数独并不需要特别的数学方法或技巧

数独并不需要特别的数学方法或技巧，只是一个简单且有意思的逻辑游戏但它同样需要运用你的大脑并且要集中精力。

数独只有一条规则：在图中格子内填入1到9的数字使每行、列、3×3的宫（我们把行，列和宫统一称做：规则）内数字不重复，数字可以是任何顺序，不限制斜线上数是否重复不能改变图中已经给定的那些数字，你的任务就是填满那些空格，但要符合上面的规则

注意，每个数独都只有一个最终结果，你可以据此来解答。

关于数独的历史，其他网站也说的很多了，小编这里不再多讲，大家记住一个人吧，新西兰人高乐德(Wayne Gould)，被称为数独之父，https://www.wendangku.net/doc/6010930292.html,就是他办的网站，在https://www.wendangku.net/doc/6010930292.html, 的论坛里有很多数独技巧，程式，感兴趣的可以去那里看看

下面介绍下传统9×9数独的一些名词，还有最简单的技巧

Grid：格，每个数独有9×9即81格，每个格子填的是1～9的数字，因为阿拉伯数字世界通用嘛，当然也会有其他的符号来代替1～9，不过还是1～9最直观啦

Row：行，每个数独由9行组成，每一行都是1～9，每个数字在每行中只出现一次，不重复。一般是用A～I由上到下来标识每一行的，第一行就是A，第二行是B依次类推

Columns：列，每个数独由9列组成，每一列都是1～9，每个数字在每列中只出现一次，不重复。一般是用1～9由左到右来标识每一列的，第一列就是1，第二列是2依次类推

Boxes：宫，每个数独由9个宫组成，每个宫都是1～9，每个数字在每宫中只出现一次，不重复。一般按照图中顺序，左上称为第一宫，左中称为第二宫，依此类推

将行列搭配起来就成了每一格的坐标，坐标一般有两种表示方法，比如第一行的第三格，可以用R1C3来表示，也可以用A3来表示；第五行的第三格就可以用R5C3或者E3来表示数独的答案是唯一的，所以就不存在数字可以互换的情况出现在解题过程当中，这是出题者需要考虑的问题，如果你进一步了解数独的一些解题技巧，你可以发现很多技巧的理论基础就是数独的答案是唯一的。

数独一共有多少题呢，以不重复最简的来记一共有5472730538题（可以参考

https://www.wendangku.net/doc/6010930292.html,/sudoku/sudgroup.html里面有详细说明）目前还没有发现16格唯一解的题，也就是说至少要已知17个数，才可能有唯一解

数独的解题过程中需要运用逻辑推理logic，当然也有的题目目前的方法不能解决，你可以考虑猜数

Peers：影响范围，一个格的数会对它所在的行列九宫格的其他格的数产生影响，例如图中E5格就影响第五行，第五列和第五宫的其他格的数。

Candidate：候选数，一格当中可能填的数称为候选数（辅数），当遇到一些复杂的题目时就会用到一个个排除候选数来找突破口

Naked Singles ：显性唯一，看一下绿色的格子E3，在E3所在的行列九宫格里已经出现过1～8了，所以E3一定是9

Full House ：每个行列九宫格被称为House，看一下第五行，E7是第五行唯一没有填的数字了，根据每一行都是1～9，则E7=8

Hidden Singles：隐式唯一，图中A2=1，则A4,A5不能是1，E4=1，则C4不能是1，H6=1，则B6不能是1，第二宫只有B5能够是1

Squeezing：排除法，看黄色的两个9，他们影响的范围里就不能再有9出现了，所以绿色格子一定是9

Cross-Hatching：复杂一点的排除法，看上图的第二行，由于I1,F3,E6的6的影响，B1,B3,B6就不能是6，第二行只有B8可以是6

这里，由B9,E8,H1,I4的3的影响，第九宫只有G7可以等于3

高难度的数独技巧窍门

-! 1 2 □ 4 D fi 1 8 9 A 8 1 3 B 7 6 1 Ei 9 A C 9 1 8 7 5 D 1 7 8 4 3 9 E 3 8 9 1 4 F 5 4 9 i 6 8 1 G 9 3 H 1 L 3 8 1 如左图，观察行 B ,我们发现除了 B3 单元格以外其余的八个单元格已经填入了 1、2、4、5、6、7、8、9,还有3没有填写， 所以3就应该填入B3单元格。这是行唯一 解法。 1 2 3 4 S 6 ? S 如左图，观察D7-F9这个九宫格， 我 们发现除了 E7单元格以外其余的八 个单元格已经填入了 1、2、3、4、6、7、 & 9，还有5没有填写，所以5就应该 填入E7单元格。这是九宫格唯一解法。 A 1 J R c D E F G E T fl 3 1. 5 B 2 41 1 3 1 ti 1 7 8 5 S 2 3 9 3 8 g 1 4 T 5 4 g T 2 3 0 a 1 2 3 1 6 1 3 e 1

