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第4章 振动学基础作业

第4章 振动学基础

思 考 题

4.1 什么是简谐振动?试分析以下几种运动是否是简谐振动? (1) 拍皮球时球的运动;

(2) 一小球在半径很大的光滑凹球面底部的小幅度摆动;

(3)一质点分别作匀速圆周运动和匀加速圆周运动,它在直径上的投影点的运动。

答:物体运动时,如果离开平衡位置的位移(或者角位移)按余弦函数(或正弦函数)的规律随时间变化,这种运动就叫简谐运动。

也可从动力学角度来说明:凡是物体所受合外力(或合外力矩)与位移(或角位移)成正比而方向相反,则物体作简谐振动。

(1)不是简谐振动。从受力角度看,它受到地面的作用力,虽然是弹性力,但这外力只是作用一瞬间,而后就只在重力作用下运动。从运动规律来看,虽然是作往复运动,但位移时间关系并不是余弦(正弦)函数,而是作匀变速运动。

(2)是简谐振动。当小球在半径很大的光滑凹球面底部的小幅度摆动,若其角位移0

5θ<,

sin θθ ,则其运动方程满足微分方程22d 0d g t R θθ??

+= ???

,所以是简谐振动。

(3)作匀速圆周运动的质点在某一直径(取作x 轴)上投影点对圆心o 的位移随时间t 变化规律遵从余弦函数,若设圆周半径为A ,角速度为ω,以圆心为坐标原点,质点的矢径经过与x 轴夹角为φ的位置开始计时,则在任意时刻t ,此矢径与x 轴的夹角为()t ωφ+,而质点在x 轴上的投影的坐标为()cos x A t ωφ=+,这正与简谐振动的运动方程相同。可见,作匀速圆周运动的质点在直径上的投影点的运动是简谐振动。

质点作匀加速圆周运动,在直径上的投影x 不是等周期性变化的,而是随着时间变化的越来越快,所以其投影点的运动不是谐振的。

4.2 分析下列表述是否正确,为什么?

(1)若物体受到一个总是指向平衡位置的合力,则物体必然作振动,但不一定是简谐振动; (2)简谐振动过程是能量守恒的过程,凡是能量守恒的过程就是简谐振动。

答:(1)的表述是正确的。若物体受到一个总是指向平衡位置的合力,则物体必然在自己的平衡位置附近作往复运动即作振动;若系统在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用.或者说,

若一个系统的运动微分方程能用22dt

d ξ+ω2

ξ=0描述时,其所作的运动才是谐振动.

(2)的表述不正确,比如自由落体运动中能量守恒,但不是简谐振动。 4.3 如果把一弹簧振子和一个单摆拿到月球上去,振动的周期如何改变?

答:在月球上,弹簧振子的振动周期不变,仍为2T =

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,但单摆的周期要改变,即2T =地

2T ===月地

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地 4.4 简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的?在什么情况下是异号的?加速度为正值时,振动质点的速率是否一定在增加?反之,加速度为负值时,速率是否一定在减小? 答: 简谐振动的速度:)(φωω+-=t A sin v ;

加速度:)(φωω+-=t A a 2cos ;

要使它们同号,必须使质点的振动相位在第一象限。其他象限的相位两者就是异号的。 加速度为正值时,振动质点的速率不一定在增加,反之,加速度为负值时,速率也不一定在减小。

只有当速度和加速度是同号时,加速度才能使速率增加;反之,两者异号时,加速度使速率减小。

4.5. 两质点作同方向、同频率的简谐振动,振幅相等。当质点1在 2/1A x =处,且向左运动时,另一个质点2在 2/2A x -= 处,且向右运动。这两个质点的位相差为多少?质点从1x 运动到

2x 处所需要的最短时间为多少?

答:质点从1x 运动到2x 处所需要的最短相位变化为π,所以运动的时间为:2

T t ==

ωπ?。 4.6 什么是振动的相位?一个弹簧振子由正向最大位移开始运动,这时它的相位是多少?经过中点,到达负向最大位移,再回到中点向正向运动,上述各处相应的相位各是多少?

