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北航有限元分析与应用试题库

北航有限元分析与应用试题库
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1. 证明3结点三角形单元的插值函数满足ij j i i y x N δ=),(,及1=++m j i N N N 。 2. 图示3三结点三角形单元,厚度为t ,弹性模量为E ,泊桑比ν=0。试求:插

值函数矩阵N ,应变矩阵B ,应力矩阵S ,单位刚度矩阵K e

3. 以平面问题常应变三角形单元为例,证明单元刚度矩阵的任何一行(或列)元

素的总和为零。

4. 试证明面积坐标与直角坐标满足下列转换关系。

m m j j i i l x l x l x x ++= m m j j i i l y l y l y y ++=

5. 写出题5图所示三角形单元的插值函数Ni ,Nj ,Nm 以及应变矩阵B 。

6. 题5图中单元在jm 边作用有线性分布的面载荷(x 方向),试求结点载荷问题。 7. 证明常应变三角形单元发生在刚体位移时,单元中将不产生应力。

8. 求图示二次三角形单元在1 4 2边作用有均布侧压g 时的等效结点载荷,假设

结点坐标已知,单元厚度为t 。

9. 验证用面积坐标给出二次(三角形)单元的插值函数的N 1~N 6满足∑==6

~11i i N

10. 二维单元在xy 坐标平面内平移到不同位置,单元刚度矩阵相同吗?在平面内旋

转时怎样?单元旋转180o 后单元刚度矩阵与原来的相同吗?单元作上述变化时,应力矩阵S 如阿变化?

11. 图中两个三角形单元组成平行四边形,已知单元○

1按局部编码i ,j ,m 的单元刚度矩阵K ○

1和应力矩阵S ○1为 K ○1=?????????

???????????---------5.55.15.95.15.15.135.45.75.45.134012016626608 S ○1=????

??????-----5.15.05.15.102103000030300 按图中单元○

2的局部编码写出K ○2,S ○2。 12. 图示为二次四边形单元,试计算x N ??1和y N ??2在自然坐标为(1/2,1/2)的点

Q 的数值(因为单元的边是直线,可用4个结点定义单元的几何形状)。

13. 图示为一次三角形单元,试计算x N ??4和y N ??4在点P(1.5 ,2.0)的数值。

14. 垂直悬挂的等截面直杆受自重作用,截面积为A ,长度为l ,质量密度为ρ。

如图一维杆单元求解杆内的应力分布,问应采用多少结点的单元?在什么位置有限元结果可以达到解析解的精度?给出它们的数值。

15.有中心椭球孔的矩形板,两侧边受线性分布的侧压P,如图所示如何利用对称面条件减少求解的工作量,并画出计算模型,列出计算步骤。

有限元分析与应用详细例题

《有限元分析与应用》详细例题 试题1:图示无限长刚性地基上的三角形大坝,受齐顶的水压力作用,试用三节点常单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析,并对以下几种计算方案进行比 较: 1)分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算; 2)分别采用不同数量的三节点常应变单元计算; 3)当选常应变三角单元时,分别采用不同划分方案计算。 一.问题描述及数学建模 无限长的刚性地基上的三角形大坝受齐顶的水压作用可看作一个平面问题,简化为平面三角形受力问题,把无限长的地基看着平面三角形的底边受固定支座约束的作用,受力面的受力简化为受均布载荷的作用。 二.建模及计算过程 1. 分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算 下面简述三节点常应变单元有限元建模过程(其他类型的建模过程类似): 1.1进入ANSYS 【开始】→【程序】→ANSYS 10.0→ANSYS Product Launcher →change the working directory →Job Name: shiti1→Run 1.2设置计算类型 ANSYS Main Menu: Preferences →select Structural →OK 1.3选择单元类型 单元是三节点常应变单元,可以用4节点退化表示。 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element Type→Add/Edit/Delete →Add →select Solid Quad 4 node 42 →OK (back to Element Types window)→Options… →select K3: Plane Strain→OK→Close (the Element Type window) 1.4定义材料参数

