人教版数学八年级下册：二次根式(含答案)
《二次根式》
1．二次根式的概念
(1)一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．
(2)对于a(a≥0)的讨论应注意下面的问题：
①二次根号“”的根指数是2，二次根号下的a叫被开方数，被开方数可以是数字，也可以是整式、分式等．
②式子a只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是a为二次根式的前提条件．式子－2就不是二次根式，但式子(－2)2是二次根式．
③a(a≥0)实际上就是非负数a的算术平方根，既可表示开方运算，也可表示运算的结果．
④4是二次根式，虽然4＝2，但2不是二次根式．因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”．
二次根式有两个要素：一是含有二次根号“”；二是被开方数可以不只是数字，但必须是非负的，否则无意义．
【例1－1】当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？
a＋10，|a|，a2，a2－1，a2＋1，(a－1)2.
分析：因为a为实数，而|a|≥0，a2≥0，a2＋1＞0，(a－1)2≥0，所以|a|，a2，a2＋1，(a－1)2是二次根式．
因为a是实数时，并不能保证a＋10，a2－1是非负数，即a＋10，a2－1可能是负数．如当a＜－10时，a＋10＜0；又如当0＜a＜1时，a2－1＜0，因此，a＋10，a2－1不是二次根式．
解：|a|，a2，a2＋1，(a－1)2是二次根式．
【例1－2】x是怎样的实数时，式子x－3在实数范围内有意义？
分析：问题实质上是问当x是怎样的实数时，x－3是非负数，式子x－3有意义．解：由二次根式的定义可知被开方式x－3≥0，即x≥3，就是说当x≥3时，式子x－3在实数范围内有意义．
2．二次根式的性质
(1)a(a≥0)是一个非负数
．．．
a(a≥0)既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即a ≥0(a≥0)，我们把这个性质叫做二次根式的非负性．
【例2－1】若a＋3＋(b－2)2＝0，则a b的值是__________．
解析：由题意可知a＋3＝0，(b－2)2＝0，
所以a＋3＝0，b－2＝0，
则a＝－3，b＝2.所以a b＝(－3)2＝9.
答案：9
(2)(a)2＝a(a≥0)
由于a(a≥0)是一个非负数，表示非负数a的算术平方根，因此通过算术平方根的定义，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身，即(a)2＝a(a≥0)．
【例2－2】化简：①(2
3)
2＝__________；
②(x －3)2(x ≥3)＝__________.
解析：①直接利用公式(a )2＝a (a ≥0)，可得(23)2＝2
3
；②因为x ≥3，所以x －3≥0，所以由公式(a )2＝a (a ≥0)，可得(
x －3)2＝x －3(x ≥3)．
答案：①2
3
②x －3
(3)a 2
＝|a |＝?????
a (a ≥0)，－a (a <0).
由算术平方根的定义，可得a 2＝|a |＝?
???
?
a (a ≥0)，－a (a <0).
a 2＝a (a ≥0)表示非负数a 的平方的算术平方根等于a .
【例2－3】计算： (1)(－1.5)2；
(2)(a －3)2(a ＜3)；
(3)(2x －3)2(x ＜3
2
)．
解析：
错解
正解
(1)
(－1.5)2＝－1.5；
(2)(a －3)2＝a －3； (3)(2x －3)2＝2x －3. (1)(－1.5)2＝|－1.5|＝1.5；
(2)(a －3)2＝|a －3|＝3－a (a ＜3)；
(3)(2x －3)2＝|2x －3|＝3－2x (x ＜3
2
)．
错因剖析：
本题对性质(a )2＝a (a ≥0)与a 2＝|a |应用混淆，需特别注意被开方数是非负数时，a 2＝a (a ≥0).
思路分析：
根据a 2＝|a |，首先去掉根号，然后利用绝对值的定义求解.
(1)(a )2＝a 的前提条件是a ≥0；而a 2＝|a |中的a 为一切实数．
(2)a (a ≥0)，|a |，a 2是三个重要的非负数，即a (a ≥0)≥0，|a |≥0，a 2≥0，在解题时应用较多．
(3)a 2＝(a )2成立的条件是a ≥0，否则不成立．
(4)(a )2＝a (a ≥0)可以逆用，即任意的一个非负数都可以写成它的算术平方根的平方形式．
(5)在利用a 2进行化简时，要先得出|a |，再根据绝对值的性质进行化简，一定要弄清被开方数的底数是正还是负，这是容易出错的地方．
3．求二次根式中被开方数字母的取值范围
由二次根式的意义可知，a 的取值范围是：a ≥0.即当a ≥0时，a 有意义，是二次根式；当a ＜0时，a 无意义，不是二次根式．
(1)确定形如a 的式子中的被开方数中的字母取值范围时，可根据式子a 有意义或无意义的条件，列出不等式，然后解不等式即可．
(2)当被开方数是分式时，同时要求分母不等于零．
求解此类问题抓住一点，就是由二次根式的定义a (a ≥0)得被开方数必须
是非负数，即把问题转化为解不等式．
【例3】当字母取何值时，下列各式为二次根式． (1)a 2＋b 2； (2)－3x ；
(3)1
2x ； (4)－32－x
.