答:相位是反映质点振动状态的物理量,其值为()t ωφ+,一个弹簧振子正向最大位移开始运动时的相位为零;经过中点时的相位为

π

2

;达到负向最大位移时的相位为π;再回到中点向正向运动时的相位为

3π2(或π2

-)。

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4.7 一个简谐振动的振动曲线如图所示。此振动的周期为( ) (A)12s ; (B)10s ; (C)14s ; (D)11s 。 答:(A )。

图4.1 思考题4.7图

4.8 一个质点作简谐振动,振幅为A ,在起始时刻质点的位移为 A /2,且向x 轴的正方向运动;代表此简谐振动的雄转矢量图为( )

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答:(B )。

4.9 一质点作简谐振动,其运动速度与时间的曲线如图所示,若质点的振动规律用余弦函数描述,则其初位相应为( )

(A) π/6; (B )5π/6; (C )-5π/6; (D )-π/6; 答:(C )。

4.10把单摆从平衡位置拉开,使摆线与竖直方向成一微小角度θ,然后由静止放手任其振从放手时开始计时,若用余弦函数表示其运动方程,则该单摆振动的初位相为( )

(A) θ; (B) π; (C )0; (D π/2。 答:(C )。

4.11如图所示,质量为m 的物体由倔强系数为k 1和k 2的两个轻弹簧连接,在光滑导轨上作微小振动,则系统的振动频率为()

(A

)2π

=νB

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)=ν (C

)=

ν(D )

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=ν答:(B )。

4.12一倔强系数为k 的轻弹簧截成三等分,取出其中的两根,将它们并联在一起,下面挂一质量为m 的物体,如图所示。则振动系统的频率为( )

(A)

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(C)

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答:(B )。

(A )

(B

)

(C )

(D

)

x

x

x

图4.2 思考题4.8图

图4.3 思考题4.9图

v (m/s)

m

k 1

k 2

图4.4 思考题4-11图

k

m

图4.5思考题4-12图

4.13一弹簧振子作简谐振动,总能量为E 1,如果简谐振动振幅增加为原来的两倍,重物的质量增为原来的四倍,则它的总能量E 1变为( )

(A) E 1/4; (B) E 1/2; (C)2E 1; (D) 4 E 1。 答:(D )。

4.14. 用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动。 方法1:使其从平衡位置压缩l ?,由静止开始释放。 方法2:使其从平衡位置压缩2l ?,由静止开始释放。

若两次振动的周期和总能量分别用21T T 、和21E E 、表示,则它们满足下面那个关系? (A) 2121E E T T == (B) 2121E E T T ≠=

(C) 2121E E T T =≠ (D) 2121E E T T ≠≠

答:(B )。

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4.15图中所画的是两个简谐振动的振动曲线.若这两个简谐振动可叠加,则合成的余弦振动的初相为

(A) π2

3. (B) π.

(C) π2

1. (D) 0.

答:(B )。

习 题

4.1质量为3

1010-?kg 的小球与轻弹簧组成的系统,按 )28cos(10ππ+=t x .(SI)的规律作振动。求:

(1) 振动的角频率、周期、振幅、初相、最大速度及最大加速度; (2) t =1s ,2s ,5s ,10s 等各时刻的相位;

(3) 分别画出该振动的x-t 图线、v -t 图线和a-t 图线。 解:(1)20.1cos 8ππ3x t ?

?=+

???

与振动方程的标准形式()cos x A t ωφ=+相比可知:

角频率 -18π rad s ω=

;初周相 2

π3

φ=;振幅 0.1m A =. 可求得 2π

0.25s

T ω

=

= 最大速度 -1

max 8π0.1=2.5m s A ω==? v

图4.6 思考题4.15图

A/

x,v ,a

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最大加速度22-2max 64π0.163.2m s a A ω==?=

(2)相位为()t ωφ+

将1,2,5,10s t =代入,则相位分别为

2222

8π,16π,40π,80π3333

。 (3)该振动的x t -图,v t -图和a t -图如图所示。

4.2有一轻弹簧,当下端挂一个质量m l =l0g 的物体而平衡时,伸长量为4.9cm ,用这个弹簧和质量m 2=16g.的物体连成一弹簧振子。若取平衡位置为原点,向上为x 轴的正方向,将m 2从平衡位置向下拉2cm 后,给予向上的初速度v 0=5cm/s 并开始计时,试求m 2的振动周期和振动的数值表达式。

解:设弹簧的原长为l ,悬挂m 1后伸长l ?,则

1k l m g ?= , 12N m k m g l =?=

取下m 1挂上m 2后,

1.2rad ω==

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2π0.56s T ω==

0t =时 2

0210c o s

x A φ-=-?= 20510sin A ωφ-=?=-v

解得

22.0510m A -=?

