有理数知识总结及经典例题
有理数
一、学习目标：
●理解正负数的意义，掌握有理数的概念和分类；
●理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算；
●通过熟练运用法则进行计算的同时，能根据各种运算定律进行简便运算；
●通过本章的学习，还要学会借助数轴来理解绝对值，有理数比较大小等相关知识。
二、重点难点：
●有理数的相关概念，如：绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等,有理数的运算；
●有理数运算法则尤其是加法法则的理解；有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便运
算。
三、学习策略：
●先通过知识要点的小结与典型例题练习，然后进行检测，找出漏洞，再进行针对性练习，从而达
到内容系统化和应用的灵活性。
四、知识框架：
五、知识梳理
1、知识点一：有理数的概念
（一）有理数：
（1）整数与分数统称__________________
按定义分类：
_______
____
____
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有理数
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按符号分类：
_____
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有理数零
_ _ _ _
_ _ _ _
注：①正数和零统称为_______________；②负数和零统称为_______________③正整数和零统称为_______________；④负整数和零统称为_______________.
（2）认识正数与负数：
，2008等大于_______________的数，叫做_______________.
①正数：像1，1.1，17
5
，-2008等在正数前面加上“－”（读作负）号的数，叫__________注意：_________
②负数：像-1，-1.1，-17
5
都大于零，___________都小于零.“0”即不是_________，也不是__________.
（3）用正数、负数表示相反意义的量：
如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其___________意义的量，如果负数表示某种意义的量，则正数表示其___________意义的量.如：若-5米表示向东走5米，则+3米表示向____________走3米；若+6米表示上升6米，则-2米表示____________；+7C表示零上7C，-7C则表示____________ .
（4）有理数“0”的作用：
（二）数轴
（1）概念：规定了______________ 、______________和______________的直线
注：①______________、______________、______________称为数轴的三要素，三者缺一不可.
②单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的，后者指所取度量单位的，即是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.
（2）数轴的画法及常见错误分析
①画一条水平的______________；
②在这条直线上适当位置取一实心点作为______________：
③确定向右的方向为______________，用______________表示；
④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的要一致.
⑤数轴画法的常见错误举例：
错例原因
不统一
没有
（3）有理数与数轴的关系
一切有理数都可以用数轴上的表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数，正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数.
注意：数轴上的点不都是有理数，如π.
（三）相反数
（1）相反数：只有的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是；若a与b互为相反数，则___
+= ，
a b
反之亦然.
（2）相反数的性质：
①代数意义：只有的两个数叫做互为相反数，特别地，O的相反数是0．相反数必须
出现，不能单独存在．例如+5和互为相反数，或者说+5是的相反数，－5是的相反数，而单独的一个数不能说是．另外，定义中的“只有”指除以外，两个数，注意应与“只要符号不同”区分开．例如+3与－3互为相反数，而+3与－2虽然不同，但它们不是相反数．
②几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于两侧，并且到原点的________相等．这两点是关于_____ 对称的．
③求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．一般地，数a的相反数是；这里以a表示任意一个数，可以为、、负数，也可以是任意一个代数式．注意－a不一定是．注意：当a＞0时，－a0(正数的相反数是数)；
当a=0时，－aO(0的相反数是)；
当a＜0时，-aO (负数的相反数是)．
④互为相反数的两个数的和为，即若a与b互为，则a+b=0，反之，若a+b=O，则a与b互为．
⑤多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号，都可以全部；一个正数前面有
个“－”号，也可以把“－”号全部去掉；一个正数前面有个“－”号，则化简后只保留一个“－”号，即“负正”（其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数的，“负正”是指化简的最后结果的.
（四）绝对值
（1）绝对值的代数意义及几何意义
①绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是.
②绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的与_______的距离.数a 的绝对值记作 . 注意：
①取绝对值也是一种，这个符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质
绝对值符号.
②绝对值具有性，取绝对值的结果总是.
③任何一个有理数都是由部分组成：和它的，如：－5，符号是，绝对值是.
（2）字母a 的绝对值的分类
___,()___,(0)___,(0)
a o a a a >??==???=?≤? （3）利用绝对值比较两个负有理数的大小
规则：两个负数，绝对值大的反而.
步骤：①计算两个负数的.
②比较这两个的大小.
③写出正确的判断结果.
④如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为. 例如：若0,____,____,______a b c a b c ++====则
2、知识点二：有理数运算
（一）有理数比较大小
（1）数轴上的数，右边的数总左边的数．
（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；
（3）两个负数，绝对值大的反而；
（4）两数比较大小，可按符号情况分类：
0???????????????
同正：__________大的数大两数同号同负：__________大的反而小比较大小两数异号（一正一负）：______大于_______正数与0：_______大于0其中有时负数与0：_______小于0
（二）有理数的加减法
（1）有理数加法法则