分析：必须保证被开方数是非负数，以上式子才是二次根式，当分母上有未知数时，分母不能为0，根据这些要求列不等式解答即可．
解：(1)因为a ，b 为任意实数时，都有a 2＋b 2≥0， 所以当a ，b 为任意实数时，
a 2＋
b 2是二次根式．
(2)－3x ≥0，x ≤0，即当x ≤0时，－3x 是二次根式．
(3)1
2x
≥0，且x ≠0，所以x ＞0. 当x ＞0时，1
2x 是二次根式．
(4)－3
2－x ≥0，故x －2≥0且x －2≠0，所以x ＞2. 当x ＞2时，
－3
2－x 是二次根式． 4．二次根式非负性的应用
(1)在实数范围内，我们知道式子a (a ≥0)表示非负数a 的算术平方根，它具有双重非负性：①a ≥0；②a ≥0.
运用这两个简单的非负性，再结合非负数的简单性质“若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0”可以解决一些算术平方根问题．
巧记要点：二次根式，内外一致；即二次根式根号下和根号外一致为非负数． (2)到目前为止，我们已经学过三类具有非负性的代数式： ①|a |≥0；②a 2≥0；③a ≥0(a ≥0)．
【例4－1】已知x ，y 都是实数，且满足y ＝5－x ＋x －5＋3，求x ＋y 的值．
分析：式子中有两个二次根式，它们的被开方数都应该是非负数，由此可得关于x 的不等式组．
解：由题意知????? 5－x ≥0，x －5≥0，∴?????
x ≤5，
x ≥5，
∴x ＝5.
当x ＝5时，y ＝5－5＋
5－5＋3＝3.
∴x ＋y ＝5＋3＝8.
两个算术平方根，当被开方数互为相反数时，只有它们同时为零，这两个
式子才能都有意义．
【例4－2】已知x ，y 为实数，且y ＝1
2＋8x －1＋1－8x ，则x ∶y ＝__________.
解析：因为y 为实数，所以隐含着两个算术平方根都有意义，即被开方数均为非负
数．实际上，若a 和－a 都有意义，则a ＝0.即依题意得?????
8x －1≥0，
1－8x ≥0.
解得x ＝18，于是y ＝12＋0＋0＝1
2
.故x ∶y ＝1∶4.
答案：1∶4,
5．式子(a )2的意义和运用
二次根式的一个性质是：(a )2＝a (a ≥0)．
因为2＝(2)2，35＝(35
)2
，所以上面的性质又可以写成：a ＝(a )2(a ≥0)．可见，利
用这个式子我们可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式．
二次根式中的23表示2×3，这与带分数212表示2＋1
2
是不一样的，因
此，以后遇到32×3应写成323，而不能写成11
2
3.
【例5－1】计算：(1)(23)2；(2)(－212
)2
；(3)(－5×3)2.
解：(1)(23)2＝22×(3)2＝12. (2)(－2
12
)2
＝(－2)2×(12
)2
＝2. (3)(－5×3)2＝(－1)2×(5×3)2＝15.
【例5－2】把多项式n 5－6n 3＋9n 在实数范围内分解因式．
分析：按照因式分解的一般步骤，先对多项式n 5－6n 3＋9n 提取公因式，得n (n 4－6n 2
＋9)，再利用完全平方公式分解，得n (n 2－3)2，要求在实数范围内分解，所以可以将3写成(3)2，再运用平方差公式进行因式分解．
解：n 5－6n 3＋9n ＝n (n 4－6n 2＋9)＝n (n 2－3)2＝n (n ＋3)2(n －3)2.
6．二次根式与相反数和绝对值的综合应用
(1)二次根式具有非负性，一个数的绝对值，完全平方数也是一个非负数，因此可以把这几者结合出题．
(2)绝对值、算术平方根、完全平方数为非负数，即：|a |≥0，b ≥0(b ≥0)，c 2≥0.非负数有一个重要的性质，即若干个非负数的和等于零，那么每一个非负数分别为零．
即：|a |＋b ＝0?a ＝0，b ＝0； |a |＋c 2＝0?a ＝0，c ＝0； b ＋c 2＝0?b ＝0，c ＝0； |a |＋b ＋c 2＝0?a ＝0， b ＝0，c ＝0.
【例6－1】若|a －b ＋1|与a ＋2b ＋4互为相反数，则(a ＋b )2 011＝______.
解析：|a －b ＋1|与a ＋2b ＋4互为相反数，
∴|a －b ＋1|＋
a ＋2
b ＋4＝0.
而|a －b ＋1|≥0，
a ＋2
b ＋4≥0，
∴????? a －b ＋1＝0，a ＋2b ＋4＝0.∴?????
a ＝－2，
b ＝－1.
