高中数学类比推理专题

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实用文案

1．设△的三边长分别为△的面积为，内切圆半径为，

则．类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为内切球的半径为，四面体的体积为，则＝（）

A B

C D

2．如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为i a（4,3,2,1?i），此四边形内任一点P到第i条边的距离记为i h（4,3,2,1?i），若kaaaa????43214321，则kShhhh24324321????．类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为i S（4,3,2,1?i），此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为i H（4,3,2,1?i），若KSSSS????43214321，则

4321432HHHH???等于（）

A2VK B2VK C3VK D3VK

3．由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是（）

A．归纳推理 B．演绎推理 C．类比推理 D．传递性推理

4．我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值32a，类比上述结论，在边长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值（）

A63a B64a C33a D34a

5．平面几何中的三角形在立体几何中类比的对象是（）

A．三棱柱 B．三棱台 C．三棱锥 D．正方体

6．平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值32a，标准文档

实用文案类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为

（）

A43a B54a C63a D

64a

7．天文学家经研究认为：“地球和火星在太阳系中各方面比较接近，而地球有生命，进而认为火星上也有生命存在”，这是什么推理（）

A．归纳推理 B．类比推理 C．演绎推理 D．反证法

8．由“在平面内三角形的内切圆的圆心到三边的距离相等”联想到“在空间中内切于三棱锥的球的球心到三棱锥四个面的距离相等”这一推理过程是（）

A.归纳推理

B.类比推理

C.演绎推理

D.联想推理

9．下列推理是归纳推理的是（）

Ａ．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，则P点的轨迹为椭圆

B．由13,11???naa n，求出321,,SSS猜想出数列的前n项和S n的表达式

Ｃ．由圆222ryx??的面积?2r，猜想出椭圆12222??byax的面积??Sab D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

10．下列正确的是（）

A．类比推理是由特殊到一般的推理

B．演绎推理是由特殊到一般的推理

C．归纳推理是由个别到一般的推理

D．合情推理可以作为证明的步骤

11．①由“若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)”类比“若a、b、c为三个向量，则(a·b)c ＝a(b·c)”；

②在数列{a n}中，a1＝0，a n＋1＝2a n＋2，猜想a n＝2n－2；

③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；

上述三个推理中，正确的个数为( )

A．0 B．1 C．2 D．3

12．下面几种推理中是演绎推理

．．．．的序号为（）

A．半径为r圆的面积2Sr??，则单位圆的面积S??；

B．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；

C．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；

D．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()xaybr????，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()xaybzcr??????

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实用文案13．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面( )

A．各正三角形内一点 B．各正三角形的某高线上的点

C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某点

14．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为1S，外接圆面积为2S

，则1214SS?，推广到空间几何中可以得到类似结论：若正四面体ABCD?的内切

球体积为1V，外接球体积为2V，则12VV?（）

A14B18C116D127 15．已知结论:“在正ABC?中，BC中点为D，若ABC?内一点G到各边的距离都相等,则2?GDAG”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若BCD?的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则?OMAO（▲）

A．1 B．2 C．3 D．4

16．现有两个推理：①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；

②由“若数列??n a为等差数列，则有155********aaaaaa?????????成立”类比“若数列??n b为等比数列，

则有151********bbbbbb???????成立”，则得出的两个结论

A. 只有①正确

B. 只有②正确

C. 都正确

D. 都不正确

17．在平面上，若两个正三角形的边长比为1:2.则它们的面积之比为1:4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1:2，则它们的体积比为（）

A．1:2 B. 1:4 C. 1:6 D. 1:8

18．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )

A．三角形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形

19．由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是（）

A. 归纳推理

B. 类比推理

C. 演绎推理

D.以上都不是

20．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，

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实用文案甲：由“若三角形周长为l，面积为S，则其内切圆半径r＝2Sl”类比可得“若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r＝3VS”；

乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a、b，则其外接圆半径r＝222ab?”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a、b、c，则其外接球半径r

＝2223abc??”．这两位同学类比得出的结论( )

A．两人都对 B．甲错、乙对

C．甲对、乙错 D．两人都错

21．求“方程345xxx??的解”有如下解题思路：设34()()()55xx fx??，则()fx在

R上单调递减，且(2)1f?，所以原方程有唯一解2x?．类比上述解题思路，方程xxxx1133???的解为

22．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________．．

23．在等差数列??n a中，若010?a，则有nn aaaaaa????????192121??

