高考文科数学练习题椭圆

第三节 椭圆

[考纲要求]

1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程．

2．掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)． 3．了解椭圆的简单应用． 4．理解数形结合的思想．

突破点一 椭圆的定义和标准方程

[基本知识]

1．椭圆的定义

平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数． (1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆． (2)若a ＝c ，则集合P 为线段． (3)若a ＜c ，则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程

(1)焦点在x 轴上的椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，

其中c 2＝a 2－b 2.

(2)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点为F 1(0，－

c )，F 2(0，

c )，其中c 2＝a 2－b 2.

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (3)y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、填空题

1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2

＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆

的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．

答案：4 3

2．如果方程x 2a 2＋y 2

a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．

答案：(－6，－2)∪(3，＋∞)

3．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为____________．

答案：x 216＋y 2

12

＝1

[全析考法]

考法一 椭圆的定义及应用

[例1] (1)(2019·衡水调研)已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )

A.x 212＋y 211＝1

B.x 236－y 2

35＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 2

2

＝1 (2)(2019·齐齐哈尔八中模拟)如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞2)的左、

右焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上的一点，若∠F 1PF 2＝60°，那么△PF 1F 2的面积为( )

A.233

B.332

C.334

D.433

[解析] (1)由题意得|PA |＝|PB |，∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝r ＝23＞|AF |＝2，∴点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，∴b ＝2，∴动点P 的轨迹方程为x 23＋

y 2

2＝1，故选D.

(2)设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则cos 60°＝m 2＋n 2－(2c )22mn ＝(2a )2－2mn －(2c )22mn ＝1

2，化简得，

3mn ＝4(a 2－c 2)＝4b 2，∵b 2＝4，∴mn ＝

163，∴S △PF 1F 2＝12

mn sin 60°＝433.故选D. [答案] (1)D (2)D [方法技巧]

椭圆焦点三角形中的常用结论

以椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△

PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则

(1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a .

(2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ. (3)S △PF 1F 2＝1

2|PF 1||PF 2|·sin θ，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2

取最大值为

bc .

(4)焦点三角形的周长为2(a ＋c )． 考法二 椭圆的标准方程

[例2] (1)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )

A.x 225＋y 2

5＝1 B.x 230＋y 2

10＝1 C.x 236＋y 2

16＝1 D.x 245＋y 2

25

＝1 (2)(2019·武汉调研)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为____________．

[解析] (1)设F ′为椭圆的右焦点，连接PF ′，在△POF 中，由余弦定理，得cos ∠POF ＝|OP |2＋|OF |2－|PF |22|OP |·|OF |＝35，则|PF ′|＝|OP |2＋|OF ′|2－2|OP |·|OF ′|cos (π－∠POF )＝

8，由椭圆定义，知2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，又c ＝25，所以b 2＝16.故椭圆C 的方程为x 236＋y 2

16

＝1. (2)∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上， ∴可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)，

∵P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， ∴?????

4a 2＋3b 2＝1，2a ＝4c ，又a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝22，b ＝6，c ＝2， ∴椭圆方程为x 28＋y 2

6＝1.

[答案] (1)C (2)x 28＋y 2

6

＝1

[方法技巧] 待定系数法求椭圆方程的思路

[集训冲关]

1.[考法二]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，

则此椭圆的标准方程为( )

A.x 236＋y 2

32＝1 B.x 29＋y 2

8＝1 C.x 29＋y 2

5

＝1 D.x 216＋y 2

12

＝1 解析：选B 由题意可得2c 2a ＝1

3，2a ＝6，解得a ＝3，c ＝1，则b ＝32－12＝8，所以

椭圆C 的方程为x 29＋y 2

8

＝1.故选B.

2.[考法一、二]已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为3

2

，且椭圆G 上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )

A.x 236＋y 2

9＝1 B.x 29＋y 2

36＝1 C.x 24＋y 2

9

＝1 D.x 29＋y 2

4

＝1 解析：选A 依题意设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆上一点到两焦点的

距离之和为12，∴2a ＝12，∴a ＝6，∵椭圆的离心率为3

2，∴e ＝c a ＝

1－b 2a 2＝3

2

，即1－b 236＝32，解得b 2

＝9，∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29

＝1，故选A. 3.[考法一]P 为椭圆x 225＋y 2

9＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左焦点和右焦点，过P 点

作PH ⊥F 1F 2于点H ，若PF 1⊥PF 2，则|PH |＝( )

A.254

B.8

3 C ．8

D.94

解析：选D

由椭圆x 225＋y 2

9＝1得a 2＝25，b 2＝9，则c ＝a 2－b 2＝25－9＝4，

∴|F 1F 2|＝2c ＝8.