! -单元唯一法在解题初期应用的几率并不高，而在解题后期，随着越来越多的单元格填上了数字, 使得应用这一方法的条件也逐渐得以满足。 △基础摒除法 基础摒除法是直观法中最常用的方法，也是在平常解决数独谜题时使用最频繁的方法。单元排除法使用得当的话，甚至可以单独处理中等难度的谜题。 使用单元排除法的目的就是要在某一单元（即行，列或区块）中找到能填入某一数字的唯一位置， 换句话说，就是把单元中其他的空白位置都排除掉。 那么要如何排除其余的空格呢？当然还是不能忘了游戏规则，由于1-9的数字在每一行、每一列、每一个九宫格都要出现且只能出现一次，所以： 如果某行中已经有了某一数字，则该行中的其他位置不可能再出现这一数字；如果某列中已经有了某一数字，则该列中的其他位置不可能再出现这一数字；如果某区块中已经有了某一数字，则该区块中的其他位置不可能再出现这一数字。 基础摒除法可以分为行摒除、列摒除和九宫格摒除。 如左图，观察D1-F3这个九宫格。由于11 格有数字9, 所以第1列其它所有单元格都不能填入9;由于B2格有数字 9,所以第2列其它所有单元格都不能填入9 ；由于D8格有 数字 9，所以行D其它所有单元格都不能填入9。这 样，D1-F3这个九宫格内只有E3单元格能够填入数字9。所 以E3单元格的答案就是9。 如左图，观察行H。由于C3格有数字4, 所以第3列其他 所有单元格不能填入数字4; 由于E8格有数字4，所以第8列其他所有单元格不能填入数 字4;由于I4格有数字4，所以G4-I6这个九宫格内其他所有 单元格不能填入数字4。这样行H中能够填入数字4的单元 格只有H9。所以H9单元格的答案就是4。

配方法题研究-备战2021年中考数学解题方法之探究十法(解析版)

备战2020中考数学解题方法专题研究 专题6 配方法专题 【方法简介】 配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。 把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法． 配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用． 运用配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式． 【真题演练】 1. 用配方法解一元二次方程x 2﹣4x ﹣6＝0，变形正确的是（ ） A ．（x ﹣2）2＝0 B ．（x ﹣4）2＝22 C ．（x ﹣2）2＝10 D ．（x ﹣2）2＝8 【解答】解：x 2﹣4x ﹣6＝0， 移项得：x 2﹣4x ＝6， 配方得：x 2﹣4x+4＝10，即（x ﹣2）2＝10． 故选：C ． 2. 用配方法解下列方程： (1)x 2＋3x －4＝0； (2)x(x ＋8)＝609. 【解析】解：(1)由x 2＋3x －4＝0， 得x 2＋3x ＋ ????322－????322－4＝0， 即????x ＋322－254＝0，????x ＋322＝254 ， ∴x ＋32＝±52，x ＝－32±52 ， ∴x 1＝1，x 2＝－4.

数独的7种解法

数独解法 七种解法： 前言 数独这个数字解谜游戏，完全不必要用到算术！会用到的只是推理与逻辑。刚开始接触数独时，即使是只须用到唯一解技巧的简易级谜题，就已可让我们焦头烂额了，但是随着我们深陷数独的迷人世界之后，这类简易级的数独谜题必定在短时间内难再使我们获得征服的满足。于是，当我们逐步深入、进阶到更难的游戏后，我们将会需要发展龈?多的解谜技巧。虽然最好的技巧便是我们自己发现的窍门，这样我们很容易??能记住它们，运用自如，不需要别人来耳提面命。但是如果完全不去观摩学习他人发展出来的技巧，而全靠自己摸索，那将是一个非常坚苦的挑战，也不是正确的学习之道！所以让我们一齐来探讨数独的解谜方法吧！ 数独的解谜技巧，刚开始发展时，以直观式的唯一解及摒除法为主，对于初入门的玩家来说，这也是一般人较容易理解、接受的方法，对于一般简易级或中级的数独谜题，如果能灵活运用此二法则，通常已游刃有余。 1.唯一解法 当数独谜题中的某一个宫格因为所处的列、行或九宫格已出现过的数字已达8 个，那么这个宫 格所能填入的数字就剩下这个还没出现过的数字了。 <图1> (9, 8)出现唯一解了

<图1>是最明显的唯一解出现时机，请看第8 行，由(1,8) ～(8,8) 都已填入数字了，只剩(9,8)还是空白，此时(9,8)中应填入的数字，当然就是第8 行中还没出现过的数字了！请一个个数字核对一下，哦！是数字8 还没出现过，所以(9,8) 中该填入的数字就是数字 了。8 出现唯一解了2> (8, 9)<图<图2>是另一个明显出现唯一解的情形，请看第8 列，由(8,1) ～(8,8) 都已填入数字了，只剩(8,9)还是空白，此时(8, 9)中应填入的数字，当然就是第8 列中还没出现过的数字中该填入的数字就是9) (8, 还没出现过，所以9 哦！是数字了！请一个个数 字核对一下， 9 了。数字出现唯一解了图3> (7, 5)<<图3>是另一种明显出现唯一解的情形，请看下中九宫格，在这个九宫格中除了(7, 5)还是空白外，其他宫格都已填有数字了，所以(7, 5)中应填入的数字，当然就是下中九宫格中还没出现过的数字了！请一个个数字核对一下，哦！是数字 1 还没出现过，所以(7, 5) 了。中该填入的数字就是数字1

数独技巧

以下我们将叙述一道标准数独的全部解题过程，在此过程中涉及到的技巧有摒除法、余数法、区块法、数对法、X- Wing这几个常在数独书籍中会涉及到的技巧，文中将描述各个技巧的结构及作用效果，相信在看完解题过程之后，您能相当程度地掌握到数独的基本解题技巧，也能在解题的过程中发现数独给您带来的乐趣。 谜题如下图 第一招：摒除法 大家之前已阅读过数独的规则：在每个单元中，每个数字只能出现一次，那么也就意味着，如果一行已经出现了一个1，这行的其他格就不再有1，利用这个观点，引发出摒除法。 第1步：数字2对B1进行摒除

