高二数学选修2-1知识点总结(完整版)

高二数学选修2-1知

识点总结(完整版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高二数学选修2－1知识点

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.

2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.

3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.

若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.

4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.

若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”.

5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.

若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性：

原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假 四种命题的真假性之间的关系：

()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

7、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．

8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．

用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．

对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ?．

若p 是真命题，则p ?必是假命题；若p 是假命题，则p ?必是真命题．

9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．

全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．

特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 10、全称命题p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?．全称命题的否定是特称命题．

11、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 12、椭圆的几何性质： 焦点的位置

焦点在x 轴上

焦点在y 轴上

图形

标准方程 ()2

2

2210x y

a b a b

+=>> ()2

2

2210y x a b a b

+=>> 范围 a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤

顶点 ()1,0a A -、()2,0a A

()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A

()1,0b B -、()2,0b B

轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =

焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c

焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称

离心率 )2

2101c b e e a a

==-<<

准线方程

2

a x c

=±

2

a y c

=±

13、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则

121

2

F F e d d M M =

=．

14、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．

15、双曲线的几何性质： 焦点的位置

焦点在x 轴上

焦点在y 轴上

图形

标准方程 ()2

2

2210,0x y a b a b

-=>> ()2

2

2210,0y x a b a b

-=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈

顶点 ()1,0a A -、()2,0a A

()10,a A -、()20,a A

轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =

焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c

焦距 ()222122F F c c a b ==+

对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称

离心率 )2

211c b e e a a

==+>

准线方程 2

a x c =±

2

a y c =±

渐近线方程

b y x a

=±

a y x b

=±

16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．

17、设M 是双曲线上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则

121

2

F F e d d M M =

=．

18、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．

19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =． 20、焦半径公式：

若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02

p F x P =+

；

若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上，焦点为F ，则02

p F x P =-+； 若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02p F y P =+

； 若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上，焦点为F ，则02

p

F y P =-+．

21、抛物线的几何性质： 标准方程 22y px =

()0p > 22y px =-

()0p > 22x py =

()0p > 22x py =-

()0p >

图形

顶点

()0,0

对称轴

x 轴

y 轴

焦点

,02p F ?? ???

,02p F ??

- ???

0,2p F ?

? ??

?

0,2p F ?

?- ??

?

准线方程 2

p

x =-

2

p x =

2

p y =-

2

p y =

离心率 1e =

范围 0x ≥ 0x ≤

0y ≥ 0y ≤

22、空间向量的概念：

()1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．

()2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指

的方向表示向量的方向．

()3向量AB 的大小称为向量的模（或长度），记作AB ．

()4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．

()5与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -． ()6方向相同且模相等的向量称为相等向量．

23、空间向量的加法和减法：

()1求两个向量和的运算称为向量的加法，它

遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四

边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．

()2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵

循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作

a OA =，

b OB =，则a b BA =-．

24、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当

0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为

零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．

25、设λ，μ为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．

分配律：()

a b a b λλλ+=+；结合律：()()a a λμλμ=．

26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．

27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()

0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．

28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．