由椭圆的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝82. ∴2|PF 1|·|PF 2|

＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|2＋|PF 2|2) ＝100－64＝36， ∴|PF 1|·|PF 2|＝18.

又S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12|F 1F 2|·|PH |，

∴|PH |＝|PF 1|·|PF 2||F 1F 2|＝9

4

.故选D.

突破点二 椭圆的几何性质

[基本知识]

标准方程

x 2a 2＋y 2

b 2

＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2

b 2

＝1(a ＞b ＞0) 图形

性 质

范围 －a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b

－b ≤x ≤b ，－a ≤y ≤a

对称性

对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)

顶点

A 1(－a,0)，A 2(a,0)，

B 1(0，－b )，B 2(0，b )

A 1(0，－a )，A 2(0，a )，

B 1(－b,0)，B 2(b,0)

离心率

e ＝c

a ，且e ∈(0,1)

a ，

b ，

c 的关系

c 2＝a 2－b 2

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长等于a .( )

(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a －c .( ) (3)椭圆的离心率e 越小，椭圆越圆．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√

二、填空题

1．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为1

2，则m 的值为________．

答案：3

2

2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．

答案：(0，±69)

3．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5

5

，且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________．

答案：x 245＋y 2

36

＝1

[全析考法]

考法一 椭圆的离心率

椭圆的离心率是一个重要的基本量，在椭圆中有着极其特殊的作用，也是高考常考的知识点，主要考查两类问题：一是求椭圆的离心率；二是求椭圆离心率的取值范围．

[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A

是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为3

6

的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )

A.2

3 B.12 C.13

D.14

(2)(2019·江西临川二中、新余四中联考)已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、

右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 上下两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )

A ．(0，2－1)

B ．(2－1,1)

C ．(0，3－1)

D ．(3－1,1)

[解析] (1)如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1.由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14

.

(2)∵F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直

线与椭圆交于A ，B 上下两点，∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A ????－c ，b 2

a ，B ????－c ，－b

2

a ，∵△ABF 2是锐角三角形，∴∠AF 2F 1＜45°，∴tan ∠AF 2F 1＜1，∴

b 2a

2c ＜1，整理得b 2＜2ac ，∴a 2－c 2

＜2ac ，两边同时除以a 2，并整理，得e 2＋2e －1＞0，解得e ＞2－1或e ＜－2－1(舍去)，∵0＜e ＜1，∴椭圆的离心率e 的取值范围是(2－1,1)，故选B.

[答案] (1)D (2)B [方法技巧]

1．求椭圆离心率的3种方法

(1)直接求出a ，c 来求解e .通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值．

(2)构造a ，c 的齐次式，解出e .由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．

(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．

[提醒] 在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e ∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．

2．求椭圆离心率范围的2种方法 方法

解读

适合题型 几何法

利用椭圆的几何性质，设P (x 0，y 0)为椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞

0)上一点，则|x 0|≤a ，a －c ≤|PF 1|≤a ＋c 等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系

题设条件有明显

的几何关系 直接法 根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a ，b ，c 的不等关系式

题设条件直接有不等关系

考法二 与椭圆性质有关的最值范围问题

[例2] (1)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2

m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在

点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )

A ．(0,1]∪[9，＋∞)

B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)

C ．(0,1]∪[4，＋∞)

D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)

(2)(2019·合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2

b 2＝1的离心率

e ＝1

2

，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则

PF ―→·PA ―→

的最大值为________．

[解析] (1)当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即3

m ≥3，

解得0＜m ≤1.

当m ＞3时，焦点在y 轴上，

要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即m

3≥3，解得m ≥9.

故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． (2)由题意知a ＝2， 因为e ＝c a ＝1

2

，

所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆方程为x 24＋y 2

3＝1.

设P 点坐标为(x 0，y 0)． 所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1,0)，A (2,0)，

PF ―→＝(－1－x 0，－y 0)，PA ―→

＝(2－x 0，－y 0)， 所以PF ―→·PA ―→＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2

. 则当x 0＝－2时，PF ―→·PA ―→

取得最大值4. [答案] (1)A (2)4 [方法技巧]

与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法

(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围． (2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围． (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围． (4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．

[提醒] 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．

[集训冲关]

1.[考法一]已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若

NM ―→·NF ―→＝0，则椭圆的离心率为( )

A.3

2 B.2－1

2 C.3－1

2

D.

