浅谈Hahn-Banach泛函延拓定理及其应用
浅谈Hahn-Banach 泛函延拓定理及其应用
1 引言
在函数论中，我们曾经考虑把一些函数从原来的定义域括充出去的问题，例如解析函数的解析开拓，在代数上有域的扩张等等.在泛函分析中，为了使得对于任意的线性空间E ，其上存在非零的有界线性泛函，其简化的方法自然使我们想到了前面所说的“延拓”的方法，既在E 内某一子空间上定义一个有界线性泛函，而且还能够使其延拓为整个E 上的有界线性泛函.
引理 设f 是复赋范线性空间E 上的有界线性泛函，令))((Re )(E x x f x ∈=?，则?是E 上的有界实线性泛函.
（注意：所谓实线性，是指可加性以及对任何实数α，有)()(x x α?α?=且)()()(ix i x x f ??-=）
2 Hahn-Banach 泛函延拓定理
2.1 Hahn-Banach 泛函延拓定理的几种形式 定理1
[1](168)
P （赋范线性空间上的Hahn-Banach 泛函延拓定理）
设G 是赋范线性空间E 的子空间，f 是定义在G 上的有界线性泛函，则f 可以延拓到整个E 上且保持范数不变，即存在定义在E 上的有界线性泛函0F ，使下列性质成立：
（1）对任一x G ∈，有0()()F x f x =； （2）0G
F f =.（这里G
f
表示f 作为G 上的有界线性泛函的范数）
定理2
)
136](2[P （实线性空间上的Hahn-Banach 泛函延拓定理）假设
（1）E 是“实”线性空间，0E E ?是“实”线性子空间；
（2）()p x 是E 上的“次加法、正齐性”泛函，0()f x 是定义在子空间0E 上的（实）线性泛函， 并且满足)()(0x p x f ≤)(0E ∈?，那么，必定存在定义在整个空间E 上的（实）线性泛函()f x ，其满足：
（ⅰ）0()()f x f x =，0x E ?∈； （ⅱ）()(),f x p x x E ≤?∈.
(并且，称()f x 为0()f x 在全空间E 上的“延拓”)
定理3[2](141142)P -（复线性空间上的Hahn-Banach 泛函延拓定理）假设 （1）E 是“复”线性空间，0E 是E 内一“复”线性子空间；
（2）()p x 是E 上的“次加法、对称”泛函，0()f x 是定义在0E 上的线性泛函，
并且满足条件0()()f x p x ≤0x E ?∈.那么，存在一个定义在整个空间E 上的线性泛函()f x ，其满足：
（ⅰ）0()()f x f x =，0x E ?∈； （ⅱ）0()()f x p x ≤，E x ∈?. 定理4
[3](117)
P （Hahn-Banach 定理的几何形式）
设E 是实B *空间X 上以θ为内点的真凸子集，又设0x E ?，则必存在一个超平面r f
H 分离0
x 与E .
定理5
)
34](4[P （Hahn-Banach 定理的推广）
设X 是实线性空间，p 是X 上的实值线性泛函，使得),()()(y p x p y x p +≤+且当0,()()p x p x ααα≥=.又设f 是子空间S 上的线性泛函，
使得任意),()(,s p s f S s ≤∈再设F 是X 上的线性算子所成的Abel 半群（既12122,,T F T F TT T T F ?∈∈=∈）使得当F T ∈时，任意
),()(,x p Tx p X x ≤∈且对所有的),()(,s f Ts f S s =∈那么存在f 在X 上的延拓0F ，使得
).())((),()(,000x F x T F x p x F X x =≤∈?
2.2 Hahn-Banach 定理的一些推论 推论1
[1](168)
P 设G 是赋范线性空间E 的子空间，0x E ∈，若00(,)inf 0,x G
x G x x ρδ∈=-=>则
存在E 上的有界线性泛函f ，使01
,()1f f x δ
=
=.而对x G ∈，则有()0f x =.
推论2
[1](170)
P 设G 是赋范线性空间E 的子空间，0x E ∈，若
00(,)inf 0x G
x G x x ρδ∈=-=>
则存在E 上的有界线性泛函1f ，使得1101,()f f x δ==，而对x G ∈，则有1()0f x =.
推论3
[1](171)
P 设E 是赋范线性空间，且{}E θ≠，则对任一0x E ∈，0x θ≠，存在E 上的有界
线性泛函f ，使得001,()f f x x ==.
3 Hahn-Banach 泛函延拓定理的若干应用
例1 设X =2R ，即X 是点),(21x x x =的全体，但规定21x x x +=，X 按此范数.成为赋范线性空间.又设)}0,{(10x X =，0f 是定义在0X 上的连续线性泛函:110))0,((x x f =. 证明 对任何数
1<β，X 上的连续线性泛函
2121)),((x x x x f β+=
都是0f 的保范延拓.
