弹簧与物块的分离问题----教师版
“弹簧与物块的分离”模型
模型建构：
两个物体与弹簧组成的系统。两个物体在运动到某一位置时就会分开，那么这个位置就
是物体间的分离点。
【模型】弹簧与物块的分离
【特点】①都要建立动力学方程；②分离条件是：相互作用的弹力F N =0
这个问题可以分成两类“模型”：
【模型1】水平面上“弹簧与木块的分离”模型
如图1，B 与弹簧相连，而A 、B 是紧靠在一起的
两个物体，当弹簧原来处于压缩状态，如果地面是光滑
的，则物体A 、B 在向左运动的过程中A 、B 何时分离。
〖解析〗物体应在弹簧的原长处分离。由于水平面光滑，当弹簧从压缩状态回到自然伸
长位置时，一直加速运动。当它刚刚回到平衡位置时，物块B 受的弹力为阻力，开始减速。
而物块A 不受外力做匀速直线运动。v A ≥v B
此时A 、B 分离。
【体验1】但是如果物体与地面之间是不光滑的，题目条件如模型1。试讨论分离条件。
〖解析〗假设A 、B 在某一位置分离，此时刻两物体的相互作用力为零F AB =0
同时，两物体的加速度相同。
则A A a g μ=；B B B kx a g m μ=+
所以()A B g x k
μμ-=
讨论：
（1）如果A μ等于B μ或均为零；x 等于零。两物体在O 点分离；
（2）如果A μ大于B μ，x 大于零，两物体在O 点的右侧分离；
（3）如果A μ小于B μ，x 大于零，两物体的分离点在O 点的左侧。 图1 A B O
〖点评〗两物体分离的条件是：相互间的弹力F N =0等于零；两物体瞬时加速度相等。
【模型2】竖直面上“弹簧与木块的分离”模型
如图2所示，轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板，在薄板上放重物，
用手将重物向下压缩到一定程度后，突然将手撤去，重物何时与木板分离
〖解析〗当物体分离时，物体间的弹力F N =0
物块只受重力，物块的加速度为g ，木板的加速度也为g
弹簧的状态应为原长，即弹簧恢复原长时，二者分离
此时物块与薄板有共同的加速度。
从动力学的角度可以得到，竖直方向的弹簧类问题两物体的分离点是在弹簧的原长处。 模型典案：
【典案1】A 、B 两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图3所示，已知木块A 、B 质量分别为 kg
和 kg ，弹簧的劲度系数k=100 N/m ，若在木块A 上作用一个竖直向上的力F ，使A 由静止
开始以 m/s 2的加速度竖直向上做匀加速运动（g=10 m/s 2）
（1）使木块A 竖直做匀加速运动的过程中，力F 的最大值；
（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A 、B 分离的过程中，弹簧的弹性势能减少
了 J ，求这一过程F 对木块做的功。
〖解析〗（1）设A 、B 叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x
有k x =（m A +m B ）g ，
所以x =（m A +m B ）g/k ①
对A 施加向上的F 力，分析A 、B 受力如图4
对A ：F+F N -m A g=m A a ②
对B ：kx′-F N -m B g=m B a′ ③
图2 m M
图3 图4
可知，当F N ≠0时，AB 有共同加速度a=a′，
由②式知欲使A 匀加速运动，随F N 减小F 增大，
当F N =0时，F 取得了最大值F m ，即
F m =m A （g+a ）= N
（2）又当F N =0时，A 、B 开始分离，由③式知，此时弹簧压缩量kx′=m B （a+g ）
即x′=m B （a+g ）/k ④
AB 共同速度 v 2=2a （x-x′） ⑤
由题知，此过程弹性势能减少了W P =E P = J
设F 做功W F ，对这一过程应用动能定理或功能原理
W F +E P -（m A +m B ）g （x-x′）=2
1（m A +m B ）v 2 ⑥ 联立①④⑤⑥，且注意到E P = J
可知，W F =×10-2 J
〖点评〗此题命题意图是考查对物理过程、状态的综合分析能力。难点和失分点在于能