5－1

2

解析：选D 由题意知，M (－a,0)，N (0，b )，F (c,0)，∴NM ―→＝(－a ，－b )，NF ―→

＝(c ，－b )．∵NM ―→·NF ―→

＝0，∴－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac .又b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac .∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝

5－12或e ＝－5－12(舍去)．∴椭圆的离心率为5－1

2

，故选D. 2.[考法一]如图，F 1，F 2是双曲线

C 1：x 2－

y 2

8

＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限内的交点，若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是( )

A.23

B.45

C.35

D.25

解析：选C 设椭圆的长半轴长为a .由题意可知，|F 1F 2|＝|F 1A |＝6，∵|F 1A |－|F 2A |＝2，∴|F 2A |＝4，∴|F 1A |＋|F 2A |＝10，∴2a ＝10，∴C 2的离心率是610＝3

5

.故选C.

3.[考法二]已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0＜x 20

2＋y 20＜1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．

解析：由点P (x 0，y 0)满足0＜x 2

2

＋y 20＜1，可知P (x 0，y 0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a ＝2，b ＝1，所以由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＜2a ＝22，当P (x 0，y 0)与F 1或F 2重合时，|PF 1|＋|PF 2|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|＝2，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是[2,22)．

答案：[2,22)

[课时跟踪检测]

[A 级 基础题——基稳才能楼高]

1．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m ＜n ＜0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n ) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m )

D ．(±n －m ，0)

解析：选C 化为标准方程是x 2－n ＋y 2－m

＝1，

∵m ＜n ＜0，∴0＜－n ＜－m .

∴焦点在y 轴上，且c ＝－m －(－n )＝n －m .

2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A.x 22＋y 2

4＝1 B ．x 2＋

y 2

6

＝1 C.x 26＋y 2

＝1 D.x 28＋y 2

5

＝1 解析：选B 椭圆9x 2＋4y 2＝36

可化为x 24＋y 2

9

＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，

±5)，

故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，则

c ＝ 5.

又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 则所求椭圆的标准方程为

x 2＋

y 2

6

＝1. 3．已知P 为椭圆x 225＋y 2

16＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2

＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )

A ．5

B ．7

C ．13

D ．15

解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.

4．已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x

轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP ―→＝2PB ―→

，则椭圆的离心率是( )

A.32

B.22

C.13

D.12

解析：选D ∵AP ―→＝2PB ―→，∴|AP ―→|＝2|PB ―→

|.又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即

a a ＋c ＝2

3，∴e ＝c a ＝12

. 5．(2019·长沙一模)椭圆的焦点在x 轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( )

A.x 22＋y 2

2＝1 B.x 22＋y 2

＝1 C.x 24＋y 2

2

＝1 D.y 24＋x 2

2

＝1

解析：选C 由条件可知b ＝c ＝2，a ＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2

2＝1.故选C.

6．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点

P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )

A.????23，1

B.????1

3，22 C.????13，1

D.???

?0，13 解析：选C 如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得|PF 2|＝2c .∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈????

13，1.

[B 级 保分题——准做快做达标]

1．(2019·武汉模拟)曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 2

9－k ＝1(k ＜9)的( )

A ．长轴长相等

B ．短轴长相等

C ．离心率相等

D ．焦距相等

解析：选D 曲线x 225＋y 2

9＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，

焦距为8，离心率为4

5.曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k ＜9)表示焦点在x 轴上的椭圆，其长轴长为

225－k ，短轴长为29－k ，焦距为8，离心率为

4

25－k

.对照选项，知D 正确．故选D. 2．(2019·德阳模拟)设P 为椭圆C ：x 249＋y 2

24＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右

焦点，且△PF 1F 2的重心为点G ，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为( )

A ．24

B ．12

C ．8

D ．6

解析：选C ∵P 为椭圆C ：x 249＋y 2

24＝1上一点，|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a

＝14，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，又∵|F 1F 2|＝2c ＝249－24＝10，∴易知△PF 1F 2是直角三角形，S △PF 1F 2＝1

2

|PF 1|·|PF 2|＝24，

∵△PF 1F 2的重心为点G ，∴S △PF 1F 2＝3S △GPF 1，∴△GPF 1的面积为8，故选C.

3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24

＋y 2

＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )

A ．2 B.455 C.4105

D.8105

解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ， 由?????

x 2

4＋y 2＝1，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－8

5t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.

∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2· ????－85t 2－4×4(t 2

－1)5

＝

42

5

·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝

410

5

. 4．(2019·贵阳摸底)P 是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，A 为左顶点，F 为右焦点，

PF ⊥x 轴，若tan ∠PAF ＝1

2

，则椭圆的离心率e 为( )

A.23

B.22

C.33

D.12

解析：选D 不妨设点P 在第一象限，因为PF ⊥x 轴，所以x P ＝c ，将x P ＝c 代入椭圆方程得y P ＝b 2a ，即|PF |＝b 2a ，则tan ∠PAF ＝|PF ||AF |＝b 2a a ＋c ＝1

2，结合b 2＝a 2－c 2，整理得2c 2＋

ac －a 2＝0，两边同时除以a 2得2e 2＋e －1＝0，解得e ＝1

2

或e ＝－1(舍去)．故选D.

