北京市海淀区2015届高三下学期期中练习(一模)数学(文)试题

海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学（文） 2015.4

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一

项。

（1）已知集合2

{|2}A x x ==，{1,2,2}B =，则A B =（ ）

（A ）{2}

（B ）{2}

（C ）{2,1,2,2}-

（D ）{2,1,2,2}-

（2）抛物线2=4x y 的焦点到准线的距离为（ ） （A ）

12

（B ） 1 （C ）2 （D ）4

（3）已知函数()f x 是奇函数，且当0x >时，()e x f x =，则(1)f -=（ ） （A ）

1e

（B ）1e

-

（C ）e （D ）e -

（4）某单位计划在下月1日至7日举办人才交流会，某人随机选择其中的连续两天参加交流会，那么他在1日至3日期间连续两天参加交流会的概率为（ ） （A ）

12

（B ）

13

（C ）

14

（D ）

16

（5）执行如图所示的程序框图，输出的i 值为

（ ）

i = 1, S = 0

1

S >输出 i

i = i + 1

S = S + lg i 开始

结束

否

是

（A ）2 （B ）3

（C ）4 （D ）5

（6）“sin 0α>”是“角α是第一象限的角”的（ ）

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

（7）若,x y 满足0,1,0,x y x x y +≥??

≥??-≥?

则下列不等式恒成立的是（ ）

（A ）1y ≥ （B ）2x ≥ （C ）20x y +≥

（D ）210x y -+≥

（8）某三棱锥的正视图如图所示，则在下列图①

②③④中，所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是（ ）

正视图

①

②

③

④ （A ）①②③

（B ）①②④

（C ）②③④

（D ）①②③④

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）已知单位向量a 与向量(11)=,-b 的夹角为π

4

，则-=a b ________. （10）若复数i

i

a z +=

，且z ∈R ,则实数a =______． （11）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若36a =-，15S S =，则公差d =________；n S 的

最小值为 .

（12）对于22

:20A x y x +-=e ，以点11(,)22

为中点的弦所在的直线方程是_____．

（13）设2

,,(),.

x x a f x x x a

围是 .

（14）设全集{1,2,3,4,5,6}U =，用U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.

①若{,3,6}M =2，则U M e表示的6位字符串为 ； ②若{1,3}A =, 集合A

B 表示的字符串为101001，则满足条件的集合B 的个数是 .

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （15）（本小题满分13分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S , 12(*)n n a a n +=∈N ，且2a 是2S 与1的等差中项. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列1

{

}n

a 的前n 项和为n T ,且对*n ?∈N ,n T λ<恒成立,求实数λ的最小值. (16) （本小题满分13分）

某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，整理得到数据分组及频率分布．．．．表．和频率分布直方图：

分组（日销售量）

频率（甲种酸奶）

[ 0，10] 0.10 （10，20] 0.20 （20，30] 0.30 （30，40] 0.25 （40，50]

0.15

（Ⅰ）写出频率分布直方图中的a 的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；

（Ⅱ）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为21s ，22s ，试比较21s 与2

2s 的大小；

（只需写出结论）

（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计乙种酸奶在未来一个月（按30天计算）的销售总量. （17）（本小题满分13分）

在ABC ?中，2

sin sin sin A B C =. （Ⅰ）若π

3

A ∠=

，求B ∠的大小； （Ⅱ）若1bc =,求ABC ?的面积的最大值. （18）（本小题满分14分）

如图1，在梯形ABCD 中，AD

BC ，AD DC ⊥，2BC AD =，四边形ABEF 是矩形. 将

矩形ABEF 沿AB 折起到四边形11ABE F 的位置，使平面11ABE F ⊥平面

ABCD ，M 为1AF 的中点，如图2.

（Ⅰ）求证：1BE DC ⊥； （Ⅱ）求证：DM //平面1BCE ；

（Ⅲ）判断直线CD 与1ME 的位置关系,并说明理由．

（19）（本小题满分13分）

已知椭圆22

22:1(0)x y M a b a b +=>>过点(0,1)A -，且离心率32

e =.

（Ⅰ）求椭圆M 的方程；

（Ⅱ）若椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称,求k 的所有取值构成的集合S ，并证明对于k S ?∈，BC 的中点恒在一条定直线上. （20）（本小题满分14分）

已知函数1

()ln (0)f x a x a x

=+

≠. 图1

图2

A

B

C D

E 1

F 1

M

F

E

D

C

B

A

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若存在两条直线1y ax b =+，212()y ax b b b =+≠都是曲线()y f x =的切线，求实数a 的取值范围；

（Ⅲ）若{}

()0(0,1)x f x ≤?，求实数a 的取值范围.