有限元填空选择题及答案

1有限元是近似求解_一般连续_场问题的数值方法 2有限元法将连续的求解域离散为若干个子域_,得到有限个单元,单元和单元之间用节点相连 3从选择未知量的角度来看,有限元法分为三类位移法. 力法混合法 4以_节点位移_为基本未知量的求解方法称为位移法. 5以_节点力_为基本未知量的求解方法称为力法. 6一部分以__节点位移__,另一部分以_节点力_为基本未知量的求解方法称为混合法. 7直梁在外力的作用下,横截面的内力有剪力_和_弯矩_两个. 8平面刚架结构在外力的作用下,横截面上的内力有轴力_ 、剪力_和弯矩. 9进行直梁有限元分析,平面刚架单元上每个节点的节点位移为挠度和转角 10平面刚架结构中,已知单元e的坐标变换矩阵[T e ]和在局 部坐标系x’O’y’下的单元刚度矩阵[K’]e ,则单元在真体坐标 系xOy下的单元刚度矩阵为_ [K]e = [T e ] T [K’] e [T e ] 13弹性力学问题的方程个数有15个,未知量的个数有15个. 14弹性力学平面问题的方程个数有8_个,未知量个数有8_个15几何方程是研究__应变___和_位移之间关系的方程 16物理方程是描述_应力_和_应变_关系的方程 17平衡方程反映了_应力__和_位移_之间关系的 18把经过物体内任意一点各个_ 截面上的应力状况叫做__该点_的应力状态 19形函数在单元上节点上的值,具有本点为_1_.它点为零的性质,并且在三角形单元的任一节点上,三个行函数之和为_1_ 20 形函数是_三角形_单元内部坐标的_线性位移_函数,他反映了单元的_位移_状态 21在进行节点编号时,要尽量使用同一单元的相邻节点的狭长的带状尽可能小,以使最大限度地缩小刚度矩阵的带宽,节省存储,提高计算效率. 22三角形单元的位移模式为_线性位移模式_- 23矩形单元的位移模式为__线性位移模式_ 24在选择多项式位移模式的阶次时,要求_所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何_各向同性 25单元刚度矩阵描述了_节点力_和_节点位移之间的关系 26在选择多项式作为单元的位移模式时,多项式阶次的确定,要考虑解答的收敛性,即要满足单元的_完备性和协调性要求27三节点三角形单元内的应力和应变是_常数,四节点矩形单元内的应力和应变是线性_变化的 28在矩形单元的边界上,位移是线性_变化的 29整体刚度是一个呈_ 狭长的带状_分布的稀疏矩阵 30整体刚度[K]是一个奇异阵,在排除刚体位移_后,它正义阵1从选择未知量的角度来看,有限元法可分为三类(力法,位移法,混合法) 2下列哪有限元特点的描述中,哪种说法是错误的(D需要使用于整个结构的插值函数) 3几何方程研究的是(A应变和位移)之间关系的方程式 4物理方程是描述(D应力和应变)关系的方程 5平衡方程研究的是(C应力和位移)之间关系的方程式 6在划分单元时,下列哪种说话是错误的(A一般首选矩形单元) 7下列哪种单元的单元刚度矩阵必须通过积分才能得到(D矩形单元) 8单元的刚度矩阵不取决于下列哪种因素(B单元位置) 9可以证明,在给定载荷的作用下,有限元计算模型的变形与实际结构变形之间的关系为(B前者小于后者) 10ANSYS按功能作用可分为若干个处理器,其中(B求解器)用于施加载荷和边界条件 11下列有关有限元分析法的描述中,哪种说话是错误的(B单元之间通过其边界连接成组合体) 12下列关于等参数单元的描述中,哪些说话是错误的(C将规则单元变换为不规则单元后,易于构造位移模式) 13从选择未知量的角度来看,有限元可以分为三类,混合法的未知量是(C节点力和节点位移) 14下列对有限元特点的描述中,哪种说话是错误的(B对有限元求解域问题没有较好的处理方法) 15在划分单元时,下列哪种说话错误(D自由端不能取为节点) 16对于平面问题,选择单元一般首选(D三角形单元或等参单元) 17下列哪种说法不是形函数的性质(C三角形单元任一条边上的形函数,与三角形的三个节点坐标都有关) 18下列四种假设中,哪种分析不属于分析弹性力学的基本假设(C大变形假设) 19下列四种假设中,哪种不属于分析弹性力学的基本假设(B 有限变形假设) 20下列关于三角形单元说法中哪种是错误的(C在单元的公共边上应力和应变的值是连续的) 21下列关于矩形单元的说法哪项是错误的(D其形函数是线形的) 22应用圣维南原理简化边界条件时,静力等效是指前后的力系的(D主矢量相同,对于同一点的主矩也相同) 24描述同一点的应力状态需要的应力分量是(C6个) 25在选择多项式作为单元的位移模式时.多项式阶次的确定,要考虑解答的收敛性,哪种说法不是单元必须满足的要求(D 对称性)

北航2010-2011年研究生数值分析期末模拟试卷1-3

数值分析模拟试卷1 一、填空(共30分,每空3分) 1 设??? ? ??-=1511A ,则A 的谱半径=)(a ρ______,A 的条件数)(1A cond =________. 2 设 ,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ,则],,[21++n n n x x x f =________, ],,[321+++n n n n x x x x f ,=________. 3 设?????≤≤-++≤≤+=2 1,121 0,)(2 323x cx bx x x x x x S ,是以0,1,2为节点的三次样条函数,则b=________,c=________. 4 设∞=0)]([k k x q 是区间[0,1]上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x q ,则 ?=1 )(dx x xq k ________,=)(2 x q ________. 5 设???? ??????=11001a a a a A ,当∈a ________时,必有分解式,其中L 为下三角阵,当 其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时,这种分解是唯一的. 二、(14分)设4 9,1,41,)(2102 3 === =x x x x x f , (1)试求)(x f 在]4 9,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足 2,1,0),()(==i x f x H i i ,)()(11x f x H '='. (2)写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式. 三、(14分)设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3 2 41+ =+, (1) 证明R x ∈?0均有? ∞ →=x x n x lim (? x 为方程的根); (2) 取40=x ,用此迭代法求方程根的近似值,误差不超过,列出各次迭代值; (3)此迭代的收敛阶是多少?证明你的结论. 四、(16分) 试确定常数A ,B ,C 和,使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少?它是否为Gauss 型的?