r1c8为2，则其所在R1不再有2； r2c4为2，则其所在R2不再有2； r9c2为2，则其所在C2不再有2， 在B1中还没有2，B1有6个空格可以填2，但其中5个空格被摒除了，只剩下r3c1，所以得到第一解：r3c1=2 这个方法因为是对宫实施摒除的，所以叫宫摒除法。宫摒除法是解题技巧里面最简单的一种，也是解题过程中使用最多的一种。其实解数独就是这么简单！ 第2步：r1c3=7（宫摒余解，数字7对B1摒除） 第3步：r4c7=7（宫摒余解，数字7对B6摒除） ， 第4步：数字7对C5进行摒除 r1c3为7；则其所在R1不再有7； r2c9为7，则其所在R2不再有7； r4c7为7，则其所在R4不再有7； r6c2为7，则其所在R6不再有7； r8c1为7，则其所在R8不再有7； r9c8为7，则其所在R9不再有7， 在C5中还没有7，C5有7个空格可以填7，但其中6个空格不能为7了，所以天元格r5c5=7 《 这个方法因为是对列实施摒除的，所以叫列摒除法，与其类似的还有行摒除法。行列摒除法也是很常用的方法。 见识了摒除法之后，大家是否尝试寻找另一个摒余解呢不好意思要给大家泼凉水了，因为这个盘势下已经找不到宫摒余解或者行列摒余解了，那怎么办呢，没关系，我们继续介绍其它的技巧。

高中数学三角函数解题方法研究

高中数学三角函数解题方法研究 三角函数作为高中数学重点知识，是高考的必考内容，会通过选择、填空、解答等多种 题型来考查我们的掌握程度、思维能力。通过对三角函数知识的学习与思考有利于我们加深 对三角函数的记忆和理解，同时也能锻炼我们思维能力、提高学习效率和质量。接下来，谈 谈对高中数学三角函数解题方法的几点思考。 一、加强审题，注意审题方法 我们在做三角函数题时，切忌急躁，一定要定下心来认真审题，认真琢磨题干中的每一 个信息，如此以来，就不会出现审错题问题。我在学习的过程中，归纳总结了几个审题方法：第一，在面对新颖题型时，擦亮眼睛认真审题，把题干中的已知条件、重点信息进行标注， 运用所学知识明确已知条件和未知结论二者的关系，明确解题方向、选择解题方法，从而成 功解题。切忌浏览完题目信息立即动笔解题，一定要找到关键信息，进而成功解题；第二， 在面对常见题型时，要学会与自己做过的类似题目进行对比，发现二者异同点，从而找到解 答本题最合适的方法，切忌照搬照抄；第三，在审题的过程中，做个有心人，深度挖掘题干 隐含信息，特别是在面对图形题时，要留心每个细节，寻找内在联系，从而正确解答。 二、深化三角函数概念理论 数学是高中阶段的基础学科，也是核心学科，加强对基础知识的记忆和理解有利于我们 打好数学基础，提高后续数学学习质量。 在学习的过程中，我发现，在考试中，三角函数多是以选择题的形式出现，考查范围非 常广，解题时涉及很多基础知识，很多题目都是通过公式变形得出答案的，因此，在日常学 习中要加强对基础知识的训练。以"弧度制"章节知识点为例，需要我们掌握弧长公式、扇形 面积公式，还要掌握角度制、弧度制之间的换算知识；再如，学习"同角三角函数基本关系" 章节时，需要掌握平方、商数、倒数关系，涉及到的诸多公式。还要充分掌握三角变换中的"消去法"、"化弦法"等运用方法，从而在解题过程中灵活运用。 另一方面，就三角函数这一章节知识点来说，我们知识学好基础知识，扎实基本功，才 能在解决实际问题的过程中游刃有余。由此可见，作为高中生，我们在学习数学三角函数知 识过程中，要加强对三角函数基础知识的记忆、理解和掌握，不断提升自己的概括能力。我 们都是在高一阶段接触到三角函数知识的，大部分学生在刚开始学习的时候，都能理解和掌握，但是也有不少学生在时间的推移中将高一学的知识忘记了。所以，我们在高中阶段，应 做好回头看工作，实时对所学的知识进行巩固记忆，深化概念理论，从而为后续深入学习三 角函数知识打好基础，进而树立正确的解题理念和解题思虑，不断提高学习效率和质量。 三、加强课后练习，提高解题思路的多样性 我在学习三角函数一段时间以后发现要想理解和掌握三角函数知识点，没有什么捷径， 只能通过掌握三角函数理论知识、加强练习，才能有效提升自己的解题能力、学习能力。所以，我发现，只有通过实现理论知识与实际训练的高度结合，才有不断丰富解题思路、进而 有效解决问题。如，在学习"三角函数正弦定理"章节知识点时，我们可以通过做大量的练习 题来加强对正弦定理的理解和掌握，并学以致用，解决实际问题。如，已经锐角三角形ABC，假设每个内角为A、B、C所对应的边分别时a、b、c，如果a=sinA·2b，求B。解：正弦定理 正弦定理的sinA=2sinBsinA，综合已知条件a=sinA·2b，得出，sinB=1/2。我们只要知道正弦定理，很快就能解答这道题。反过来看，这道题实质上是在考查我们对正弦定理的掌握程度。 由此可见，我们必须掌握好三角函数的基本知识，并学以致用，用这些概念、定理、公理去 解决实际问题，加强练习，并学会总结，才能有效提高解题能力、数学学习能力。

数独技巧3

数独技巧3

X翼删减法、剑鱼删减法 X翼删减法：两列只有 两格可以填入6，且这4 剑鱼删减法与X翼删减 法道理相同，由2列拓 剑鱼删减法除了以上标 准型（3-3-3，3列都有 3个候选数），还由一些

X翼删减法实 例： 剑鱼删减法 实例：

Turbot Fish 删减法 1楼 Turbot Fish介绍之前做个简单的铺垫，简单介绍一下强弱链的关系。单链分为强链和弱链。强链：某行、列或宫只存在2个某候选数，这两个数就构成强链，两数非真即假。这里用红线连接表示。 弱链：某行、列或宫存在3个或3格以上某候选数，这些数就构成弱链，其中一个为真则其余为假；其中一个为假则不能判断其余的真假。这里用蓝线连接表示。 根据强链两端数字，一个为真另一个为假的特性可以引申出某些三条连续单链组有排除候选数的情况。 “强-强-强链”和“强-弱-强”链都可以导致“长链”两端数字交叉处格中的该数被删除。