否通过对此物理过程的分析后，确定两物体分离的临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、
速度相同且相互作用的弹力F N =0时 ，恰好分离。
【案例2】如图5所示，轻弹簧上端固定，下端连接一质量为m 的
重物，先由托盘托住m ，使弹簧比自然长度缩短L ，然后由静止开始以
加速度a 匀加速向下运动。已知a 间托盘M 将与m 分开 【解析】当托盘与重物分离的瞬间，托盘与重物虽接触但无相互作 用力，此时重物只受到重力和弹簧的作用力 在这两个力的作用下，当重物的加速度也为a 时，重物与托盘恰好分离。 由于a 然后由牛顿第二定律和运动学公式求解： 根据牛顿第二定律得：mg kx ma -= ① 图5 由①得：()x m g a k -= 由运动学公式有：212L x at += ② 联立①②式有：()212 kL m g a at k +-= ③ 解得：()2kL m g a x ka +-???? = 〖点评〗本题属于牛顿运动定律中的临界状态问题。求解本类题型的关键是找出临界条 件，同时还要能从宏观上把握其运动过程，分析出分离瞬间弹簧的状态。我们还可这样探索： 若将此题条件改为a g ，情况又如何呢 【典例3】如图6所示，一劲度系数为k=800 N / m 的轻弹簧两端各焊接着两个质量均 为m=12 kg 的物体A 、和B ，物体A 、B 和轻弹簧竖立静止在水平地面上。 现要加一竖直向上的力F 在上面物体A 上，使物体A 开始向上做匀加速 运动，经 s 物体B 刚要离开地面。设整个过程中弹簧都处于弹性限度内， 取g=10 m / s 2 ，求： （1）此过程中所加外力F 的最大值和最小值。 （2）此过程中外力F 所做的功。 [解析]（1）A 原静止时，设弹簧压缩x 1， 由受力平衡和胡克定律有：kx 1=mg------------① 物体A 向上做匀加速运动，开始时弹簧的压缩形变量最大，向上的弹力最大，则所需外 力F 最小，设为F 1 由牛顿第二定律：F 1+kx 1—mg =ma -----------② 当B 刚要离地时，弹簧由缩短变为伸长，此时弹力变为向下拉A ，则所需外力F 最大， 设为F 2 对B ：kx 2=mg ------------③ 对A ：F 2-kx 2-mg=ma -----------④ 图6 由位移公式对A有：2 2 12 1 at x x= + ----------⑤ 又t=⑥ 由①②③④⑤⑥可得： a=s2F1=45N F2=285N （2） s末的速度：v=at=× m / s= m / s 对A全程由动能定理得：W F－mg (x1+x2)=mv2 解得：W F= J 也可用能量守恒求解： 在力作用的内，在初末状态有x1=x2，所以弹性势能相等，由能量守恒知，外力做了功，将其它形式的能转化为系统的重力势能和动能。即： 【典案4】如图7质量为m A=10kg的物块A与质量为m B=2kg的物块放在倾角为300光滑斜面上，处于静止状态，轻弹簧一端与物块B连接，另一端与固定档板连接，弹簧的劲度系数为K=400N/m，现给物块A施加一个平行与斜面向上 的力F，使物块A沿斜面向上做匀加速直线运动，已知 力F在前内是变力，后为恒力，求力F的最大值和最小 值。（g=10m/s2） 【解析】原系统处于静止状态，则M与m受合外力为零,设此时弹簧压缩量为x o即：(m+M)gsin300=kx0 则： x0= 由静止开始向上匀加速运动，m与M在0～内整体向上有共同的加速度a．设经时间为t， 则在t内m与M上升位移为S： S= 2 1 at2 ① 在0～内以m与M为整体：F+K(X0-S)-(m+M)gsin300=(m+M)a ② 图7 当t=时 s=2 1a×2= ③ 由①、②、③得： F+ ④ 分析可知在后F 为恒力，此状况只有m 与M 分离可存在 在ｔ＝ｓ后，对ｍ有：Ｆ－ｍｇsin300＝ｍａ，（此时力Ｆ也为ｔ＝ｓ瞬间的力） Ｆ＝（ｇ/2＋ａ）ｍ ⑤ 由④⑤得：ａ＝5ｍ／ｓ２． 分析可知Ｆ最小力应是在ｔ＝０时， 即：Ｆmin =(m+M)a=(2+10) ×5=60N 在t=以后力有最大值 即： F max =(g/2+a) ×m=(10/2+5) ×10=100N 【典案5】质量为M=6Kg 的小车放在光滑的水平面上，物块A 和B 的质量均为m=2Kg 且 均放在小车的光滑水平底板上，物块A 和小车右侧壁用一根轻弹簧连接，不会分离，如图8 所示，物块A 和B 并排靠在一起，现用力向右 压B 并保持小车静止，使弹簧处于压缩状态， 在此过程中外力做功270J 。