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()100012.6tg φω-=-=v x 或

0018012.6φ=+

应取

0192.6 3.36rad φ==

也可写成 2.92rad φ=-

振动的表达式为 ()2

2.0510cos 1.2 2.92x t -=?-

4.3一质点作简谐振动,其振动方程为)2cos(240ππ+=t x .(SI), 试用旋转矢量法求出质点由初始状态(t =0的状态)运动到x =-0.12m, v <0的状态所需最短时间?t 。

解:旋转矢量如图所示。由振动方程可得 1

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π2ω= , 1π3

φ?= 0.667s t φ

?=?=

4.4一个轻弹簧在60N 的拉力作用下可伸长30cm ,现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放

x (m)

习题4-3解图

一小物体,它们的总质量为4kg ,待其静止后再把物体向下拉10cm ,然后释放。问:

(1)此小物体是停在振动物体上面还是离开它?

(2) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离,则振幅A 需满足何条件?两者在何位置开始分离?

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解:(1)小物体受力如图所示。 设小物体随振动物体的加速度为a , 按牛顿第二定律有(取向下为正)

mg N ma -=

()N m g a =-

当0N =,即时a g =,小物体开始脱离振动物体,已知

10cm A =

-1s ω=

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系统的最大加速度为2-2max 5m s a A ω==?,此值小于g ,故小物体不会离开。

(2) 如使max a g >,小物体能脱离振动物体,开始分离的位置由0N =求得

2max g a x ω==- 219.6cm x g ω=-=-

即在平衡位置上方19.6cm 处开始分离,由2max a A g ω=>, 可得 219.6cm A g

>=

4.5. 证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为:m

k k k k )(21

212

1+=

π

ν

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证明:两根弹簧的串联之后等效于一根弹簧,所以仍为简谐振动(证明略),其劲度系数满足:

Kx x K x K ==2211和x x x =+21

可得:

211

11K K K +

= 所以:2

121K K K K K += 代入频率计算式,可得:m

k k k k m k )(2121

212

1+==

π

πν

4.6一物体放置在平板上,此板沿水平方向作谐振动。已知振动频率为2Hz ,物体与板面最大静摩擦系数为0.5。问:要使物体在板上不发生滑动,最大振幅是多少?

图4.7 习题4.5图

习题4-5解图

解:因为2max a A ω=,所以,物体随板一起振动所需力为

222max max 4πF ma m A mA ων===

此力由板对物的静摩擦力提供,此力的最大值为

s f N mg μμ==

物体在板上不发生滑动的条件是s f F ≥,即

224πmg mA μν≥

2max 2222

0.59.8

3.110m 4π4π2

g A μν-?≤

==?? 4.7. 有一单摆,摆长m 0.1=l ,小球质量g 10=m .0=t 时,小球正好经过rad 06.0-=θ处,并以角速度rad/s 20.=Ω向平衡位置运动。设小球的运动可看作筒谐振动,试求:(1)角频率、频率、周期;(2)用余弦函数形式写出小球的振动式。

解:振动方程:(t+)cos m θθω?=我们只要按照题意找到对应的各项就行了。 (1)角频率:10==

l

g

ω,频率:π

πν210

21==

l g , 周期:10

22π

π

=

=g l T (2)根据初始条件:cos m

θ

?θ=

012034(,sin {(,m θ?θω>=-< 象限)象限)

可解得:0088232..m

θ?==-,

所以得到振动方程:)(32.213.2cos 088.0-=t θ

4.8在直立的U 形管中装有质量为m=240g 的水银(密度为ρ=13.6g/cm 3),管的截面积为S = 0. 30cm 2,经初始扰动后,水银在管内作微小振动,不计各种阻力,试列出振动微分方程,并求出振动周期。