证明 显然0f 是0X 上的连续线性泛函，而且
0111((,0))(,0)f x x x ==
即0
1X f =.然而，对任何数β，X 上的连续线性泛函
2121)),((x x x x f β+=
都是0f 的延拓.由于
),(),1max()),((21212121x x x x x x x x f βββ≤+≤+=
并且
1X f f ≥=
所以只要
1<β，f 都是0f 的保范延拓.
例2 考察一切二维实向量),(21ξξ=x 按照范数21ξξ+=
x 构成的巴拿赫空间.仍用2R 记这
个空间并令G 为2
R 中形如)0,(1ξ的向量构成的子空间.在G 上定义有界线性泛函f ：
)()(1G x x f ∈=ξ
再定义2
R 上的有界线性泛函αF ：
21212()((,))F x x R αξαξξξ=+=∈
且1≥αF .证明 αF 是f 的延拓.
证明 显然1=G
f
.任取满足1≤α的数α，再由2R 上的有界线性泛函αF ：
21212()((,))F x x R αξαξξξ=+=∈
易见αF 是f 的延拓，且1≥αF ，又因
1212()F x x αξαξξξ≤+≤+=
故1≤αF ，于是1=αF .因此αF 是f 的延拓，且满足G
f
F =α.
例3 赋范线性空间E 为一致凸的，是指对任给0>ε，存在0δ>，只要
)1(==≥-y x y x ε
就有δ-≤+2y x .证明
(ⅰ) C[a ，b]不是一致凸的; (ⅱ) L[a ，b]，l 都不是一致凸的;
(ⅲ) 在一致凸空间中，若 }{n x 弱收敛于X ，且x x n →，则}{n x 强收敛于X . 证 （ⅰ）在C[a ，b]中，取a b a
t t y t x --=
=)(,1)(，则 12
=-=+=
=y x y x y x
设10<<ε，则x y ε->，但
)0(12
>?->+δδy x
故C[a ，b]不是一致凸的.
（ⅱ）在L[a ，b]中，取
2
)()(2)(,1)(a b a t t y a b t x --=-=
则
2
1
,12
=
-=+=
=y x y x y x 设2
1
0<<ε，则ε>-y x ，但δ->+12y x ，)0(>?δ，故L[a ，b]不是一致凸的. 在l 中，取20,,21<<==εe y e x ，则
,2x y x y ε=-=>
而
11,(0)2
x y
δδ+=>-?> 故也不是一致凸的.
（ⅲ）证法1 设E 为一致凸空间，,,n n x E x E x x ω
∈∈??
→，且x x n → 我们要证明x x n →(强收敛)，设不然，则存在00>ε及}{k n ，使0ε≥-x x k n
不妨设1,0==≠x x x k n ，据一致凸性，存在0)(0>=εδδ，使
δ-≤+12
x x k n
又根据Hahn-Banach 泛函延拓定理，存在f E *
∈，使
δ-≤+==1)2
(
,)(,1x x f x x f f k n
但
lim (
)()12
k n k x x f f x x →∞
+===
矛盾，故n x x ??
→强
. 证法2 不妨设...)2,1(1===n x x n 首先容易证明，若
20()n x x n -+→→∞
则
)(0∞→→-n x x n
现在x x x n 2?→?
+ω
，则 _____
22lim lim lim 2n n n n n n x x x x x x x →∞
→∞
→∞
=≤+≤+≤+=
即
)(2∞→→+n x x n
故n x x ??
→强
． 例4 设}{n x 是巴拿赫空间E 中的一个点列，则对于每个*
E f ∈，
∑
∞
=1
)(i i x f 收敛的充要
条件是存在正数μ，使对一切自然数m 以及任意的1±=n ε，有
με
≤∑=m
n n
n x 1
．
证 必要性：令
)1)(()(1
±==∑=i m
i i i x f f g εεα，
则**g E ∈α，且
∑=≤
m
i i
i x
g 1
εα
另一方面，据Hahn-Banach 泛函延拓定理，存在*
F E ∈，使
1
1
(),1m
m
i i i i
i i F x x
F εε===
=∑∑
所以
1
1
()()m
m
i i i i
i i g F F x x
αεε====
∑∑
∑==
m
i i
i x
g 1
εα
因为任意*
E f ∈，
∑
∞
=1
)(i i x f 收敛，所以对任意的自然数m 以及任意的1±=n ε，有
με
≤∑=m
n n
n x 1
.
充分性：设对任意的自然数m 以及任意的1±=n ε（n=1，2…，m ），有
με≤∑=m
n n
n x 1
，*
E f ∈ 我们取)(sgn n n x f =ε，并规定0)(=n x f 时，1=n ε，这里也设f 是实泛函，则
f x f x f i m
i i m
i i με≤=∑∑
==)()(1
1
)(m ?
从而
+∞<∑
∞
=1
)(i n x f .
