实数集与函数
第一章 实数集与函数
（10学时）
§１．实数
教学目的：使学生掌握实数的基本性质．
教学重点：（１）理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；
（２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工
具）
教学难点：实数集的概念及其应用．
学时安排: 2学时
教学方法：讲授．（部分内容自学）
教学程序：
引言
上节课中，我们与大家共同探讨了《分析》这门旅程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我
们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．
[问题] 为什么从“实数”开始．
答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（《复变函数》研
究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．
一 实数及其性质 １、实数(,q p q p ??≠??????
正分数,有理数为整数且q 0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示. {}|R x x =--为实数全体实数的集合．
[问题] 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有
限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：
；对于正整数0,x a =1).9999；对于负有限小数（包括负整数）
，则先将y -表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．０＝0.0000
例：2.001 2.0009999→
3 2.9999
2.001 2.009999
3 2.9999→-→--→-
利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．但新的问题又出现了：在此规定下，如何
比较实数的大小？
２．两实数大小的比较
1） 定义１ 给定两个非负实数01n x a a a =，01n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，
,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．
若有,1,2,k k a b k ==，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负整数l ，使得,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）．
规定：任何非负实数大于任何负实数．
2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．
定义２（不足近似与过剩近似）：01
n x a a a =为非负实数，称有理数01n x a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似；对于实数01n
x a a a =-，其n 位不足近似01110n n n x a a a =--；n 位过剩近似01n n x a a a =-. 注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012;x x x x ≤≤≤
≤ 过剩近似n x 当n 增大时不增，即有01x x x x ≥≥≥≥．
命题：记01n x a a a =，01n y b b b =为两个实数，则x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使
n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位过剩近似）
． 命题应用————例１
例１．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满足x r y <<．
证．由x y <，知：存在非负整数n ，使得n n x y <．令()
12n n r x y =+，则r 为有理数，且 n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．
３．实数常用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）．
● 封闭性（实数集Ｒ对,,,+-?÷）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数
不为０）仍是实数．
● 有序性：任意两个实数,a b 必满足下列关系之一：,,a b a b a b <>=．
● 传递性；,a b b c a c <>?>．
● 阿基米德性：,,0a b R b a n N ?∈>>??∈使得na b >．
● 稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．
● 实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．
例２．设,a b R ?∈，证明：若对任何正数ε，有a b ε<+，则a b ≤．
（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）
二 、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）．
１．绝对值的定义
实数a 的绝对值的定义为,0||0
a a a a a ≥?=?-
２． 几何意义：从数轴看，数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离．认识到这一点非常有用，与此相应，
||x a - 表示就是数轴上点x 与a 之间的距离．
３．性质．
１）||||0;||00a a a a =-≥=?=（非负性）；２）||||a a a -≤≤；
３）||a h h a h ；
４）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）；
５）||||||ab a b =?；６）
||||a a b b =（0b ≠）． ［练习］Ｐ４． ５
［课堂小结］：实数：??
?一 实数及其性质二 绝对值与不等式
.
§２数集和确界原理
教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。
教学要求：（１）掌握邻域的概念；
（2）理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。
教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。
教学难点：确界的定义及其应用。
学时安排:3学时
教学方法：讲授为主
教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课。
引言
上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 §１实数的相关内
容。下面，我们先来检验一下自学的效果如何！
１．证明：对任何x R ∈有（１）|1||2|1x x -+-≥；（２）|1||2||3|2x x x -+-+-≥. ２．证明：||||||x y x y -≤-.
３．设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.
４．设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<.
[引申]：①由题１可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一。而不要做完就完
了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用。提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）。
本节主要内容： １．先定义实数集Ｒ中的两类主要的数集——区间邻域；２．讨论有界集与无界集；
３．由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。
一 区间与邻域
１．区间（用来表示变量的变化范围）
设,a b R ∈且a b <。
{}{}{}{}{}{}{}{}{}|(,).|[,].|[,)|(,]|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ????∈<<=????∈≤≤=??∈≤<=?????∈<≤=?????∈≥=+∞?∈≤=-∞??∈>=+∞??∈<=-∞??∈-∞<<+∞=?开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:区间无限区间?????????????
