规则的图形、难求的数量关系转化成规则的、易求的，将复杂的过程简单化。

二、 以“形”助“数”——把抽象的问题具体化

很多问题，仅从代数角度考虑，很难入手，如果借助图象的直观性将抽象的数学概念、复杂的数量关系具体化，形象化，给人以直观的感受，那么很多难题都将迎刃而解。在数学学习过程中，通过以“形”助“数”，突出图的形象思维，促进形象思维和抽象思维的有机结合，往往会收到事半功倍的效果。

例3，如图，直线l 1﹕y=x+1与直线l 2﹕y=mx+n 相交于点P （a ，2），则关于x 的不等式x+1≥mx+n 的解为_______

分析：由两直线相交于点P ，可得，a=1，但直线l 2﹕y=mx+n

上已知的点只有一个，无法确定其解析式，因此无法从解不等式

的方向解此题。我们需要充分利用一次函数图象的性质，观察不

等式，可以发现，不等式的左边，x+1，恰好是直线l 1的函数值，

即直线l 1上点的纵坐标；不等式的右边，mx+n ，是直线l 2的函

数值，即直线l 2上点的纵坐标；因此，原不等式的解，就是去寻

找能使l 1的纵坐标大于等于l 2的纵坐标的点所对应的横坐标。

E

2

4由图象易知，当x ≥1时满足，即不等式的解为x ≥1。

本题中，运用一次函数的图象和性质，把数和形巧妙的结合起来，把“数”的问题求解不等式转化为“形”的问题寻找纵坐标符合题意的点，大大减少了计算量，提高解题速度和解题准确率。

在一次函数的学习中，这种根据函数图象的性质和图象中的特殊的点来解决代数问题应用非常广泛，比如两直线的交点坐标和二元一次方程之间的关系；一元一次不等式和函数图象的关系。总之，在求解代数问题的过程中，用“形”的眼光看问题，能带给我们不一般的收获。

例4，已知x ，y 为正实数，且满足一次函数y=4-x 的关系，求4122+++y x 的最

小值。

分析：本题是一个含有根式的代数式求最值问题，问题非常抽象，从代数的角度无从下手，但是观察代数式的形式，我们不难发现12+x 可以看成一个直角边长为x ，1的直角三角形的斜边，42+y 可看成是直角边长为y ，4的直角三角形的斜边，这样我们可以想办法构造两个直角三角形，并且x,y 之间满足x+y=4的关系。

作法：（1）如图，作长为4的线段AB ，过A ，B 两点在AB 的同侧作垂线AC ，BD ，使AC=1，BD=2；

（2）设P 为AB 上的一个动点，PA=x ，PB=y ，则有x+y=4。连结PC ，PD ，则PC=12+x ， PD=42+y 我们惊喜地发现，这个无从下手的代数问题就转化成了，在线段AB 上找一点P ，使得PC+PD 最短这样一个几

何问题了，这类问题我们非常熟悉，——用对称点求最短路程。

（3）作点C 关于直线AB 的对称点C 1，连结DC 1

交AB 于点P ，则点P 即为所求。 根据两点之间，线段最短。线段C 1D 的长度即为所求4122+++y x 的最小值。构造R t △DMC 1，DM=2+1=3，MC 1=4，则DC 1=5，即4122+++y x 的最小值为5.

解本题的关键在于，观察代数式4122+++y x 的特点，在中学数学中，勾股定理

涉及到了这样的关系，通过构造直角三角形实现“以形助数”，另一方面，x 和y 是两个变量，所以在图形的构造中，用一个动点实现两条线段长度的变化。这样，从几何的角度来看待最小值问题，即最短路程问题，就大大降低了难度，体现了几何的直观性。

总结：“以形助数”就是把代数问题通过观察和证明转化为几何问题，用几何的方法加以解决，几何法使原本抽象的过程具体化，形象化，还可减少计算量。在这一过程中，如何转化是问题的关键，这就需要一双“慧眼”观察代数问题中的形式、特点，结合已有的性质、定理，化繁为简。这是一个长期的，贯穿于整个数学学习过程中的，积累的过程，要做到“脑2

P P 中有形，心中有数”。

三、 “数”“形”结合——把实际的问题模型化

函数的魅力在于，它可以把现实生活中比较复杂的、变化的问题通过函数模型加以解决。从数的角度，函数就像一部机器，对于每一个不同的情况所对应的自变量，通过函数的“加工”就能找到对应的函数值。从形的角度，函数图象可以直观的确定一元一次不等式的解、二元一次方程组的解。因此，在遇到情境复杂的实际问题时，需要把数和形结合起来，建立函数模型加以解决。

例5，某家电信公司提供了两种方案的移动通讯服务的收费标准，如下表：

分析：本题是较优方案选择问题，在初中数学中比较常见，这类问题通常可以通过函数的模型加以解决。通话的费用与通话的时间有关，因此先建立通话费用y 关于通话时间x 的函数关系。接下来有两种解法，从“数”的角度，化归为解一元一次不等式或方程来求解；从“形”的角度，画出各个函数的图象，求出交点坐标，分析每一段图象的位置来比较方案的优劣。

解：设每月通话时间为x 分，A 方案通话费用为y 1，B 方案通话费用为y 2，则

???>-=-+≤≤=)

120(184.0)120(4.030)1200(301x x x x y ?

