六年级分数巧算裂项拆分
思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。
分数裂项求和方法总结
（一）用裂项法求
1一型分数求和分析：因为n(n 1)
1 n(n 1) n(n 1)
（n为自然数）所以有裂项公式: n（n 1）
【例1】
求丄
10 11
11 12
1的和。
59 60
【例2】
咕右）'11
1 1
10 60
1
12
用裂项法求
1 1
k(n
计算
n(n k)
1 1 -
[2 5
1
15
n(n 1)
59 60)
型分数求和:
k)
n
n(n k)]
分析：
n（n
k）
型。（n,k均为自然数）因为
n(n k) 所以n(n k)k(
； n k
9 11 11 13 13 15
7)
1
1)
丄(1
2 7
1
(1
9) 1(1 却2、11
1 1 1 1
1 , 1 1、1(丄丄
2(13 15
1
13)
1
用裂项法求
9 11 11 13
型分数求和:
n（n k）
n n k n(n k) n(n k) n(n k)
13
分析：型（n,k均为自然数）n（n k）
k
所以一-
n(n k) n n k
(1
1 3 97 99 3200
9603
自然数）
n(n k)( n 2k)( n 3k)
3k (n(n k^(n 2k)
1139 20520
I
(n k)(n 2k)(n 3k)
【例3】
的和
97 99
98 99
(四)
1
3) (3
5
1 1 )(
5 1 7)
1 1
1 99 用裂项法求 型分数求和:
n （n k ）（n 2k ）
分析:
2k n(n k)(n 2k)
【例4】
计算：
4
4 4
4
1 3 5
3 5 7
93 95
97
95 97 99
(1I II 3
15) (315 517)…(
1
1
)(
1 1
)
3 93 95 95 9/ V 95 97
97 99,
1
1
（n,k 均为自然数）
【例5】 1 1
计算：1 2 3 4 2 3 4 5
1 17 18 19 20
3[(1 1 1 3[1 2 3 （丘
18 19 20]
1 17 18 19
1 18 19 20
)]
2k n(n k)(n 2k)
1 1
n(n k) (n k)( n 2k)
(五) 用裂项法求
型分数求和分析:
n(n k)(n 2k)(n 3k)
(n,k 均为
n(n k)(n 2k)(n 3k)
（六）用裂项法求
3k
n(n k)(n 2k)(n 3k)
型分数求和：分析:
3k
n(n k)(n 2k)( n 3k)
(n,k
均为自然数）
3k 1 1
n(n k)(n 2k)( n 3k) n(n k)( n 2k) (n k)( n 2k)(n 3k)
【例6】
计算： 3 3 3
1 2 3 4 2 3 4 5 17 18 19 20
“ 1 1 1 1 、“ 1 1 、
(- ) (—)... ...(- )
1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20
1 1
1 2 3 18 19 20
1139
6840
【例7】计算:
1 + 3 + 上 + 29 + 37 + 竺 + 兰 + 里 + 2
7 8 36 56 63 72 77 84 88
【分析与解】解答此题时，我们应将分数分成两类来看，一类是把
29
56
37
63
4j
72
这四个分
77
/ 58 58 59 + — ） + —
59
60
60
【分析与解】先将题目中分母相同的分数结合在一起相加，再利用乘法分配律进行简便计算。
一 .. 1 3 4 1 1 3 1 4 1 4 / 1 6 ,3
1、 原式=—+ — + (-■ — —
) + + -) + ( 十 -) 十 十—) 十(
— 十 )十(
)
7 8 9 4 7 8 7 9 8 9 7
11 7 12
/ 1 1、
+
- --- )
8 11
1
3 4 1
1
3
1
4 1
4
1
6
3
1
1
1 =—+ — +
+
+
+
+
+
十
十
十—
十_
十一
7 8 9 4
7
8 7 9 8 9 7 11 7 12 8 11
/ 1 1 1
1
3
/ 3 3 1 1、
4 4、
6 1
/ 1 =(-
-+ 一 + 一 +
+
)+ (-
十一十一十一）
十
(- 十一 十一）
+ (
)—
(— 7
7 7
7
7
8
8 8 8
9
9 9
11 11
12
数，可以拆成是两个分数的和。另一类是把
后再根据题目中的相关分数合并。 7 29 3
—、29、—这三个分数，可以拆成是两个分数的差，然
36 84 88 + 1)
