韦达定理介绍

英文名称：Viete theorem

韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

这里主要讲一下一元二次方程两根之间的关系。

一元二次方程aX^2+bX+c=0中,两根X1,X2有如下关系:x1+x2=-b/a;

一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中

设两个根为X1和X2

则X1+X2= -b/a

X1*32=c/a

用韦达定理判断方程的根

若b²-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根

若b²-4ac=0 则方程有两个相等的实数根

若b²-4ac≥0则方程有实数根

若b²-4ac<0 则方程没有实数解

韦达定理的证明

一元二次方程求根公式为：

x=(-b±√b^2-4ac)/2a

则x1=(-b+√b^2-4ac)/2a，x2=(-b-√b^2-4ac)/2a

x1+x2=（-b+√b^2-4ac/2a）+（-b-√b^2-4ac/2a）

x1+x2=-b/a

x1*x2=（-b+√b^2-4ac/2a）*（-b-√b^2-4ac/2a）

韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0

它的根记作X1,X2…,Xn

我们有

∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求积。

如果一元二次方程

在复数集中的根是，那么

由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程

在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：

其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

(x1-x2)的绝对值为(根号下b^2-4ac)/（a的绝对值）射影定理

射影定理

直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD2DC, (2)(AB)^2;=BD2BC ,

(3)(AC)^2;=CD2BC 。等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)

射影

所谓射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。初中射影定理的内容: 射影定理的内容是在直角三角形中，每条直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项，斜边上的高线是两条直角边在斜边射影的比例中项公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）²=BD2DC，（2）（AB）²=BD2BC ，（3）（AC）²=CD2BC 。等积式（４）ABXAC=BCXAD(可用“面积法”来证明）

直角三角形射影定理的证明

证明：

射影定理简图(几何画板)

一、

在△BAD与△BCD中，∠A+∠C=90°，∠DBC+∠C=90°，∴∠A=∠DBC，又∵∠BDA=∠BDC=90°，

∴△BAD∽△CBD，

∴ AD/BD＝BD/CD，即BD^2;=AD2DC。其余类似可证。(也可以用勾股定理证明)

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

有射影定理如下：

AB^2;=AD`AC，BC^2;=CD2CA 。

两式相加得：

AB^2;+BC^2;=AD2AC+CD2AC =（AD+CD)2AC=AC^2;,

即AB^2;+BC^2;=AC^2;（勾股定理结论）。

二、

已知:三角形中角A=90度,AD是高.

用勾股证射影

:因为AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2,

所以

2AD^2=AB^2+AC^2-BD^2-CD^2=BC^2-BD^2-CD^2=(BD+CD)^2-(BD^2+CD^2)=2 BD*CD.

故AD^2=BD*CD.

运用此结论可

得:AB^2=BD^2+AD^2=BD^2+BD*CD=BD*(BD+CD)=BD*BC,AC^2=CD^2+AD^2=CD^

2+BD*CD=CD(BD+CD)=CD*CB.

综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。

任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：

△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

a＝b2cosC＋c2cosB，

b＝c2cosA＋a2cosC，

c＝a2cosB＋b2cosA。

注：以“a＝b2cosC＋c2cosB”为例，b、c在a上的射影分别为

b2cosC、c2cosB，故名射影定理。

证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且

BD=c2cosB，CD=b2cosC，∴a=BD+CD=b2cosC＋c2cosB. 同理可证其余。

证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，

c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA

=acosB+(asinB/sinA)cosA=a2cosB＋b2cosA. 同理可证其它的。

使动用法

文言文中使动用法比较多，了解掌握这方面的知识，有助于文言文的学习。学习使动用法需注意以下三点：

一、三种情形。文言使动用法主要有动词、形容词、名词的使动用法三种：

1．动词使动用法。指主语所代表的人或物不施行谓语动词所表示的行为动作，而是主语使宾语所代表的人或物发出这个动作，表示主语使宾语“怎么样”的一种用法。例如：

①项伯杀人，臣活之。（《鸿门宴》）“活”这个行为不是主语“臣”发出，而是主语“臣”使宾语“之（项伯）”发出，是“使……活”意思，全句译为“项伯杀人，臣救活过他”。