??>-≤≤=)200(304.0)2000(502x x x y 在同一坐标系中画出函数图象，如图

观察图象可得，

当1700<≤x 时，21y y <，此时应选择A 方案 。

当x=170时，21y y =，两种方案都一样。

当x>170时，21y y >，此时应选择B 方案。 例6，在一天中，时针、分针能重合几次，分别在什么时间？

分析：此题是现实生活中非常熟悉的问题，由于时针和分针同时在转动，学生在解题的中难以想象这一过程，如果将这一过程用一次函数模型来刻画，以钟面圆心到12点这条线段为基准，建立时针、分针这两个变量与基准线所夹角之间的函数关系，然后用函数图象加以解决，就能达到化繁为简的效果。 解：以0—12时为例，从0时开始，为了研究方便，

将分针与分针起始位置OP （如图）的夹角记为y 1，时

针与OP 的夹角记为y 2度（夹角是指不大于平角的角），

旋转时间记为x 分钟，绘制函数图象。

在时针和分针与OP的交角y随时间x变化的函数图象中，我们可以很容易得到结论，两函数图象的交点C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M为所求的时针与分针重合的情况，另外的交点则是时针与分针关于直线OP对称，即所夹角度相等但在OP的两侧，不合题意。因此，在0—12时内，时针与分针有11次重合，那么一天中共有22次。更进一步的，在什么时间时针与分针重合，这个问题可以转化为求这些交点的横坐标，由图象可得y1，y2关于X的函数解析式，交点坐标可通过联立方程组得到。

解得交点的近似坐标：C（0，0）D（65.38，,35.28）E（130.85,65.11）F （196.32,97.93）M（261.79,130.76）G（327.26,163.59）H（392.73,163.59）I （458.18,130.76）J（523.61,97.93）K（589.09,65.11）L（654.55,35.28）总结：在实际的应用问题当中，情境比较复杂，变化的量多，让人理不清头绪，这个时候，找出题目要研究的变量对象，在多个变量之间寻找一个有关联的自变量，建立函数模型，再进一步从“数”的角度——函数解析式、“形”的角度——函数图象和性质进行探究，往往给人以柳暗花明又一村的惊喜。

总之，数形结合就是把数的严谨与形的直观有机地结合起来，发挥图形的辅助作用，完成抽象概念与形象图形的互相转化，化难为易，化抽象为具体。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休。”在教学中用好数形结合的思想，能提高课堂质量，提高学生学习数学的能力，因此，数形结合思想的渗透是一个长期的过程，应贯穿在整个数

学学习过程中。

数形结合的思想

数形结合的思想 中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意

义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

数形结合思想方法

八、数形结合思想方法 中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合一是一个数学思想方法，应用主要是借助形的直观性来阐明数之间的联系，其次是借助于数的精确性来阐明形的某些属性。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化。 Ⅰ、再现性题组： 1. 设命题甲：0b>1 D. b>a>1 3. 如果|x|≤π4 ,那么函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最小值是_____。 (89年全国文) A. 212- B. －212+ C. －1 D. 122 - 4. 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国) A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5 C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5 5. 设全集I ＝{(x,y)|x,y ∈R}，集合M ＝{(x,y)| y x --32 ＝1}，N ＝{(x,y)|y ≠x ＋1}，那么M N ∪等于_____。 (90年全国) A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y ＝x ＋1 6. 如果θ是第二象限的角，且满足cos θ2－sin θ2＝1-sin θ,那么θ2 是_____。 A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角 7. 已知集合E ＝{θ|cos θ-+-=-???x x x m x 即：30212->-=-???x x m () 设曲线y 1＝(x －2)2 , x ∈(0,3)和直线y 2＝1－m ，图像如图所示。由图 可知：① 当1－m ＝0时，有唯一解，m ＝1; ②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3