２．邻域
联想：“邻居”。字面意思：“邻近的区域”。（看左图）。与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我
们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？
（１） a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻
域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即
{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.
（２） 点a 的空心δ邻域
{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-?+.
（３） a 的δ右邻域和点a 的空心δ右邻域
{}{}00(;)[,)();
(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+
（４） 点a 的δ左邻域和点a 的空心δ左邻域
{}{}00(;)(,]();
(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<
（５）∞邻域，+∞邻域，-∞邻域
{}()||,U x x M ∞=> （其中Ｍ为充分大的正数）；{}(),U x x M +∞=> {}()U x x M -∞=<-
二 有界集与无界集
什么是“界”？
定义１（上、下界）： 设S 为R 中的一个数集。若存在数()M L ，使得一切x S ∈都有()x M x L ≤≥，
则称Ｓ为有上（下）界的数集。数()M L 称为Ｓ的上界（下界）；若数集Ｓ既有上界，又有下界，则称
Ｓ为有界集。
若数集Ｓ不是有界集，则称Ｓ为无界集。
注：１）上（下）界若存在，不唯一；２）上（下）界与Ｓ的关系如何？看下例：
例1 讨论数集{}
|N n n +=为正整数的有界性。
分析：有界或无界←上界、下界？下界显然有，如取1L =；上界似乎无，但需要证明。
解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界１；但N +无上界。证明如下：假设N +有上界
M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取0[]1,n M =+则0n N +∈，且0n M >.
综上所述知：N +是有下界无上界的数集，因而是无界集。
例2 证明：（１）任何有限区间都是有界集；（２）无限区间都是无界集；（３）由有限个数组成的
数集是有界集。
[问题]：若数集Ｓ有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个)。
三 确界与确界原理
１、定义
定义２（上确界） 设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切,x S ∈有x η≤（即η是Ｓ的上界）;
(2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是Ｓ的上界中最小的一个），则称数η为数集Ｓ的上确界，记作 sup .S η=
定义３（下确界）设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数ξ满足：（１）对一切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是Ｓ的下界）；（２）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是Ｓ的下界中最大的一个），则称数ξ为数集Ｓ的下确界，记作inf S ξ=.
上确界与下确界统称为确界。
§３ 函数概念
教学目的：使学生深刻理解函数概念。
教学要求：（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；
（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复
合关系。
教学重点：函数的概念。
教学难点：初等函数复合关系的分析。
学时安排: 1学时
教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学。
教学程序：
引言：关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解。为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨
论。
一 函数的定义
１．定义１ 设,D M R ?，如果存在对应法则f ，使对x D ?∈，存在唯一的一个数y M ∈与之对应，则称f 是定义在数集Ｄ上的函数，记作:f D M →(|x y →).
函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f D 。即
{}()|(),f D y y f x x D ==∈。
２．几点说明
（1）函数定义的记号中“:f D M →”表示按法则f 建立Ｄ到Ｍ的函数关系，|x y →表示这两个数
集中元素之间的对应关系，也记作|()x f x →。习惯上称x 自变量，y 为因变量。
（2） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下
来。因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则。所以函数也常表示为：(),y f x x D =∈. 由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则。
例如：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同）
2）()||,,x x x R ?=∈ ().x x R ψ=∈（相同，对应法则的表达形式不同）
。 （3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常
称为存在域（自然定义域）。此时，函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。即“函数()y f x =”或“函数f ”。
（4）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象。a 称为()
f a 的原象。
（5）函数定义中，x D ?∈，只能有唯一的一个y 值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若
对同一个x 值，可以对应多于一个y 值，则称这种函数为多值函数。本书中只讨论单值函数（简称函数）。
（６）定义１中的定义是Cauchy 于1834年给出。不是完美的、现代意义上的函数定义。事实上，函数
定义的产生也经历了一个从无到有，从具体到抽象。从特殊到一般，从不完美到逐步完美的过程。这个进程中充满了斗争。历史上，原始的“函数观念”伴随着数学的出现而产生，经过近两个世纪，明确提出“函数”一词，并将其作为数学概念研究，则在１７世纪以后，现代函数定义是在１９２１年，则库拉托夫斯基给出。定义如下：
设f 是一个序偶集合，若当(,)x y f ∈时，y z =，则f 称为一个函数。
—（朱家麟《浅谈函数概念的历史演讲》，《河北师范大学学报》，1990年第４期）
二 函数的表示方法
1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。
2 可用“特殊方法”来表示的函数。
（１） 分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。
例如 1,0s g n 0,01,0
x x x x >??==??-
（借助于Sgnx 可表示()||,f x x =即()||sgn f x x x x ==）。
（２）用语言叙述的函数。（注意；以下函数不是分段函数）
例 １）[]y x =（取整函数）
２）1,()0,x D x x ?=??当为有理数,当为无理数,
（Ｄirichlet ） ３）1,(,,()0,0,1(0,1)p p x p q N q q q R x x ?=∈+?=??=?