例5 设))((?∈δδx 是实数定向列.定义这些定向列的加法与数乘如下：如果
)(),(δδy y x x ==，那么
)(),(δδδααx x y x y x =+=+
于是这些实数定向列（定向半序集?固定）形成一个线性实空间E ，对于每个)(δx x =，令
δδ
δδδδ
x x x p 0
0sup inf lim )(____
>==
易见
)()()(y p x p y x p +≤+
且当0≥α时，)()(x p x p αα= .由定理2，（从线性子空间}0{出发）知存在E 上的线性泛函
0()lim f x x δδ
=
满足下列条件:
δδ
δδ
δδ
x x x ____
lim lim lim ≤≤
由)()(x p x f ≤得出：因为)()(x p x f ≤，用x -代x ，
)()(x p x f -≤-，或)()(x p x f --≥
（δδ
x lim 称为Banach 极限）.
例6 设M 为赋范线性空间E 的子空间，设0x 是M 中某个弱收敛点列的极限，则M x ∈0. 证 设M x ?0，则0),(0>=M x d ρ，由Hahn-Banach 泛函延拓定理，必存在
*E f ∈，使
)(0)(,)(0M x x f d x f ∈?==
但由条件存在0,n n x M x x ω
∈??
→，则 0lim ()()0n n f x f x →∞
==
矛盾，故M x ∈0.
博士生入学考试泛函分析考试大纲
博士生入学考试《泛函分析》考试大纲 第一章度量空间 §1 压缩映象原理 §2 完备化 §3 列紧集 §4 线性赋范空间 4.1 线性空间 4.2 线性空间上的距离 4.3 范数与Banach空间 4.4 线性赋范空间上的模等价 4.5 应用（最佳逼近问题） 4.6 有穷维* B空间的刻划 §5 凸集与不动点 5.1 定义与基本性质 5.2 Brouwer与Schauder不动点原理* 5.3 应用* §6 内积空间 6.1 定义与基本性质 6.2 正交与正交基 6.3 正交化与Hilbert空间的同构 6.4 再论最佳逼近问题 第二章线性算子与线性泛函 §1 线性算子的概念 1.1 线性算子和线性泛函的定义 1.2线性算子的连续性和有界性 §2 Riesz定理及其应用 Laplace方程f ? -狄氏边值问题的弱解 u= 变分不等到式 §3 纲与开映象定理 3.1 纲与纲推理 3.2 开映象定理 3.3 闭图象定理 3.4 共鸣定理 3.5应用 Lax-Milgram定理 Lax等价定理 §4 Hahn-Banach定理
4.1线性泛函的延拓定理 4.2几何形式----凸集分离定理 §5 共轭空间·弱收敛·自反空间 5.1 共轭空间的表示及应用（Runge） 5.2 共轭算子 5.3弱收敛及*弱收敛 5.4弱列紧性与*弱列紧性 §6 线性算子的谱 6.1 定义与例 6.2 Γелbφaнд定理 第三章紧算子与Fredholm算子 §1 紧算子的定义和基本性质 §2 Riesz-Fredholm 理论 §3 Riesz-Schauder理论 §4 Hilbert-Schmidt定理 §5 对椭圆方程的应用 §6 Fredholm算子 参考文献 1．张恭庆林源渠，“泛函分析讲义”，北京大学出版社，1987。 2．黄振友杨建新华踏红刘景麟《泛函分析》，科学出版社， 2003。
泛函分析在控制系统及算法中的应用
课程:应用法泛函分析题目:泛函分析在控制系统及算法中的应用 学院：自动化与电气工程学院 专业：控制理论与控制工程 姓名： 学号： 指导老师： 二○一三年十二月十日
泛函分析在控制系统及算法中的应用 【摘要】泛函分析的理论、思想和方法在应用数学、物理理论、现代工程技术等众多领域都有广泛的应用。它不仅为控制算法优化以及系统性能分析等建立了严密的理论体系，而且为控制工程实用的数值计算和控制算法的建立，提供了明确的理论依据，并对算法实现的有效性、收敛性提供了各种实用方法。本文从遗传算法的优化，控制系统性能分析和最优控制三方面简要分析了泛函在控制理论与控制工程中的应用。 【关键词】泛函分析控制理论与控制工程遗传算法最优控制 【中图分类号】O177.92- TL361 Through the study of functional analysis, knowing that functional analysis is widely used in many fields, it not only builds a strict theoretical system for the optimization of controlling algorithm and the analysis of systematic performance but also provides a definite theoretical basis for the establishment of numerical calculation and control algorithm of the useful Controlling Engineering.At the same time,a variety of practical methods are put into the algorithm’s effectiveness and convergence. In order to grasp and understand the application of the theory of functional analysis and learn the methods of application of functional analysis. From the point of genetic algorithm , the analysis of performance of controlling system and optimal control briefly analyse that functional is applied in the fields of controlling theory and controling engineering 一、遗传算法的优化 设一个系统的种群为 12 ,..... n X x x x ?? =?? （1-1） 满足约束条 () () 01,2,, 01,2,, 01,2,, j k i X j l X k m i n g h x ?≤= ? ? ≤= ? ? ≥= ?? （1-2） 使目标函数： ()min W X→（1-3）上述问题称为遗传算法的一个优化问题，其中约束条件是一个工程结构中的各项参数，（如系统的动态性能指标、静态性能指标）应该满足的条件。目标函数是用来评价系统的优劣；在寻求目标函数满足约束条件下达到最小值，传统的遗传算法，按照适者生存的原理从给出的种群中不断进化寻求满足约束条件的新解，最后找出收敛的最优解。寻求最优解的过程汇总，当变量增多或者种群取值范围大时，寻求收敛的速度就会相应降低，无法精确的确定最优解的位置。因此采用一解空间到另一解空间的映射, 改进遗传算法求解的迭代过程，从映射角度对分析遗传算法的收敛性，上述问题可以得到相应的解决。 定义 1 度量: d S S R ?→，其中 d 的表达式定义如下： ()() ()() () 22 , i i i i d c f c f x x x x ++ =--- (1-4) 其中i x,2i S x+∈ ,c 是一个大的正数。
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《泛函分析》复习与总结 (2014年6月26日星期四 10:20--- 11:50) 第一部分 空间及其性质 泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函 分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的 性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。 以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。 一．空间 （1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于 (,)X ρ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当 (,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】； x y =(ii) 【对称性】； (,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。 (,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、 s S 所有的内积空间。 （2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数） ！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果 (,||||)X ?是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,x y X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】 ||||0x ≥||||0x =0x =； (ii) 【齐次性】； ||||||||||ax a x =?