解:设U 形管左臂水银下降x ,则右臂水银面比左臂高出2x ,两臂水银压力差为2xS g ρ。由力学的分析可得

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22d 2d x xS g m t

ρ-= 即 ()22d 20d x

S g m x t ρ+=

令2

02S g m ωρ=,则

2

2

02d 0d x x t

ω+=。这是简谐振动的微分方程。

02π2 1.09s T ω===

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4.9一定滑轮的半径为R ,转动惯量为J ,其上挂一轻绳,绳的一端系一质量为m 的物体,另一端与一固定的轻弹簧相连,如图所示,设弹簧的倔强系数为k ,绳与滑轮间无滑动,且忽略轴的摩擦力及空气阻力,现将物体m 从平衡位置拉下一微小距离后放手,证明物体作简谐振动,并求出其角频率。

解:如图4.9所示,取x 坐标,平衡位置为原点O ,向下为正,m 在平衡位置时弹簧已伸长,则0x

0kx mg =

设m 在位置x 时,有)(02x x k T +=(因为弹簧伸长为0x x +)。 由牛顿第二定律和转动定律列方程得

β

J R T R T ma T mg =-=-211

联立解得 m

R J kx

a +-=

)/(2

由于系数x 为一负常数,故物体做简谐振动,其角频率为

2

2

2)/(mR J kR m

R J k

+=

+=ω

4.10边长l = 0.l0m ,密度ρ=900kg ·m -3的正方形木块浮在水面上。今把木块恰好完全压人水中,然后从静止状态放手。假如不计水对木块的阻力,并设木块运动时不转动。

(l )木块将作什么运动

(2) 求木块质心(重心)运动规律的数值表达式。(水的密度ρ’=1000kg ?m -3并取竖直向上方向为x 轴的正方向)

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解:(1)如图(a )所示,选平衡时木块的重心C 所在处为原点,向上为x 轴正方向,此时木块本身的重力等于水对木块的浮力。 当木块上移x 时,如图 (b ) 所示,则木块所受的浮力减少Sx g ρ',重力不变,故合力为

S gx ρ'-

根据牛顿第二定律,有

22220(/)d x d x

S gx m S g m x dt dt

ρρ''-=?+=

将代入上式得l S m ρ=

m

图4.8 习题4.9图

0)/(22='+x l g dt

x

d ρρ 令。,x dt

x d ,l g 所以木块做简谐振动

得0/2

02220

=+'=ωρρω (2)设木块平衡时露出水面的高度为a ,浸入水中的深度为a l b -=

此时木块本身的重力等于水对木块的浮力,即则有为木块的截面积),(2

l ,S S g Sb g Sl ='=ρρ

m

b l a m

l b b l 01.009.0/=-=='=?'=ρρρρ

今把木块恰好完全压人水中,然后从静止状态放手,即

0000010.,v ,t x a m ==-=-=时则

π?==,m A 01.0

s rad b g g g /4.10//2

/10=='=)(ρρω

所以 )4.10cos(

01.0π+=t x (SI 制) 4.11在竖直面内半径为R 的一段光滑圆弧形轨道上,放一小物体,使其静止于轨道的最低处,然后轻碰一下此物体,使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动。试证:

(1)此物体作简谐振动;

(2)

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此简谐振动的周期2T =解:(1)当小物体偏离圆弧轨道最低点θ角时,其受力如图所示。切向分力为

sin t F mg θ=- (1)

因θ角很小,所以sin θθ≈

牛顿第二定律给出 t t F ma = (2)

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即 22d d mg mR t

θ

θ-=

222d d t g R θθωθ=-=- (3)

将式(3)和简谐振动微分方程比较可知,物体作简谐振动,其振动方程为

()cos m t θθωφ=+ (4)

(2)由式(3),式(4)知

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ω=所以周期

第4章 振动学基础作业

2T ω==4.12一质点作简谐振动,其振动方程为)43cos(10062ππ-?=-t x . (SI) (1) 位移为振幅的一半时,其动能和势能各占总能量的多少? (2) 当x 值为多大时,系统的势能为总能量的一半?

o

习题4-11解图

(3) 质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少? 解:(1)