撤去外力，当A 和 B 分开后，在A 达到小车底板的最左端位置之 前，B 已从小车左端抛出， 求：（1）B 与A 分离时，小车的速度多大 （2）从撤去外力至B 与A 分离时，A 对B 做了多少功 （3）假设弹簧伸到最长时B 已离开小车。A 仍在车上，则此时弹簧的弹性势能是多大 〖解析〗（１）分析可知A 、B 分离时应在弹簧恢复为原长时，此时AB 有共同速度为v 1， 设车速为v 2，接触面均光滑，动量守恒，取向右为正， Ｏ＝Ｍv 2－２ｍv 1 ① 又机械能守恒：ＥP ＝2221Mv ＋2122 1mv ② 由①②得：v 1＝9m/s ，v 2＝6m/s ③ （２）A 对B 做的功应为Ｂ的动能增量： 图8 ∴ＷB ＝ＥBK ＝212 1mv -0＝81J ④ （３）A 与B 分离后，A 的速度不变，弹力对Ａ与Ｍ作负功。弹簧最长时，令Ａ的速度 为ｖ３，A 与M 有共同速度，动量再次守恒，有： 取向右为正： Ｍv 2－ｍv 1＝（Ｍ＋ｍ）v 3 ⑤ 第二次机械能守恒：()232 1v m M +＋ＥＰ／＝189J ⑥ 由③⑤⑥得：/P E ＝Ｊ 模型体验： 【体验1】用木板托住物体m ，并使得与m 连接的弹簧处于原长，手持木板M 向下以加 速度a （a 间。 〖解析〗m 在与M 一起向下做匀加速运动过程中，m 受到弹簧的弹力不断增 大，板M 对m 的支持力不断减小，重力保持不变。 m 与板M 分离的条件为板M 对m 的支持力F N 恰好为零，且此时m 与M 运动 的加速度恰还相等。 设：m 与M 分离经历t 时间，弹簧伸长为x ： mg －kx ＝ma 解得：x ＝k a g m )(- 又因为：x ＝ 21at 2 所以t ＝a a g m )(2- 【体验2】如图10所示，轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板，在薄板上放重物， 用手将重物向下压缩到一定程度后，突然将手撤去，则重物将被弹簧弹射出 去，则在弹射过程中(重物与弹簧脱离之前)重物的运动情况是 ( ) A.一直加速运动 B ．匀加速运动 a 图9 图10 C.先加速运动后减速运动 D ．先减速运动后加速运动 【解析】物体的运动状态的改变取决于所受合外力．所以，对物体进行准确的受力分析是解决此题的关键，物体在整个运动过程中受到重力和弹簧弹力的作用．刚放手时，弹力大于重力，合力向上，物体向上加速运动，但随着物体上移，弹簧形变量变小， 弹力随之变小，合力减小，加速度减小；当弹力减至与重力相等的瞬间，合力 为零，加速度为零，此时物体的速度最大；此后，弹力继续减小，物体受到的 合力向下，物体做减速运动，当弹簧恢复原长时，二者分离． 正确答案：C 【体验3】如图11所示，一根轻质弹簧两端与质量分别为m 1 和m 2的木块相连，竖直放置在水平地面上。问：至少要向下压多大的力F 于m 1上，才可以使突然撤去外力F 后m 2恰好离开地面 〖解析〗m 2恰好离开地面的临界条件是弹簧比原长再伸长x 2，且kx 2=m 2g 和m 1速度为零。 设未加压力F 时，弹簧的压缩量为x 0；加压力F 时，弹簧的压缩量为x 1， 则：kx 0=m 1g kx 1=F+m 1g 应用简谐运动的对称性求解：m 2不离开地面，m 1做简谐运动，则 振幅：A=x 1－x 0= x 0 + x 2 所以x 1=x 2+2x 0=k g m k g m 122 加压力F 时，F+m 1g=kx 1 ∴F=kx 1－m 1g=(m 1+m 2) g [点评]物体与弹簧组成的系统做简谐运动时，具有明显的对称性，这类题一般用对称性来求解会简单得多。 【体验4】如图所示，质量为m 的物体A 用一轻弹簧与下方地 面上质量也为m 的物体B 相连，开始时A 和B 均处于静止状态，此 时弹簧压缩量为x 0，一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连接物 体A 、另一端C 握在手中，各段绳均处于刚好伸直状态，A 上方的 一段绳子沿竖直方向且足够长。