∴(a ＋b )2 011＝(－2－1)2 011＝(－3)2 011＝－32 011. 答案：－32 011
【例6－2】若a 2＋b －2＝4a －4，求ab 的值．
分析：通过变形将等式转化为两个非负数的和等于零的形式，即(a －2)2＋
b －2＝
0，由二次根式的性质可知
b －2≥0，由完全平方数的意义可知(a －2)2≥0，而它们的和
为零，则a －2＝0，b －2＝0，从而可求出a ，b 的值．
解：由a 2＋
b －2＝4a －4，得a 2－4a ＋4＋b －2＝0，即(a －2)2＋
b －2＝0.
∵(a －2)2≥0，
b －2≥0且(a －2)2＋
b －2＝0，
∴a －2＝0，b －2＝0，解得a ＝2，b ＝2. ∴ab ＝2，即ab 的值为2.
7．二次根式(a )2＝a (a ≥0)与a 2＝|a |的区别、运用
(a )2＝a (a ≥0)与a 2＝|a |是二次根式的两个极为重要的性质，是正确地进行二次根式化简、运算的重要依据．
(1)正确理解(a )2与a 2的意义
学习了二次根式的定义以后，我们知道a ≥0(a ≥0)，即a 是一个非负数，a 是非负数a 的算术平方根，那么(a )2就是非负数a 的算术平方根的平方，但只有当a ≥0时，a 才能有意义．对于a 2，则表示a 2的算术平方根，由于a 2中的被开方数是一个完全平方式，所以a 无论取什么值，a 2总是非负数，即a 2总是有意义的．
(2)(a )2与a 2的区别和联系
区别：①表示的意义不同．(a )2表示非负实数a 的算术平方根的平方；a 2表示实数a 的平方的算术平方根．
②运算的顺序不同．(a )2是先求非负实数a 的算术平方根，然后再进行平方运算；而a 2则是先求实数a 的平方，再求a 2的算术平方根．
③取值范围不同．在(a )2中，a 只能取非负实数，即a ≥0；而在a 2中，a 可以取一切实数．
④写法不同．在(a )2中，幂指数2在根号的外面；而在a 2中，幂指数2在根号的里面．
⑤结果不同．(a )2＝a (a ≥0)，而a 2＝????
?
a (a ＞0)，0(a ＝0)，
－a (a ＜0).
联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算．
②两式运算的结果都是非负数，即(a )2≥0，a 2≥0. ③仅当a ≥0时，有(a )2＝a 2.
如果先做二次根式运算，后做平方运算，只有一种可能；如果先做平方运
算，再做二次根式运算，答案需分情况讨论．
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【例7－1】已知x ＜2，则化简x 2－4x ＋4的结果是( )． A ．x －2 B ．x ＋2 C ．－x －2 D ．2－x 解析：
x 2－4x ＋4＝
(x －2)2＝
(2－x )2，
因为x ＜2,2－x ＞0，所以x 2－4x ＋4＝2－x . 答案：D
【例7－2】化简1－6x ＋9x 2－(2x －1)2得( )． A ．－5x B ．2－5x C ．x D ．－x
错解
正解
原式＝(1－3x )2－(2x －1)
＝(1－3x )－(2x －1)＝2－5x ，
故选B. 由
2x －1，知2x －1≥0，得x ≥1
2
，从而有
3x －1≥0，所以原式＝
(1－3x )2－(2x －1)＝
(3x －1)2－(2x －1)＝(3x －1)－(2x －1)＝x .故选C. 错因剖析：
本题错在忽视了二次根式成立的隐含条件．题目中2x －1有意义，说明隐含了
条件2x －1≥0，即x ≥1
2
，可
知3x －1≥0.
思路分析：
本题主要应用二次根式的性质：
(1)
a 2＝|a |＝
()()0,
0.a a a a ≥???
??
－＜ (2)(a )2＝a (a ≥0) .
正确应用二次根式的性质是解决本题的关键. 【例7－3】若m 满足关系式3x ＋5y －2－m ＋2x ＋3y －m ＝x －199＋y ·199－x －y ，试确定m 的值．
分析：挖掘题目中隐含的算术平方根的两个非负性，并在解题过程中有机地配合应用，是解决本题的关键．
解：由算术平方根的被开方数的非负性，得
???
?? x －199＋y ≥0，199－x －y ≥0，即?
????
x ＋y ≥199，
x ＋y ≤199.∴x ＋y ＝199. ∴x －199＋y ·199－x －y ＝0. ∴
3x ＋5y －2－m ＋
2x ＋3y －m ＝0.
再由算术平方根的非负性及两个非负数的和为零，
得????? 3x ＋5y －2－m ＝0，2x ＋3y －m ＝0.
①②
由①－②，得x ＋2y ＝2.
解方程组????? x ＋y ＝199，x ＋2y ＝2，得?
????
x ＝396，
y ＝－197.
∴m ＝2x ＋3y ＝2×396＋3×(－197)＝201.
点拨：(1)运用二次根式的定义得出：x ≥a 且x ≤a ，故有x ＝a ，这是由不等关系推出相等关系的一种十分有效的方法，在前面的解题中已用到．
(2)由?????
a ≥0，
b ≥0，
a ＋
b ＝0推出a ＝b ＝0，这也是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之
一．