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2021届全国天一大联考新高考模拟考试数学(理科)试题

2021届全国天一大联考新高考模拟考试

理科数学

★祝你考试顺利★

注意事项：

1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合2{|1},{|0}A x x B x x ≤==<，则()R

A B ?=（）

A. {|1}x x ≥

B. {|1}x x >

C. {|1x x <-或01}x ≤< D . {|1x x ≤-或

01}x <≤

【答案】B 【解析】【分析】

先利用一元二次不等式的解法化简集合A ，再求A 与B 的并集，然后再求补集即可. 【详解】因为2

{|1}={|11}A x x x x =-≤≤，{|0}B x x =<，

所以={|1}A B x x ≤，

所以

(){|1}R

A B x x =>.

故选：B

【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

2.在等比数列{}n a 中，363,6a a ==，则9a =（） A.

112

C. 9

D. 12

【答案】D 【解析】【分析】

根据等比数列下标和性质计算可得；

【详解】解：因为等比数列的性质，369,,a a a 成等比数列，即962

3a a a =?，所以392636312a a a =÷=÷=.

故选：D

【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题. 3.设复数() ,z x yi x R y =+∈，下列说法正确的是（） A. z 的虚部是yi ; B. 22||z z =；

C. 若0x =，则复数z 为纯虚数;

D. 若z 满足|1|z i -=，则z 在复平面内对应点(),x y 的轨迹是圆. 【答案】D 【解析】【分析】

根据复数的相关概念一一判断即可；

【详解】解：z 的实部为x ，虚部为y 所以故A 错；

2222i z x y xy =++，222||z x y =+，所以B 错；

当00x y ==，时，z 为实数，所以C 错；

由|1|z i -=得||1x yi i +-=，|(1)|1x y i ∴

+-=，2

(1)1x y ∴+-=，所以D 对. 故选：D

【点睛】本题考查复数的相关概念的理解，属于基础题.

4.树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（） A. 8种 B. 9种

C. 12种

D. 14种

【答案】D

【解析】【分析】

采用采用间接法，任意选有4

615C =种，都是男生有1种，进而可得结果. 【详解】任意选有4

615C =种，都是男生有1种，则至少有一名女生有14种.

故选：D.

【点睛】本题考查分类计数原理，考查间接法求选法数，属于基础题目. 5.若sin 831πθ??

+= ??

?，则sin 24πθ??-= ???

（） A. 29

C. 79

【答案】C 【解析】【分析】

利用诱导公式和二倍角公式可化简求得结果.

【详解】227sin 2sin 2cos 212sin 14424899πππππθθθθ????????-=+-=-+=-++=-+=- ? ? ? ????????

?. 故选：C .

【点睛】本题考查利用诱导公式和二倍角公式求值的问题，考查基础公式的应用.

6.田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛.在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8(每次试跳之间互不影响)，则本次比赛他获得冠军的概率是（） A. 0.832 B. 0.920

C. 0.960

D. 0.992

【答案】D 【解析】【分析】

根据相互独立事件的概率公式求出三次试跳都没成功的概率，由对立事件的概率公式可得其获得冠军的概率；

【详解】解：三次试跳都没成功的概率为30.2=0.008，所以他获得冠军的概率是10.0080.992-=. 故选：D

【点睛】本题考查相互独立事件的概率公式的应用，属于基础题.

7.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，()ln ln 2c =，则a 、b 、c 的大小关系是（） A. a b c << B. a c b <<

C. b a c <<

D. c a b <<

【答案】D 【解析】【分析】

利用对数函数的单调性比较a 、b 、c 与0和1的大小关系，进而可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 【详解】

555log 1log 2log 5<<，则01a <<，0.50.5log 0.2log 0.51b =>=，

ln1ln 2ln e <<，即0ln 21<<，()ln ln 2ln10c ∴=<=.

因此，c a b <<. 故选：D.

【点睛】本题考查对数式的大小比较，一般利用对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.

8.已知直线a 和平面α、β有如下关系：①αβ⊥；②//αβ；③a β⊥；④//a α.则下列命题为真的是（）

A. ①③?④

B. ①④?③

C. ③④?①

D. ②③?④

【答案】C 【解析】【分析】

利用面面垂直的性质可判断A 选项的正误；由空间中线面位置关系可判断B 选项的正误；利用线面垂直的判定定理和线面平行的性质定理可判断C 选项的正误；利用面面平行的性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由①③可知，//a α或a α?，A 错；对于B 选项，由①④可知，a 与β的位置关系不确定，B 错；对于C 选项，过直线a 作平面γ，使得b γα?=，

//a α，则//a b ，a β⊥，b β∴⊥，

b α?，αβ∴⊥，C 对；

对于D 选项，由②③可知，a α⊥，D 错. 故选：C.