下边给出两种“三连链”的图:（两图中“长链”形状可以互换） 说明： “强-强-强链”由于链两端数非真即假的特性，标成红蓝两组，红为真则蓝为假，反之亦然。“长链”两端也为一红一蓝，肯定有一个是真，所以排除掉共同区域格（橙色格）中的x。 “强-弱-强链”虽然不像“三强”中数字真假那么分明，但注意弱链的两端，弱链一端为真另一端也为假，这两端的数字分别连接强链，所以导致“长链”两端数同样是一真一假。如果弱链两端均为假，则长链两端数都为真。综上：同样排除掉共同区域格（橙色格）中的x。 所以，可以看出“强-强-强链”与“强-弱-强链”在排除两端数字交叉区域数字的效果上是“等价”的。

数独解法技巧

数独解法(一) 九宫格摒除解 对第一次接触数独游戏，接受了1～9的数字在每一行、每一列、每一个九宫格都只能出现一次的规则后，开始要解题的玩家来说，基础摒除法绝对是他第一个想到及使用的方法，十分的自然、也十分的简易。如果能够细心、系统化的运用基础摒除法，一般报章杂志或较大众化的数独网站上的数独谜题几乎全部可解出来。只不过大部分的玩家都不知如何系统化的运用基础摒除法罢了！ 基础摒除法虽然简单，但在寻找解的过程中，仍然要分成三个部分：寻找九宫格摒除解、寻找列摒除解、寻找行摒除解。不要说是初入门者，即使是很多未接受过本讯息者，也常常会遗漏了行、列摒除解的寻找。对一些粗心的玩家来说，即使是九宫格摒除解也常被跳着做，所以解起题来就会感到不是十分顺手。 1．九宫格摒除解的寻找 九宫格摒除解的系统寻找是由数字1开始一直到数字9，周而复始，直到解完全题或无解时为止；每个数字又需从上左九宫格起，直到下右九宫格，周而复始，同样要不断重复到解完全题或无解时为止。

<图2.1.1> 以<图2.1.1>的解题为例：先从数字1开始，并由上左九宫格起寻找九宫格摒除解，会影响上左九宫格的数字，一定存在第1列～第3列以及第1行～第3行如<图2.1.2>的绿色区域。 <图2.1.2> 本区域已存在的数字1共有两个，它们分别存在(2,9)及(5,1)；其中(2,9)的1将摒除第2列其它宫格再填入数字1的可能，因为依照规则每一列只能有一个数字1，如果再在本列填入数字1，那么本列就会有两个1了。同理，(5,1)的1则将摒除第1行其它宫格再填入数字1的可能，其示意图如<图2.1.3>。

<图2.1.3> 对上左九宫格的摒除仅能到此地步，我们可以很容易的发现：本九宫中还有3个宫格不在被摒除的区域中，意即：这3个宫格都仍有可能填入数字1，依不可猜测的原则，本九宫格暂时不予处理。 接下来我们要尝试在上中九宫格寻找是否有九宫格摒除解1：会影响上中九宫格的数字，一定存在第1列～第3列以及第4行～第6行。本区域已存在的数字1共有3个，它们分别存在(2,9)、(4,6)及(9,5)，其摒除的范围示意图如<图2.1.4>。 <图2.1.4>

数独解题方法大全

数独解题方法大全 作者：扬子活力论坛泥瓦匠整理：隱讀書生数独这个数字解谜游戏，完全不必要用到算术！会用到的只是推理与逻辑。解题方法分两大类：直观法和候选数法。 直观法就是不需要任何辅助工具，从接到数独谜题的那一刻起就可以立即开始解题。绝不猜测。数独直观法解题技巧主要有：唯一解法、基础摒除法、区块摒除法、唯余解法、矩形摒除法、单元摒除法,余数测试法。 候选数法就是解数独题目需先建立候选数列表，根据各种条件，逐步安全的清除每个宫格候选数的不可能取值的候选数，从而达到解题的目的。 使用候选数法一般能解比较复杂的数独题目，但是候选数法的使用没用直观法那么直接，需要先建立一个候选数列表的准备过程。所以实际使用时可以先利用直观法进行解题，到无法用直观法解题时再使用候选数方法解题。 候选数法解题的过程就是逐渐排除不合适的候选数的过程，所以在进行候选数删除的时候一定要小心，确定安全的删除不合适的候选数，否则，很多时候只有重新做题了。有了计算机软件的帮助，使得候选数表的维护变得轻松起来。 数独候选数法解题技巧主要有：唯一候选数法、隐性唯一候选数法、区块删减法、数对删减法、隐性数对删减法、三链数删减法、隐性三链数删减法、矩形顶点删减法、三链列删减法、关键数删减法、关连数删减法。 一、直观法： 1、唯一解法： 当某行已填数字的宫格达到8个，那么该行剩余宫格能填的数字就只剩下那个还没出现过的数字了。成为行唯一解。 当某列已填数字的宫格达到8个，那么该列剩余宫格能填的数字就只剩下那个还没出现过的数字了。成为列唯一解。 当某九宫格已填数字的宫格达到8个，那么该九宫格剩余宫格能填的数字就只剩下那个还没出现过的数字了。成为九宫格唯一解。 下面是例题： A行已经添入8个数字，A行只有数字3没有出现过，所以A9=3，这是行唯一解。 第1列已经添入8个数字，第1列只有数字5没有出现过，所以E1=5，这是列唯一解。

