吉林长春中考数学试题
吉林长春中考数学试题 Prepared on 22 November 2020
吉林省长春市2011年初中毕业生学业考试数学
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．2
-的绝对值是
（Ａ）
1
2
-．（Ｂ）
2
1
．（Ｃ）2-．（Ｄ）2．
2．某汽车参展商为参加第8届（长春）国际汽车博览会，印制了105 000张宣传彩页．105 000这个数字用科学记数法表示为
（A）4
10
?．（B）?5
10．（C）?6
10．（D）6
10
?．
3．右图是由4个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为
（A）（B）（C）（D）
4．一条葡萄藤上结有五串葡萄，每串葡萄的粒数如图所示(单位:粒)．则这组数据的中位数为（Ａ）37．（Ｂ）35．（Ｃ）．（Ｄ）32．
5．不等式组
24,
20
x
x
>-
?
?
-≤
?
的解集为
（Ａ）2
x>-．（Ｂ）22
x
-<<．
（Ｃ）2
x≤．（Ｄ）22
x
-<≤．
6．小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2 800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设步行的平均速度为x米/分．根据题意，下面列出的方程正确的是
（Ａ）30
4
2800
2800
=
-
x
x
．（Ｂ）30
2800
4
2800
=
-
x
x
．
（Ｃ）30
5
2800
2800
=
-
x
x
．（Ｄ）30
2800
5
2800
=
-
x
x
．
7．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，2）．点D、E分别在AB、BC边上，BD=BE=1．沿直线DE将△BDE翻折，点B落在点B′处．则点B′的坐标为
（A）（1，2）．（B）（2，1）．（C）（2，2）．（D）（3，1）．
（第7题）（第8题）
8．如图，直线l1ABC23
x x?∠APB的大小为__ _度．12．如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE的长为．
13．如图，一次函数b
kx
y+
=（0
k<）的图象经过点A．当3
y<时，x的取值范围是．14．边长为2的两种正方形卡片如图①所示，卡片中的扇形半径均为2．图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片21张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为（结果保留π）．
(第3题)
（第4
三、解答题（每小题5分，共20分） 15．先化简，再求值：
212
1-1a a a ++
-，其中2
1=a ． 16.小华有3张卡片，小明有2张卡片，卡片上的数字如图所示．小华和小明分别从自己的卡片中随
机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张卡片上的数字和为6的概率．
17．在长为10m ，宽为8m 的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花
圃，其示意图如图所示．求其中一个小矩形花圃的长和宽．
18．平放在地面上的直角三角形铁板ABC 的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示．量得角A 为54°，斜边AB 的长为2.1m ，BC 边上露出部分BD 长为0.9m ．求铁板BC 边被掩埋部分CD 的长．（结果精确到0.1m ）【参考数据：sin54°=，cos54°=，tan54°=】
四、解答题（每小题6分，共12分）
19．如图，平面直角坐标系中，直线1
12
2
y x =+与x 轴交于点A ，与双曲线x
k
y =
在第一象限内交于点B ，BC ⊥x 轴于点C ，OC =2AO ．求双曲线的解析式．
20．在正方形网格图①、图②中各画一个等腰三角形．每个等腰三角形的一个顶点为格点A ，其余顶点从格点B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 中选取，并且所画的两个三角形不全等．
五、解答题（每小题6分，共12分）
21．如图，平面直角坐标系中，⊙P 与x 轴分别交于A 、B 两点，点P 的坐标为（3，－1），
AB =32．
（1）求⊙P 的半径．（4分）
（2）将⊙P 向下平移，求⊙P 与x 轴相切时平移的距离．（2分）
22．某校课外兴趣小组从我市七年级学生中抽取2 000人做了如下问卷调查，将统计结果绘制了如
下两幅统计图．
根据上述信息解答下列问题：
（1）求条形统计图中n 的值．（2分）
（2）如果每瓶饮料平均3元钱，“少2瓶以上”按少喝3瓶计算．
①求这2000名学生一个月少喝饮料能节省多少钱捐给希望工程（2分）
②按上述统计结果估计，我市七年级6万学生一个月少喝饮料大约能节省多少钱捐给希望工程（2分）