5．(2019·长郡中学选拔考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与圆D ：x 2＋y 2－2ax ＋

3

16a 2＝0交于A ，B 两点，若四边形OADB (O 为原点)是菱形，则椭圆C 的离心率为( )

A.1

3 B.12 C.32

D.62

解析：选B 由已知可得圆D ：(x －a )2＋y 2＝

1316

a 2

，圆心D (a ，0)，则菱形OADB 对角

线的交点的坐标为????a 2，0，将x ＝a 2代入圆D 的方程得y ＝±3a

4，不妨设点A 在x 轴上方，即A ????a 2，3a 4，代入椭圆C 的方程可得14＋9a 2

16b 2＝1，所以34a 2

＝b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2c ，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12

.

6．(2019·沙市中学测试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2

2，双曲线x 2－

y 2＝1的渐近线与椭圆C 有4个交点，以这4个交点为顶点的四边形的面积为8，则椭圆C 的方程为( )

A.x 28＋y 2

2＝1 B.x 212＋y 2

6＝1 C.x 26＋y 2

3

＝1 D.x 220＋y 2

5

＝1 解析：选C 由题意知双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，由椭圆的对称性可知以这4个交点为顶点的四边形是正方形，由四边形的面积为8，知正方形的边长为22，所以点(2，2)在椭圆上，所以2a 2＋2

b

2＝1.①

又椭圆的离心率为

22

， 所以a 2－b 2a 2＝1

2，所以a 2＝2b 2.②

由①②得

a 2＝6，

b 2＝3，所以椭圆

C 的方程为x 26＋y 2

3

＝1.故选C.

7．(2019·安阳模拟)已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭

圆上一点，且PF 1―→·(OF 1―→＋OP ―→)＝0(O 为坐标原点)，若|PF 1―→|＝2|PF 2―→

|，则椭圆的离心率为( )

A.6－ 3

B.6－3

2 C.6－ 5

D.

6－5

2

解析：选A 以OF 1，OP 为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由PF 1―→·(OF 1―→＋OP ―→)＝0知，此平行四边形的对角线垂直，即此平行四边形为菱形，∴|OP ―→|＝|OF 1―→

|，∴△F 1PF 2是直角三角形，即PF 1⊥PF 2.设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，结合椭圆的性

质和三角形勾股定理可得???

2x ＋x ＝2a ，(2x )2＋x 2＝(2c )2，

∴e ＝c a ＝3

2＋1＝6－ 3.故选A.

8．(2019·西宁复习检测)在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 2

3＝1上的一个动点，

点A (1,1)，B (0，－1)，则|PA |＋|PB |的最大值为( )

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

解析：选A ∵椭圆的方程为y 24＋x 2

3＝1，∴a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1，

∴B (0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C (0,1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB |＋|PC |＝4，∴|PB |＝4－|PC |，∴|PA |＋|PB |＝4＋|PA |－|PC |≤4＋|AC |＝5.

9．已知点P 是椭圆x 216＋y 2

8＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，

O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→

|的取值范围是( )

A ．[0,3)

B ．(0,22)

C ．[22，3)

D ．(0,4]

解析：选B 如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G . ∵F 1M ―→·MP ―→＝0，∴F 1M ―→⊥MP ―→

. 又MP 为∠F 1PF 2的平分线， ∴|PF 1|＝|PG |，且M 为F 1G 的中点． ∵O 为F 1F 2的中点，∴OM 綊1

2F 2G .

∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 1|－|PF 2||， ∴|OM ―→|＝1

2

|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.

∵4－22＜|PF 2|＜4或4＜|PF 2|＜4＋22， ∴|OM ―→

|∈(0,22)．

10．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的两个焦点，P 在椭圆上且满足PF 1―→·PF 2―→

＝

c 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )

A.

???

?33，1 B.

????33，22

C.????13，12

D.?

??

?0，

22 解析：选B 设P (x ，y )，则x 2a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝b 2

－b 2a

2x 2，－a ≤x ≤a ，PF 1―→＝(－c －x ，－

y )，PF 2―→

＝(c －x ，－y )．

所以PF 1―→·PF 2―→＝x 2－c 2＋y 2＝????1－b 2a 2x 2

＋b 2－c 2＝c 2a 2x 2＋b 2－c 2.