数形结合思想在小学数学教学中的渗透与应用

数形结合思想在小学数学教学中的渗透与应用 数形结合思想是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化,将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想方法。数形结合思想是数学中最重要、最基本的思想方法之一,是解决许多数学问题的有效思想。利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。以形助数、以数辅形,可以使许多数学问题变得简易化。 小学数学中虽然不像初中数学那样,将数形结合的思想系统化, 但作为学习数学的启蒙和基础阶段，数形结合的思想已经渐渐渗透其中，为更好的学习数与代数、空间与图形两方面的知识服务，同时也在培养抽象思维，解决实际问题方面起了较大的作用。 数形的结合是双向的，一方面，抽象的数学概念、复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化；另一方面，复杂的形体可以用简单的数量关系表示。 如我在教学“求一个数的几倍是多少”时，学生最难理解的是“倍”的概念，如何把“倍”的数学概念深入浅出地教授给学生，使他们能对“倍”有自己的理解，并内化成自己的东西？我认为用图形演示的方法是最简单又最有效的方法。于是我就利用书上的主题图。在第一行排出用4根小棒围出的一个正方形，再在第二行排出同样的两个正方形，第三行摆出同样的四个正方形。结合演示，让学生观察比较第一行和第二行小棒的数量特征，通过教师启发，学生小组合作讨论和交流，使学生清晰地认识到：第一行与第二行比较，第一行是1个4根，第二行是2个4根；把一个4根当作一份，则第一行小棒是1份，而第二行就有两份。用数学语言：把4根小棒当作1倍，第二行小棒的根数就是第一行小棒的2倍。这样，从演示图形中让学生看到从“个数”到“份数”，再引出倍数，很快就触及了概念的本质。接着我请学生说出第三行小棒根数与第一行的关系，学生能准确的从三个4根说出了第三行是第一行的3倍。 再如六年级有这样一题：一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就这样每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶？ 此题若把五次所喝的牛奶加起来，即1／2＋1／4＋1／8＋1／16＋1／32就为所求，但这不是最好的解题策略。我们先画一个正方形，并假设它的面积为单位“1”，由图可知，1－1／32就为所求，这里不但向学生渗透了数形结合思 5分米，或宽增加12分米，面积都增加60平方分米，原来长方形的面积是多少平方分米？”的教学中，我引导学生根据题意画出面积图：

浅谈数形结合思想在小学数学教学中的渗透

浅谈数形结合思想在小学数学教学中的渗透 摘要:“数”与“形”之间密不可分,它们相互转化,相辅相成。在教学中渗透数形结合的思想,可把抽象的数学概念直观化,帮助学生形成概念;可使计算中的算式形象化,帮助学生在理解算理的基础上把握算法；可将复杂问题简朴化,在解决问题的过程中，提高学生的思维能力和数学素养。适时的渗透数形结合的思想，可达到事半功倍的效果。 关键词：数形结合；小学数学;数学思想 美国教育心理家布鲁纳也指出：掌握基本的数学思想方法,能使数学更易于理解和更利于记忆,领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。数学思想方法是解决数学问题所采用的方法。它是数学概念的建立、数学规律的归纳、数学知识的掌握和数学问题解决的基础。在人的数学研究中,最有用的不仅仅是数学知识，更重要的是数学思想方法。小学数学中常用的数学思想方法中“数形结合”思想尤为重要。那么在小学数学教学中如何去挖掘并适时地加以渗透呢？以下根据自身的数学教学实践谈谈自己的粗浅见解。 数、形是数学中两大基本概念之一，可以说全部数学大体上都是围绕这两个基本概念的提炼、演变、发展而展开的。“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”,在探讨“形”的性质时,又往往离不开“数”。“数形结合“的思维方法，便是理论与实际的有机联系，是思维的起点，是儿童建构数学模型的基本方法。 本文先解读“数形结合”思想,浅谈其历史性及重要意义,后结合实践重点探讨“数形结合”在小学数学教学中的实际应用和实施途径。 一.了解小学数学教材中蕴涵的主要数学思想方法 数学思想:符号思想，集合思想,对应思想，化归思想。 数学方法: （1)思维方法:分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎 (2) 一般方法：观察、实验、比较、分类、联想、类比、化归、猜想 （３)数学特点较强的方法：函数法、数学模型法、数形结合法、统计法、变换法、分析法、综合法 (4)数学技能：换元法、代入法、系数比较法、合并同类项法、因式分解法、判别式法、配方法、加减消元法、代入消元法、待定系数法、恒等变形法、公式法、构造法、通分母、去括号 在小学数学教学中渗透的数学思想和方法,是以数学方法为主,一般称为数学思想方法，包括思维方法与数学技能。、 二、“数形结合”，由来已久?早在数学被抽象、分离为一门学科之前,人们在生活中度量长度、面积和体积时,就已经把数和形结合起来了。在宋元时期，我国古代数学家系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特