有限元分析试题(同济)

同济大学本科课程期终考试统一命题纸A卷 2007—2008学年第二学期 一.是非题(认为该题正确,在括号中打√;该题错误,在括号中打×。)(每小题2分) (1)用加权余量法求解微分方程,其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。()(2)四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。()(3)在三角形单元中,其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。()(4)二维弹性力学问题的有限元法求解,其收敛准则要求试探位移函数C1连续。()(5)有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。()(6)等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。()(7)在位移型有限元中,单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。()(8)四边形单元的Jacobi行列式是常数。()(9)利用高斯点的应力进行应力精度的改善时,可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。()(10)一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。()二.单项选择题(共20分,每小题2分) 1 在加权余量法中,若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数,这类方法称为 ________________。 (A)配点法(B)子域法(C)伽辽金法 2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用______的结点和______的插值函数。 (A)不相同,不相同(B)相同,相同(C)相同,不相同(D)不相同,相同 3 有限元位移模式中,广义坐标的个数应与___________相等。 (A)单元结点个数(B)单元结点自由度数(C)场变量个数 4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较,一般___________。 (A)近似解总小于精确解(B)近似解总大于精确解(C)近似解在精确解上下震荡(D)没有规律 5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶,单元的完备性是指试探函数必须至少 是______完全多项式。 (A)m-1次(B)m次(C)2m-1次 6 与高斯消去法相比,高斯约当消去法将系数矩阵化成了_________形式,因此,不用进 行回代计算。 (A)上三角矩阵(B)下三角矩阵(C)对角矩阵 7 对称荷载在对称面上引起的________________分量为零。 (A)对称应力(B)反对称应力(C)对称位移(D)反对称位移 8 对分析物体划分好单元后,__________会对刚度矩阵的半带宽产生影响。 (A)单元编号(B)单元组集次序(C)结点编号 9 n个积分点的高斯积分的精度可达到______阶。 (A)n-1 (B)n(C)2n-1 (D)2n 10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的__________。 (A)对称性(B)稀疏性(C)奇异性 三.简答题(共20分,每题5分)

华科大有限元分析题及大作业题答案——船海专业(DOC)

姓名:学号:班级:

有限元分析及应用作业报告 一、问题描述 图示无限长刚性地基上的三角形大坝,受齐顶的水压力作用,试用三节点常应变单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析,并对以下几种计算方案进行比较: 1)分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算; 2)分别采用不同数量的三节点常应变单元计算; 3)当选常应变三角单元时,分别采用不同划分方案计算。

二、几何建模与分析 图1-2力学模型 由于大坝长度>>横截面尺寸,且横截面沿长度方向保持不变,因此可将大坝看作无限长的实体模型,满足平面应变问题的几何条件;对截面进行受力分析,作用于大坝上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布,两端面不受力,满足平面应变问题的载荷条件。因此该问题属于平面应变问题,大坝所受的载荷为面载荷,分布情况及方向如图1-2所示,建立几何模型,进行求解。 假设大坝的材料为钢,则其材料参数:弹性模量E=2.1e11,泊松比σ=0.3 三、第1问的有限元建模 本题将分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算。 1)设置计算类型:两者因几何条件和载荷条件均满足平面应变问题,故均取Preferences为Structural 2)选择单元类型:三节点常应变单元选择的类型是PLANE42(Quad 4node42),该单元属于是四节点单元类型,在网格划分时可以对节点数目控制使其蜕化为三节点单元;六节点三角形单元选择的类型是PLANE183(Quad 8node183),该单元属于是八节点单元类型,在网格划分时可以对节点数目控制使其蜕化为六节点单元。因研究的问题为平面应变问题,故对Element behavior(K3)设置为plane strain。 3)定义材料参数 4)生成几何模 a. 生成特征点 b.生成坝体截面 5)网格化分:划分网格时,拾取所有线段设定input NDIV 为10,选择网格划分方式为Tri+Mapped,最后得到200个单元。 6)模型施加约束: 约束采用的是对底面BC全约束。 大坝所受载荷形式为Pressure,作用在AB面上,分析时施加在L AB上,方向水平向右,载荷大小沿L AB由小到大均匀分布(见图1-2)。以B为坐标原点,BA方向为纵轴y,则沿着y方向的受力大小可表示为: ρ(1) = gh P- =ρ g = - 10 {* } 98000 98000 (Y ) y

有限元法课后习题答案

1、有限元是近似求解一般连续场问题的数值方法 2、有限元法将连续的求解域离散为若干个子域,得到有限个单元,单元和单元之间用节点连接 3、直梁在外力的作用下,横截面的内力有剪力和弯矩两个. 4、平面刚架结构在外力的作用下,横截面上的内力有轴力、剪力、弯矩. 5、进行直梁有限元分析,平面刚架单元上每个节点的节点位移为挠度和转角 6、平面刚架有限元分析,节点位移有轴向位移、横向位移、转角。 7、在弹性和小变形下,节点力和节点位移关系是线性关系。 8、弹性力学问题的方程个数有15个,未知量个数有15个。 9、弹性力学平面问题方程个数有8,未知数8个。 10、几何方程是研究应变和位移之间关系的方程 11、物理方程是描述应力和应变关系的方程 12、平衡方程反映了应力和体力之间关系的 13、把经过物体内任意一点各个截面上的应力状况叫做一点的应力状态 14、9形函数在单元上节点上的值,具有本点为_1_.它点为零的性质,并且在三角形单元的任一节点上,三个行函数之和为_1_ 15、形函数是_三角形_单元内部坐标的_线性_函数,他反映了单元的_位移_状态 16、在进行节点编号时,同一单元的相邻节点的号码差尽量小. 17、三角形单元的位移模式为_线性位移模式_- 18、矩形单元的位移模式为__双线性位移模式_