②广故数言欲亡，忿恚尉。（《陈涉世家》）“忿恚”是主语“（吴）广”使宾语“尉”“忿恚”，全句译为“吴广故意多次说要逃跑，以此使校尉恼怒。”

③叫声屈动地惊天。（《窦娥冤》）“动、惊”分别是主语“屈”使宾语“地”“天”发出，分别是“使……震动、使……震惊”意思。

2．形容词使动用法。就是当形容词活用为动词后，主语使宾语所代表的人或物具有这个形容词所表示的性质或状态。例如：

④今媪尊长安君之位。（《触龙说赵太后》）“尊”是形容词，作使动，“使……尊贵”，“尊长安君之位”即主语“媪”使宾语“长安君之位”“尊贵”。

⑤求木之长者，必固其根本。（《谏太宗十思疏》）“固”是形容词，作使动，“使……稳固”，“固其根本”即“使其根本稳固”。

3．名词使动用法。就是当名词活用为动词后，主语使宾语所代表的人或物成为这个名词所代表的人或物。例如：

⑥先破秦入咸阳者王之。（《鸿门宴》）“王”名词，作使动，“使……为王”，“王之”即“使他（先破秦入咸阳者）成为王”。

二、判断方法。判断一个词是不是使动用法，方法有两种：

1．看能否在这个词里加进一个“使”字，加得进“使”就是使动，否则就不是。例如：⑦“曹军方连船舰，首尾相接，可烧而走也。”（《赤壁之战》）烧（之），加不进“使”字，“烧”是一般动词；走（之），使（之）逃跑，加得进，“走”就是使动用法。

2．根据句义判断。例如：⑧士卒亦乐从李广而苦程不识。（《李将军列传》）⑨沛公旦日从百余骑来见项王。（《鸿门宴》）判断两句中“从”字是不是使动，就要看句子的意义。⑧句中士卒比李广地位低，“从”当然是一般动词；⑨句中沛公地位比百余骑高，“从”便是使动，如果说是沛公“跟随着”百余骑，那就不合情理了。

三、翻译方法。使动用法的翻译要注意避免两种错误：

1．意译混淆直译。如：例①可以意译为“项伯杀人，我救活了他”，但不能因“活”可以意译为“救活”而认为不是使动用法，如果单独解释“活”，那就一定要直译为“使……活”，不能意译混淆了直译。

2．附加宾语。即翻译时把宾语也一同带进去。如：有人将“大王必欲急臣”的“急”，翻译为“使臣着急”，“足以荣汝身”的“荣”翻译成“使你荣耀”，这都是错误的译法，正确的翻译应该是“使……着急”，“使……荣耀”。