一次函数的数形结合思想

一次函数中的数型结合思想 学习目标:1、巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关几何问题． 2、有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决几何问题的能力． 3.认识数学在现实生活中的意义,发展运用数学知识解决几何问题的能力． 重 点：一次函数的模型建立及应用 难 点：如何选择合适的模型并应用 一、 自主学习：1.如图,直线AB 与y 轴,x 轴交点分别为A(0,2) B(4,0) 问题1:求直线AB 的解析式及△AOB 的面积. 问题2: 当x 满足什么条件时,y ＞0,y ＝0,y ＜0,0＜y ＜4 二、课堂探究：问题3:在x 轴上是否存在一点P,使 若存在,请求出P 点坐标,若不存在,请说明理由. 问题4:求直线AB 上是否存在一点E,使点E 到x 轴的距离等于1.5,若存在求出点E 的坐标,若不存在,请说明理由. 问题5:求直线AB 上是否存在一点F,使点F 到y 轴的距离等0.6,若存在求出点F 的坐标,若不存在,请说明理由. 问题6：在AB 上是否存在一点G,使 A O B B O G S S ΛΛ=21 若存在,请求出G 点坐标,若不存在, 请说明理由. 3=ΛPAB S

问题7: 在AB 上是否存在一点H,使 A O B A O H S S ΛΛ=41 若存在,请求出H 点坐标,若不存在,请说 明理由. 三．课后巩固练习：直线: 232-=x y 分别交x 轴,y 轴于A,B 两点,O 为原点. (1)求△AOB 的面积; (2)过AOB 的顶点,能不能画出直线把△AOB 分成面积相等的两部分?写出这样的直线所对应 的函数解析式

数形结合思想的含义 数与形是数学中两个最古老

数形结合思想的含义数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法。 正恩格斯曾经说过:"数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学。"在数学领域中包含着两大研究对象,即"数"与"形",这两大研究对象既是对立的又是统一的,它们是数学发展的内在因素。纵观数学知识的发展长河中,数形结合始终是发展的一条主线,并且数与形相结合能够让学生在实际应用中对知识的运用更加广泛和深入。在初中数学教学中教师要特别重视将数形结合的思想渗透到教学环节中,以此来让学生感受到数形结合的伟大力量,促进学生生成数形结合的思想,让学生在以后的数学学习中受益 1.数形结合思想的涵义 “数”早期是古代的计数，现在表示数量的概念；“形”早期是古代的形状，现在表示空 间的概念。家欧几里得用自己毕生精力完成《几何原本》这一千古流芳的巨著，这是体现数形转化的文字资料。柏拉图说过，只有数学存在的实体才具备永恒的可理解性，任何科学都只有建立在几何学带来的概念和模式上，才可以解释现象表面背后的结构和关系。教育家波利亚也曾说：“画一个图，并用符号表示”。 数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质等等。 2.数形结合思想的发展

数形结合在函数中的应用汇总

数形结合在函数中的应用 四川省乐至中学唐贤国 教学目标：1、知识目标 1）理解数形结合的本质：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图象的性质． 2）了解数形结合在解决函数问题中的作用，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决． 2、能力目标 1）掌握用初等函数的图象来处理函数问题，培养用函数图象解决问题的意识．掌握运用图象将代数问题转化为几何问题的 技巧． 2）通过运用数形结合解题，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数形结合转化问题的思想方法． 3、情感目标 通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的能力．培养学生主动探索、勇于发现的科学精神， 培养学生的创新意识和创新精神．渗透理论联系实际、从特殊到 一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想． 教学重点：利用基本初等函数的图象将函数问题转化为几何问题．（以形助数） 教学难点：利用图象转化函数问题，在代数与几何的结合上去找出解题思路．教学方法：启发式教学． 教学过程 一、新课引入

1）提问：上述四个函数图象分别对应于四个函数y = x 2 , y = 2x , y=0.5x , y= log 2 x 中的哪一个? 2）说明上述四种函数及图象代表了几类基本函数的基本图象． 3）强调：作出简图时要注意到函数的性质在其图象上的体现，比如特殊的点、 线（对称轴、渐进线）。 2．几种常见的图象变换（提问） 平移变换、伸缩变换、对称变换． 3．说明函数图象的作用：它直观地体现了函数的变化状况和函数的各种性 质（奇偶性、单调性和周期性等）．许多函数问题大多可以从函数的图象中得到直观地解释或形象地提示解决问题的方法． 二、 基础训练题组 1．函数 31)1(+=x y 的反函数的图象不经过第______象限． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 分析：正确作出函数的图象是本题的关键所在．由于它是复合函数， 其图象需要由基本函数的图象作适当的变换得到．（提问学生：如何作出图象？本题有2种变换方法，可启发学生思考．） 方法二：先求出反函数，再作其图象．31)1(+=x y 的反函数为13-=x y 。