(iii) 【三角不等式】。 ||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b ）、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间（范数是由内积导出的范数）。 （3）内积空间 （线性空间 + 内积） ！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果 (,(,))X ??是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正 (,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】； (ii) 【第一变元可加性】； (,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】； (,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。 (,)(,)x z z x =内积空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间、空间。1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系: {内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}. ??2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范 线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内 积. 3) 在距离空间中，，当 0k x x ρ??→?0(,)0k x x ρ→； k →∞赋范线性空间中，，当；|||| 0k x x ???→?0||||0k x x -→k →∞
泛函分析在力学和工程中的应用
泛函分析在力学和工程中的应用 陆章基 （复旦大学应用力学系） 摘要 本文简单介绍泛函分析方法在力学和工程中的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、直交投影法、超圆方法、变分法、变分不等式与凸分析、算子的特征值与谱方法、与实验技术有关的泛函方法等。并介绍当前非线性分析中部分动态。 $ 1 泛函分析概述 泛函分析是高度抽象的数学分支，研究各类泛函空间及算子理论。所谓泛函空间是带有某类数学结构（主要是拓扑和代数结构）的抽象集。其元（或点）可以是数、向量、函数、张量场，甚至各种物理状态等。根据不同拓扑和代数结构，泛函空间划分为各个类别。力学和工程中常见的有①：（i）度量（距离）空间。对任意两抽象元引入距离，由此自然地引入开集等拓扑结构。从而，度量空间是一特殊拓扑空间，但尚未赋予代数结构；（ii）线性拓扑空间（拓扑向量空间。同时带有拓扑和代数结构。所谓拓扑无非是在抽象集中规定某些子集为开集），他们满足开集的基本公理。有了拓扑后，即能引入极限、连续、紧致和收敛等初等分析的重要概念。这里所述的代数结构指的是线性结构（加法和数乘运算）。由此可讨论线性无关、基和维数等代数概念。泛函分析的空间（尤其各类函数空间）绝大部分是无限维的。线性空间（带有线性结构的度量空间）是线性拓扑空间的一例。但最重要的线性拓扑空间应是下列线性赋范空间；（iii）线性赋范空间。每个元（常称向量）配有番薯||x||（是普通向量长度的推广）。线性空间配上范数后，能自然地诱导出度量和拓扑。就这个意义而言，它是特殊的线性拓扑和度量空间。于是，具有这两个空间中所有概念。例如可以讨论该空间（或其子集）是否完备。即任何柯西序列是否为收敛序列。（iv）Banach空间。它是完备的线性赋范空间。完备性使该空间具有十分良好的性质。例如闭图像定理、共鸣定理、逆算子定理和开映照原理等。（v）内积空间。内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富。内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。例如：长度、两向量交角、直交性、直交投影、就范直交系、点（向量）和子空间的距离等。使抽象泛函空间涂上浓厚的几何色彩。力学家和工程师对此尤感兴趣。由于内积可诱导番薯，内积空间是特殊线性赋范空间，但反之不然。与普通欧式空间最相像的应数下述Hilbert空间；（vi）Hilbert空间。它是完备的内积空间，内容最丰富。例如Fourier展开、Bessel不等式和Parseval等式等。由于本文讨论泛函的力学应用，必须提及的最后一类空间是Sobolev空间。（vii）Sobolev空间W m,p（Ω）（p （Ω）空间中可以连续求m阶分布导数的函数u组成的子空间，≥1，m≥0）[3]。它是由L p 并配上Sobolev空间。它是特殊的线性赋范空间。其中，分布导数是普通导数的推广，对于性质极差的Dirac delta之类的广义函数，也能求分布导数。因此，对函数的“光滑程度”提供更一般、更精确的含义。由于Sobolev嵌入定理，可以通过找弱解来讨论偏微分方程的定解问题。p=2这类Sobolev空间特别重要，它是特殊的Hilbert空间，记之为H m（Ω），称作Hilbert-Sobolev空间。 泛函分析另一内容是算子理论，可以讲更为重要。它研究上述各类泛函空间上线性与非线性算子的各种特性。对于单个算子，可引入连续、有界、下有界、闭、紧致和全连续等性质。对于算子集（线性连续算子集或线性连续泛函集等）又可引入新的线性结构和范数等，构成高层的算子空间。其中对偶（共轭）空间尤为重要。据此，可引入自共轭（自伴）算子、投影算子、酉算子、正常算子、自反空间、强和弱收敛等。在初等分析中卓见成效的微分运算
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泛函分析练习题 一?名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共貌算子 6.内点、内部： 7.线性算子、线性范函： 8.自然嵌入算子 9.共貌算子 10.内积与内积空间： 11.弱有界集： 12.紧算子： 13.凸集 14.有界集 15.距离 16.可分 17.Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、压缩映射原理 2.共鸣定理 3.逆算子定理 4.闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理 6、Bai re纲定理 7、开映射定理 8、Riesz表现定理 三证明题： 1.若(x,p)是度量空间，则d = d也使X成为度量空间。 1 + Q 证明：Vx,y,zcX 显然有(1)d(x, y) > 0 ,日3,)，)= 0当且仅当x = (2) d(x9y) = d(y,x) (3)由/(/) = — = !一一， (/>0)关于，单调递增，得 1+，1+r d(x, z) = PE < Q(x,.y)+Q(y,z)