当为假分数),当和内的无理数.（Riemman 函数）
三 函数的四则运算
给定两个函数12,,,f x D g x D ∈∈，记12D D D =?，并设D φ≠，定义f 与g 在Ｄ上的和、差、积运
若在Ｄ中除去使()0g x =的值，即令{}
2\()0,D D x g x x D φ=≠∈≠，可在D 上定义f 与g 的商运
算如下；()(),()
f x L x x D
g x =∈. 注：１）若12D D D φ=?=，则f 与g 不能进行四则运算。２）为叙述方便，函数f 与g 的和、差、积、商常分别写为：,,,f f g f g fg g
+-. 四 复合运算
１．引言
在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系。
例：质量为m 的物体自由下落，速度为v ，则功率Ｅ为
2221122E mv E mg t v gt ?=??=??=?
. 抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数21(),2
f v mv v gt =
=，把()v t 代入f ，即得 221(())2f v t mg t =. 这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”。
[问题] 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；
2()arcsin ,[1,1],()2,y f u u u D u g x x x E R ==∈=-==+∈=.
就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）。
2． 定义（复合函数） 设有两个函数(),,(),y f u u D u g x x E =∈=∈，记{}()E x f x D E =∈?，
若E φ≠，则对每一个x E ∈，通过g 对应Ｄ内唯一一个值u ，而u 又通过f 对应唯一一个值y ，这就确定了一个定义在E 上的函数，它以x 为自变量，y 因变量，记作(()),y f g x x E =∈或()(),y f
g x x E =∈。简记为f g 。称为函数f 和g 的复合函数，并称f 为外函数，g 为内函数，u 为中间变量。
3. 例子
例1
讨论函数()[0,)y f u u =∈+∞
与函数()u g x x R ==∈能否进行复合，求复合函
数。
4 说明
１）复合函数可由多个函数相继复合而成。每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函
数的最终定义域是什么？
例如：2sin ,1y u u v x ===-
，复合成：[1,1]y x =∈-.
２）不仅要会复合，更要会分解。把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化。
①2log (0,1)log ,1.a a y x y u u z x =∈→===-
②arcsin ,y y u u =→==
③2sin 222,,sin .x u y y u v v x =→===
五、反函数
１ 引言
在函数()y f x =中把x 叫做自变量，y 叫做因变量。但需要指出的是，自变量与因变量的地位并
不是绝对的，而是相对的，例如：2()1,f u u t ==+ 那么u 对于f 来讲是自变量，但对t 来讲，u
是因变量。
习惯上说函数()y f x =中x 是自变量，y 是因变量，是基于y 随x 的变化现时变化。但有时我们不
公要研究y 随x 的变化状况，也要研究x 随y 的变化的状况。对此，我们引入反函数的概念。
２ 反函数概念
设函数(),y f x x D =∈。满足：对于值域()f D 中的每一个值y ，Ｄ中有且只有一个值x ，使得
()f x y =，则按此对应法则得到一个定义在()f D 上的函数，称这个函数为f 的反函数，记作
1:(),(|)f f D D y x -→→或1(),()x f y y f D -=∈.