数形结合思想

数形结合思想 1. 数形结合思想的概念。 数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学，数和形之间是既对立又统一的关系，在一定的条件下可以相互转化。这里的数是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等，这里的形是指几何图形和函数图象。在数学的发展史上，直角坐标系的出现给几何的研究带来了新的工具，直角坐标系与几何图形相结合，也就是把几何图形放在坐标平面上，使得几何图形上的每个点都可以用直角坐标系里的坐标(有序实数对)来表示，这样可以用代数的量化的运算的方法来研究图形的性质，堪称数形结合的完美体现。数形结合思想的核心应是代数与几何的对立统一和完美结合，就是要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题是最佳的、什么时候运用几何方法解决代数问题是最佳的。如解决不等式和函数问题有时用图象解决非常简捷，几何证明问题在初中是难点，到高中运用解析几何的代数方法有时就比较简便。 2. 数形结合思想的重要意义。 数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化，使得原本需要通过抽象思维解决的问题，有时借助形象思维就能够解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。众所周知，小学生的逻辑思维能力还比较弱，在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题；教材的编排和课堂教学都在千方百计地使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助数形结合思想中的图形直观手段，可以提供非常好的教学方法和解决方案。如从数的认识、计算到比较复杂的实际问题，经常要借助图形来理解和分析，也就是说，在小学数学中，数离不开形。另外，几何知识的学习，很多时候只凭直接观察看不出什么规律和特点，这时就需要用数来表示，如一个角是不是直角、两条边是否相等、周长和面积是多少等。换句话说，就是形也离不开数。因此，数形结合思想在小学数学中的意义尤为重大。 3. 数形结合思想的具体应用。 数形结合思想在数学中的应用大致可分为两种情形：一是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性，可称之为“以数解形”；二是借助形

(完整版)一次函数的解题技巧

一次函数的解题技巧 一次函数是初中数学最重要的内容之一，它的知识结构体系非常丰富，在具体的解题过程中会运用到许多重要的思想方法：如数形结合思想，函数思想，转化和化归的思想，综合运用思想等，掌握一次函数的解题技巧，可以提高同学们的学习效率，下面举例说明： 一：数形结合思想 例1 如图，直线y=ax+b经过点A（-1，-2）和B（-2，0），直线y=2x过点A，则不等式0 2≤ +

二：函数思想 通过学习函数使我们逐步用函数的观点，方法去思考问题，将已知条件或所给数量关系进行转化，借助函数的图像或性质去解决问题。 例2 育才中学需要添置某种教学仪器．方案1：到商家购买，每件需要8元；方案2：?学校自己制作，每件4元，另外需要制作工具的租用费120元．设需要仪器x件，方案1与方案2的费用分别为y1，y2（元）． （1）分别写出y1，y2的函数表达式； （2）当购置仪器多少件时，两种方案的费用相同？ （3）若学校需要仪器50件，问采用哪种方案便宜？请说明理由． 解：（1）y1=8x，y2=4x+120． （2）y1=y2，则x=30． （3）当x=50时，y1=400，y2=320， ∴y2

数学中数形结合思想、分类讨论的思想、函数与方程的思想

初中数学中蕴含的数学思想方法很多，最基本最主要的有：数形结合的思想方法，分类讨论的思想方法，函数与方程的思想方法等。 1. 数形结合的思想和方法 数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题： （1）、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。 （2）、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。 （3）、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。 （4）、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。 （5）、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。 （6）、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。（7）、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。（8）、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。 数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。著名数学家华罗庚先生说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。 ①由数思形，数形结合，用形解决数的问题。 例如在《有理数及其运算》这一章教学中利用“数轴”这一图形，巩固“具有相反意义的量”的概念，了解相反数，绝对值的概念，掌握有理数大小的道理，理解有理数加法、乘法的意义，掌握运算法则等。实际上，对学生来说，也只有通过数形结合，才能较好地完成本章的学习任务。另外，《一元一次方程》中列方程解应用题中画示意图，常常会给解决问题带来思路。第九章《生活中的数据》“统计图的选择”及“复习形统计图”，利用图形来展示数据，很直观明了。 ②由形思数，数形结合，用形解决数的问题。例如第四章的《平面图形及其位置关系》中，用数量表示线段的长度，用数量表示角的度数，利用数量的比较来进行线段的比较、角的比较等。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何