' 1 + Q(x, z) 一1 + p(x, y) + Q(y, z) 匕Q（x，）'） | Q（）'，z） 一1 + Q（3）1+ /?（），, z） = d（x,y） + d（y,z） 故』也是X上的度量。 2,设H是内积空间，天则当尤〃—尤,乂T y时"（七，月）t （寻），），即内积关于两变元连续。 证明：| （% X,）一（x, y） I2 =| （x/t - x, >; - y）\2<\\x n-x\\-\\y tt-y\\ 己知即II七一尤II—0,|| 乂一>||—0。 故有I ，以）一（x, y）『—。 即Cw〃）T（x,y）。 5.设7x（r） = 若T是从心［0,1］-匕［0,1］的算子，计算||T||;若T是从 ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子再求1171。 解：（1）当T是从ZJ0,l］—匕［0,1］的算子。 取x&）=同,贝j］||x（）||2=1>||片）川=［后广出=*. 所以||T||>-^e 故有11『11=±? （2）当T是从ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子时 ||八||2=（。誓⑴力度严=nxii2 Vn,(!--
《应用泛函分析》前四章重点复习大纲
1 第1章预备知识 1.1集合的一般知识 1.1.1概念、集合的运算 上限集、上极限 下限集、下极限 1.1.2映射与逆映射 1.1.3可列集 可列集 集合的对等关系~（定义1.1）1.2实数集的基本结构 1.2.1建立实数的原则及实数的序关系 阿基米德有序域（定义1.4）1.2.2确界与确界原理 上确界sup E（定义1.5） 下确界inf E 确界原理（定理1.7） 1.2.3实数集的度量结构 数列极限与函数极限 单调有界原理 区间套定理 Bolzano-Weierstrass定理 Heine-Bore定理 Cauchy收敛准则 1.3函数列及函数项技术的收敛性1.3.1函数的连续性与一致连续 函数的一致连续性（定义1.10）1.3.2函数列和函数项级数的一致收敛 逐点收敛（定义1.11） 一致收敛（定义1.12） Weierstrass M-判别法（定理1.15）1.3.3一致收敛的性质 极限与积分可交换次序 1.4 Lebesgue积分 1.4.1一维点集的测度 开集、闭集 有界开集、闭集的测度m G m F 外测度内测度 可测集（定义1.16） 1.4.2可测函数 简单函数（定义1.18） 零测度集 按测度收敛 1.4.3 Lebesgue积分 有界可测集上的Lebesgue积分 Levi引理 Lebesgue控制收敛定理（性质1.9） R可积、L可积 1.4.4 Rn空间上的Lebesgue定理 1.5 空间 Lp空间（定义1.28） Holder不等式 Minkowski不等式（性质1.16）
2 第2章度量空间与赋范线性空间 2.1度量空间的基本概念 2.1.1距离空间 度量函数 度量空间（X，ρ） 2.1.2距离空间中点列的收敛性 点列一致收敛 按度量收敛 2.2度量空间中的开、闭集与连续映射 2.2.1度量空间中的开集、闭集 开球、闭球 内点、外点、边界点、聚点 开集、闭集 2.2.2度量空间上的连续映射 度量空间中的连续映射（定义2.7） 同胚映射 2.3度量空间中的可分性、完备性与列紧性 2.3.1度量空间的可分性 稠密子集（定义2.9） 可分性 2.3.2度量空间的完备性 度量空间中Cauchy列（定义2.11） 完备性 完备子空间 距离空间中的闭球套定理（定理2.9） 闭球套半径趋于零，则闭球的交为2.3.3度量空间的列紧性 列紧集、紧集（定义2.13） 全有界集 2.4 Banach压缩映射原理 压缩映像 不动点 Banach压缩映射原理（定理2.16）2.4.1应用 隐函数存在性定理（例2.31） 2.5 线性空间 2.5.1线性空间的定义 线性空间（定义2.17） 维数与基、直和 2.5.2线性算子与线性泛函 线性算子 线性泛函（定义2.18） 零空间ker(T)与值域空间R(T) 2.6 赋范线性空间 2.6.1赋范线性空间的定义及例子 赋范线性空间 Banach空间（定义2.20） 2.6.2赋范线性空间的性质 收敛性——一致收敛 绝对收敛 连续性与有界性 2.6.3有限维赋范线性空间 N维实赋范线性空间
泛函分析复习提要
泛函分析复习提要 一、填空 1. 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，如果 ，则称集M 在集E 中 稠密。如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是 空间。 2. 设X 是度量空间， M 是X 中子集，若 ，则称M 是第一纲集。 3. 设T 为复Hilbert 空间X 上的有界线性算子，若对任何x X ∈，有*Tx T x =， 则T 为 算子。 ( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是正常算子的充要条件是 。) 4. 若复Hilbert 空间X 上有界线性算子T 满足对一切x X ∈，,Tx x <>是实数，则 T 为 算子。 ( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是自伴算子的充要条件是 。) 5.设X 是赋范线性空间，X '是X 的共轭空间，泛函列(1,2,)n f X n '∈= ，如果 存在f X '∈，使得对任意的x X ∈，都有 ，则称{}n f 弱*收敛于f 。 6. 设,X Y 是赋范线性空间，(,)n T B X Y ∈，1,2,n = ，若存在(,)T B X Y ∈使得对任意的x X ∈，有 ，则称{}n T 强收敛于T 。 7. 完备的赋范线性空间称为 空间，完备的内积空间称为 空间 8. 赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 上的有界线性算子T 的范数T = 9. 设X 是内积空间，则称 是由内积导出的范数。 10.设X 是赋范空间，X 的范数是由内积引出的充要条件是 。 11. 设Y 是Hilbert 空间的闭子空间，则Y 与Y ⊥⊥满足 。 12.设X 是赋范空间，:()T D T X X ?→的线性算子，当T 满足 时， 则T 是闭算子。 二、叙述下列定义及定理 1. 里斯（Riesz ）定理； 2. 实空间上的汉恩-巴拿赫泛函延拓定理；