现在C 端施水平恒力F 而使A 从静 图11 止开始向上运动。（整个过程弹簧始终处在弹性限度以内） （1）如果在C 端所施恒力大小为3mg ，则在B 物块刚要离开地面时A 的速度为多大 （2）若将B 的质量增加到2m ，为了保证运动中B 始终不离开地面，则F 最大不超过多少 〖解析〗由题意可知：弹簧开始的压缩量0mg x k =，在B 物块刚要离开地面时弹簧的伸长量也是0mg x k = （1）若F=3mg ，在弹簧伸长到x 0时，B 开始离开地面，此时弹簧弹性势能与施力前相等，F 所做的功等于A 增加的动能及重力势能的和。即 2002 122mv x mg x F +?=? 可解得：022gx v = （2）所施力为恒力F 0时，物体B 不离开地面，类比竖直弹簧振子，物体A 在竖直方向上除了受变化的弹力外，再受到恒定的重力和拉力。故物体A 做简谐运动。 在最低点： F 0－mg+kx 0=ma 1 式中k 为弹簧劲度系数，a 1为在最低点A 的加速度。 在最高点，B 恰好不离开地面，此时弹簧被拉伸，伸长量为2x 0，则： K （2x 0）+mg －F 0=ma 2 考虑到： kx 0=mg 简谐运动在上、下振幅处 a 1=a 2 解得：F 0=2 3mg 也可以利用简谐运动的平衡位置求恒定拉力F 0。物体A 做简谐运动的最低点压缩量为x 0，最高点伸长量为2x 0，则上下运动中点为平衡位置，即伸长量为02x 所在处。 由： 002 x mg k F += 解得：F 0=23mg 【点评】区别原长位置与平衡位置。与原长位置对应的形变量与弹力大小、方向、弹性势能相关；与平衡位置对应的位移量与回复大小、方向、速度、加速度相关。 【体验5】如图12所示，光滑的水平面上有ｍＡ＝２㎏，ｍＢ＝ｍｃ＝１㎏的三个物体，用轻弹簧将Ａ与Ｂ连接，在Ａ、Ｃ两边用力使三个物体 靠近，A 、B 间的弹簧被压缩，此过程外力做功７２J ，然 后从静止释放。求： （１）当物体Ｂ、Ｃ分离时，B 对C 做的功有多少 （２）当弹簧再次被压缩到最短而后又伸长到原来时，A 、B 的速度各是多大 〖解析〗此题关键是判断出Ｂ与Ｃ分离条件为弹簧恢复到原长，而弹簧再次被压缩到最短条件为Ａ、Ｂ同速且向右。 （１）当Ｂ、Ｃ分离时弹簧恢复到原长， 由动量守恒：m A v A ＝（m B ＋m C ）v BC ① 由机械能守恒：21m A v A 2＋2 1（m B ＋m C ）v BC 2=72J ② B 对C 做功：W BC ＝ 21m C v BC 2 ③ 由①②③得：v A ＝v BC ＝6m/s ，W BC ＝18J （２）当弹簧压缩到最短时，Ａ、Ｂ同速方向向右，则有： m A v A -m B v BC ＝（m A ＋m B ）v ， v=2m/s 设弹簧再次伸长到原长时，Ａ、Ｂ速度分别为ｖ１和ｖ２，则： （m A ＋m B ）v ＝m A v 1＋m B v 2 ④ 72－21m C v BC 2 ＝21m A v 12＋2 1m B v 22 ⑤ 由④⑤得：v 1=2m/s ，向左；v 2=10m/s ，向右 或 v 1＝6m/s ，向右；v 2=6m/s ， 向右 注意（２）求的速度是矢量，最后方向不可丢失，解题要严谨。 【体验6】如图，质量为1m 的物体A ，通过一轻质弹簧与下方地面 上的质量为2m 的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k ，A ．B 都处于静止状 态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A ，另一端连一轻挂 图6 图12 钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为3m 的物体C 并从静止状态释放，已知它恰好能使B 离开地面但不继续上升。（1）求物体C 下降的最大距离。（2）若将C 换成另一个质量为)(31m m +的物体D ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B 刚离地时D 的速度的大小是多少已知重力加速度为g 。 