19、在选择多项式位移模式的阶次时,要求_所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何_各向同性 20、单元刚度矩阵描述了_节点力_和_节点位移之间的关系 21、矩形单元边界上位移是连续变化的 1.诉述有限元法的定义 答: 有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法 2.有限元法的基本思想是什么 答: 首先,将表示结构的连续离散为若干个子域,单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。其次,用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。 3.有限元法的分类和基本步骤有哪些 答: 分类: 位移法、力法、混合法;步骤: 结构的离散化,单元分析,单元集成,引入约束条件,求解线性方程组,得出节点位移。 4.有限元法有哪些优缺点 答: 优点:

北航数值分析大作业第一题幂法与反幂法

《数值分析》计算实习题目 第一题: 1. 算法设计方案 (1)1λ,501λ和s λ的值。 1)首先通过幂法求出按模最大的特征值λt1,然后根据λt1进行原点平移求出另一特征值λt2,比较两值大小,数值小的为所求最小特征值λ1,数值大的为是所求最大特征值λ501。 2)使用反幂法求λs ,其中需要解线性方程组。因为A 为带状线性方程组,此处采用LU 分解法解带状方程组。 (2)与140k λλμλ-5011=+k 最接近的特征值λik 。 通过带有原点平移的反幂法求出与数k μ最接近的特征值 λik 。 (3)2cond(A)和det A 。 1)1=n λλ2cond(A),其中1λ和n λ分别是按模最大和最小特征值。 2)利用步骤(1)中分解矩阵A 得出的LU 矩阵,L 为单位下三角阵,U 为上三角阵,其中U 矩阵的主对角线元素之积即为det A 。 由于A 的元素零元素较多,为节省储存量,将A 的元素存为6×501的数组中,程序中采用get_an_element()函数来从小数组中取出A 中的元素。 2.全部源程序 #include #include void init_a();//初始化A double get_an_element(int,int);//取A 中的元素函数 double powermethod(double);//原点平移的幂法 double inversepowermethod(double);//原点平移的反幂法 int presolve(double);//三角LU 分解 int solve(double [],double []);//解方程组 int max(int,int); int min(int,int); double (*u)[502]=new double[502][502];//上三角U 数组 double (*l)[502]=new double[502][502];//单位下三角L 数组 double a[6][502];//矩阵A int main() { int i,k; double lambdat1,lambdat2,lambda1,lambda501,lambdas,mu[40],det;

有限元复习题答案

1、何为有限元法?其基本思想是什么? 有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法,该方法以计算机为手段,采用分片近似,进而逼近整体的研究思想求解物理问题。 基本思想是化整为零集零为整。 2、为什么说有限元法是近似的方法,体现在哪里? 有两点:用离散单元的组合体来逼近原始结构,体现了几何上的近似;而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解,体现了数学上的近似。 3、单元、节点的概念? 节点:表达实际结构几何对象之间相互连接方式的概念 单元:网格划分中的每一个小部分称为单元,网格间相互联结点称为节点 4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤? 结构离散化、单元分析、整体分析 5、有限元方法分几种?本课程讲授的是哪一种? 位移法、力法、混合法本课程讲授位移法 6、弹性力学的基本变量是什么?何为几何方程、物理方程及虚功方程?弹性矩阵的特点? 弹性力学变量:外力、应力、应变和位移。 描述弹性体应变分量与位移分量之间的方程称为几何方程;物理方程描述应力分量与应变分量之间的关系;弹性体上外力在虚位移发生过程中所做的虚功与储存在弹性体内的需应变能相等。 弹性矩阵由材料的弹性模量和泊松比确定,与坐标位置无关。 7、何为平面应力问题和平面应变问题? 平面应力问题:在结构上满足a几何条件:研究对象是等厚度薄板。b载荷条件:作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布,而在两板面无外力作用。 平面应变问题:满足a几何条件:长柱体,即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸,且横截面沿长度方向不变。b载荷条件:作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布,两端面不受力两条件的弹性力学问题。 1、何为结构的离散化?离散化的目的?何为有限元模型? ①离散化:把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。②目的:建立有限元计算模型③通常把由节点,单元及相应的节点载荷和节点约束构成的模型称为有限元模型2、结构离散化时,划分单元数目的多少以及疏密分布,将直接影响到什么?确定单元数量的原则?通常如何设置节点?