六、解答题（每小题7分，共14分）
23．如图，平面直角坐标系中，抛物线322
1
2+-=x x y 交y 轴于点A ．P 为抛物线上一点，且与点A
不重合．连结AP ，以AO 、AP 为邻边作□OAPQ ，PQ 所在直线与x 轴交于点B ．设点P 的横坐标为m ．
（1）点Q 落在x 轴上时m 的值．（3分）
（3）若点Q 在x 轴下方，则m 为何值时，线段BQ 的长取最大值，并求出这个最大值．（4分）
【参考公式：二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为（a
b a
c a b 44,22
--）】
24．探究
如图①，在□ABCD 的形外分别作等腰直角△ABF 和等腰直角△ADE ，∠FAB=∠EAD =90°，连结AC 、EF ．在图中找一个与△FAE 全等的三角形，并加以证明．（5分）
应用
以□ABCD 的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图②，连结EF 、GH 、IJ 、KL ．若□ABCD 的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积和为 ．（2分）
问卷
您平时喝饮料吗（ ） (A)不喝． (B)喝． 请选择B 选项的同学回答下面问题：
请您减少喝饮料的数量，将节省下来的钱捐给希望工程，您愿意平均每月减少多少瓶（ ） (A)0瓶． (B)1瓶． (C)2瓶． (D)2瓶
以上．
七、解答题（每小题10分，共20分）
25．甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(时)的函数图象如图所示．（1）求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式．（2分）
（2）求乙组加工零件总量a的值．（3分）
（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱再经过多长时间恰好装满第2箱（5分）
26．如图，∠C=90°，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连结AB．点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD⊥BC交AB于D，作DE⊥AC于E．F为射线CB上一点，且∠CEF=∠ABC．设点P的运动时间为x（秒）．
（1）用含有x的代数式表示CF的长．（2分）
（2）求点F与点B重合时x的值．（2分）
（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）．求y与x之间的函数关系式．（3分）
（4）当x为某个值时，沿PD将以D、E、F、B为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的x
值．（3分）
2011年长春市初中毕业生学业考试数学参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．D 2．B 3．C 4．B 5． D 6．A 7．B 8．C 二、填空题（每小题3分，共18分）
9．5x 10．（4030a b +） 11．45 12．6 13．x ＞2 14．π（44-） 三、解答题（每小题5分，共20分） 15．解：原式=
a a a a a a a -=
-+-=-+-++13
121112)1)(1(1． （3分） 当2
1=a 时，原式=62
113=-． （5分）
16．解：
或
（3分）
P （抽取的两张卡片上的数字和为6）=26
= 3
1． （5分） 17．解：设小矩形花圃的长为x m ，宽为y m ．
根据题意，得???=+=+.
82,
102y x y x （3分）
解得42.x y =??
=?
，
答：小矩形花圃的长为4m ，宽为2m ． （5分）
18.解：在△ABC 中，∠C =90，sin BC
A AB
=
， ∵∠A =54，AB =，
∴sin 2.1sin54BC AB A ==?
2.10.81 1.701.=?= （3分） ∵BD =，
∴CD= BC －BD =－=≈
答：铁板BC 边被掩埋部分CD 的长约为． (5分)
四、解答题（每小题6分，共12分） 19．解：∵直线1122
y x =+与x 轴交于点A ，
∴11022
x +=．解得1x =-．∴AO =1．
∵OC =2AO ，∴OC =2． (2分) ∵BC ⊥x 轴于点C ，∴点B 的横坐标为2． ∵点B 在直线1122y x =+上，∴1132222
y =?+=． ∴点B 的坐标为3
(22
，）． (4分)
∵双曲线x
k y =
过点B 3(22，），∴322k =．解得3k =．
∴双曲线的解析式为3
y x
=． (6分)
20．解：以下答案供参考．
图④、⑤、⑥中的三角形全等，只能画其中一个． 画对一个得3分，共6分．
五、解答题（每小题6分，共12分）
21．解：（1）作PC ⊥AB 于C ， 连结PA ．