海淀区高三年级第二学期期中练习

数学（文）答案及评分参考 2015.4

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A （2）C （3）D （4）B （5）C （6）B （7）D （8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分） （9）1 （10）0 （11）12；-54 （12）y x = （13）[0,1] （14）100110；4 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）

解：（Ⅰ）因为 12(*)n n a a n +=∈N ,

所以 21211123S a a a a a =+=+=. ………………1分 因为 2a 是2S 与1的等差中项, 所以 2221a S =+, 即112231a a ?=+.

所以 11a =. ………………3分 所以 {}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列.

所以 11122n n n a --=?=. ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：

111()2

n n a -=. 所以

111a =, 1111

(*)2n n

n a a +=?∈N . 所以 1

{

}n

a 是以1为首项, 12为公比的等比数列. ………………9分

所以 数列1{}n a 的前n 项和1

1122(1)1212

n n n T -

==--. ………………11分

因为

1

02n

>， 所以 1

2(1)22

n n T =-

<. 若2b <，当22

log ()2n b

>-时，n T b >. 所以 若对*n ?∈N ,n T λ<恒成立，则2λ≥.

所以 实数λ的最小值为2. ………………13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）0.015a =； ………………2分

………………6分

（Ⅱ）22

12s s <. ………………9分

（Ⅲ）乙种酸奶平均日销售量为：

50.20150.10250.30350.15450.2526.5x =?+?+?+?+?=（箱）. ………………11分

乙种酸奶未来一个月的销售总量为：26.530795?=（箱）. ………………13分 （17）（共13分）

解：（Ⅰ）方法一：因为 2

sin sin sin ,A B C =且

C

c

B b A a sin sin sin ==， 所以 2

a bc =. ………………2分

又因为 ,cos 22

22A bc c b a -+= π

3

A ∠=

， ………………4分

所以 222

221

22

a b c bc b c bc =+-?

=+-. 所以 2

()0b c -=.

所以 b c =. ………………6分 因为 π3

A ∠=

， 所以 ABC ?为等边三角形. 所以 π

3

B ∠=

. ………………7分 方法二： 因为 πA B C ++=，

所以 sin sin()C A B =+. ………………1分

因为 2

sin sin sin B C A =，π3

A ∠=

， 所以 2ππsin sin(

)sin 33

B B +=. 所以 313

sin (

cos sin )224

B B B +=. ………………3分 所以

311cos 23sin 24224B B -+?=. 所以

31

sin 2cos 2122

B B -=. 所以 π

sin(2)16

B -=. ………………5分 因为 (0,π)B ∈，

所以 ππ112(,π)666

B -

∈-. 所以 ππ262B -

=，即π

3

B ∠=. ………………7分 （Ⅱ）因为 2

sin sin sin ,A B C =1bc =，且

C

c

B b A a sin sin sin ==，

所以 2

1a bc ==.

所以 222221

cos 22

b c a b c A bc +-+-== ………………9分

211

22

bc -≥

=（当且仅当1==c b 时，等号成立）. ………………11分 因为 (0,π)A ∈，

所以 π(0,]3

A ∈.

所以 3sin (0,

]2

A ∈. 所以 113

sin sin 224

ABC S bc A A ?=

=≤

. 所以 当ABC ?是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值

4

3

. ………………13分

（18）（共14分）

证明：（Ⅰ）因为 四边形11ABE F 为矩形， 所以1BE AB ⊥.

因为 平面ABCD ⊥平面11ABE F ，且平面ABCD

平面11ABE F AB =，

1BE ?平面11ABE F ，

所以 1BE ⊥平面ABCD . ………………3分 因为 DC ?平面ABCD ，

所以 1BE DC ⊥. ………………5分 （Ⅱ）证明：因为 四边形11ABE F 为矩形， 所以 1//AM BE .

因为 //AD BC ，AD

AM A =，1BC

BE B =，

所以 平面//ADM 平面1BCE . ………………7分 因为 DM ?平面ADM ，

所以 //DM 平面1BCE . ………………9分 （Ⅲ）直线CD 与1ME 相交，理由如下： ………………10分 取BC 的中点P ，1CE 的中点Q ，连接AP ，PQ ，QM . 所以 1//PQ BE ，且11

2

PQ BE =

. 在矩形11ABE F 中，

M 为1AF 的中点， 所以 1//AM BE ，且11

2

AM BE =

. 所以 //PQ AM ，且PQ AM =.

所以 四边形APQM 为平行四边形.

所以 //MQ AP ，MQ AP =. ………………12分 因为 四边形ABCD 为梯形， P 为BC 的中点，2BC AD =， 所以 //AD PC ，AD PC =. 所以 四边形ADCP 为平行四边形. 所以 //CD AP ，且CD AP =. 所以//CD MQ 且CD MQ =. 所以 CDMQ 是平行四边形. 所以 //DM CQ ，即//DM 1CE . 因为 DM ≠1CE ，

所以 四边形1DME C 是以DM ，1CE 为底边的梯形.

所以 直线CD 与1ME 相交. ………………14分

（19）（共13分）

解：（Ⅰ）因为 椭圆M 过点(0,1)A -，

所以 1b =. ………………1分 因为 2223, 2

c e a b c a =

==+， 所以 2a =.