北航数值分析大作业第二题

数值分析第二次大作业 史立峰 SY1505327

一、 方案 (1)利用循环结构将sin(0.50.2)() 1.5cos( 1.2)() {i j i j ij i j i j a +≠+==(i,j=1,2,……,10)进行赋值,得到需要变换的 矩阵A ; (2)然后,对矩阵A 利用Householder 矩阵进行相似变换,把A 化为上三角矩阵A (n-1)。 对A 拟上三角化,得到拟上三角矩阵A (n-1),具体算法如下: 记A(1)=A ,并记A(r)的第r 列至第n 列的元素为()n r r j n i a r ij ,,1,;,,2,1) ( +==。 对于2,,2,1-=n r 执行 1. 若 ()n r r i a r ir ,,3,2) ( ++=全为零,则令A(r+1) =A(r),转5;否则转2。 2. 计算 () ∑+== n r i r ir r a d 1 2 )( ()( )r r r r r r r r r r d c a d a c ==-=++则取,0sgn ) (,1)(,1若 )(,12r r r r r r a c c h +-= 3. 令 () n T r nr r r r r r r r r R a a c a u ∈-=++) ()(,2)(,1,,,,0,,0 。 4. 计算 r r T r r h u A p /)(= r r r r h u A q /)(= r r T r r h u p t /= r r r r u t q -=ω T r r T r r r r p u u A A --=+ω)()1( 5. 继续。 (3)使用带双步位移的QR 方法计算矩阵A (n-1)的全部特征值,也是A 的全部特征值,具体算法如下: 1. 给定精度水平0>ε和迭代最大次数L 。 2. 记n n ij n a A A ?-==][) 1()1()1(,令n m k ==,1。

北京科技大学有限元试题及答案

一 判断题(20分) (×)1. 节点的位置依赖于形态,而并不依赖于载荷的位置 (√)2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 (×)3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 (√)4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 (×)5. 平面应变单元也好,平面应力单元也好,如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 (×)6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 (√)7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 (×)8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住,而不必约束转动自由度 (√)9. 同一载荷作用下的结构,所给材料的弹性模量越大则变形值越小 (√)10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空(20分) 1.平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是 薄板 ,但前者受力特点是: 平行于板面且沿厚度均布载荷作用 ,变形发生在板面内; 后者受力特点是: 垂直于板面 的力的作用,板将变成有弯有扭的曲面。 2.平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量: σx ,σy ,τxy ,三个独立的应变分量:εx ,εy ,γxy ,但对应的弹性体几何形状前者为 薄板 ,后者为 长柱体 。3.位移模式需反映 刚体位移 ,反映 常变形 ,满足 单元边界上位移连续 。 4.单元刚度矩阵的特点有:对称性 , 奇异性 ,还可按节点分块。 5.轴对称问题单元形状为:三角形或四边形截面的空间环形单元 ,由于轴对称的特性,任意一点变形只发生在子午面上,因此可以作为 二 维问题处理。 6.等参数单元指的是:描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是:可以采用高阶次位移模式,能够模拟复杂几何边界,方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7.有限单元法首先求出的解是 节点位移 ,单元应力可由它求得,其计算公式为 {}{} [][]e D B σδ=。(用符号表示即可) 8.一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移: u ,v ,w 9.变形体基本变量有位移应变应力 基本方程 平衡方程 物理方程 几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元

有限元分析大作业试题

有限元分析习题及大作业试题 要求:1)个人按上机指南步骤至少选择习题中3个习题独立完成,并将计算结果上交; 2)以小组为单位完成有限元分析计算; 3)以小组为单位编写计算分析报告; 4)计算分析报告应包括以下部分: A、问题描述及数学建模; B、有限元建模(单元选择、结点布置及规模、网格划分方 案、载荷及边界条件处理、求解控制) C、计算结果及结果分析(位移分析、应力分析、正确性分 析评判) D、多方案计算比较(结点规模增减对精度的影响分析、单 元改变对精度的影响分析、不同网格划分方案对结果的 影响分析等) E、建议与体会 4)11月1日前必须完成,并递交计算分析报告(报告要求打印)。

习题及上机指南:(试题见上机指南) 例题1 坝体的有限元建模与受力分析 例题2 平板的有限元建模与变形分析 例题1:平板的有限元建模与变形分析 计算分析模型如图1-1 所示, 习题文件名: plane 0.5 m 0.5 m 0.5 m 0.5 m 板承受均布载荷:1.0e 5 P a 图1-1 受均布载荷作用的平板计算分析模型 1.1 进入ANSYS 程序 →ANSYSED 6.1 →Interactive →change the working directory into yours →input Initial jobname: plane →Run 1.2设置计算类型 ANSYS Main Menu : Preferences →select Structural → OK 1.3选择单元类型 ANSYS Main Menu : Preprocessor →Element T ype →Add/Edit/Delete →Add →select Solid Quad 4node 42 →OK (back to Element T ypes window) → Options… →select K3: Plane stress w/thk →OK →Close (the Element T ype window) 1.4定义材料参数 ANSYS Main Menu : Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic →input EX:2.1e11, PRXY :0.3 → OK 1.5定义实常数 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Real Constant s… →Add … →select T ype 1→ OK →input THK:1 →OK →Close (the Real Constants Window)