(2)势能 2

12

p E kx = 总能量 212

E kA =

由题意

2

212

kx k A =, 24.2410m x -=±? (3)周期2π6s T ω==

从平衡位置运动到x =±t ?为T ,0.75s t ∴?==

第4章 振动学基础作业

4.13已知两个在同一直线上的简谐振动的振动方程分别为)53cos(100501π+=t x .(SI),

)5cos(100602π+=t x .(SI)。求

(1)它们合成振动的振幅和初相;

(2)另有一同方向的简谐振动)cos(100703?+=t x . (SI) 。问?为何值时,31x x +的振幅为最大??为何值时,31x x +的振幅为最小?(3) 用旋转矢量图示法表示(1)、(2)的结果。

解:(1)

0.0892m A =

第4章 振动学基础作业

1122

1122

sin sin tg 2.50cos cos A A A A φφφφφ+=

=+

1.19rad φ=

第4章 振动学基础作业

(2)当12πK φφ-=±时,1x 与3x 的合成 振幅最大为0.12m 。

3

2π+π5

K φ∴=±

当()221πK φφ-=±+时,与的合成振幅最小为

0.01m 。

()1

21π+π5

K φ∴=±+

(3)用旋转矢量图表示(1),(2)两小题结果如图所示。

4.14. 两个同方向,同频率的简谐振动,其合振动的振幅为cm 20,与第一个振动的位相差为

6π。若第一个振动的振幅为cm 310。则(1)第二个振动的振幅为多少?(2)两简谐振动的位

相差为多少?

解:由题意可做出旋转矢量图如下. 由图知 ?-+=30cos 212

2

12

2A A A A A

x

习题4-13解图

0102320173022.0173.022./..=???-+=(m )

所以 m 10A 2.=

设角0AA 1为θ,则θcos 212

2212A A 2A A A -+=

即 01

017302020101730A A 2A A A 2

222122

221=??-+=-+=..).().().(cos θ

即2/πθ=,这说明1A 与2A 间夹角为2/π,即二振动的位相差为2/π

4.1

5. 摆在空中作阻尼振动,某时刻振幅为cm 30=A ,经过s 101=t 后,振幅变为cm 11=A 。问:由振幅为0A 时起,经多长时间其振幅减为cm 3.02=A ?

解:根据阻尼振动的特征,)cos(00?ωβ+=-t e A x t 振幅为 t e A A β-=0

若已知cm 30=A ,经过s 101=t 后,振幅变为cm 11=A ,可得:β1031-=e 那么当振幅减为cm 3.02=A t e β-=33.0 可求得t=21s 。

4.16. 某弹簧振子在真空中自由振动的周期为0T ,现将该弹簧振子浸入水中,由于水的阻尼作用,经过每个周期振幅降为原来的90%,求: (1)求振子在水中的振动周期T

(2)如果开始时振幅100=A 厘米,阻尼振动从开始到振子静止求振子经过的路程为多少? 解:(1) 有阻尼时 2

2

02βωπ

T -=

02ωπ

T =

t βe A A -=0 T βe A A -=009.0 T

β9

.0ln -= 220

)9.0(l n 42+=

ππ

T T (2)略

4.17. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动:

(1)?????????? ??-=??? ??+=68cos 468cos 4ππππt y t x (2)?????????? ??-=??? ??+=658cos 468cos 4ππππt y t x (3)???

?????

?? ??+=??? ??+=328cos 468cos 4ππππt y t x

试判别质点运动的轨迹。

解:质点参与的运动是频率相同,振幅相同的垂直运动的叠加。

)(sin )cos(122

1222222A

xy 2A y A x ????-=--+ (1)3

12π

???=-=?

则方程化为: 1222=-+xy y x ,轨迹为一般的椭圆。

(2)π???

=-=?12

则方程化为:0A y A x 221=+)(

x A A

y 1

2-= 轨迹为一直线。 (3)2

12π

???=

-=?

则方程化为:

12

2

22

1

2=+

A y A x 轨迹为一右旋椭圆。

4.18. 在示波器的水平和垂直输入端分别加上余弦式交变电压,荧光屏上出现如图所示的李萨如图形。已知水平方向振动频率为z 4H 107.2?,求垂直方向的振动频率。

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解:通过和书上的李萨如图形想比较,可发现它满足两方向的振动频率比3:2。由水平方向振动频率为z 4

H 107.2?,可得垂直方向的振动频率为z 4H 108.1?。

图4.9 习题4.18图