【点睛】本题考查空间中有关线面位置关系命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.

9.如图，为测量某公园内湖岸边,A B 两处的距离，一无人机在空中P 点处测得,A B 的俯角分别为,αβ，此

时无人机的高度为h ，则AB 的距离为（）

A. ()22

2cos 11

sin si s n s n in i h

βααβαβ-+- B. ()22

2cos 11

sin si s n s n in i h

βααβαβ-++C. ()22

2cos 11

cos co c s c s os o h β

ααβαβ-+- D. ()22

2cos 11

cos co c s c s os o h

ααβαβ-++【答案】A 【解析】【分析】

设点P 在AB 上的

投影为O ，在Rt △POB 中，可得sin h

PB β

=，再结合正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得AB ，得到答案.

【详解】如图所示，设点P 在AB 上的投影为O ，在Rt △POB 中，可得sin h

PB β

，由正弦定理得

sin()sin AB PB

αβα

=-，

所以sin()sin()=sin sin sin PB h AB αβαβαβα?-?-=22

2222sin ()(sin cos cos sin )sin sin sin sin h h αβαβαββαβα

--= 222222

sin cos cos sin 2sin cos cos sin =sin sin h αβαβαβαβ

βα

+- 2222cos cos 2cos cos =sin sin sin sin h αββααβαβ+-2222

1sin 1sin 2cos cos =sin sin sin sin h αββα

αβαβ

--+-22112cos cos 2sin sin sin sin h βααβαβ=+--22

112sin sin 2cos cos sin sin sin sin h αβαβ

αβαβ+=+- 22112cos()

sin sin sin sin h αβαβαβ

-=+-故选：A.

【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中结合图象把实际问题转化为数学问题，合理利用正弦定理求解是解答的关键，注重考查了推理与运算能力.

10.过抛物线()2

:20C x py p =>的焦点F 的直线交该抛物线于A B 、两点，

若3AF BF =，O 为坐标原点，则AF

（） A.

C. 4

【答案】A 【解析】【分析】

画出图像,分别作,A B 关于准线的垂线,再根据平面几何的性质与抛物线的定义求解即可.

【详解】如图,作分别作,A B 关于准线的垂线,垂足分别为,D E ,直线AB 交准线于C .过A 作BE 的垂线交

BE 于G ,准线与y 轴交于H .则根据抛物线的定义有,AF AD BF BE ==.

设AF AD t ==,3BF BE t ==,故2BG t =,4AB t =,故1

cos 2

BG ABG AB ∠=

=. 故26BC BE t ==,故FH 是CBE △边BE 的中位线,故113

244

OF FH BE t ===.

故4

334

t t OF

故选：A

【点睛】本题主要考查了利用平面几何中的比例关系与抛物线的定义求解线段比例的问题,需要根据题意作出对应的辅助线,利用边角关系求解,属于中档题.

11.函数()()sin f x x ω?=+的部分图象如图中实线所示，图中的圆C 与()f x 的图象交于M 、N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（）

①函数()f x 的图象关于点4,03?? ???

成中心对称;

②函数()

f x 11,26--??

???上单调递增; ③圆C 的面积为3136

π. A. ①② B. ①③

C. ②③

D. ①②③

【答案】B 【解析】分析】

先求出函数()y f x =的解析式，验证403f ??= ???

可判断①的正误；利用正弦函数的单调性可判断②的正误；求出圆C 的半径，利用圆的面积可判断③的正误.

【详解】由圆对称性，正弦函数的对称性得1,03?? ???

为函数()y f x =的一个对称中心，

所以周期112136T ??

=?+= ???

，22T πωπ∴=

=，

又

函数()y f x =的图象过点1,06??

???，则1sin 063f π?????-=-= ? ????

?，

且函数()y f x =在16x =-

附近单调递增，所以，()23

k k Z π?π-=∈，可取3π

?=.

所以，()i 2s n 3x f x ππ?

. 084s =33in 3f ππ????=+ ? ?????

成立，所以①对；当1126x -

<<-时，22033x πππ-<+<，所以，函数()y f x =在区间11,26--?? ???