有限元分析及应用大作业

有限元分析及应用大作业 作业要求: 1)个人按上机指南步骤至少选择习题中3个习题独立完成,并将计算结果上交; 也可根据自己科研工作给出计算实例。 2)以小组为单位完成有限元分析计算; 3)以小组为单位编写计算分析报告; 4)计算分析报告应包括以下部分: A、问题描述及数学建模; B、有限元建模(单元选择、结点布置及规模、网格划分方案、载荷及边界 条件处理、求解控制) C、计算结果及结果分析(位移分析、应力分析、正确性分析评判) D、多方案计算比较(结点规模增减对精度的影响分析、单元改变对精度的 影响分析、不同网格划分方案对结果的影响分析等) 题一:图示无限长刚性地基上的三角形大坝,受齐顶的水压力作用,试用三节点常应变单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析,并对以下几种计算方案进行比较: 1)分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算;(注意ANSYS中用四边形单元退化为三节点三角形单元) 2)分别采用不同数量的三节点常应变单元计算; 3)当选常应变三角单元时,分别采用不同划分方案计算。 解:1.建模: 由于大坝长度>>横截面尺寸,且横截面沿长度方向保持不变,因此可将大坝看作无限长的实体模型,满足平面应变问题的几何条件;对截面进行受力分析,作

用于大坝上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布,两端面不受力,满足平面应变问题的载荷条件。因此该问题属于平面应变问题,大坝所受的载荷为面载荷,分布情况P=98000-9800*Y;建立几何模型,进行求解;假设大坝的材料为钢,则其材料参数:弹性模量E=2.1e11,泊松比σ=0.3; 2:有限元建模过程: 2.1 进入ANSYS : 程序→ANSYS APDL 15.0 2.2设置计算类型: ANSYS Main Menu: Preferences →select Structural →OK 2.3选择单元类型: ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element Type→Add/Edit/Delete →Add →select Solid Quad 4node 182(三节点常应变单元选择Solid Quad 4node 182,六节点三角形单元选择Solid Quad 8node 183)→OK (back to Element Types window) →Option →select K3: Plane Strain →OK→Close (the Element Type window) 2.4定义材料参数: ANSYS Main Menu: Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic →input EX:2.1e11, PRXY:0.3 →OK 2.5生成几何模型: 生成特征点: ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Keypoints→In Active CS →依次输入四个点的坐标:input:1(0,0),2(10,0),3(1,5),4(0.45,5) →OK 生成坝体截面: ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Areas →Arbitrary →Through KPS →依次连接四个特征点,1(0,0),2(6,0),3(0,10) →OK 2.6 网格划分: ANSYS Main Menu: Preprocessor →Meshing →Mesh Tool→(Size Controls) lines: Set →依次拾取两条直角边:OK→input NDIV: 15 →Apply→依次拾取斜边:OK →input NDIV: 20 →OK →(back to the mesh tool window)Mesh:Areas, Shape: tri, Mapped →Mesh →Pick All (in Picking Menu) →Close( the Mesh Tool window) 2.7 模型施加约束: 给底边施加x和y方向的约束: ANSYS Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Displacement →On lines →pick the lines →OK →select Lab2:UX, UY →OK 给竖直边施加y方向的分布载荷: ANSYS 命令菜单栏: Parameters →Functions →Define/Edit →1) 在下方的下拉列表框内选择x ,作为设置的变量;2) 在Result窗口中出现{X},写入所施加的载荷函数: 98000-9800*{Y};3) File>Save(文件扩展名:func) →返回:Parameters →Functions →Read from file:将需要的.func文件打开,参数名取meng,它表示随之将施加的载荷→OK →ANSYS Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Pressure →On Lines →拾取竖直边;OK →在下拉列表框中,选择:Existing table →OK →选择需要的载荷为meng参数名→OK 2.8 分析计算: ANSYS Main Menu: Solution →Solve →Current LS →OK(to close the solve Current Load

北航数值分析报告大作业第八题

北京航空航天大学 数值分析大作业八 学院名称自动化 专业方向控制工程 学号 学生姓名许阳 教师孙玉泉 日期2014 年11月26 日

一.题目 关于x , y , t , u , v , w 的方程组(A.3) ???? ?? ?=-+++=-+++=-+++=-+++79 .0sin 5.074.3cos 5.007.1cos sin 5.067.2cos 5.0y w v u t x w v u t y w v u t x w v u t (A.3) 以及关于z , t , u 的二维数表(见表A-1)确定了一个二元函数z =f (x , y )。 表A-1 二维数表 t z u 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 0 -0.5 -0.34 0.14 0.94 2.06 3.5 0.2 -0.42 -0.5 -0.26 0.3 1.18 2.38 0.4 -0.18 -0.5 -0.5 -0.18 0.46 1.42 0.6 0.22 -0.34 -0.58 -0.5 -0.1 0.62 0.8 0.78 -0.02 -0.5 -0.66 -0.5 -0.02 1.0 1.5 0.46 -0.26 -0.66 -0.74 -0.5 1. 试用数值方法求出f (x , y ) 在区域}5.15.0,8.00|), {≤≤≤≤=y x y x D (上的近似表达式 ∑∑===k i k j s r rs y x c y x p 00 ),( 要求p (x , y )以最小的k 值达到以下的精度 ∑∑==-≤-=10020 7210)],(),([i j i i i i y x p y x f σ 其中j y i x i i 05.05.0,08.0+==。 2. 计算),(),,(* ***j i j i y x p y x f (i =1,2,…,8 ; j =1,2,…,5) 的值,以观察p (x , y ) 逼 近f (x , y )的效果,其中j y i x j i 2.05.0,1.0**+==。

lhz有限元分析及应用-课程试卷

有限元分析与应用试题 1.有限元求解问题的主要思路是什么?并做简要介绍。 ● 将连续系统分割成有限个分区或单元(离散化) 离散化 将直杆划分成n 个有限段,有限段之间通过一个铰接点连接。两段之间的连接点称为节点,每个有限段称为单元。第i 个单元的长度为L i ,包含第i ,i+1个节点。 ● 用标准方法对每个单元提出一个近似解(单元分析) 单元分析 用单元节点位移表示单元内部位移-第i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示。 线性插值所得到的 第i 结点的位移 第i 结点的坐标 第i 个单元的 应变 ) ()(1i i i i i x x L u u u x u --+=+i u i x i i i i L u u dx du -== +1εi i i i i L u u E E )(1-= =+εσ