浅谈数形结合思想的应用

浅谈数形结合思想的应用 ——蒋海朋摘要：数学是在客观上研究数量关系和空间形式的一门科学，用通俗易懂的话来概括就是数学是研究“数”和“形”的一门科学。数相对于形来说更为抽象，形相对于数来说较为直观，在研究学习中，数与形是相辅相成、息息相关的。对于这个问题，本人在结合自己学习的总结以及前人所提供的经验，并且查阅相关资料，对于这个话题做一个简单的分析。文中的例子都是本人在学习中总结的历年高考、中考的试题以及模拟题，有很强的代表性。 关键词：数形结合数学思想应用 1 引言 1.1问题提出的背景 纵观数学发展的历史进程，数学家们早已把“数”和“形”联系在一起。早在公元300年之前，欧几里得的著作《几何原本》，他从几何的角度出发去研究和处理等价的代数问题；笛卡尔利用坐标为根基，通过代数为途径来研究几何问题，进而创立了解析几何学；化圆为方、三等分角、立方倍积这些几何难题都通过代数的方法得以完美解决。 数学往往被分为两大类：代数、几何。虽然他们被分为两类，但他们绝不是相互独立的，反而是密切相关的。很多代数上的问题计算量很大，看似非常复杂，甚至无从下手，但是利用了图形之后就会发现问题迎刃而解，直观的图形很容易反映图形的性质；很多几何问题因为辅助线相对复杂想不到，导致无法进一步研究，但是往往我们利用坐标系能够把几何问题转化成代数问题，同样也做到了化 繁为简。这就是数学上常用的数形结合思想。 1.2问题研究的意义 伟大的数学家华罗庚就曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休。”这两句诗充分直观得反映了“数”与“形”这两者密不可分的联系。应用数形结合思想来思考问题就是要求我们结合代数的准确论证和图形的直观描述来发现问题的解决途径的一种思想方法。由此可见，数形结合思想对于数学解题方面的应用来说是十分重要的，但老师往往仅仅把它当做一种思想一谈而过，照着课本讲课，没有引导学生进一步思考，导致很多学生都不能具体有序地应用这种思想。 2 数形结合思想的重要地位 2.1使用数形结合思想的意义 数形结合思想无疑是连接“数”和“形”的桥梁，几何的直观形象和数量关系的严谨他们各有优点，在应用过程中有目的有计划地将“数”与“形”结合在一起，根据题目的已知条件，整合“数”和“形”的相关信息，巧妙结合，从而建起它们中间的桥梁，兼取两者之优，能让我们的解题更为轻松。

浅谈小学数形结合思想

浅谈小学数形结合思想方法 摘要：数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法，在小学数学教学与解决问题中广泛应用，本文介绍相关概念并结合人教版小学数学教材，初步整理了数形结合思想方法在各教学领域的渗透与应用，提出培养数形结合思想方法的策略。 关键词：小学数学；数形结合 1.数形结合思想方法的概念 数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和互相转化来解决问题的思想方法。1数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法，在小学数学教学与解决问题中广泛应用，包含“以形助数”和“以数解形”两个方面：前者借助形的直观性来阐明抽象的数之间的关系；后者是利用数的精确性、规范性与严密性来阐明形的某些属性。数形结合思想方法使数与形两种信息互相转换并且优势互补，从而能够将复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。2 2.数形结合思想在各个学习领域的渗透与应用 小学数学分为“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”这四个学习领域，数形结合思想在这四个领域中都得到了广泛的应用。我通过对教材的分析，初步整理了数形结合思想方法在各教学领域的渗透与应用。 2.1数形结合思想方法在“数与代数”知识领域中的渗透与应用 数是十分抽象的，教材在编排上充分利用了数形结合，帮助孩子理解数的含义。如，一年级上册1~5的认识这一课时： 教材的内容与目标体现以下两方面：（1）体会“形”的直观性。借助各种实物图作为直观工具，帮助学生理解数字的含义。（2）了解可以用数来描述几何图形。通过让学生用相应数量的小棒摆一摆图形的过程，引导学生数一数，增强用数的量化来描述形，让学生初步感受数中有形、形中有数的思想。 除此之外，在加减法的计算学习中，利用画图来直观呈现各种信息，帮助学生分析数量关系；在乘法口诀的学习中，利用各种图形（点子图、数轴、表格）帮助学生理解乘法的意义和口诀的推导；在分数的学习中，为了让学生能够理解分数的含义，教材运用了大量的图形作为直观手段；在小数的学习中，利用尺子、线段、正方形等直观手段帮助学生理解小数的意义与性质；在方程的学习中，利用天平图作为直观手段，理解等式的性质，利用画线段图帮助学生理解数量关系……可以说，数形结合思想在“数与代数”的学习中无处不在，应用十分广泛。 2.2数形结合思想方法在“图形与几何”知识领域中的渗透与应用 1王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海:华东师范大学出版社,2014:65. 2毕保洪,贺家兰.数形结合思想的应用[J].中学教与学,2017,1:15-16.