数独高级技巧入门链的逻辑及

[数独高级技巧入门]链的逻辑及AIC 这个帖子主要想阐述链是什么，怎么使用链，以及链的逻辑过程，帮助大家首先了解原理，那么以后关于chain、wing之类的按照这个思路都非常容易理解。首先我想说明下什么是“强”关系，什么是“弱”关系强关系是说A与B两个事件，假如A不成立，则B一定成立。弱关系是说A与B两个事件，假如A成立，则B 一定不成立。举一个简单的例子帮助大家体会： （图中被划短横线的格表示不含候选数1）这是一个数独的宫，根据数独规则一个宫内出现数字1-9各一次，可以做出以下两点推断：1.左上格不是1，则右中格一定是1；2.左上格是1，则右中格一定不是1。第一种推断得到这两格的1是强关系，所以可以说两格之间形成一条强链，强链我们通常以双横线表示（==）；第二种推断得到这两格的1是弱关系，所以可以说两格之间形成一条弱链，弱链我们通常以单横线表示（——）。再举一个例子：（图中被划短横线的格表示不含候选数1）上图可以做出三大点推断：1.左上格是1，则中上格及右中格一定不是1；2.中上格是1，则左上格及右中格一定不是1；3.右中格是1，则左上格及中上格一定不是1。这个例子里，存在着3条弱链，分别是（左上--中上）、（左上--右中）、（中上--右中）。 上面说的是同一数字的强弱关系，当然强弱关系可以不局限于一个数字，下面用例子来说明：（图中被短横线划掉的格说明未知其候选数情况）根据右上格的候选数仅有1与2可以做出以下推断：1.如果该格不能是1，则一定为2；2.如果该格是1，则一定不是2。推断一说明数字1与2之间是强关系，形成强链；推断二说明其为弱关系，形成弱链。（图中被短横线划掉的格说明未知其候选数情况）右上格有3个候选数，我们可以做出以下推断：1.如果这格为1，则不能为2或3；2.如果这格为2，则不能为1或3；3.如果这格为3，则不能为1或2。数字1与2、2与3、1与3之间分别为一条弱链。 像第二张图这样的关系推断，大家可能会不以为意，但是这是理解强弱关系的一个很好的例子，对于后面将要叙述的内容也会有所帮助。 相信通过上面的说明大家已经了解了强弱链是什么，接下来我们将强弱链连接起来。第一种情况：A==B--C==D由A的真假情况可以做出以下BCD关系的枚举。再次请大家注意本文开头所提到的强弱关系本质1.强关系是说A与B 两个事件，假如A不成立，则B一定成立。2.弱关系是说A与B两个事件，假如A成立，则B一定不成立。（图中红色部分表示根据上一个的真假情况必然是这样的推导）可见A与D不全为假，即A与D一定有一个为真。当A 与D有等位群格位的交集时，即可做出相应删减。 （图示技巧名为Skyscraper）根据强弱关系，我们找到了一条符合 A==B--C==D的强弱链组：r3c1(2)==r3c7(2)--r9c7(2)==r9c2(2)。根据上文提到的逻辑关系，可以得到r3c1=2与r9c2=2至少有一个成立，所以可以删去它们等位群格位的交集（即橙色区域）的候选数2。补充说明：发现很多人对于第七列的画法存在疑问，为什么不标双线（强链），因为这里运用的是“是A非B”的弱关系，所以只能是标单线（弱链）的，关于“强强强” 的链接我们在后文提到是无法得到任何结论的。我们可以从强弱关系的逻辑把上述这条链走一遍，共有以下两种情形：1）r3c1=2；2）r3c1<>2->r3c7=2

数学解题方法与技巧教学的研究_答题技巧

数学解题方法与技巧教学的研究_答题技巧 数学解题方法与技巧教学的研究 前面所说的数学习过程的练习题一般是由标准答案，已知和求解都是十分清楚的。而实际生活中许多问题预先是不知答案或者不一定有统一的答案，甚至可能没有答案，这样一类可以用数学方法去研究和解决的问题称为数学问题解答。它的常见类型和价值是这样的。 1. 可以构建数学模型的非常规的实际问题。这类问题往往不是纯数学化的问题模式，而是一种情景，一种实际需求，只是为了解决遇到的困难，需要讲实际问题转化为数学模型并进行解释与解决。这是在生活和实践中运用数学最常用的方式，培养的是学生面对实际进行的问题解决能力。 2. 探究性问题：要求的是通过一定的探索，研究来认识数学对象的性质，去发现其数学规律，这种问题要求一种研究式的思维能力，在问题解决过程中感受发现的乐趣，它培养的是一种主动探索精神和科学态度。 3. 开放性问题：是问题的条件、结论、解题策略或应用等方面具有一定的开放程度的问题，学生在研究这类问题时通常采用的是合作研究，这种方式可互相启发学生的合作与交流，在交流和合作中完善和优化自己的思维。这类问题的解决可培养学生的思维的灵活性和发散性。培养学生的创新意识。 二、解题的方法与技巧 数学思想方法在解题中有不可忽视的作用 解题的学习过程通常的程序是：阅读数学知识，理解概念；在对例题和老师的讲解进行反思，思考例题的方法、技巧和解题的规范过程；然后做数学练习题。 基本题要练程序和速度；典型题尝试一题多解开发数学思维；最后要及时总结反思改错，交流学习好的解法和技巧。著名的数学教育家波利亚说过“如果没有反思，就错过了解题的的一次重要而有意义的方面。” 教师在教学设计中要让学生解好数学问题，就要对数学思想方法有清楚的认识，才能更好的挖掘题目的功能，引导学生发现总结题目的解法和技巧，提高解题能力。