应力 内力 将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统(整体分析) 首先把外载荷集中到节点上: 把第i 单元和第i+1单元重量的一半,集中到第i+1结点上 建立结点的力平衡方程:对于第i+1结点,由力的平衡方程可得 (i=1,n-1) i i i i i L u u EA A N ) (1-= =+σ2 ) (11+++= -i i i i L L q N N ) (2 )()(11121++++++=---i i i i i i i i L L q L u u EA L u u EA

令 对于第n+1个结点,第n 个单元的内力与第n+1个结点上的外载荷平衡, 再加上约束条件 因此可以得到n+1个方程构成的方程组,可解出n+1个结点的位移。 有限元方法的基本思想和原理是“简单”而“朴素”的,在发展初期,许多学术权威对该方法的学术价值有所鄙视,国际著名刊物Journal of Applied Mechanics 许多年来拒绝刊登有关有限元方法的文章,其理由是没有新的科学实质。 现在完全不同了,由于有限元方法在科学研究和工程分析中的地位, 1 += i i i L L λ22 1)11(2)1(i i i i i i i L EA q u u u λλλ+=-++-++1()2 n n n n n n EA u u qL N A L σ+-== = EA qL u u n n n 221= +-+0 1=u

有限元分析及其应用思考题附答案2012

有限元分析及其应用-2010 思考题: 1、有限元法的基本思想是什么?有限元法的基本步骤有那些?其中“离散”的含义是什 么?是如何将无限自由度问题转化为有限自由度问题的? 答:基本思想:几何离散和分片插值。 基本步骤:结构离散、单元分析和整体分析。 离散的含义:用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合,且单元之间仅在节点处连接,单元之间的作用仅由节点传递。当单元趋近无限小,节点无限多,则这种离散结构将趋近于实际的连续结构。 2、有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别? 区别:差分法:均匀离散求解域,差分代替微分,要求规则边界,几何形状复杂精度较低; 里兹法:根据描述问题的微分方程和相应的定解构造等价的泛函表达式,求得近似解; 有限元:基于变分法,采用分片近似进而逼近总体的求解微分方程的数值计算方法。 3、一根单位长度重量为q的悬挂直杆,上端固定,下端受垂直向下的外力P,试 1)建立其受拉伸的微分方程及边界条件; 2)构造其泛函形式; 3)基于有限元基本思想和泛函求极值构造其有限元的计算格式(即最小势能原理)。4、以简单实例为对象,分别按虚功原理和变分原理导出有限元法的基本格式(单元刚度矩 阵)。 5、什么是节点力和节点载荷?两者有何区别? 答:节点力:单元与单元之间通过节点相互作用 节点载荷:作用于节点上的外载 6、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有何特点?其中每个矩阵元素的物理意义是什么(按自 由度和节点解释)? 答:单元刚度矩阵:对称性、奇异性、主对角线恒为正 整体刚度矩阵:对称性、奇异性、主对角线恒为正、稀疏性、带状性。 Kij,表示j节点产生单位位移、其他节点位移为零时作用i节点的力,节点力等于节点位移与单元刚度元素乘积之和。 7、单元的形函数具有什么特点?有哪些性质? 答:形函数的特点:Ni为x,y的坐标函数,与位移函数有相同的阶次。 形函数Ni在i节点的值为1,而在其他节点上的值为0; 单元内任一点的形函数之和恒等于1; 形函数的值在0~1间变化。 8、描述弹性体的基本变量是什么?基本方程有哪些组成? 答:基本变量:外力、应力、应变、位移 基本方程:平衡方程、几何方程、物理方程、几何条件 9、何谓应力、应变、位移的概念?应力与强度是什么关系? 答:应力:lim△Q/△A=S △A→0 应变:物体形状的改变 位移:弹性体内质点位置的变化 10、问题的微分方程提法、等效积分提法和泛函变分提法之间有何关系?何谓“强形 式”?何谓“弱形式”,两者有何区别?建立弱形式的关键步骤是什么?