泛函分析在控制工程的应用
泛函分析在控制工程中的 应用 作者：景苏银 学号： 0211443 单位：兰州交通大学 日期：2011.12.1
泛函分析在控制工程中的应用 【摘要】本文综合运用函数论，几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论，通过泛函理论求解工程中可微方程的极值问题，为工程的设计提供了理论基础。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。 【关键词】泛函分析控制工程控制优化 泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。主要内容有拓扑线性空间等。它广泛应用于物理学、力学以及工程技 术等许多专业领域。 泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。 Functional analysis in water conservancy of application
Abstract：This article through the functional theory solution of differential equations can be hydraulic extremum problems, for water conservancy project design provides theory basis. It draws function theory, geometry, algebra point of view to study the infinite dimensional vector space function, operator and limit theory. It can be as infinite dimensional vector space analytic geometry and mathematics analysis。 Functional Analysis (Functional Analysis) is the modern a branch of mathematics, belongs to learn Analysis, the study of main object is function consists of the space. Functional analysis is made to transform (such as Fourier transform, etc.) of the nature of the study and differential equation and integral equation of research and development. Using functional as a statement from the variational method, representative of the function for function. And take Hector <(Stefan Banach) is functional analysis of the theory of the primary founders, and mathematician and physicist voltaire pull (Vito Volterra) to the wide application of functional analysis is an important contribution. Functional analysis is the 1930 s of the formation of the mathematics branch. From the variational problem, integral equation and theoretical physics research develops. Functional analysis in mathematical physics equation, probability theory, the calculation of mathematics branch all has the application, is also a degree of freedom with an infinite physical system mathematical tools. Main content have topological space, etc. It is widely used in physics and mechanics and engineering skills and Art etc many professional fields. 【正文】
泛函分析在数值分析中的应用
泛函分析在数值分析中 的应用 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]
泛函分析在数值分析中的应用 刘肖廷工程力学 一、数学概述 数学是一门从集合概念角度去研究物质世界数量关系与空间形式的基础的自 然学科。它从应用的角度可以分为基础数学与应用数学两大范畴，而基础数学 又可以划分为纯数学和基础应用数学两大范畴。其中，纯数学是建立在基础应 用数学基础上进行的单纯的数学研究。可见基础应用数学是数学学科的基础。 基础应用数学以代数学，几何学，分析学与拓扑学为基础研究物质世界的数 学关系与空间形式。分而言之，代数学主要是从集合概念角度去研究物质世界 的数量关系；几何学主要是从集合概念的角度去研究物质世界的空间形式；分 析学则主要研究集合间的映射关系及其运算；而拓扑学则包含点集拓扑，代数 拓扑，微分拓扑，辛拓普等几个分支，融合与代数学与几何学之中。 应用数学则是以基础数学的基本方法（代数，几何，分析）为基础，去探讨 物质世界不同类型的数量关系与空间形式的。它主要包括三角学，概率论，数 理统计，随机过程，积分变换，运筹学，微分方程，积分方程，模糊数学，数 值分析，数值代数，矩阵论，测度论，李群与李代数等领域。当然，我们同样 不能忽视应用数学对基础数学在理论上的支持与贡献。 由此可见，集合概念是数学的核心概念，代数、几何与分析是是数学的三大 基本方法，代数学、几何学、分析学与拓扑学是支撑数学大厦的四根最紧要的 支柱，此四者同时又是相互联系，不可分割的。这一点印证了一句名言，数学 的魅力正在于其中各个分支之间的相互联系。 泛函分析的基本内容和基本特征 （一）度量空间和赋范线性空间 1、度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽 象空间。19 世纪末，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的 建立奠定了基础。20 世纪初期，法国数学家M. R. 弗雷歇发现许多分析学的 成果从更抽象的观点看来，都涉及函数间的距离关系，从而抽象出度盘空间的 d?→。若对于任何x， 概念。定义：设x 为一个集合，一个映射: X X R y，z属于x，有(1) (正定性)(x,y)0 d=。当且仅当x y d≥，且(x,y)0 =； (2)