上不单调，所以②错；

当0x =时，得点M 的坐标为? ??

，所以圆的半径为MC ==，则圆的面积为3136

，所以③对. 故选：B.

【点睛】本题考查利用正弦函数的基本性质求解析式，同时也考查了正弦型函数的对称性和单调性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 12.函数()()2R mx

mx f x e

e x mx m -=++∈-的图象在点()()()()1111,,,A x

f x B x f x --处两条切线的交

点0(P x ，0)y 一定满足（） A. 00x = B. 0x m = C. 00y = D. 0y m =

【答案】A 【解析】【分析】

根据函数()()2R mx

mx f x e

e x mx m -=++∈-，求导，然后利用导数的几何意义，分别写出在点

()()()()1111,,,A x f x B x f x --处的切线方程，再联立求解即可.

【详解】因为函数()()2R mx

mx f x e

e x mx m -=++∈-，

所以()2mx mx

f x me me

x m -'=-+-，所以()1

1112-'=-+-mx mx f x me me x m ()11112-'-=---mx mx f x me me x m

所以()()1

12111R -=++∈-mx mx f x e

e x mx m ，()()112111+R --=++∈mx mx

f x e e x mx m

又因为在点()()()()

1111,,,A x f x B x f x --处的切线方程分别为：

()()()()()()111111,y f x f x x x y f x f x x x ''-=---=-+，

联立消去y 得：

()

()1

111211112+---+--++-mx mx mx mx me me x m x x e e x mx ，

(

)

()111121111+2--=--++-++mx mx mx mx me me x m x x e e x mx .

解得0x =. 故选：A

【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及直线的交点，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知双曲线222

21(00)y x a b a b

-=>>，的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为______．【答案】y x =± 【解析】【分析】

根据离心率公式和双曲线的,,a b c 的关系进行求解

【详解】由题知：2222

==??=??=+?c e a b a

c a b

，双曲线的渐近线方程为y x =± 故答案为y x =±

【点睛】本题考查双曲线渐近线的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质 14.执行如图所示的程序框图，若输入[]1,3t ∈-，则输出s 的取值范围是____________.

【答案】[0,1] 【解析】【分析】

分别在[)1,1t ∈-和[]1,3t ∈两种情况下，根据指数函数和对数函数的单调性求得值域，取并集得到所求的取值范围.

【详解】当[)1,1t ∈-时，1t s e -=，1t s e -=在[)1,1-上单调递增，)

,1s e -?∴∈?；

当[]1,3t ∈时，3log s t =，3log s t =在[]1,3上单调递增，[]0,1s ∴∈；

综上所述：输出的[]0,1s ∈. 故答案为：[]0,1.

【点睛】本题以程序框图为载体考查了指数函数和对数函数值域的求解问题，关键是能够通过分类讨论得到函数的单调性，进而确定所求值域.

15.已知向量()0,1,||7,1,AB AC AB BC ==?=则ABC ?面积为____________.

【答案】2

【解析】【分析】

根据()0,1=AB ，1AB BC ?=，可得||cos 1-=BC B ，再由||7=AC ，利用余弦定理可解得||BC ，cos B ，

进而得到sin B ，然后代入1

sin 2

ABC

S BA BC B 求解. 【详解】因为()0,1=AB ，所以||1=AB ，

又因为||||cos()1π?=?-=AB BC AB BC B ，所以||cos 1-=BC B ，

由余弦定理得222||||||2||||cos =+-??AC AB BC AB BC B ，所以||2BC =，则1cos 2

B =-

，因为 0180<

所以120B =?，sin B =

，

所以面积为1133

sin 122222

=???=

ABC

BA BC B . 故答案为：

【点睛】本题主要考查平面向量与解三角形，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,M N 分别是棱1,BC CC 的中点，则二面角C AM N --的余弦值为_________；若动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动，且1PA //平面AMN ，则线段1PA 的长度范围是_________.