数独的解法与技巧

数独的直观式解题技巧 直观法概说 前言 数独这个数字解谜游戏，完全不必要用到算术！会用到的只是推理与逻辑。刚开始接触数独时，即使是只须用到"基础摒除法"及"唯一解法"技巧的简易级谜题，就已可让我们焦头烂额了，但是随着我们深陷数独的迷人世界之后，这类简易级的数独谜题必定在短时间内难再使我们获得征服的满足。于是，当我们逐步深入、进阶到更难的游戏后，我们将会需要发展出更多的解谜技巧。虽然最好的技巧便是我们自己发现的窍门，这样我们很容易就能记住它们，运用自如，不需要别人来耳提面命。但是如果完全不去观摩学习他人发展出来的技巧，而全靠自己摸索，那将是一个非常坚苦的挑战，也不是正确的学习之道！所以让我们一齐来探讨数独的解谜方法吧！ 数独的解谜技巧，刚开始发展时，以直观法为主，对于初入门的玩家来说，这也是一般人较容易理解、接受的方法，对于一般报章杂志及大众化网站上的数独谜题而言，如果能灵活直观法的各项法则，通常已游刃有余。 直观法详说 直观法的特性： 1.不需任何辅助工具就可应用。所以要玩报章杂志上的数独谜题时，只要有一枝 笔就可以开始了，有人会说：可能需要橡皮擦吧答案是：不用！只要你把握数 独游戏的填制原则：绝不猜测。灵活运用本站所介绍的直观填制法，确实可以 不必使用橡皮擦。

2.从接到数独谜题的那一刻起就可以立即开始解题。 3.初学者或没有计算机辅助时的首要解题方法。 4.相对而言，能解出的谜题较简单。 直观法的主要的技巧： 1.基础摒除法。 2.唯一解法。 3.区块摒除法。 4.唯余解法。 5.单元摒除法。 6.矩形摒除法。 7.余数测试法。 基础摒除法 前言 对第一次接触数独游戏，接受了 1 ～ 9 的数字在每一行、每一列、每一个九宫格都只能出现一次的规则后，开始要解题的玩家来说，基础摒除法绝对是他第一个想到及使用的方法，十分的自然、也十分的简易。 如果能够细心、系统化的运用基础摒除法，一般报章杂志或较大众化的数独网站上的数独谜题几乎全部可解出来。只不过大部分的玩家都不知如何系统化的运用基础摒除法罢了！ 基础摒除法虽然简单，但在实际应用时，仍然可分成三个部分：

数独解题技巧

数独解题技巧 1.直观法 （1）单元限定法：此处的单元指的是行、列或者是小九宫格。使用此种方法时有三种情况：当某行、列、小九宫格有八个单元格中已有数字，空白处必定为唯一 缺少的数字。 （2）单元排除法：在某一单元（行、列、小九宫格）中找到能填入某一数字的唯一位置，也就是把单元中其他的空白位置都排除掉。 （3）区块排除法： a)当某数字在某个小九宫格中可填入的位置正好都在同一行上，因为该小九宫格 中必须要有该数字，所以这一行中不在该小九宫格内的单元格上将不能再出现 该数字。 b)在某数字在某个小九宫格中可填入的位置正好都在同一列上，因为该小九宫格 中必须要有该数字，所以这一列中不在该小九宫格内的单元格上将不能再出现 该数字。 c)当某数字在某行中可填入的位置正好都在同一小九宫格上，因为该行中必须要 有该数字，所以该小九宫格中不在该行内的单元格上将不能再出现该数字。 d)当某数字在某列中可填入的位置正好都在同一小九宫格上，因为该列中必须要 有该数字，所以该小九宫格中不在该列内德单元格上将不能再出现该数字。 （4）唯一余解法：如果某一单元格所在的行、列、小九宫格中共出现了八种不同的数字，那么该单元格可以确定地填入还未出现过的数字。 （5）矩形排除法：如果一个数字在某两行中能填入的位置正好在同样地两列中，则这两列上其他的单元格中将不能再出现这个数字；或者如果一个数字在某两列 中能填入的位置正好在同样地两行中，则这两行的其他的单元格中将不能再出 现这个数字。 （6）直观扫描法 （7）逐行、逐列扫描法 2.候选数法 （1）显示唯一法：扫描候选数栅格表，如果哪个单元格中只剩下一个候选数，就可以应用显示唯一法，在该单元格中填入这个数字，并在相应行、列、小九宫格 的候选数中删除该数字。 （2）隐式唯一法：若一个单元格内德候选数不止一个，但该单元格所在的行、列、小九宫格内，只有它含有某一个数字，那么这个单元格就可以直接填这个数字。 （3）显式对法：指在一个行、列、小九宫格中，如果有两个单元格都包含且只包含相同的两个候选数，则这两个候选数字不能再出现在该行、列、小九宫格的其 他单元格的候选数中。 （4）隐式数对法：在同一行、列、小九宫格中，如果一个数对（两个数字）正好只出现且都出现在两个单元格中，则这两个单元格的候选数中的其他数字可以被 删除。其他候选数被删除后，隐式数对就变成了显式数对。 （5）矩形顶点法：当某个候选数在某两行（列）仅出现相同两列（行）上，则这个候选数就可以从这两列（行）的其他单元格上删除掉。