中考一次函数与不等式数形结合专题讲义(附答案)

中考一次函数与不等式数形结合专题 一次函数与正比列函数的的概念： 1. 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 2. 如果y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），那么y叫做x的一次函数。当b=0而k≠0时，它是正比例函数，由此可知正比例函数是一次函数的特殊情况．当k=0而b≠0时，它不是一次函数． 一次函数的图像与性质： 1.一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线，通常也称直线y=kx+b，由于两点确定一条 直线，故画一次函数的图像时，只要先描出两点，再连成直线就可以了，为了方便，通常 取图像与坐标轴的两个交点（0，b），（－b k ，0）就行了． 2.一次函数y=kx+b沿着y轴向上（“＋”）、下（“－”）平移m（m>0）?个单位得到一次 函数y=kx+b±m；一次函数y=kx+b沿着x轴向左（“＋”）、?右（“－”）平移n（n>0）个单位得到一次函数y=k（x±n）+b；一次函数沿着y轴平移与沿着x轴平移往往是同 步进行的．只不过是一种情况，两种表示罢了；直线y=kx+b与x轴交点为（－b k ，0）， 与y轴交点为（0，b），且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为S△=1 2 ·│－ b k │·│ b│． 例1 一次函数y=kx+3?的图像与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k 的值为________．答案：k=±? 例2.已知直线L1经过点A（－1，0）与点B（2，3），另一条直线L2经过点B，且与x轴相交于点P（m，0）． （1）求直线L1的解析式； （2）若△APB的面积为3，求m的值． 答案：（1）y=x+1；（2）m=1或m=﹣3 例3.如图，直线y=kx+b经过A(-3,0)和B（2，m 式组2x+m-4﹤kx+b≤0的解集为__________

数形结合思想在求参数范围中的应用

数形结合思想在求参数范围中的应用 [典例] 已知函数y ＝|x 2 －1|x －1 的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________． [解析] 因为函数y ＝|x 2－1|x －1＝????? x ＋1，x ≤－1或x >1，－x －1，－1

浅谈数形结合思想在小学数学中的应用

浅谈数形结合思想在小学数学中的应用 摘要 数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题, 利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。以形助数、以数辅形, 可以使抽象问题具体化,可以使复杂问题简单化。 关键词 数形结合、思想、应用 一、小学生都是从直观、形象的图形开始入门学习数学 从人类发展的历史来看，具体形象的事物是出现在抽象的符号、文字之前的，人类一开始用小石子，贝壳记下所发生的事情，慢慢的发展成为用形象的符号记事，后来出现了数字。这个过程和小学生学习数学过程有着很大的相似之处。低年级的小学生学习数学，也是从具体的物体开始识数，很多知识都是从具体形象逐步向抽象逻辑思维过渡，但这时的逻辑思维是初步的，且在很大程度上仍具有具体形象性。这方面的例子有有很多，如低年级开始学习识数、学习找规律、学习乘除法，到中年级的分数的初步认识、高年级的认识负数等都是以具体的事物或图形为依据，学生根据已有的生活经验，在具体的表象中抽象出来。 此外，他们往往能在图形的操作或观察中学会收集与选择重要的信息内容；发现图形与数学知识之间的联系，并乐于用图形来表达数学关系。现在的小学课本中很多习题，已知条件不是用文字的形式给出，而是蕴藏在图形中，既是学生喜欢接受的形象，也培养了他们的观察能力和逻辑思维能力。 要让学生真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果教师只讲解几个典型习题并且学生会解题了，就认为学生领会了数形结合这一思想方法，这是一种片面的观点。平时要求学生认真上好每一堂课，学好新教材的系统知识，掌握各种图像特点，理解和把握各种几何图形的性质。教师讲题时，要引导学生根据问题的具体实际情况，多角度多方面的观察和理解问题，揭示问题的本质联系，利用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观了解“数”的计算，从而来解决问题。教学中要紧紧抓住数形转化的策略，通过多渠道来协调知识间的联系，激发学生学习兴趣，并及时总结数形结合在解题中运用的规律性，来训练学生的逻辑思维能力，并提高学生的理解能力和运用水平。 二、利用图形的直观，帮助学生理解数量之间的关系，提高学习效率 用数形结合策略表示题中量与量之间的关系，可以达到化繁为简、化难为易的目的。 “数形结合”可以借助简单的图形（如统计图）、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显其最本质的特征。它是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。 例如：1、小学高年级中所学的，运用分数乘法、除法解决问题。引用人教版小学六年级上册数学书，第二章分数乘法，第二节解决问题，第20页，第二题。