【答案】 (1). 23 (2). 32

[,5] 【解析】【分析】

延长AM 交DC 于点Q ，过C 作AM 垂线CG ，垂足为G ，连接NG ，则∠NGC 为二面角C AM N --的平面角，计算可得结果；取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，连结1A E ，1A F ，EF ，取EF 中点O ，连结1A O ，推导出平面//AMN 平面1A EF ，从而点P 的轨迹是线段EF ，由此能求出1PA 的长度范围．【详解】延长AM 交DC 于点Q ，过C 作AM 垂线CG ，垂足为G ，连接NG ，

则∠NGC 为二面角C AM N --的平面角，计算得25CG =

，22535()155

NG =+=，

所以25352

cos 553

NGC ∠=

÷= 取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，连接1A E ，1A F ，EF ，取EF 中点O ，连接1A O ，

点M ，N 分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中棱BC ，1CC 的中点， 1//AM A E ∴，//MN EF ， AM

M N M =，1A E

EF E =，

∴平面//AMN 平面1A EF ，

动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1//PA 面AMN ，

∴点P 的轨迹是线段EF ，

2211215A E A F ==+22112=+=

EF ，

AO EF ∴⊥， ∴当P 与O 重合时，1PA 的长度取最小值221232(5)()2

A O =-=，

当P 与E （或)F 重合时，1PA 的长度取最大值为115A E A F ==． 1PA ∴的长度范围为32

5]．故答案为：

23；325] 【点睛】本题考查二面角余弦值的求法和线段长度的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

三、解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题:共60分

17.已知数列{}n a 是等比数列，且公比q 不等于1，数列{}n b 满足2n b

n a =.

（1）求证：数列{}n b 是等差数列；

（2）若12a =，32432a a a =+，求数列211

log n n b a +???

???

的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析；（2）1

n n

S n =+ 【解析】【分析】

（1）根据对数运算法则和等比数列定义可证得12log n n b b q +=-，由此证得结论；（2）利用等比数列通项公式可构造方程求得q ，进而整理得到

log n n b a +，采用裂项相消法可求得结果.

【详解】（1）已知数列{}n b 满足2n b n a =，则2log n n b a =，

121222log log log log n n n n n n

a b b a a q a +++∴-=-==， ∴数列{}n b 为等差数列.

（2）由12a =，32432a a a =+可得：23

642q q q =+，解得：2q

或1q =（舍），

2n n a ∴=，则2log n n b a n ==，()211111

log 11

n n b a n n n n +==-++∴

，

1111

1111223111n n S n n n n ??????∴=-+-+???+-=-= ? ? ?

+++??????

. 【点睛】本题考查等差数列的证明、裂项相消法求解数列的前n 项和问题，涉及到等比数列通项公式的应用；求和问题的处理关键是能够根据通项公式的形式进行准确裂项，进而前后相消求得结果.

18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//,90B AB C AD D ?∠=，点E 为PB 的中点，且

224CD AD AB ===，点F 在CD 上，且1

DF FC =.

（1）求证：EF //平面PAD ；

（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =且PA PD ⊥，求直线PA 与平面PBF 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）27

【解析】【分析】

（1）如图所示，取PA 的中点M ，连结DM 、EM ，所以根据线面平行的判定定理即可证明；（2）取AD 中点N ，BC 中点H ，连结PN 、NH ，以N 为原点，NA 方向为x 轴，NH 方向为y 轴，NP 方向为z 轴，建立空间坐标系，找到平面PBF 的一个法向量n ，求出直线PA 向量n 所成夹角的余弦值，即可求直线PA 与平面PBF 所成角的正弦值.

【详解】（1）如图所示，取PA 的中点M ，连结DM 、EM ，

因为点E 为PB 的中点，且224CD AD AB ===，所以//EM AB 且1

EM AB ==，因为13DF FC =

，所以4

1==DF DC ，所以1==EM DF ，又因为//AB DC ，所以//EM DF ，所以四边形EMDF 为平行四边形，

所以//EF DM ，又DM ?平面PAD ，EF ?平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ；

（2）取AD 中点N ，BC 中点H ，连结PN 、NH ，因为PA PD =，所以PN

AD ，

又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PN

平面ABCD ，

又//,90B AB C AD D ?∠=，所以AD NH ⊥，

以N 为原点，NA 方向为x 轴，NH 方向为y 轴，NP 方向为z 轴，建立空间坐标系，所以()0,0,1P ，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,1,0F -，

在平面PBF 中()1,2,1=--BP ，()2,1,0=--BF ，()=1,0,1PA -,

设在平面PBF 的法向量为(),,n x y z =，所以00BP n BF n ??=??=?

，20

20x y z x y --+=??--=?，

令1x =，则法向量()1,2,3n =--，又()1,0,1PA =-，设直线PA 与平面PBF 所成角为α，所以||27

sin |cos ,|||||214

α?=<>=

==??PA n PA n PA n ，

即直线PA 与平面PBF 所成角的正弦值为

27.