中南大学有限元分析及应用(2008研)考试试卷

中南大学考试试卷(试卷共2页) 2007 -- 2008学年下学期时间110分钟有限元分析及应用课程 36 学时 2 学分 专业年级: 07级研究生总分100分考试形式:大型作业注:此页不作答题纸,请将答案写在答题纸上A4 一.简答题(共40分,每题10分) 1.简述非节点载荷移置的缘由及遵循的原则(p49)?写出集中力移置的普遍公式(p50)。 2.任何一个有限元分析问题都是空间问题,什么情况下可以简化为平面问题(p84)、轴对称问题(p128)? 3.简述有限元几何模型(关键点、线、面、体)、网格模型(节点、单元)、有限元模型层次关系(p204)及所包含的主要内容,并说明约束的意义(p265)? 4.写出3节点平面三角形单元(p90)、8节点六面体单元(p168)的广义位移函数,并说明单元位移模式选取的原则(p32)? 二.综合题(20分) 1.对于如图所示结构模型,若以角速度W绕中心轴线旋转,求其在惯性力的作用下的 最大应力与变形。(1)概述该分析模型的简化方法及理由(p363)?(2)说明约束的施加方法及理由(p369)?(3)用图表示简化后的物理分析模型 三计算与软件操作题(本题共40分)

据提取等关键命令 点应力、形变、位移数束与载荷、求解以及节成、单元生成、施加约要求:简明概述节点生及位移。 号节点)的应力、应变(即软件,求形心,用对于图出刚度矩阵 细节不要描述,直接写注意:单元刚度的求解;)的应变、应力、位移,(手工计算求板形心点,按有限元的解题步骤对于图求解下列问题: 构离散,节点三角形单元进行结。用泊松比的拉力,弹性模量承受。左端固定,右端角点,板厚,宽已知矩形薄板,长5P ANSYS 22)2(50100P 12)1(33.0,102E N 5001010020011--=?====u Pa cm t cm w cm l 图2-1 矩形薄板2单元结构离散方式 图2-2 矩形薄板4单元结构离散方式 X X Y Y P

有限单元法部分课后题答案

1.1 有限单元法中“离散”的含义是什么?有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度问题的?位移有限元法的标准化程式是怎样的? (1)离散的含义即将结构离散化,即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元,并在其上设定有限个节点;用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体,而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。 (2)给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律,即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。因节点位移个数是有限的,故无限自由度问题被转变成了有限自由度问题。 (3)有限元法的标准化程式:结构或区域离散,单元分析,整体分析,数值求解。 1.3 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质?各自的物理意义是什么?两者有何区别?单元刚度矩阵的性质:对称性、奇异性(单元刚度矩阵的行列式为零)。整体刚度矩阵的性质:对称性、奇异性、稀疏性。单元 Kij 物理意义 Kij 即单元节点位移向量中第 j 个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时,在第 j 个自由度方向引起的节点力。整体刚度矩阵 K 中每一列元素的物理意义是:要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移,而其他节点位移都保持为零的变形状态,在所有个节点上需要施加的节点荷载。 2.2 什么叫应变能?什么叫外力势能?试叙述势能变分原理和最小势能原理,并回答下述问题:势能变分原理代表什么控制方程和边界条件?其中附加了哪些条件? (1)在外力作用下,物体内部将产生应力σ和应变ε,外力所做的功将以变形能的形式储存起来,这种能量称为应变能。 (2)外力势能就是外力功的负值。 (3)势能变分原理可叙述如下:在所有满足边界条件的协调位移中,那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函取驻值,即势能的变分为零 δ∏p=δ Uε+δV=0 此即变分方程。对于线性弹性体,势能取最小值,即 δ2∏P=δ2Uε+δ2V≥0 此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。 势能变分原理代表平衡方程、本构方程和应力边界条件,其中附加了几何方程和位移边界条件。 2.3 什么是强形式?什么是弱形式?两者有何区别?建立弱形式的关键步骤是什么? 等效积分形式通过分部积分,称式 ∫ΩCT(v)D(u)dΩ+∫ΓET(v)F(u)dΓ 为微分方程的弱形式,相对而言,定解问题的微分方程称为强形式。 区别:弱形式得不到解析解。建立弱形式的关键步骤:对场函数要求较低阶的连续性。2.4 为了使计算结果能够收敛于精确解,位移函数需要满足哪些条件?为什么? 只要位移函数满足两个基本要求,即完备性和协调性,计算结果便收敛于精确解。 2.6 为什么采用变分法求解通常只能得到近似解?变分法的应用常遇到什么困难?Ritz 法收敛的条件是什么? (1)在 Ritz 法中,N 决定了试探函数的基本形态,待定参数使得场函数具有一定的任意性。如果真实场函数包含在试探函数之内,则变分法得到的解答是精确的;如果试探函数取自完全的函数序列,则当项数不断增加时,近似解将趋近于精确解。然而,通常情况下试探函数不会将真实场函数完全包含在内,实际计算时也不可能取无穷多项。因此,试探函数只能是真实场函数的近似。可见,变分法就是在某个假定的范围内找出最佳解答,近似性就源于此。 (2)采用变分法近似求解,要求在整个求解区域内预先给出满足边界条件的场函数。通常情况下这是不可能的,因而变分法的应用受到了限制。 (3)Ritz 法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性,也就是说,如果试探函数满足完备性和连续性的要求,当试探函数的项数趋近于无穷时,则 Ritz 法的近似解将趋近于数学微分方程的精确解。 3.1 构造单元形函数有哪些基本原则? 形函数是定义于单元内坐标的连续函数。单元位移函数通常采用多项式,其中的待定常数应该与单元节点自由度数相等。为满足完备性要求,位移函数中必须包括常函数和一次式,即完全一次多项式。多项式的选取应由低阶到高阶,尽量选择完全多项式以提高单元的精度。若由于项数限制而不能选取完全多项式时,也应使完全多项式具有坐标的对称性,并且一

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