高一数学专题1-数形结合思想含答案

数形结合思想 一．作图、识图、用图技巧 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换． 描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行． (2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系． (3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究． (4)利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换： y ＝f (x )――→h >0，右移|h |个单位 h <0，左移|h |个单位 y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k >0，上移|k |个单位k <0，下移|k |个单位 y ＝f (x )＋k . ②伸缩变换： y ＝f (x )错误!y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――→01，纵坐标伸长到原来的A 倍y ＝Af (x )． ③对称变换： y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )， y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )， y ＝f (x )――→关于直线x ＝a 对称y ＝f (2a －x )， y ＝f (x )――→关于原点对称 y ＝－f (－x )． f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )． 二、通法归纳与感悟 1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化

(1)集合的运算及韦恩图； (2)函数及其图像； (3)方程(多指二元方程)及方程的曲线； (4)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可； (5)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图像求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用． 2．运用数形结合的思想分析解决问题时，应把握以下三个原则 (1)等价性原则 在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导． (2)双向性原则 在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的． 例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化． (3)简单性原则 就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单，而不是去刻意追求代数问题运用几何方法，几何问题运用代数方法． 三、利用数形结合讨论函数零点、方程的解或图像的交点 利用数形结合求方程解应注意两点 (1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解． (2)正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合． 1． (2013·长沙模拟)若f (x )＋1＝1f x ＋1 ，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( ) A. ???? ??0，12 B. ??????12，＋∞ C. ??????0，13 D. ? ?? ??0，12 2. 若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]

函数不等式中的数形结合

函数不等式中的数形结合 【知识要点】 数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn 图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了． 解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法．函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法． 解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路． 【问题研究】 1． 已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示， 则b 的取值范围是（ ）A （A ）)0,(-∞∈b （B ）)1,0(∈b （C ）)2,1(∈b （D ）),2(+∞∈b 2．在直角坐标系中,函数2 23 a x a y += )0(为常数>a 所表示的曲线叫箕舌线，则箕舌线可能是下列图形中的( )A 3．设()?? ?<≥=1 , 1, 2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的 值域是（ ）C A.(][)+∞-∞-,11, B.(][)+∞-∞-,01, C.[)+∞,0 D. [)+∞,1 分析：本题为复合函数，()x g 相当于()f x 中的x 的值， 结合函数的图象，可以求得()x g 的值域． 解：作出函数()f x 的图象如图所示，由图知 当(] [),10,x ∈-∞-+∞时，函数()f x 的值域

浅谈数形结合思想在教学中的应用

本科生毕业论文（设计）题目：浅谈数形结合思想在教学中的应用 学号： 0707140154 姓名：汪洋 专业：数学与应用数学 年级：07级一班 系别：数学系 完成日期：2010年10月 指导教师：

浅谈数形结合思想在教学中的应用 汪洋 （合肥师范学院数学系） 摘要 数形结合就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考察，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，简言之“数形相互取长补短”。数形结合作为一种常见的数学方法, 沟通了代数、三角与几何的内在联系。一方面,借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化,给人以直觉的启示。另一方面,将图形问题转化为代数问题,以获得精确的结论。因此,数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种十分重要的数学思想方法, 它可以拓宽学生的解题思路, 提高他们的解题能力，将它作为知识转化为能力的“桥”。 关键词:数形结合思想；直观；数学教学；应用 Discusses the number shape union thought shallowly in the teaching

application Wang yang （Department of Mathematics, Hefei Normal University） ABSTRACT Counts the shape union is unifying the question stoichiometric relation and the space form to inspect, according to solving the question need, we can transform the stoichiometric relation question for the graph nature question discusses, or transform the graph nature question for the stoichiometric relation question studies, “the number shape makes up for one's deficiency by learning from others strong points mutually in short”. Counts the shape union as one common mathematical method, has communicated the algebra, the triangle and the geometry inner link. On one hand, with the aid in the graph nature may make many abstract mathematics concepts and the stoichiometric relation visualization and simplification, for the human by the intuition enlightenment. On the other hand, transforming the graph question as the algebra question, obtains the precise conclusion. Therefore, counts the shape union not to take one problem solving method merely, but should take one very important mathematics thinking method, it may expand students' problem solving mentality, sharpens their problem solving ability, takes the knowledge it to transform as ability “the bridge”. Key words: Counts the shape union thought，Intuitively, Mathematics teaching, Application 目录 一、前言 (3) 二、正文 (3)