【点睛】

本题主要考查线面平行的判定，和线面所成角的求法，解题的关键是会用法向量的方法求线面角的正弦值.

19.已知椭圆2

2:12x C y +=与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于B 、D 两点.

（1）求过A 、B 、D 三点的圆E 的方程；

（2）若O 为坐标原点，直线l 与椭圆C 和（1）中的圆E 分别相切于点P 和点Q （P 、Q 不重合），求直

线OP 与直线EQ 的斜率之积.

【答案】（1

）2

948x y ??-+= ? ??

?；（2）24. 【解析】【分析】

（1）求出A 、B 、D 三点的坐标，求得圆心E 的坐标，进而求出圆E 的半径，由此可求得圆E 的方程；（2）设直线l 的方程为y kx m =+（k 存在且0k ≠），将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，由0?=可得

12m k =+，由直线l 与圆E

相切可得出22889k m =-+，进而可得出22

2124

k m =-=

，求出直线OP 与直线EQ 的斜率，进而可求得结果. 【详解】（1

）由题意可得)

、()0,1B -、()0,1D ，则圆心E 在x 轴上，设点(),0E m ，

由BE AE =

，可得)

21m m +=

，解得m =

，圆E

的半径为AE =

. 因此，圆E

的方程为2

98x y ?+= ??

；（2）由题意：可设l 的方程为y kx m =+（k 存在且0k ≠），与椭圆C 联立消去y 可得(

2124220k

kmx m +++-=，

由直线l 与椭圆C 相切，可设切点为()00,P x y ，由()(

16421120k m m k

?=-?-+=，

可得2212m k =+，解得02k x m =-

，01y m

=，由圆E 与直线l

，可得22889k m =-+.

因此由22

12889m k k m ?=+??=-+??

，可得22

21241k m =-=，直线OP 的斜率为12OP k k =-，直线EQ 的斜率1

EQ k k

=-，综上：2

2421

OP EQ k k k =?=

. 【点睛】本题考查三角形外接圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线斜率之积的计算，考查计算能力，属于中等题.

20.武汉市掀起了轰轰烈烈的“十日大会战”，要在10天之内，对武汉市民做一次全员检测，彻底摸清武汉市

的详细情况.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有(

1000n N ∈份血液样本，有以下两

种检验方式：

方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.

方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血就只需检验一次(这时认为每个人的血化验

次)；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验这样，该组k 个人的血总共需要化验1k +次. 假设此次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的试验反应相互独立. （1）设方案②中，某组k 个人中每个人的血化验次数为X ，求X 的分布列；

（2）设0.1p =. 试比较方案②中，k 分别取2,3,4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数)

【答案】（1）分布列见解析；（2）2k =，总次数为690次；3k =，总次数为604次；4k =，次数总为594次；减少406次【解析】【分析】

（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，可得1q p =-，再由相互独立事件的概率求法可得k 个人呈阴

性反应的概率为k

q ，呈阳性反应的概率为1k q -，随机变量1

,1X k k

即可得出分布列. （2）由（1）的分布列可求出数学期望，然后令2,3,4k =求出期望即可求解. 【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，则1q p =-.

所以k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为k

q ，呈阳性反应的概率为1k

q -，依题意可知1

,1X k k

，所以X 的分布列为：

111k k

X k k P

q q +- （2）方案②中，结合（1）知每个人的平均化验次数为:()()

111111

k k k E X q q k k k q ??=++?-=-+ ???

? 所以当2k =时, ()21

0.910.692

E X =

-+=，此时1000人需要化验的总次数为690次，

3k =()31

,0.910.60433E X =-+≈，此时1000人需要化验的总次数为604次，

4k =时, ()41

0.910.59394

E X =-+=，此时1000人需要化验的次数总为594次，

即2k =时化验次数最多，3k =时次数居中，4k =时化验次数最少. 而采用方案①则需化验1000次，故在这三种分组情况下，相比方案①, 当4k =时化验次数最多可以平均减少1000-594=406次.

【点睛】本题考查了两点分布的分布列、数学期望，考查了考生分析问题、解决问题的能力，属于中档题. 21.已知函数()2ln 2,x

e f x a x e R a =-∈ （1）若函数()f x 在2

x =

处有最大值，求a 的值；（2）当a e ≤时，判断()f x 的零点个数，并说明理由.

