新课程人教版《3.2函数的基本性质》导学案(2课时)

3.2.1 函数的单调性与最大（小）值

1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性概念；

2.掌握增（减）函数的证明与判断；

3.能利用单调性求函数的最大（小）值；

4.学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

1.教学重点：函数单调性的概念，函数的最值；

2.教学难点：证明函数的单调性，求函数的最值。

1、增函数与减函数的定义：

一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当

x 1＜x 2时，都有 ，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数。

一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有 ，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数 2.函数的单调性与单调区间

如果函数y ＝f (x )在区间D 上是 ，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的 。 3.函数的最大（小）值

一般地，设函数y ＝f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x∈I ，都有f(x) M ，存在x 0∈I ，使得 ＝M 。称M 是函数y ＝f(x)的最大值。

一般地，设函数y ＝f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有f(x) M ，存在x 0∈I ，使得 ＝M 。称M 是函数y ＝f(x)的最小值。

一、探索新知 探究一 单调性

1、思考：如何利用函数解析式2

)(x x f 描述“随着x 的增大，相应的f(x)随着增大？”

2、你能类似地描述2)(x x f =在区间)0,(-∞上是减函数吗？

3、思考：函数||)(x x f =，2

)(x x f -=各有怎样的单调性 ？

吗？

该区间上一定是增函数在那么函数且满足在定义域的某区间上、思考：函数)(),()(,,存在)(4212121x f y x f x f x x x x x f y =<<=

5、思考：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？

牛刀小试：

1、如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间上,f(x)是增函数还是减函数。

例1 根据定义，研究函数 )0()(≠+=k b kx x f 的单调性。

结论：用定义证明函数的单调性的步骤:

1.取数:任取x 1，x 2∈D，且x 1

2.作差:f(x 1)－f (x 2)；

3.变形:通常是因式分解和配方；

4.定号:判断差f (x 1)－f (x 2)的正负；

5.结论:指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性. 例2 物理学中的玻意耳定律为正常数）

k V

k

p (=

告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大,试用函数单调性证明之.

例3 根据定义证明函数x

x y 1

+=在区间),1+∞（上单调递增。

探究二 函数的最大（小）值

1、思考：观察这两个函数图象，图中有个最高点，设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M ，则对函数定义域内任意自变量x ，f(x)与M 的大小关系如何？

定义:一般地，设函数y= f (x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：

（1）对于任意的x ∈I，都有f (x) ≤ ; （2）存在I x ∈0，使得 . 则M 是函数y= f (x)的最大值（maximum value ）

2、思考：能否仿照函数的最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义呢？

例4 菊花烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h 米与时间t 秒之间的关系为

h(t)=-4.9t 2

+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1米)?

例5 已知函数])6,2[(1

1

)(∈-=x x x f ，求函数)(x f 的最大值与最小.

1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )

A ．y ＝2x ＋1

B ．y ＝x 2＋1

C ．y ＝3－x

D ．y ＝x 2＋2x ＋1 2．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的单调减区间是( )

A ．(－∞，1)

B ．(1，＋∞)

C ．(－∞，2)

D ．(2，＋∞)

3．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( )

A ．2

B ．－2

C ．2或－2

D ．0 4．函数y ＝x 2－2x ，x ∈[0,3]的值域为( )

A ．[0,3]

B ．[－1,0]

C ．[－1，＋∞)

D ．[－1,3] 5．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1.

(1)画出函数的图象；

(2)根据图象求函数在区间[－1,1]上的最大值．

这节课你的收获是什么？

参考答案：

探究一 1.图象在区间 ）+∞,0(上 逐渐上升，在）+∞,0(内随着x 的增大，y 也增大。

对于区间）+∞,0(内任意21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <。这是，就说函数2

)(x x f =在区间

）+∞,0(上是增函数.

2、在区间)0,(-∞内任取21,x x ，得到2

11)(x x f =，2

22)(x x f =，当21x x <时，都有)()(21x f x f >。这时，我们就说函数 2

)(x x f =在区间)0,(-∞上是这减函数.

3、）上单调递增。，上单调递减，区间（在区间（∞+∞-=0)0,||)(x x f

）上单调递减。，上单调递增，在区间（在区间（∞+∞--=0)0,)(2x x f

4、不一定，如

5、y=2x+3,

牛刀小试

函数f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],

其中f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数，

在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。

探究二 1.f(x)< M

达标检测

1.【解析】函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数．

【答案】C

2.【解析】易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．

【答案】B

3、【解析】由题意，a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.

【答案】C

4、【解析】∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，

当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1,3]，故选D.