泛函分析——武大精品课2-4
1 第12讲 Hahn －Banach 延拓定理 教学目的 掌握线性泛函延拓定理的证明思想及其推论。 授课要点 1、 实空间线性泛函的控制延拓定理。 2、 复空间线性泛函的控制延拓定理。 3、 保范延拓定理。 4、 延拓定理的推论及其意义。 对于一个线性赋范空间来说，对它上面的线性泛函知道得越多，对这个空间本身就了解得越多（参见第9讲思考题1）. 有时候为了某种目的，要求有满足一定条件的线性泛函存在，Hahn －Banach 定理为这样的线性泛函的存在提供了保证. 定义1 设()D T 与()1D T 分别是算子T 与1T 的定义域，若 ()()1D T D T ?，并且1,T x Tx =()x D T ?∈，则称算子1T 是T 的延拓. 定义2 线性空间X 上的实泛函()p x 称为是次可加的，若 ()()()p x y p x p y +≤+，,x y X ?∈ 称为是正齐性的，若 ()()p x p x αα=，x X ?∈，0α≥. 显然线性空间上的每个半范数都是次可加正齐性泛函. 定理1（Hahn －Banach ） 设X 是实线性空间，:p X R →是X 上的正齐性次可加泛函，M X ?是线性子空间，则 （1）对于M 上定义的每个线性泛函0f ，存在0f 从M 到X 的延
2 拓f ：X R →， ()()0f x f x =，x M ?∈ （2）若()()0f x p x ≤，x M ?∈，可选取f 满足 ()()f x p x ≤，x X ?∈ ()1 证 明 1 设M X ≠，取0\x X M ∈，记'M =span {}0,x M ，则 x M ′′?∈，0x x tx ′=+，其中x M ∈，t R ∈. 此分解式是唯一的，否 则另有110x x t x ′=+，1x M ∈，则()110x x t t x ?=??，若1t t ≠，则 1 01 x x x t t ?= ?M ∈，与0x 的取法矛盾，于是1t t =，并且1x x =. 对于任何常数c ，令 ()()0f x f x tc ′=+，0x x tx ′?=+. 则容易验证f 是M ′上的线性泛函. 实际上f 是0f 从M 到M ′的延拓，因为当x M ′∈时，0t =，从而()()0f x f x ′=. 2 我们将证明当x M ?∈，()()0f x p x ≤时，适当选择c ，可使 ()()f x p x ′′≤，x M ′′?∈. 实际上,x y M ?∈，由于 ()()()()000f x f y f x y p x y +=+≤+ ()()00p x x p x y ≤?++， 即 ()()()()0000f x p x x p x y f y ??≤+?， 故存在c 满足 ()()00sup x M f x p x x c ∈??≤ ()()00inf y M p x y f y ∈≤+? ， ()2
泛函分析的应用
现代数学基础学习报告 泛函分析应用 院系： 专业： 导师： 姓名： 学号：
摘要 信号与系统的泛函分析是以泛函理论为工具描述和研究信号与系统特性的近代分析方法。这种方法可使信号与系统的表示更加抽象与概括,并使连续与离散、时域与频域、分析与综合达到统一,从而在信号与系统学科中得到了日益广泛的应用。本文仅就其基本理论及其在电路设计中的应用加以简要的介绍。本文将利用泛函分析中的度量空间的理论研究信号处理纠错的问题，首先介绍度量空间相关理论，然后举例分析其在信号纠错处理中的解决过程，通过应用泛函知识，使纠错过程变得更简便和概括。然后简单介绍泛函的理论知识，使其应用到求解最低功耗电源的设计中，结果表明应用泛函理论可以将求解过程变得更加简便和清晰。
1.泛函分析介绍 泛函分特点和内容[1] 泛函分析是20世纪30年代形成的分科，是从变分问题，积分方程和的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和。它可以看作无限维向量空间的解析几何及。泛函分析在，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的。 泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。 泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个的系统的运动，实际上需要有新的来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多力学系统的例子。一般来说，从力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的理论就属于无穷自由度系统。 正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。 泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，是古典分析观点的推广，综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。 半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在、概率论、函数论、连续介质力学、、计算数学、、等学科中都有重要的应用，还是建立理论的基本工具，也是研究无限个自由度的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。 泛函分析在数学物理方程、、、、等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。 泛函的理论[2]
泛函分析中的概念和命题