动词和它的宾语不是一般的支配与被支配的关系，而是使宾语所代表的人或事产生这个动词所表示的动作行为。

一般说来，被活用为使动的动词，多数是不及物动词。不及物动词本来不带宾语，用于使动后，后面就带有宾语。翻译时要采用兼语式的形式。

例1：行仁义而怀西戎，遂王天下。（《五蠹》）

怀：使……归顺。

例2：直可惊天地，泣鬼神。（《〈黄花冈七十二烈士事略〉序》

惊：使……震惊。

泣：使……悲泣。

例3：河曲智叟笑而止之曰。（《愚公移山》）

止：使之止（使愚公止）

及物动词也有活用为使动的，但较少见。

例1：操军方连船舰，首尾相接，可烧而走也。（《赤壁之战》）

走：使操军逃跑

二、名词使动用法

名词用作使动词，是指这个名词带了宾语，并且使宾语所代表的人或事物变成这个名词所代表的人或事物。翻译时要采用兼语式的形式。

例1：文王以百里之壤而臣诸侯。（《毛遂自荐》）

臣：使……称臣。

例2：先破秦入咸阳者王之。（《鸿门宴》）

王：使……为王。

在古代汉语里，名词用作使动词比较少见。（例2“王”为意动用法不是使动，译为，认为……为王或把……当王）

三、形容词使动用法

形容词带上宾语以后，如果使得宾语具有这个形容词的性质和状态，那么这个形容词则活用为使动词。

例1：既来之，则安之。（《季氏将伐颛臾》）

安：使……安。

例2：大王必欲急臣，臣头今与璧俱碎于柱矣！（《廉颇蔺相如列传》）急：使……急。

例3：凄神寒骨，悄怆幽邃。（《小石潭记》）

凄、寒：使神骨凄寒。

【1.语义区别】

使动用法指动词谓语表示主语使宾语"怎么样"的用法。有些名词和形容词活用为使动词，表示"使......"的意思。有三种：1.动词的使动用法。如"必先苦其心志，劳其筋骨"中的"劳"，意思是"使....劳累"。 2.名词的使动用法。是"使......成为......."的意思。3.形容词的使动用法。特点是使宾语表示的人或物具有这个形容词所表示的性质或状态。

意动用法表示主语认为宾语怎么样，或主语把宾语当作什么。有两种：1.名词的意动用法。例如"先破秦入咸阳者王之"中的"王"，意思是"以....为王"。 2.形容词的意动用法。例如"而耻学于师"中的"耻"，意思是"以为耻"。

【2.语法区别】

1.使动可以省略宾语，意动不可

2.谓语灵活性不同

意动用法

所谓意动用法，是指谓语动词具有“以之为何”的意思，即认为宾语怎样或把宾语当作怎样。

意动用法只限于形容词和名词的活用，动词本身没有意动用法。

使动用法是主语使宾语在客观上产生某种动作行为，而意动用法是主语主观上认为（或以为）宾语具有谓语所表示的内容，是存于意念的想法或看法，客观上不一定如此。一般可译为“认为......”“以......为......”等。

名词的意动用法

名词用作意动，是把它后面的宾语所代表的人或事物看做这个名词所代表的人或事物。

例1：邑人奇之，稍稍宾客其父。（《伤仲永》）

宾客：本为名词，这里活用为意动词。“宾客其父”是动宾结构，意为“以宾客之礼待其父”。

例2：父利其然也。（《伤仲永》）

利：是名词活用作意动词。“利其然”即“以其然为利”（把这种情况视为有利可图）。

例3：侣鱼虾而友麋鹿。（《前赤壁赋》）

侣，友：名词的意动用法，以…为侣以…为友

例4：故人不独亲其亲，不独子其子。（《大道之行》）

亲：以…为亲子：以…为子（两者都指前者）

形容词的意动用法

形容词用作意动，是主观上认为后面的宾语所代表的人或事物具有这个形容词所代表的性质或状态。

例1：渔人甚异之。（《桃花源记》）

异：原为形容词，这里用作意动词。“异之”，即“以之为异”（认为这件事奇怪）

例2：邑人奇之，稍稍宾客其父。（《伤仲永》）

奇：原为形容词，这里用作意动词。“奇之”，即“以之为奇”（认为他才能非凡）

例3：且庸人尚羞之，况将相乎？（《廉颇蔺相如列传》）

羞：原为形容词，这里用作意动词。“羞之”，即：“以之为羞”（觉得这件事让人感到羞耻）

例4：世果群怪聚骂。（《答韦中立论师道书》）

怪：原为形容词，这里用作意动词。“怪”后省略“韩愈”即“以韩愈为怪”（认为韩愈这个人很怪异）

上述这些词类活用现象，还不能概括所有情况。比如数词或者数量词优势也可活用为动词甚至是使动词。

使动用法和意动用法的区别

使动：谓使动用法，是指谓语动词具有“使宾语怎么样”的意思。它是用动宾结构表达使令式的内容。

意动：认为……怎么样：余颇易之（我认为甚是简单）

使动用法指动词谓语表示主语使宾语"怎么样"的用法。有些名词和形容词活用为使动词，表示"使......"的意思。有三种：1.动词的使动用法。如"必先苦其心志，劳其筋骨"中的"劳"，意思是"使....劳累"。 2.名词的使动用法。是"使......成为......."的意思。3.形容词的使动用法。特点是使宾语表示的人或物具有这个形容词所表示的性质或状态。

意动用法表示主语认为宾语怎么样，或主语把宾语当作什么。有两种：1.名词的意动用法。例如"先破秦入咸阳者王之"中的"王"，意思是"以....为王"。 2.形容词的意动用法。例如"而耻学于师"中的"耻"，意思是"以为耻"。