【答案】（1）a e =；（2）当0a e ≤<时，函数()f x 无零点；当0a <或a e =时，函数()f x 只有一个零点. 【解析】【分析】

（1）根据函数最值点可确定02e f ??

???

，从而求得a ；代入a 的

值验证后满足题意，可得到结果；

（2）令()()ln 0t

g t a a t e t =+->，将问题转化为()g t 零点个数的求解问题；分别在0a =、0a <和

0a e <≤三种情况下，根据导函数得到原函数的单调性，结合零点存在定理和函数的最值可确定零点的个

数.

【详解】（1）由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()22x

e a

f x e x e

'=-，

()f x 在2e x =

处取得最大值，2202e a

f e

??'∴=

-= ???，解得：a e =. 当a e =时，()2ln 2x

f x e x e =-，()22

e e

f x e x e

'=-，

()22240x

e e

f x e x e

''∴=--<，()f x '∴在()0,∞+上单调递减，

又02e f ??'=

???，则0,2e x ??

∈ ?

时，()0f x '>；当,2e x ??∈+∞ ???时，()0f x '<；

()f x ∴在0,2e ?? ???

上单调递增，在,2e ??+∞ ???上单调递减，()max 2e f x f ??

∴= ???，满足题意；

综上所述：a e =. （2）令2x t e

，()()ln 0t

g t a a t e t =+->，则()g t 与()f x 的零点个数相等， ①当0a =时(),0,t

g t e =-<即()20x e

f x e =-<，∴函数()f x 的零点个数为0；

②当0a <时, ()0t

a g t e t

-<，()g t ∴在()0,∞+上为减函数，即函数()g t 至多有一个零点，即()f x 至多有一个零点.

当1

0e a t e

-<<时，

1ln ln 1e

a e a a t a a e a a e a -????

+>+=+-= ? ?????

，

ln t a a t e +∴>，即()0g t >，又()01g a e =-<，

∴函数()g t 有且只有一个零点，即函数()f x 有且只有一个零点；

③当0a e <≤时，令()0g t '=，即t a te =，

令()()0t

h t te t =>，则()()10t

h t e te t e '=+=+>

()t h t te ∴=在()0,∞+上为增函数，又()1h e =，

故存在(]00,1t ∈，使得()00g t '=，即

t a

e t =. 由以上可知：当00t t <<时，()0g t '>，()g t 为增函数；当0t t >时，()0g t '<，()g t 为减函数；

()()0000max 0

ln ln t a

g t g t a a t e a a t t ∴==+-=+-

，(]00,1t ∈，令()ln a

F t a a t t

=+-，(]0,1t ∈，则()20a a

F t t t

+>，()F t ∴在(]0,1上为增函数，则()()10F t F ∴≤=，即()

()

max

0g t ≤，当且仅当1t =，a e =时等号成立，

由以上可知：当a e =时，()g t 有且只有一个零点，即()f x 有且只有一个零点；当0a e <<时，()g t 无零点，即()f x 无零点；

综上所述：当0a e ≤<时，函数()f x 无零点；当0a <或a e =时，函数()f x 只有一个零点.

【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据函数的最值求解参数值、利用导数研究函数零点个数的问题；函数零点个数的求解关键是能够通过换元法将问题转化为新函数零点个数的求解，进而通过分类讨论的方式，结合函数单调性、零点存在定理和函数最值来确定零点个数，属于较难题.

(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分.

22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y α

=+??=?(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴

非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上且满足

||||8,OA OB ?=点B 的轨迹为2C .

（1）求曲线12,C C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为32,

2π??

，求ABM ?面积的最小值. 【答案】（1）1C ：2cos ρθ=，2C ：cos 4ρθ=；（2）2. 【解析】【分析】

（1）消去参数，求得曲线1C 的普通方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可求得曲线1C 的极坐标方程，再结合题设条件，即可求得曲线2C 的极坐标方程；

（2）由2OM =,求得OBM OAM ABM S S S ???=-，求得ABM ?面积的表达式，即可求解. 【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为1cos sin x y α

=+??

=? (α为参数)，

消去参数，可得普通方程为()2

211x y -+=，即2

20x y x +-=，

又由cos ,sin x y ρθρθ==，代入可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，设点B 的极坐标为(,)ρθ，点A 点的极坐标为00(,)ρθ，则0000,,2cos ,OB OA ρρρθθθ====，因为||||8OA OB ?=，所以08ρρ?=，即8

2cos θρ

=，即cos 4ρθ=，

所以曲线2C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.