)19(???Nnn，且成立．类比上述性质，在等比数列??n b中，若19?b，则存在的类似等式为________________________．．

24．半径为r的圆的面积2()srr??，周长()2Crr??，若将r看作(0，＋∞)上的变

量，则2()'2rr???①，①式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函

数．对于半径为R的球，若将R看作(0,)+?上的变量，请写出类比①的等式：

____________________．上式用语言可以叙述为_________________________．．

25．已知圆的方程是222ryx??，则经过圆上一点),(00yxM的切线方程为

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实用文案200ryyxx??类比上述性质，可以得到椭圆12222??byax类似的性质为________．．

26．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径r＝

222ab?，将此结论类比到空间有________________________

27．设等差数列??n a的前n项和为n S?则4841281612SSSSSSS??????成等差数列.类比以上结论有:设等比数列??n b的前n项积为n T?则4T?，

，1612TT成等比数列．

28．在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，斜边AB上的高为h，则有结论h2

=，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，且三棱锥的直角顶点到底面的高为h，则有结论：

29．已知边长分别为a、b、c的三角形ABC面积为S，内切圆O半径为r，连接OA、OB、OC，则三角形OAB、OBC、OAC的面积分别为cr21、ar21、br21，由

brarcrS212121???得cbaSr???2，类比得四面体的体积为V，四个面的

面积分别为4321,,,SSSS,则内切球的半径R=_________________

30．已知点),(),,(2121xx axBaxA是函数(1)x yaa??的图象上任意不同两点，依据图

象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论2xxxx aaa???成立．运用类比思想方法可知，若点)sin,(),sin,(2211xxBxxA是函12122

数)),0((sin???xxy的图象上任意不同两点，则类似地有_________________成立．31．如图(1)有面积关系：PABPAB SS????＝PAPBPAPB????，则图(2)有体积关系：PABCPABC VV?????＝________.

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32．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如

图所标边长，由勾股定理有222bac??．设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥LMNO?，如果用321,,SSS表示三个侧面面积，4S表示截面面积，那么类比得到的结论是

33．已知正三角形内切圆的半径r与它的高h的关系是：13rh?，把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径r与正四面体高h的关系是

34．在平面上，到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线.类比在空间中：

（1）到定直线的距离等于定长的点的轨迹是；

（2）到已知平面相等的点的轨迹是 .

35．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a；类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为___________ ．

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36．若等差数列??n a的首项为1,a公差为d，前n项的和为n S，则数列{}n Sn 为等差数列，且通项为1(1)2n Sdann????．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{}n b的首项为1b，公比为q，前n项的积为n T，则

37．对于问题：“已知关于x的不等式02???cbxax的解集为（-1，2），解关于x的不等式02???cbxax”，给出如下一种解法：

解：由02???cbxax的解集为（-1，2），得0)()(2?????cxbxa的解集为（-2，1），即关于x的不等式02???cbxax的解集为（-2，1）

参考上述解法，若关于x的不等式0?????cxbxaxk的解集为（-1，31?） （21，1），则关于x的不等式0111?????cxbxaxkx的解集为

________________

38．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．．

39．已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A、B两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为

40．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．请仿照直角三角形以下性质：（1）斜边的中线长等于斜边边长的一半；（2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；（3）斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1．写出直角三棱锥相应性质（至少一条）：_____________________．．

42．通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为22R．”猜想关于球的相应命题为“半径为R的球内接六面体中以

的体积为最大，最大值为”

43．在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径CSr2?．在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R=______________________。

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题,两题都选的只计算第14．

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实用文案题的得分．）

44．已知结论:“正三角形中心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍”。若把该结论推广到空间，则有结论：

45．在等差数列??n a中，若010?a，则有等式

??n b nn aaaaaa??????????????192121),19(*Nnn??成立，类比上述性质，在等比数列

中，若19?b，则有等式

.

46．已知命题“设12,aa是正实数，如果12aam??，则有12114aam??，用类比思想推广，”设123,,aaa是正实数，如果123aaam???，则。47．在圆中有结论：如图所示，“AB是圆O的直径，直线AC，BD是圆O过A，B的切线，P是圆O上任意一点，CD是过P的切线，则有PO2＝PC·PD”．类比到椭圆：“AB是椭圆的长轴，直线AC，BD是椭圆过A，B的切线，P是椭圆上任意一点，CD是过P的切线，