【解析】开始时，A 、B 静止，设弹簧压缩量为1x ，有11g kx m = 挂C 并释放后，C 向下运动，A 向上运动，设B 刚要离地时弹簧伸长量为2x ， 有22kx m g = B 不再上升，表示此时A 和 C 的速度为零，C 已降到其最低点.由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为 312112=m ()()E g x x m g x x ?+-+ C 换成 D 后，当B 刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得 311311211211()()()()22 22m m υm υm m g x x m g x x E ++=++-+-? 联立解得2 11213()(2)2m m m g υ=m m k ++ 【体验7】如图所示，挡板P 固定在足够高的水平桌面上，小物块A 和B 大小可忽略，它们分别带有+Q A 和+Q B 的电荷量，质量分别为m A 和m B 。两物块由绝缘的轻弹簧相连，一不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端与B 连接，另一端连接一轻质小 钩。整个装置处于场强为E 、方向水平向左的匀强电场中。 A 、 B 开始时静止，已知弹簧的劲度系数为k ，不计一切摩擦 及A 、B 间的库仑力，A 、B 所带电荷量保持不变，B 不会碰 到滑轮。 (1) 若在小钩上挂一质量为M 的物块C 并由静止释放，可使物块A 恰好能离开挡板P ，求物块C 下落的最大距离； (2) 若C 的质量改为2M ，则当A 刚离开挡板P 时，B 的速度多大 【解析】（1）开始平衡时有：K EQ x EQ kx B B ==11可得 当A 刚离开档板时：K EQ x EQ kx A A = =22可得 故C 下落的最大距离为：21x x h += 由①～③式可解得h=)(A B Q Q K E + （2）由能量守恒定律可知：C 下落h 过程中，C 重力势能的的减少量等于B 的电势能的 增量和弹簧弹性势能的增量、系统动能的增量之和 当C 的质量为M 时：B Mgh Q E h E =?+?弹 当C 的质量为2M 时：2)2(212V m M E Eh Q Mgh B B ++ ?+=弹 解得A 刚离开P 时B 的速度为：) 2()(2B B A m M K Q Q MgE V ++= 【体验8】如图所示，一劲度系数k=800N/m 的轻弹簧两端各焊接着一个质 量为m=12kg 的物体。A 、B 竖直静止在水平地面上，现在对物体A 加一竖直向 上的力F ，使A 开始向上做匀加速运动，经，B 刚要离开地面。设整个过程弹簧 都处于弹性限度内（g 取10m/s 2 ）求： （1）此过程中所加外力F 的最大值和最小值 （2）此过程中力F 所做的功 分析：物体在外力作用下做匀加速直线运动，通过受力分析，运用牛顿定律列方程，就能解决第一问。力F 是变力，变力做功只能根据功能关系或动能定理求解。确定了物体上升的高度及速度，列出功能关系方程，本题则解。 解析：（1）设A 上升前，弹簧的压缩量为x 1，B 刚要离开地面时弹簧的伸长量为x 2，A 上升的加速度为a 。 A 原来静止时，因受力平衡，有：mg kx = 1 设施加向上的力，使A 刚做匀加速运动时的最小拉力为F 1 ma mg kx F =-+1 1 B 恰好离开地面时，所需的拉力最大，设为F 2 对A ：ma mg kx F =--2 2 对B ：mg kx =2 由位移公式，对A ：2 221at x x =+ 联立解得：m k mg x x 15.021== = a=s 2 F 1=45N F 2=285N （2）解法一：力作用的内，在末状态有x 1=x 2，弹性势能相等，由能量守恒知，外力做了功，将其他形式的能转化为系统的重力势能和动能，即： ()Wm g x x m a t J F =++=1222495(). 解法二：根据动能定理()02 1221-=+-mv x x mg W F 解得： ()Wm g x x m a t J F =++=1222 495(). 点拨：本题的难点是外力F 做功的求解。一是如何运用功能关系求解，二是势能的变化难以确定。最初对A ，mg kx =1；最终对B ，mg kx =2。全程弹力做功为零。弹性势能的变化为零。