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二次函数和根与系数的关系

二次函数和根与系数的关

系

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例1：已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B （x2，y2）；（x1＜x2）

（1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变并证明你的猜想．（3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．

（平面内两点间的距离公式）．

解：（1）当k=1，m=0时，如图．

由得x2﹣x﹣1=0，∴x

1+x

=1，x

=﹣1，

过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C．∵直线AB的解析式为y=x+1，

∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=|x

2﹣x

|==；同理，

当k=1，m=1时，AB=；

（2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=．理由如下：由，得x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1=0，

∴x

1+x

=2m+1，x

=m2+m﹣1，∴AB=AC=|x

﹣x

|==；

（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，

由，得A （﹣1，1），B （1，1），显然△AOB 为直角三角形；

②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，

由，得x 2﹣x ﹣1=0，∴x 1+x 2=1，x 1x 2=﹣1，

∴AB=AC=|x 2﹣x 1|==，∴AB 2=10，

∵OA 2+OB 2=x 12+y 12+x 22+y 22=x 12+x 22+y 12+y 22=x 12+x 22+（x 1+1）2+（x 2+1）2=x 12+x 22+（x 12+2x 1+1）+（x 22+2x 2+1）=2（x 12+x 22）+2（x 1+x 2）+2=2（1+2）+2×1+2=10，∴AB 2=OA 2+OB 2，∴△AOB 是直角三角形；

③当k 为任意实数，△AOB 仍为直角三角形．

由，得x 2﹣kx ﹣1=0，∴x 1+x 2=k ，x 1x 2=﹣1，∴AB 2=（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2=（x 1﹣x 2）2+（kx 1﹣kx 2）2=

（1+k 2）（x 1﹣x 2）2=（1+k 2）[（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2]=（1+k 2）（4+k 2）=k 4+5k 2+4，

∵OA 2+OB 2=x 12+y 12+x 22+y 22=x 12+x 22+y 12+y 22=x 12+x 22+（kx 1+1）2+（kx 2+1）2=x 12+x 22+（k 2x 12+2kx 1+1）+（k 2x 22+2kx 2+1）=（1+k 2）（x 12+x 22）+2k （x 1+x 2）+2=（1+k 2）（k 2+2）+2kk+2=k 4+5k 2+4，

∴AB 2=OA 2+OB 2

，

∴△AOB 为直角三角形．

如图，已知抛物线y=x2-4x+3，过点D(0，-

)的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点E ，且点M 、N 与X 轴交于E 点，且M 、N 关于点E 对称，求直线MN 的解析式。

解：∵D(0,-

5) ∴设直线MN 的解析式为y=kx-

5 ∴252

y kx y x x ?

=-???=-+? ∴kx-

= x2-4x+3 ∴x2-(4+k)x+

112

=0 1x +2x =-

=4+k ∵m y +

n y =0=k(4+k)

∴k=1或-5(舍)

∴直线MN 的解析式为y=x-

5 1、如图，抛物线y=x 2﹣2x ﹣3与坐标轴交于A 、B 、三点，直线y=kx-1与抛物线交于P 、Q 两点，且

y 轴平分△PCQ 的面积，求k 的值。（答案：k=-2）

已知：二次函数m x m x y ++-=)1(2的图象交x 轴于)0,(1x A 、)0,(2x B 两点，

交y 轴正半轴于点C ，且102

21=+x x 。（1）求此二次函数的解析式；

（2）是否存在过点D (0，

)的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点E ，使得点M 、N 关于点E 对称若存在，求直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由。

例2、已知抛物线y=﹣2x﹣5与x轴交A、B两点，与y轴交于点C，将直线m:y=向上平移，交抛物线于M、N。MN交y轴正半轴于点 T，S△MCT-S△CNT=44，求直线m的解析式。

如图，抛物线y=x2，过Q（0，3）作直线l交抛物线于E、F，点Q关于原点的对称点为P，当S△PEF=12时，求E、F点的坐标。

如图，抛物线y=—x2+4x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，将抛物线沿射线OM的方向平移，平移后的抛物线交x轴于点A1，B1，若2≦A1B1≦4，求M移动的最大距离.如图，抛物线y=—x2+3x+6交 y轴于点A，点C(4，k) 在抛物线上，将抛物线向右平移n个单位长度后与直线AC 交于M、 N两点，且M、N关于点C成中心对称，求n的值。

解：∵点A、C在抛物线y=-x2+3x+6上∴A(0,6) C(4,2) ∴AC:y=-x+6

∵抛物线y=-x2+3x+6的顶点G,

抛物线向右平移n个单位后，G点对应点G’坐标为+n,,设新抛物线解析式为y=-[x-+n)]2+

联立：

( 1.5)8.25

y x n

y x

?=---+

=-+

∴x2-(4+2n)x+n2+3n=0 ∴

M N

X X

+=4+2n

∵点M、N关于C点中心对称∴42

x=2 ∴n=2

、如图，已知抛物线y=-x2+2x+3与坐标轴交于A、B、C三点，点D、C关于原点对称，点M、N是抛物线上两点，且四边形CMDN为平行四边形，求点M、N的坐标。

解：∵点A、B、C在抛物线y=-x2+2x+3上

∴C(0,3) Ａ(-1,0) B(3,0)

∵点D 、C 关于原点对称 ∴D(０,３)

∵四边形CMDA 是平行四边形 ∴ CN ∥MD 且CN =MD

设N(m,n) ∵MN 关于原点对称∴ M(-m,-n)

∵M 、N 在抛物线y=-x2+2x+3上∴222323m m n

m m n ?-++=?--+=-?