３ 注释
a) 并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数f 有反函数，意味着f 是Ｄ与()f D 之间的
一个一一映射，称1f
-为映射f 的逆映射，它把()f D D →； b) 函数f 与1f -互为反函数，并有:1(()),,f
f x x x D -≡∈ 1(()),().f f x y y f D -≡∈ c) 在反函数的表示1(),()x f y y f D -=∈中，是以y 为自变量，x 为因变量。若按习惯做法用x 做为
自变量的记号，y 作为因变量的记号，则函数f 的反函数1f -可以改写为
1(),()y f x x f D -=∈.
应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的
记号不同而已。但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别。
六 初等函数
1.．基本初等函数（６类）
常量函数 y C =（Ｃ为常数）；
幂函数 ()y x R α
α=∈；
指数函数(0,1)x y a a a =>≠；
对数函数 l o g (0,a y x a a =>
≠； 三角函数 s i n ,c o s ,,y x y x y t g x y t g x
====； 反三角函数 a r c s i n ,a r c c o s ,y x y x y a r c t g x y a r c c t g x
====。 注：幂函数()y x R αα=∈和指数函数(0,1)x y a a a =>≠都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有
理指数乘幂的定义。下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，
并保持有理批数幂的基本性质。
定义２．给定实数0,1a a >≠，设x 为无理数，我们规定：
{}{}sup |,1|,01r x r x
r a r a a a r a ?=?<
为有理数当时,inf 为有理数当时. [问题]：这样的定义有意义否？更明确一点相应的“确界是否存在呢？”
２．初等函数
定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数
如：2
2112sin cos ,sin(),l g ,||.a e y x x y y o x y x x x -=+==+= 不是初等函数的函数，称为非初等函数。如Dirichlet 函数、Riemann 函数、取整函数等都是非初等
函数。
注：初等函数是本课程研究的主要对象。为此，除对基本初等函数的图象与性质应熟练掌握外，还
应常握确定初等函数的定义域。确定定义域时应注意两点。
例２．求下列函数的定义域。
（１）
y = （２） ln |sin |.y x = §4具有某些特性的函数
教学目的与要求
1.理解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性. 并利用定义证明函数是否具有有界性、单调性、
奇偶性、周期性.
2.掌握有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的图形特征，并加以合理地应用.
教学重点: 有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的概念.
教学难点: 有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的概念.
学时安排: 2学时
教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学。
教学程序：
一 有界函数
定义1 设f 为定义在D 上的函数．若存在数M(L)，使得对每一个∈x D 有
))(()(L x f M x f ≥≤，
则称f 为D 上的有上(下)界函数，M(L)称为f 在D 上的一个上(下)界．
根据定义，f 在D 上有上(下)界，意味着值域f (D)是一个有上(下)界的数集．又若M(L)为f 在D 上的上(下)界，则任何大于(小于)M(L)的数也是f 在D 上的上(下)界．
定义2 设f 为定义在D 上的函数．若存在正数M ，使得对每一个D x ∈有
M x f ≤)(， )1(
则称f 为D 上的有界函数．
根据定义，f 在D 上有界，意味着值域)(D f 是一个有界集．又按定义不难验证： f 在D 上有界的充要条件是f 在D 上既有上界又有下界．(1)式的几何意义是：若f 为D 上的有界函数，则f 的图象完全落在直线M y =与M y -=之间．
例如，正弦函数x sin 和余弦函数x cos 为R 上的有界函数，因为对每一个r x ∈都有1sin ≤x 和1cos ≤x .
关于函数f 在数集D 上无上界、无下界或无界的定义，可按上述相应定义.