4 =311
1 1 1
2 2 2 【例8】计算： （1十 十 -十… ??+ )十( 十 十.??+ —
2 3 60 3 4 60 =1 + 1 +
+ 3 1
1
3 + ( 3 4
2 3
3 4 4 4
2
3 58 59、
— 十 十. ■ ? + 十
)
60 60
60
60
=1 + 1 十1 x (1 2) 2
1 (1 十丄x ' 3) 3
2 3 2 4 2
1 2 3 4
59
=1 +
十一十 十—+ ? ??…十
2 2 2 2 2
/ 1 2
3 4、 / 1 5
1 十一十
十
)+
(- 十… ?+ 一 )十… ?十十
5 5
5
5
6
6
60
十 1 x (1
4)
4
十??…
? + 丄 x (1
59) 59
5
2
60
2
原式=1+ 1 +( 1
+ - ) + ( 1
+ - + - ) +
=1+ - X( 1 + 2+ 3+ 4+……+ 59)
2
=1+ 1 x (1 59) 59
2 2
=1+ 15 x 59
=886
【巩固练习】
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1+
+
+ ....+
2
+
+
+ -------- + --------
4 5
5 6 6 7
39 40
10 11 11
12 12 13 13 14 14 15
1
1 1
1
1
1
1 1
1 1
3—+ - —+ - ——+
+
+
4
、1 — —+
---- + +
2 6 12 20 30
42
6 42 56 72
1
1 1
1
1
1
1
1 5
+
+ + ??…+
6 、
--- +
-+
+ ? +
2 4 4 6 6 8 48 50
1 5 5 9 9 13
33 37
1 1 1
1
1
,1 7 9 11
13 15
7
—+ -
+
+
+
8
、1 — +
一 - +
4 28
70 130
208
3
12 20
30 42 56
”.1111111 1
14. 1 屮 ~a
+ — + 一 + ‘ +—卡—a
+ -—■ + ——=』
2 4 8 16 32 64 128 256
_ , 1 1 1 1
15. 1 + ----- + ---------- + ---------------- +*■*+ ------------------------ =
1 +
2 1 + 2 +
3 1亠24"
4 142 + 3 + 4# …"IQ 。
_ 1 1 1 1 1 1 1 1 16 ? —+一 + 一 +■ — + 斗-—-+ + -—一 ?
2 4 8 31 62 124 2 炎 496
4 3
17. 17.5+17.5X1^-^ (—0.06)=
5 10
135x27U136 1 g ____________ = ” 136x271-135
19. 4 x 5x 6x 7x ……x 355x 356的末尾有()个零。
20. 要使325x 765x 895x ()的积的末尾有5个连续的0,括号内填入的自然数最小是 ()。 21. 124124X 366366x 5210002 的尾数是()。
22 .证明：19911991 + 3的和不能是两个连续的自然数的积。
c 1
1
1
1 1 1
9. — + -+
+ — +
+ — 2 4 8 16 32 64
10 .69316.931 - 69.31 =
11-17 x 15) +(13 -務 39 ' 39
x 13)宁(15 -19 x 11) 11、（
遇到失意伤心事，多想有一个懂你的人来指点迷津，因他懂你，会以我心，换你心，站在你的位置上思虑，为你排优解难。
一个人，来这世间，必须懂得一些人情事理，才能不断成长。就像躬耕于陇亩的农人，必须懂得土地与种子的情怀，才能有所收获。
一个女子，一生所求，莫过于找到一个懂她的人，执手白头，相伴终老。
即使芦花暖鞋，菊花枕头，也觉温暖；即使粗食布衣，陋室简静，也觉舒适，一句“懂你”，叫人无怨无悔，愿以自己的一生来交付。
懂得是彼此的欣赏，是灵魂的轻唤，是惺惺相惜，是爱，是暖，是彼此的融化；是走一段很远的路，蓦然回首却发现，我依然在你的视线里；是回眸相视一笑的无言；是一条偏僻幽静的小路，不显山，不露水, 路边长满你喜爱的花草，静默无语却馨香盈怀，而路的尽头，便是通达你心灵的小屋……
瑟瑟严冬，窗外雪飘，絮絮自语说了这多，你可懂我了吗？若你知晓，无需说话，只报一声心灵的轻叹，那，便是我的花开春暖。
你相不相信，人生有一种念想，不求奢华不求结果，不求你在我身边，只愿有一种陪伴暖在心灵，那，便是懂得。
有人懂得是一种幸福，懂得别人是一种襟怀，互为懂得是一种境界。
懂得，真好!