∴1m 2m (舍)∴∴，)

例3、如图，抛物线y=（x —1）2—13/4的顶点为A ，与y 轴的负半轴交于B 点，将抛物线向下平移与直线AB 相交C 、D 两点，若BC+AD=AB,求平移后的抛物线的解析式.

1、抛物线y=—x 2/3+x/3,将直线y=向下平移n 个单位长度，与抛物线交于E 、F 两点，若∠EOF=90°，求n 的值

2、如图，抛物线y=—x 2+2x+3与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ， P 点为BC 上的一个动点，过P 作BC 的垂线交抛物线于M 、N 两点，若四边形BMCN 的面积为12，求直线MN 的解析式。

如图，已知抛物线与x 轴交于A(-1，0)、B(3，0)两点，与y 轴交于点C(0，3)。

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形若存在，求出符合条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由;

（3）若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。

解：⑴∵抛物线与y 轴交于点C （0，3），

∴设抛物线解析式为)0(32≠++=a bx ax y

根据题意，得???=++=+-,0339,03b a b a ，解得???=-=.2,

1b a

∴抛物线的解析式为322++-=x x y

⑵由322++-=x x y 得，D 点坐标为（1，4），对称轴为x ＝1。

①若以CD 为底边，则PD ＝PC ，设P 点坐标为(x,y)，根据勾股定理，

得2222)4()1()3(y x y x -+-=-+，即y ＝4－x 。

又P 点(x,y)在抛物线上，∴3242++-=-x x x ，即0132=+-x x

解得253±=

x ，1253<-，应舍去。∴2

3+=x 。

∴25

54-=-=x y ，即点P 坐标为???

? ??-+255,253。 ②若以CD 为一腰，因为点P 在对称轴右侧的抛物线上，

由抛物线对称性知，点P 与点C 关于直线x ＝1对称，

此时点P 坐标为（2，3）。

∴符合条件的点P 坐标为???

??-+255,253或（2，3）。

⑶由B （3，0），C （0，3），D （1，4），根据勾

股定理,得CB ＝23,CD ＝2,BD ＝52

∴20222==+BD CD CB

∴∠BCD ＝90°

设对称轴交x 轴于点E ，过C 作CM ⊥DE ，交抛物线于点M ，垂足为F ，在Rt △DCF 中，

∵CF ＝DF ＝1,

∴∠CDF ＝45°,

由抛物线对称性可知，∠CDM ＝2×45°＝90°,点坐标M 为（2，3），

∴DM ∥BC,

∴四边形BCDM 为直角梯形

由∠BCD ＝90°及题意可知，

以BC 为一底时，顶点M 在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;

不存在以CD 为一底或以BD 为一底，且顶点M 在抛物线上的直角梯形

∴综上所述，符合条件的点M 的坐标为（2，3）。

5、已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （5，0）、B （6，-6）和原点.

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）若过点B 的直线y kx b '=+与抛物线相交于点C （2，m ），请求出?OBC 的面积S 的值.

（3）过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点

P ，过点P 作直线PF 平行于y 轴交x 轴于点F ，交直线DC 于点E . 直线PF 与直线DC 及两坐标轴围成矩形OFED （如图），是否存在点P ，使得?OCD 与?CPE 相似若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1）由题意得：255036600a b c a b c c ++=??++=??=? 解得：150a b c =-??

=??=?

∴抛物线解析式为：25y x x =-+

（2）C 在抛物线上，2252,6m m ∴-+?=∴=

C ∴点坐标为（2，6），B 、C 在直线y kx b '=+上

∴6266k b k b '

=+??'

-=+? 解得：3,12k b '=-= ∴直线BC 的解析式为312y x =-+

设BC 与x 轴交于点G ，则G 的坐标为（4，0）

（3）设P (,)m n ，90ODC E ∠=∠=?

故2,6CE m EP n =-=-

∵OCD ∽CPE

∴

OD DC CE EP =或OD DC

EP CE =

即

6226m n =--或62

n m =

-- 解得203m n =-或123n m =-

又(,)m n 在抛物线上，22035m n n m m =-??=-+?或2

1235n m

n m m =-??=-+?

解得10

213502192

,,6

m m n n ?==????

==???或121226,66m m n n ==????==-?? ∴P 点坐标为1050

()39

，和(6,6)-。