泛函分析中的概念和命题 赋范空间，算子，泛函 定理：赋范线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的；有限维赋范线性空间上的任两个 范数是等价的；有限维赋范线性空间是Banach 空间. 定理：M 是赋范线性空间()||||,?X 的一个真闭线性子空间，则,1||||,,0=∈?>?y X y ε使得： M x x y ∈?->-,1||||ε 定理：设X 是赋范线性空间，f 是X 上的线性泛函，则 1.* X f ∈()()的闭线性子空间是X x f X x f N }0|{=∈=? 2.()()中稠密在是不连续的非零线性泛函X f N x f ? 定理：()空间是空间是则是赋范空间，Banach ,Banach },{,Y X B Y X Y X ?≠θ ()()()||||||||||||,,,,,,,,B A AB Z X B AB Z Y B Y X B A Z Y X ≤∈∈∈且则是赋范空间， 可分B 空间：()()[]可分b a C c c p l L p P ,,,,1,1,00∞<≤ ()∞∞l L ,10， 不可分 Hahn-Banach 泛函延拓定理 设X 为线性空间，上的实值函数是定义在X p ，若： (1)()()()()为次可加泛函则称p X y x y p x p y x p ,,,∈?+≤+ (2)()()() 为正齐性泛函，则称p X x x p x p ∈?≥?=,0,ααα (3) ()()() 为对称泛函，则称p X x x p x p ∈?∈?=,K ,||ααα 实Hahn-Banach 泛函定理: 设X 是实线性空间，()x p 是定义在X 上的次可加正齐性泛函，0X 是X 的线性子空间，0f 是定义在0X 上的实线性泛函且满足()()()00X x x p x f ∈?≤，则必存在一个定义在X 上的实线性泛函f ，且满足： 1．()()()X x x p x f ∈?≤0
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结与举例、应用 学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。 一、 度量空间和赋范线性空间 （一）度量空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。 1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y) 与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ? x=y （非负性） 2°d(x,y)= d(y,x) （对称性） 3°对?z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式） 则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空 间或距离空间(metric space )。 （这个定义是证明度量空间常用的方法） 注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为 度量。这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。 ⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。 ⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。 ⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。 1.1举例
应用泛函分析习题解答
1 泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章 第 一 节 3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞
应用泛函分析相关习题
泛函分析练习题 一名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共轭算子 6. 内点、内部： 7. 线性算子、线性范函： 8. 自然嵌入算子 9. 共轭算子 10. 内积与内积空间： 11. 弱有界集： 12. 紧算子： 13. 凸集 14. 有界集 15. 距离 16. 可分 17. Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、 压缩映射原理 2. 共鸣定理 3.逆算子定理 4. 闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach 延拓定理 6、Baire 纲定理 7、开映射定理 8、Riesz 表现定理 三证明题： 1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ= +也使X 成为度量空间。 证明：,,x y z X ?∈ 显然有 （1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。 （2）(,)(,)d x y d y x = （3）由1()111t f t t t = =-++，(0)t >关于t 单调递增，得 (,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,) x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++
(,)(,)1(,)1(,) x y y z x y y z ρρρρ≤+++ (,)(,)d x y d y z =+ 故d 也是X 上的度量。 2， 设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。 证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-?- 已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。 故有 2|(,)(,)|0n n x y x y -→ 即 (,)(,)n n x y x y →。 5.设2()(),Tx t t x t =若T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子，计算||||;T 若T 是从 22[0,1][0,1]L L →的算子再求||||T 。 解：（1）当T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子。 1 2 10|||||()|Tx t x t dt =?≤? 所以 |||| T ≤。 取2 0()x t =，则02|||| 1.x = 4010||||Tx dt ==? 所以 |||| T ≥。 故有 |||. T = （2）当T 是从22[0,1][0,1]L L →的算子时 11 421/221/22200||||(())(())||||Tx t x t dt x t dt x =≤=?? 所以 |||| 1.T ≤
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