中学数学解题方法研究模拟试题

中学数学解题方法研究模拟试题 一、填空题：（每题4分，共28分） 1.递推方法是根据具体问题，首先关系，再通过递推关系进行求解，从而解决这一具体问题的方法。 2.三角代换可以沟通数学学科的联系，在解题过程中要善于捕捉这方面的素材，引入适当的三角变换，可以扩展解题视野，拓宽解题思路。 3.对于任意两个实数a、b，总存在实数t，使，我们称t为增量，这种代换称为增量代换。 4.利用数学模型法解答实际问题（包括数学应用题），一般要做好三方面的工作：（1）建模；（2）推理、演算；（3）。 5. 分析解题包括两方面的内容：一是；二是对题解进行深入地思考。 6. 的主要表现形式是：综合与单一间的分合；整体与部分间的分合；无限与有限间的分合等。在解数学问题时，分合并用策略的主要体现为拼凑、拆与并、割与补等。 7.中学数学中，包含两个方面的内容：一是运用代数、三角知识，通过对数量关系的讨论，去处理几何图形问题；二是运用 中学数学解题方法模拟试题

中学数学解题方法模拟试题 几何知识，通过对图形性质的研究，去解决数量关系的问题。 二、单选题：在下列各题的备选答案中选择一个正确的。（每题4分，共12分） 8.函数)2(log )(22x x x f +=的单调递减区间是（ ） A. ),0[+∞; B. ),2(+∞-; C.),0(+∞; D. )2,(--∞ 9.等差数列{}{}n n b a ,的前n 项和分别为n n T S 和，若 132+=n n T S n n ，则n n n b a ∞→lim 等于（ ） A. 1 B.36 C. 32 D. 9 4 10.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间34ππ??-???? ，上的最小值是2-，则ω的最小值等于（ ） Ａ．23 Ｂ．32 Ｃ．2 Ｄ．3 三、解答题（每题15分，共45分） 11．已知函数R m m x m x x f ∈++-=,)1()(2。若tan A ,tan B 是方程04)(=+x f 的两个实根，A 、B 是锐角三角形ABC 的两个内角，求m 的取值范围。

中级和高级数独训练(九宫格)

数独的基本解题技巧 1．唯一解法：当某行、某列或某一宫内已填数字到达8个，那么剩下的那个格子里 的数字就确定了。例1是典型例题。 2．基础摒除法就是利用1～9的数字在每一行、每一列、每一个宫都只能出现一次的规则进行解题的方法。基础摒除法可以分为行摒除、列摒除、九宫格摒除。 此例当中，？处可以利用黄色标注的数字推断出来只能是9。 3．区块摒除法是基础摒除法的提升方法，是直观法中使用频率最高的方法之一。（例2中有所体现。）

从左图看，用粉色标注的两个6是左下角那个宫内可能填入6的地方，虽然具体位置没确定，但是在左下角的那个宫内，6一定填在第一行。那么再看右图，根据粉色标注的6以及用粉圈圈起来的6，可以在图中画出绿叉子，从而确定中下边的那个宫内6的位置。 4．单元摒除法是比较基本的排除方法。 （1）在一个宫内进行排除： 根据两个圈的3，可以画出粉色的叉子，从而确定左边中间那个宫内3的位置。 （2）在一列内进行排除：

（3）在一行内进行排除： 5．唯余解法就是某宫内可以填入的数已经排除了8个，那么这个宫格的数字就只能 （例1和例2中都有所体现。）填入那个没有出现的数字。这也是最基本的排除办法。

6．利用隐藏数对：在某一行、某一列或者某一宫内，有两个数字只能填在某两个格内，虽然他们的具体位置没定，但是其它数字都不能填入。 在此例中，左图右上角的那个宫里，所有画粉叉子的地方都不能填1和2，那么只有B9和C8能填入1和2，这时可以确定这两个格内不能再填其它数字。再看右图，根据两个画粉圈的3可以确定右上角那个宫里3的具体位置。

中级篇 （1）完成时间：分 （2）完成时间：分

数独解题方法大全

数独解题方法大全 首先，数独候选数法解题技巧主要有：唯一候选数法、隐性唯一候选数法、区块删减法、数对删减法、隐性数对删减法、三链数删减法、隐性三链数删减法、矩形顶点删减法、三链列删减法、关键数删减法、关连数删减法。 数独这个数字解谜游戏，完全不必要用到算术！会用到的只是推理与逻辑。解题方法分两大类：直观法和候选数法。 直观法就是不需要任何辅助工具，从接到数独谜题的那一刻起就可以立即开始解题。绝不猜测。数独直观法解题技巧主要有：唯一解法、基础摒除法、区块摒除法、唯余解法、矩形摒除法、单元摒除法,余数测试法。 候选数法就是解数独题目需先建立候选数列表，根据各种条件，逐步安全的清除每个宫格候选数的不可能取值的候选数，从而达到解题的目的。 使用候选数法一般能解比较复杂的数独题目，但是候选数法的使用没用直观法那么直接，需要先建立一个候选数列表的准备过程。所以实际使用时可以先利用直观法进行解题，到无法用直观法解题时再使用候选数方法解题。 候选数法解题的过程就是逐渐排除不合适的候选数的过程，所以在进行候选数删除的时候一定要小心，确定安全的删除不合适的候选数，否则，很多时候只有重新做题了。有了计算机软件的帮助，使得候选数表的维护变得轻松起来。 一、直观法： 1、唯一解法： 当某行已填数字的宫格达到8个，那么该行剩余宫格能填的数字就只剩下那个还没出现过的数字了。成为行唯一解。 当某列已填数字的宫格达到8个，那么该列剩余宫格能填的数字就只剩下那个还没出现过的数字了。成为列唯一解。 当某九宫格已填数字的宫格达到8个，那么该九宫格剩余宫格能填的数字就只剩下那个还没出现过的数字了。成为九宫格唯一解。 下面是例题： A行已经添入8个数字，A行只有数字3没有出现过，所以A9=3，这是行唯一解。 第1列已经添入8个数字，第1列只有数字5没有出现过，所以E1=5，这是列唯一解。