的否定说法来叙述．例如，设f 为定义在D 上的函数，若对任何M(无论M 多大)，都存在D x ∈，使得M x f >)(0，则称f 为D 上的无上界函数．
例1 证明x
x f 1)(=
为]1,0(上的无上界函数 . 证 对任何正数M ，取]1,0(上一点110+=M x ，则有 11)(0
0+==M x x f M >. 故按上述定义，f 为]1,0(上的无上界函数．
前面已经指出，f 在其定义域D 上有上界，是指值域f (D)为有上界的数集．于是由确界原理，数集f (D)有上确界．通常，我们把f (D)的上确界记为)(sup x f D
x ∈，并称之为f 在D 上的上确界．类似地，若f 在其定
义域D 上有下界，则f 在D 上的下确界记为)(inf x f D
x ∈． 例2 设f ，g 为D 上的有界函数.证明：
(i))}()({inf )(inf )(inf x g x f x g x f D
x D x D x +≤+∈∈∈ ； (ii) )(sup )(sup )}()({sup x g x f x g x f D
x D x D x ∈∈∈+≤+．
证 (i)对任何D x ∈有
)()()(inf )(inf )()(inf ),()(inf x g x f x g x f x g x g x f x f d
x D x D x D x +≤+?≤≤∈∈∈∈． 上式表明，数)(inf )(inf x g x f D
x D x ∈∈+是函数g f +在D 上的一个下界，从而 ≤+∈∈)(inf )(inf x g x f D x D x )}()({inf x g x f D
x +∈． (ii)可类似地证明(略)．
注 例2中的两个不等式，其严格的不等号有可能成立．例如，设
]1,1[,)(,)(∈-==x x x g x x f ，
则有而,1)(sup )(sup ,1)(inf )(inf 1
||1||1||1||==-==≤≤≤≤x g x f x g x f x x x x .0)}()({sup )}()({inf 1
||1||=+=+≤≤x g x f x g x f x x 二 单调函数
定义3 设f 为定义在D 上的函数．若对任何D x x ∈2,1,当21x x <时，总 有
（i ）),()(21x f x f ≤则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等式1(x f ))(2x f <时，称f 为D 上的严格增函数；
(ii))()(21x f x f ≥，则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f >时，称f 为D 上的严格减函数；
增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数．
例3 函数3x y =在R 上是严格增的．因为对任何，∈2,1x x R ,当21x x <时总有
0]4
3)2)[((21212123132>++-=-x x x x x x x ，即3231x x <. 例4 函数][x y =在R 上是增的．因为对任何∈<21x x R ，当21x x <时,
显然有[1x ]≤ [2x ]．但此函数在R 上不是严格增的，若取1210,2
x x ==，则有[1x ]=[0]2=x ，即定义中所要求的严格不等式不成立．此函数的图象如图1—3
所示．
严格单调函数的图象与任一平行于x 轴的直线至多有一个交点，这一特性保证了它必定具有反
函数．
定理1．2 设D x x f y ∈=),(为严格增(减) 函数，则f 必有反函数1-f
，且1-f 在其定义域)(D f 上也是严格增(减)函数．
证 设f 在D 上严格增．对任一)(D f y ∈，有 D x ∈使y x f =)(．下面证明这样的x 只能有一个．事
实上，对于D 内任一x x ≠1，由f 在D 上的严格增性，当21x x <时y x f <)(1，当x x >1时有y x f >)(1，总之y x f ≠)(1．这就说明，对每一个)(D f y ∈，都只存在唯一的一个D x ∈，使得=)(x f y ，从而函数f 存在反函数)(1y f
x -=，f y ∈(D)． 现证1-f 也是严格增的．任取f y y ∈21,(D)，21y y <·设)(),(212111y f x y f x --==，则)(),(2211x f y x f y ==．由1y 2y <及f 的严格增性，显然有21x x <，即111)(-- 例5 函数2x y =在[—∞，0)上是严格减的，有反函数(按习惯记法)x y -=，2);,0(x y x =+∞∈在（0，+∞)上是严格增的，有反函数∈=x x y ,[0，+∞)。但y 2x =在整个定义域R 上不是单调的，也不存在反函数． 上节中我们给出了实指数幂的定义，从而将指数函数 )1,0(≠>=a a a y x 的定义域拓广到整个实数集R ．下面证明指数函数在R 上的严格单调性． 例6 证明：，y=x a 当a >1时在R 上严格增；当0 证 设a >1．给定∈21,x x R ,21x x <.由有理数集的稠密性，可取到有理数21,r r ，使2211x r r x <<<，故有 =1x a 1sup x r <{r a r |为有理数}≤1r a 22 2}|{sup x r x r r a r a a =≤<<为有理数， 这就证明了10< 类似地可证.x a 当0
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