所以 椭圆M 的方程为2

2 1.4

x y += ………………3分

（Ⅱ）方法一： 依题意得0k ≠.

因为 椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称，

所以 直线BC 与直线1y kx =-垂直，且线段BC 的中点在直线1y kx =-上. 设直线BC 的方程为11221

,(,),(,)y x t B x y C x y k

=-

+. 由221,44y x t k x y ?=-+?

??+=?

得 22222(4)8440k x ktx k t k +-+-=. ………………5分

由2222222222644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ?=-+-=-+>， 得22240k t k --<.（*） 因为 122

84

kt

x x k +=

+， ………………7分 所以 BC 的中点坐标为2224(,)44

kt k t

k k ++.

又线段BC 的中点在直线1y kx =-上，

所以 2224144

k t kt

k k k =-++.

所以 22314

k t k =+. ………………9分

代入（*），得22k <-

或22

k >.

所以 22{|}22

S k k k =<-

>,或. ………………11分 因为 221

43

k t k =+，

所以 对于k S ?∈，线段BC 中点的纵坐标恒为

13，即线段BC 的中点总在直线13

y =上. ………………13分

方法二：

因为 点(0,1)A -在直线1y kx =-上，且,B C 关于直线1y kx =-对称， 所以 AB AC =，且0k ≠.

设1122(,),(,)B x y C x y （12y y ≠），BC 的中点为000(,)(0)x y x ≠.

则2222

1122(1)(1)x y x y ++=++. ………………6分

又,B C 在椭圆M 上，

所以 2222

112244,44x y x y =-=-.

所以 2222

112244(1)44(1)y y y y -++=-++. 化简，得 22

12123()2()y y y y -=-.

所以 1201

23

y y y +=

=. ………………9分 又因为 BC 的中点在直线1y kx =-上， 所以 001y kx =-. 所以 043x k

=

. 由2

21,41

3x y y ?+=????=??

可得42

3x =±. 所以 442033k <

<，或424033k -<<，即22k <-

，或2

2

k >. 所以 22

{|}22

S k k k =<-

>,或. ………………12分

所以 对于k S ?∈，线段BC 中点的纵坐标恒为

13，即线段BC 的中点总在直线13

y =上. ………………13分 （20）（共14分） 解：（Ⅰ）2211

'()(0)a ax f x x x x x

-=

-=>. ………………1分 当0a <时，'()0f x <，则函数()f x 的单调递减区间是(0,)+∞. ………………2分 当0a >时，令'()0f x =，得1

x a

=.

当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下：

x

1(0,)a 1a 1

(,)a

+∞ '()f x -

+

()f x

↘

极小值

↗

所以 ()f x 的单调递减区间是1(0,)a ，单调递增区间是1(,)a

+∞. ………………4分

（Ⅱ）因为 存在两条直线1y ax b =+，212()y ax b b b =+≠都是曲线()y f x =的切线，

所以 '()f x a =至少有两个不等的正实根. ………………5分 令

2

1

ax a x

-=得210ax ax -+=，记其两个实根分别为12,x x . 则 21240,10.

a a x x a ??=->??=>??

解得4a >. ………………7分 当4a >时，曲线()y f x =在点1122(,()),(,())x f x x f x 处的切线分别为11()y ax f x ax =+-，

22()y ax f x ax =+-.

令()()(0)F x f x ax x =->.

由'()'()0F x f x a =-=得12,x x x x ==（不妨设12x x <），且当12x x x <<时，'()0F x >，即()F x 在12[,]x x 上是单调函数. 所以 12()()F x F x ≠.

所以 11()y ax f x ax =+-，22()y ax f x ax =+-是曲线()y f x =的两条不同的切线.

所以 实数a 的取值范围为(4,)+∞. ………………9分 （Ⅲ）当0a <时，函数()f x 是(0,)+∞内的减函数.

因为 1111111(e

)ln(e )1e 10e

e

a

a

a

a

a

f a --

--=+

=-+

=-<，

而1e

(0,1)a

-

?，不符合题意. ………………11分

当0a >时，由（Ⅰ）知：()f x 的最小值是()1()ln 1ln f a a a a a a

=-+=?-. （ⅰ）若1()0f a >，即0e a <<时，{|()0}(0,1)x f x ≤=??，

所以，0e a <<符合题意.

（ⅱ）若1()0f a

=，即e a =时，1{|()0}{}(0,1)e

x f x ≤=?.

所以，e a =符合题意.

（ⅲ）若1()0f a <，即e a >时，有1

01a

<

<. 因为 (1)10f =>，函数()f x 在1(,)a

+∞内是增函数， 所以 当1x ≥时，()0f x >.

又因为 函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 所以 {}

()0(0,1)x f x ≤?. 所以 e a >符合题意.

综上所述，实数a 的取值范围为{|0}a a >. ……………… 14分