∴AC =CB =2
1
AB ．
∵AB =32，∴AC =3． （2分） ∵点P 的坐标为(31-，）
，∴PC =1． 在Rt △PAC 中，∠PCA =90°，
∴PA =22AC PC += 2)3(122=+．
∴⊙P 的半径为2 ． （4分）
（2）将⊙P 向下平移，⊙P 与x 轴相切时平移的距离为211-=． （6分）
22．解：（1）200060%(445470185)100?-++=．
所以，条形统计图中100n =． （2分） （2）①
47011852100333420?+?+??=（）． 所以，这2 000名学生一个月少喝饮料能节省3 420元钱捐给希望工程． （4分）
②
60000
34201026002000
?=． 所以，我市七年级6万名学生一个月少喝饮料大约能节省102 600元钱捐给希望工
程． (6分)
六、解答题（每小题7分，共14分）
23．解：（1）抛物线322
1
2+-=x x y 与y 轴交于点A ，
∴点A 的坐标为(03)，．∴OA =3．
∵四边形OAPQ 为平行四边形， ∴QP =OA =3．
∴当点Q 落在x 轴上时，212332
m m -+=．
解得1204m m ==，．
当m=0，点P 与点A 重合，不符合题意，舍去．
∴m=4． （2）解法一：
∵点P 的横坐标为m ，
∴21=232
BP m m -+．
∴=QB QP BP -
221
3(23)
21
22m m m m
=--+=-+ 21
(2)22
m =--+． （5分） ∵点Q 在x 轴下方，∴04m <<．
∴2m =时，线段QB 的长取最大值，最大值为2． (7分)
解法二：
∵QP =3，=3QB BP -，
∴线段BP 的长取最小值时，线段QB 的长取最大值． 当点P 为抛物线的顶点时，线段BP 的长取最小值．
当22b x a =-=时，2
1
434
4211442
ac b y a ??--=
==?． ∴线段BP 的长最小值为1． (5分) ∴2m =时，线段QB 的长取最大值，最大值为3－1=2． (7分)
24.探究 △ABC （或△CDA ）与△FAE 全等．
（下面仅对△ABC ≌△FAE 证明） ∵90FAB EAD ∠=∠=， ∴∠+EAF ∠180=DAB °.
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC AD BC AD =,//.
∴∠+DAB ∠180=CBA °.
∴∠CBA =∠EAF . (2分) ∵AD AE =，∴AE BC =. ∵AF AB =，
∴△ABC ≌△FAE . (5分)
应用 10． (7分) 七、解答题（每小题10分，共20分）
25．解：（1）设甲组加工的零件数量y 与时间x 的函数关系式为y kx =．
根据题意，得6360k =，解得60k =．
所以，甲组加工的零件数量y 与时间x 的函数 关系式为60y x =. （2分） （2）当2x =时，100y =．
因为更换设备后，乙组工作效率是原来的2倍，
所以，
100100
24.8 2.82
a -=?-．解得300a =． （5分）
（3）乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y 与时间x 的函数关系式为 100100( 2.8)100180y x x =+-=-．
当0≤x ≤2时，6050300x x +=．解得30
11
x =．舍去． 当2 3 x = ．舍去． 当 所以，经过3小时恰好装满第1箱． （8分） 当3 8 x = ．舍去． 当 所以，再经过2小时恰好装满第2箱． (10分) 26．解：（1）由题意知，△DBP ∽△ABC ，四边形PDEC 为矩形， ∴ PD PB CA CB = ，CE =PD ． ∴304620 CA PB x PD x CB ??===．∴6CE x =． (2分) （2）由题意知，△CEF ∽△CBA ，∴CF CE CA CB =．∴306920 CA CE x CF x CB ??===． 当点F 与点B 重合时，CF CB =，9x =20．解得9 20 = x ． (4分) （3）当点F 与点P 重合时，BP CF CB +=，4x ＋9x =20．解得13 20= x ． 当20 013 x << 时，如图①， ()26(2013204)2 PD PF DE y x -x x += +-= x x 120512+-=． 当 2013≤x ＜20 9时，如图②， 12y DE DG =?=12 (204)(204)23x x -?- 216 (5)3 x =-． (或216160400 333y x x =-+ ) （7分） （4）12320205 19132 x x x ===，，． （10分）提示：如图③，当PD PF =时， 62013x x =-．解得20 19 x =．B DE '?为拼成的三角形． 如图④，当点F 与点P 重合时，4920x x +=．解得20 13 x =．BDC ?为拼成的三角形． 如图⑤，当DE PB =时，2044x x -=．解得5 2 x =．DPF ?为拼成的三角形．