因为－a ≤x ≤a ，所以b 2－c 2≤PF 1―→·PF 2―→

≤b 2. 所以b 2－c 2≤c 2≤b 2. 所以2c 2≤a 2≤3c 2. 所以

33≤c a ≤2

2

.故选B. 11．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ＝2

3，则实数k 的值是________．

解析：当k ＞4 时，有e ＝

1－4k ＝23，解得k ＝36

5

；当0＜k ＜4时，有e ＝ 1－k

4

＝23，解得k ＝209.故实数k 的值为209或365

. 答案：

209或36

5

12．(2019·湖北稳派教育联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为

c ，且满足c 2－

b 2＋a

c ＜0，则该椭圆的离心率e 的取值范围是________．

解析：∵c 2－b 2＋ac ＜0，∴c 2－(a 2－c 2)＋ac ＜0，即

2c 2－a 2＋ac ＜0，∴2

c 2a

2－1＋c

a ＜0，即2e 2＋e －1＜0，解得－1＜e ＜12.又∵0＜e ＜1，∴0＜e ＜1

2

.∴椭圆的离心率e 的取值范围是

???

?0，12.

答案：???

?0，12 13.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______．

解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)，∠B 1PA 2为钝角可

转化为B 2A 2―→，F 2B 1―→

所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )＜0，即b 2＜ac ，则a 2－c 2＜ac ，故????c a 2＋c a －1＞0，即e 2＋e －1＞0，解得e ＞5－12或e ＜－5－12，又0＜e ＜1，所以5－12＜e ＜1.

答案：?

??

?

?5－12，1

14．(2019·辽宁联考)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 2

16＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一

点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．

解析：在椭圆x 225＋y 2

16＝1中，a ＝5，b ＝4，c ＝3，所以焦点坐

标分别为F 1(－3，0)，F 2(3,0)．根据椭圆的定义得|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋(2a －|PF 2|)＝10＋(|PM |－|PF 2|)．

∵|PM |－|PF 2|≤|MF 2|，当且仅当P 在直线MF 2上时取等号， ∴

当点P 与图中的点P 0重合时，有(|PM |－|PF 2|)max ＝(6－3)2＋(4－0)2＝5，此时得|PM |＋|PF 1|的最大值，为10＋5＝15.

答案：15

15．(2019·武汉调研)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2

＝1(a ＞1，a ∈R )上，

过O 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点．

(1)若△FAB 的面积的最大值为1，求a 的值；

(2)若直线MA ，MB 的斜率乘积等于－1

3，求椭圆C 的离心率．

解：(1)S △FAB ＝1

2

|OF |·|y A －y B |≤|OF |＝a 2－1＝1，所以a ＝ 2.

(2)由题意可设A (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，M (x ，y )，则x 2a 2＋y 2＝1，x 20

a 2＋y 20＝1， k MA ·k MB ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝1－x 2a 2－????1－x 20

a 2x 2－x 20＝－1a 2(x 2－x 20)x 2－x 20＝－1a 2＝－1

3， 所以a 2＝3，所以a ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝2， 所以椭圆的离心率e ＝c a ＝23＝63

.

16．(2019·广东七校联考)已知动点M 到定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4 2. (1)求动点M 的轨迹C 的方程；

(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交C 于不同于N 的两点A ，B ，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值．

解：(1)由椭圆的定义，可知点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，42为长轴长的椭圆．由c ＝2，a ＝22，得b ＝2.故动点M 的轨迹C 的方程为x 28＋y 2

4

＝1.

(2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，

由?????

x 2

8＋y 2

4＝1，y ＋2＝k (x ＋1)，

得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0.Δ＝[4k (k －2)]2－4(1＋

2k 2)(2k 2－8k )＞0，则k ＞0或k ＜－4

7

.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k (k －2)1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k

1＋2k 2.

从而k 1＋k 2＝

y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋(k －4)(x 1＋x 2)

x 1x 2

＝2k －(k －4)4k (k －2)

2k 2－8k

＝4.

当直线l 的斜率不存在时，得A ????－1，142，B ?

???－1，－142.所以k 1＋k 2＝4. 综上，恒有k 1＋k 2＝4.

[高考数学]高考数学函数典型例题

?0x时,总有 00 ?01}的四组函数如下: ①f(x)=x2,g(x)=x;②f(x)=10-x+2,g(x)=2x-3 x;

③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ） 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 ， 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长） 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .

2017年高考真题 文科数学(全国II卷)解析版

绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 【试卷点评】 【命题特点】 2017年高考全国新课标II数学卷，试卷结构在保持稳定的前提下，进行了微调，一是把解答题分为必考题与选考题两部分，二是根据中学教学实际把选考题中的三选一调整为二选一.试卷坚持对基础知识、基本方法与基本技能的考查,注重数学在生活中的应用.同时在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，与2016年相比难度稳中略有下降.具体来说还有以下几个特点： 1．知识点分布保持稳定 小知识点如：集合、复数、程序框图、线性规划、向量问题、三视图保持一道小题，大知识点如：三角与数列三小一大，概率与统计一大一小，立体几何两小一大，圆锥曲线两小一大，函数与导数三小一大(或两小一大). 2．注重对数学文化与数学应用的考查 教育部2017年新修订的《考试大纲（数学）》中增加了对数学文化的考查要求.2017年高考数学全国卷II文科第18题以养殖水产为题材，贴近生活. 3．注重基础，体现核心素养 2017年高考数学试卷整体上保持一定比例的基础题，试卷注重通性通法在解题中的运用，另外抽象、推理和建模是数学的基本思想，也是数学研究的重要方法，试卷对此都有所涉及. 【命题趋势】 1．函数与导数知识：函数性质的综合应用、以导数知识为背景的函数问题是高考命题热点，函数性质的重点是奇偶性、单调性及图象的应用，导数重点考查其在研究函数中的应用，注重分类讨论及化归思想的应用. 2．立体几何知识：立体几何一般有两道小题一道大题，小题中三视图是必考问题，常与几何体的表面积与体积结合在一起考查，解答题一般分两问进行考查. 3．解析几何知识：解析几何试题一般有3道，圆、椭圆、双曲线、抛物线一般都会涉及，双曲线一般作为客观题进行考查，多为容易题，解答题一般以椭圆与抛物线为载体进行考查，

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2 ，n ∈A }，则A ∩B ＝( )． A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2} 【答案】A 【考点】本题主要考查集合的基本知识。 【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2 ，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}． 2．(2013课标全国Ⅰ，文2) 2 12i 1i +(-)＝( )． A. B ．11+ i 2 - C ． D ． 【答案】B 【考点】本题主要考查复数的基本运算。 【解析】 2 12i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝1 1+i 2 -. 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 【答案】B 【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。 【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为 13 . 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0) C 的渐近线方程 为( )． A ． B ． C ．1 2 y x =± D ． 【答案】C 【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。 【解析】∵2e = 2c a =，即2254 c a =.

高考文科数学知识点总结

原命题若p 则q 逆命题 若q 则p 互为逆否 互 逆否互 为逆 否否 互 集合与简易逻辑 知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 3 ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.含绝对值不等式的解法 （1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论. （3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论； 2 （三）简易逻辑 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 （1）“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反；

（2）“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真，其他情况时为假； （3）“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真． 4、四种命题的形式： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 函数 知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. （二）函数的性质 ⒈函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性 4. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如： 指数函数与对数函数 指数函数及其性质 2 212221212 2 2 22121) ()()(b x b x x x x x b x b x x f x f x ++++-= +- += -）（

指数函数经典例题(标准答案)

指数函数 1．指数函数的定义： 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 的图象. 我们观察y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征，就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且的图象和性质。 a>10

()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中 间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得1 4x >．∴x 的取值范围是14 ??+ ??? ， ∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤．

2017年高考全国卷一文科数学试题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷一文科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A I B =3|2x x ? ?

高考文科数学练习题高考常考的6大题型

第3课时 题型上——全析高考常考的6大题型 题型一 圆锥曲线中的定点问题 圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步： 一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)． 二求：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程． 三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标． [典例] (2019·成都一诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3，0)，长半轴 的长与短半轴的长的比值为2. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标． [解] (1)由题意得，c ＝3，a b ＝2，a 2＝b 2＋ c 2， ∴a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的标准方程为x 24 ＋y 2 ＝1. (2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立，得? ???? y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. ∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)＞0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－4 4k 2＋1 . ∵点B 在以线段MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→ ＝0. ∵BM ―→·BN ―→＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2 ＝0， ∴(k 2＋1) 4m 2－44k 2 ＋1＋k (m －1)－8km 4k 2＋1 ＋(m －1)2＝0， 整理，得5m 2－2m －3＝0， 解得m ＝－3 5 或m ＝1(舍去)．

(完整版)文科高中数学公式大全(超全完美)

高 中文科数学公式总结 一、函数、导数 1．元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠?? 集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集有 22n -个. 2. 真值表 常 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.） 3. 充要条件（记p 表示条件，q 表示结论） （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4. 全称量词?表示任意，?表示存在；?的否定是?，?的否定是?。 例：2 ,10x R x x ?∈++> 的否定是 2 ,10x R x x ?∈++≤ 5. 函数的单调性