超好数独技巧

唯一数Last Value 适用情况：当某行、某列或某宫中已经出现八个不同数字时，最后一格即剩下还未出现过的第九个数。 图中这一行已经出现数字1、2、3、4、5、6、7、8，所以余下的星号格为9。 实际应用： Reveal hidden contents 第一行已经出现了1、2、4、5、6、7、8、9，所以星号格为3。 宫摒除Hidden Single in Box 适用情况：观察某一个数字A，根据数独规则，在同行、列、宫内无重复数字，若一格是A，则其所在行、列、宫都不会再有A，若以此得出某一宫内数字A仅剩一个可能位置，则可以判断这格就是A。

图中对于第一宫，由于四个A的影响，第一宫只有一个地方可能填A，即星号处。 实际应用： Reveal hidden contents 观察第七宫和数字1，由于r1c3, r5c2, r8c8中数字1的影响，第七宫的1只能在r9c1。 行列摒除Hidden Single in Row/Column 适用情况：观察某一个数字A，根据数独规则，在同行、列、宫内无重复数字，若一格是A，则其所在行、列、宫都不会再有A，若以此得出某一行或列内数字A仅剩一个可能位置，则可以判断这格就是A。

图中对于第一行，由于四格受A的影响，第一行只有一个地方可能填A，即星号处。 实际应用： Reveal hidden contents 观察第一行和数字3，由于r8c1、r5c5、r6c9、r9c6中数字3的影响，第一行的3只能在r1c3。 唯一余数Naked Single 适用情况：观察某一格，根据数独规则，一格与其所在的行列宫没有重复数字，点算这格所在行列宫已经出现过的数字，若已经出现8个不同的数字，则这格就是第9个没有出现过的数。 对于星号格，其所在行（第一行）已经出现2346，所在列（第五列）已经出现15，所在宫

标准数独技巧整理

标准数独技巧 ?唯一数Last Value ?适用情况：当某行、某列或某宫中已经出现八个不同数字时，最后一格即剩下还未出现过的第九个数。 图中这一行已经出现数字1、2、3、4、5、6、7、8，所以余下的星号格为9。 ?实际应用： 宫摒除Hidden Single in Box

?适用情况：观察某一个数字A，根据数独规则，在同行、列、宫内无重复数字，若一格是A，则其所在行、列、宫都不会再有A，若以此得出某一宫内数字A仅剩一个可能位置，则可以判断这格就是A。 图中对于第一宫，由于四个A的影响，第一宫只有一个地方可能填A，即星号处。 ?实际应用：

?行列摒除Hidden Single in Row/Column ?适用情况：观察某一个数字A，根据数独规则，在同行、列、宫内无重复数字，若一格是A，则其所在行、列、宫都不会再有A，若以此得出某一行或列内数字A仅剩一个可能位置，则可以判断这格就是A。 图中对于第一行，由于四格受A的影响，第一行只有一个地方可能填A，即星号处。 ?实际应用：

?唯一余数Naked Single ?适用情况：观察某一格，根据数独规则，一格与其所在的行列宫没有重复数字，点算这格所在行列宫已经出现过的数字，若已经出现8个不同的数字，则这格就是第9个没有出现过的数。 对于星号格，其所在行（第一行）已经出现2346，所在列（第五列）已经出现15，所在宫（第二宫）已经出现2678，即 12345678均出现了，故星号格为9。

?实际应用： ?宫摒除区块Pointing ?适用情况：在进行宫摒除时，发现某数在某宫可能位置不止一个，但是可能位置处在同行或同列，则可以排除相应行或列中除他们外其他格的该数。 数字5对第二宫摒除发现第二宫5的可能位置是2个星号格，虽然目前不能确定是哪一格，但可以确定的是第三行除了星号格外其他格（用短横线标示）一定不是5。如下图所示：

高中数学解题方法及解析大全

最全面的高考复习资料 目录 前言 (2) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第一章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案……………………………………

前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和 演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想 等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。

数独的直观式解题技巧_

数独的直观式解题技巧 一、唯一解法 前言直观法的根本是基础摒除法，唯一解法其实只可算是基础摒除法的特例，只因其成立条件十分特殊明确，可以几乎不花脑筋就填出解来，所以特别独立为一法，但有些人是完全不加理会的。 唯一解详说当数独谜题中的某一个宫格因为所处的列、行或九宫格已填入数字的宫格达到8个时，那么这个宫格所能填入的数字，就只剩下那个还没出现过的数字了。 当某列已填入数字的宫格达到8个时，所剩宫格唯一能填入的数字就叫做列唯一解；当某行已填入数字的宫格达到 8 个时，所剩宫格唯一能填入的数字就叫做行唯一解；当某个九宫格已填入数字的宫格达到 8 个时，所剩宫格唯一能填入的数字就叫做九宫格唯一解。 <图 1> (5, 9)出现列唯一解 6 了 <图 1>是出现列唯一解的例子，请看第 5 列，由 (5,1) ～(5,8) 都已填入数字了，只剩(5,9)还是空白，此时(5,9)中应填入的数字，当然就是第 5 列中还没出现过的数字了！请一个个数字核对一下，哦！是数字 6 还没出现过，所以(5,9) 中该填入的数字就是数字 6 了，这时我们说：(5, 9)有列唯一解 6 。

<图 2> (7, 1)出现行唯一解 9 了 <图 2>是出现行唯一解的例子，请看第 1 行，除了宫格 (7,1) 外都已填入数字了，此时(7,1)中应填入的数字，当然就是第 1 行中还没出现过的数字 9 了！这时我们说：(7, 1)有行唯一解 9 。 <图 3> (7, 2)出现九宫格唯一解 3 了 <图 3>是出现九宫格唯一解的例子，请看下左九宫格，除了宫格 (7,2) 外都已填入数字了，此时(7,2) 中应填入的数字，当然就是下左九宫格中还没出现过的数字 3 了！这时我们说：(7, 2)有九宫格唯一解3。