【答案】D

5、(1)图象如图所示：

(2)由图象知，函数在[－1,1]上的最大值是3.

3.2.2 奇偶性

1.使学生了解奇函数、偶函数的定义；[X

2、使学生了解奇函数、偶函数图象的对称性；

3、使学生会用定义判断函数的奇偶性；

4.培养学生判断、推理的能力，加强化归转化能力的训练。

1.教学重点：奇函数、偶函数的定义，判断函数的奇偶性；

2.教学难点：用定义判断函数的奇偶性。

一、

一、探索新知

探究一 偶函数 1.在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数2

()()2||f x x f x x ==-和的图象，并观察这两个函数图象. 思考1.总结出它们的共同特征.

思考2.对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(-3)与f(3),f(x)与f(-x)有什么关系？

2.偶函数定义：一般地,如果对于函数f(x)的定义域内 ,都有 , 那么函数f(x) 就叫做偶函数.

3.思考:定义中“任意一个x,都有f(-x)=f(x)成立”说明了什么？

结论：（1）偶函数的图象关于y 轴对称. （2）偶函数的定义域关于原点对称. 牛刀小试

判断下列函数是否为偶函数。

22(1)(),[1,1].(2)(),[1,1)f x x x f x x x =∈-=∈-。

探究二 奇函数

1.观察函数()f x x =和1

()f x x

=的图象，并完成下面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？

2、奇函数定义： 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内 ，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数．

奇函数的图象特征：奇函数的图象关于对称，反之，一个函数的图象关于对称，那么它是奇函数．

注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

③具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

例1：判断下列函数的奇偶性：

（1）

4

()

f x x

=（2）5

()

f x x

=（3）

1

()

f x x

x

=+

（4）2

1

()

f x

x

=

总结：利用定义判断函数奇偶性的步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定f(－x)与f(x)的关系；

③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

3.思考：

（1）判断函数3

()

f x x x

=+的奇偶性。

（2）如图，是函数3

()

f x x x

=+图象的一部分，你能根据函数的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？

（3）一般地，如果知道函数为偶（奇）函数，那么

我们可以怎样简化对它的研究？

1．下列函数是偶函数的是()

A．f(x)＝x B．f(x)＝2x2－3

C．f(x)＝x D．f(x)＝x2，x∈(－1,1]

2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )

A ．－13 B.13 C ．－12 D.12

3．若奇函数f (x )在[－6，－2]]上是减函数，且最小值是1，则它在[[2,，,6]]是( )

A ．增函数且最小值是－1

B ．增函数且最大值是－1

C ．减函数且最大值是－1

D ．减函数且最小值是－1

4．如图，已知偶函数f (x )的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，且f (3)＝0，则不等式f (x )＜0的解集为________．

5．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x 2－x .

(1)求f (x )的表达式； (2)画出f (x )的图象．

这节课你的收获是什么？

参考答案：

探究一 思考1.图象关于y 轴对称

思考2： f(1)=f(-1)，f(2)=f(-2)，f(-3)=f(3),f(x)=f(-x)。

3.说明-x 、x 必须同时属于定义域，f(-x)与f(x)都有意义. 牛刀小试 （1）是 （2）不是 探究二 1.图象关于x 轴对称。 思考：（1）奇函数 （2）

达标检测

1.【解析】 对于A ，f (－x )＝－x ＝－f (x )，是奇函数；对于B ，定义域为R ，满足f (x )＝f (－x )，是偶函数；对于C 和D ，定义域不对称，则不是偶函数，故选B.

【答案】 B

2.【解析】 依题意得f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，又a －1＝－2a ，∴a ＝13，∴a ＋b ＝1

3

.故选B.

【答案】 B

3.【解析】 ∵奇函数f (x )在[－6，－2]]上是减函数，且最小值是1，∴函数f (x )在[[2,，,6]]上是减函数且最大值是－1. 【答案】 C

4.【解析】 由条件利用偶函数的性质，画出函数f (x )在R 上的简图：

数形结合可得不等式f (x )＜0的解集为(－3,0)∪(0,3)． 【答案】 (－3,0)∪(0,3)

5.【解】 (1)当x ＝0时，f (－0)＝－f (0)，则f (0)＝0；当x <0时，即－x >0，函数f (x )是奇函数，

则f (x )＝－f (－x )＝－[2(－x )2－(－x )]＝－(2x 2＋x )＝－2x 2－x . 综上所述，f (x )＝????

?

2x 2－x ，x >00，x ＝0

－2x 2－x ，x <0.

(2)函数f (x )的图象如图所示：