(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6. 复合函数)]([x g f y =单调性判断步骤： （1）先求定义域 （2）把原函数拆分成两个简单函数)(u f y =和)(x g u = （3）判断法则是同增异减（4）所求区间与定义域做交集 7. 函数的奇偶性 (1)前提是定义域关于原点对称。 (2)对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 (3)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 8．若奇函数在x =0处有意义，则一定存在()00f =； 若奇函数在x =0处无意义，则利用 ()()x x f f -=-求解； 9．多项式函数1 10()n n n n P x a x a x a --=++?+的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 10. 常见函数的图像： 11. 函数的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x a f x a f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是a x = (3)对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2 b a x +=; 12. 由 )(x f 向左平移一个单位得到函数)1(+x f 由)(x f 向右平移一个单位得到函数)1(-x f 由 )(x f 向上平移一个单位得到函数1)(+x f 由)(x f 向下平移一个单位得到函数1)(-x f 若将函数)(x f y =的图象向右移a 、再向上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线 0),(=y x f 的图象向右移a 、向上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 13. 函数的周期性 （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T a =||； （2）()()f x a f x +=-，则)(x f 的周期2T a =|| （3）1 ()() f x a f x += ，则)(x f 的周期2T a =|| （4）()()f x a f x b +=+,则)(x f 的周期T a b =|-|； 14. 分数指数 (1)m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）.

高考数学-对数函数图像和性质及经典例题

对数函数图像和性质及经典例题 第一部分：回顾基础知识点 对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 对数函数的图象和性质 ○ 1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象； （1） x y 2log = （2） x y 2 1log = （3） x y 3log = （4） x y 3 1log = ○ 2 对数函数的性质如下： 图象特征 函数性质 1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<< 函数图象都在y 轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞） 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 向y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为R 函数图象都过定点（1，1） 11=α 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 0log ,1>>x x a 0log ,10><x x a ○ 3 底数a 是如何影响函数x y a log =的． 规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．

第二部分：对数函数图像及性质应用 例1．如图，A ，B ，C 为函数x y 2 1log =的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1). (1)设?ABC 的面积为S 。求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值 . 解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1， 则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C . )44 1(log )2(4log 2 3223 1t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5, [)∞++=.541在v v 上是减函数，且1

2017年全国2卷高考文科数学试题及答案解析

WORD 整理版分享 2016 年普通高等学校招生全统一考试 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24 题，共 150 分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （ 1）已知集合A 1,2,3 ， B x x 29 ，则 A B （ A）2, 1,0,1,2,3（B）1,0 ,1,2（C）1,2,3（D）1,2（ 2）设复数z满足z i 3 i ，则 z （ A） 1 2i（ B）1 2i（C）3 2i（ D）3 2i （ 3）函数y Asin( x) 的部分图像如图所示，则 （ A）y2sin(2x)（B）y 2 sin(2 x) 63y 2 （ C）y2sin(2x)（D）y 2 sin(2x) 63 （ 4）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 32 （A）12（B）（C）8（D）4 3- πOπ x 63 -2 （ 5）设F为抛物线C：y24x 的焦点，曲线y k (k0)与C交于点 P， PF x 轴，则 k x （A）1 （B）1（C） 3 （D）2 22 （6）圆 x 2 y 22 x 8 y 13 0 的圆心到直线 ax y10 的距离为，则 a 1 （A）3（ B）3 3（D）2 （C） 4 （ 7）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表 2 3 面积为 （A） 20π 4 （B） 24π 44（C） 28π （D） 32π

（ 8） 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现， 红灯持续时间为 40 秒．若 一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 开始 （A ） 7 （B ） 5 （C ） 3 （D ） 3 输入 x,n 10 8 8 10 （ 9） 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法， 右图是实现该算法的程序框图 . 执行 该程序框图， 若输入的 x 2 ，n 2 , 依次输入的 a 为 2，2，5，则输出的 s k 0, s 0 （A ）7 （B ）12 （ C ）17 （D ）34 （ 10）下列函数中， 其定义域和值域分别与函数 y 10 lg x 的定义域和值域相同的是 输入 a （ A ） （ 11）函数 y x （ B ） y lg x （ C ） y 2 x （ D ） y 1 s s x a x k k 1 f x ) cos 2 x （ x ）的最大值为 6 c os 否 2 k n （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ） 7 是 （ 12）已知函数 f (x) (x R) 满足 f ( x) f (2 x) ，若函数 y x 2 2x 3 与 输出 s m y f (x) 图像的交点为 (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), ,( x m , y m ) ，则 i 1 x i 结束 （A ） 0 （B ） m （ C ） 2m （ D ） 4m 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 (13) ～ (21) 题为必考题，每个试题都必须作答。第 (22) ～ (24) 题为 选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。 （ 13）已知向量 a (m,4) ， b (3, 2)，且 ∥ ，则 m ． a b x y 1 0, （ 14）若 x, y 满足约束条件 x y 3 0, 则 z x 2 y 的最小值为 ． x 3 0, （ 15） △ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b,c ，若 cosA 4 , cosC 5 , a 1，则 b ． 5 13 （ 16）有三张卡片，分别写有 1 和 2， 1 和 3， 2 和 3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片 后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说： “我与丙的卡片上相同的数字不 是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列； （2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． 2.（本小题满分12分） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S

4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×． （1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列； （2）求{a n}的通项公式．

1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14 3 n n a a -= ． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ． 所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分 （2）解：因为14 ()3 n n a -=， 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b ＝1)34(33 41)34(1211 -=--+--n n ， （2≥n ）， 当n=1时也满足，所以1)3 4 (31-=-n n b ． 2.解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32 34 9a a =所以21 9 q =。有条件可知a>0,故13 q =。 由12231a a +=得12231a a q +=，所以113 a =。故数列{a n }的通项式为a n =1 3n 。 （Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++ (12...) (1) 2 n n n =-++++=- 故 12112()(1)1 n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311 n n b b b n n n +++=--+-++-=-++

高中数学_经典函数试题及答案

经典函数测试题及答案 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0m D ．12-<<-m 或13 2 <

2017年高考新课标全国3卷文科数学

2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ） 文科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A?B中元素的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 2．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于 A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至 2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图 . 根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．已知 4 sin cos 3 αα -=，则sin2α= A． 7 9 -B． 2 9 -C． 2 9 D． 7 9 5．设x，y满足约束条件 3260 x y x y +-≤ ? ? ≥ ? ?≥ ? ，则z=x-y的取值范围是 A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3]

6．函数f (x )=15sin(x +3π)+cos(x ?6π )的最大值为 A ．6 5 B ．1 C ．35 D ．15 7．函数y =1+x +2sin x x 的部分图像大致为 A ． B ． C ． D ． 8．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．π B ． 3π4 C ． π2 D ． π4

山东高考文科数学立体几何大题及答案汇编

2008年-2014年山东高考文科数学立体几何大题及答案 （08年）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC == （Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积． （09年）如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB 11111 （10年）（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==. （I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ； （II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比. （11年）（本小题满分12分） 如图，在四棱台 1111 ABCD A B C D -中， 1D D ABCD ⊥平面，底面 ABCD 是平行四边形， 112,,60AB AD AD A B BAD ==∠= （Ⅰ）证明：1AA BD ⊥； （Ⅱ）证明：11//CC A BD 平面. A B C M P D E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D D B1 D1 C1 C B A A1

（12年） (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC . （13年）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AC ， AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB=2CD ，E ，F ，G ， M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点。 （Ⅰ）求证，CE ∥平面PAD; （Ⅱ）求证，平面EFG ⊥平面EMN 。 （14年）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P ABCD -中，,//,BC AD PCD AP 平面⊥AD BC AB 2 1 = =,F E ,分别为线段PC AD ,的中点。 （Ⅰ）求证：BEF AP 平面// （Ⅱ）求证：PAC BE 平面⊥ P A C D E

高中数学导数典型例题

高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 2. 已知).(323 2)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当41||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ） ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈ 有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．

例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2g x f x '= ． （1）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明： 3()2 f x ≥． 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 题型三：利用导数研究方程的根 例4：已知函数a x ax x f 313)(23-+-=. （Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）若曲线()f x 上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实 数a 的取值范围.

高考文科数学公式汇总(精简版)

高中数学公式汇总（文科）

一、复数 1、复数的除法运算 2 2)()())(())((d c i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a +-++= -+-+=++. 2、复数z a bi =+的模||z =||a bi + 二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 3、同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=，tan θ= θ θ cos sin . 4、正弦、余弦的诱导公式 απ±k 的正弦、余弦，等于α的同名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号； απ π±+ 2 k 的正弦、余弦，等于α的余名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号。 5、和角与差角公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±=. 6、二倍角公式 sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-. 2 2tan tan 21tan α αα =-. 公式变形： ; 2 2cos 1sin ,2cos 1sin 2; 2 2cos 1cos ,2cos 1cos 22222α αααα ααα-=-=+=+= 7、三角函数的周期 函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期 2T π ω = ；函数tan()y x ω?=+，,2 x k k Z π π≠+ ∈(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω = . 8、 函数sin()y x ω?=+的周期、最值、单调区间、图象变换 9、辅助角公式 )sin(cos sin 22?++=+=x b a x b x a y 其中a b = ?tan 10、正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===. 11、余弦定理 2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.

高中数学-经典函数试题及答案

（满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0m D ．12-<<-m 或13 2 <xy a