等价转化思想方法

等价转化思想方法

等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方

法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单

的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。

转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保

证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的

突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。

著名的数学家，莫斯科大学教授 C.A. 雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。

等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数

学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；

它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的

翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不

变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。

在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，

即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式,等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求

解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。

Ⅰ、再现性题组：

1. f(x) 是 R 上的奇函数， f(x ＋ 2) ＝ f(x)，当 0≤x≤ 1 时，f(x)＝ x，则 f(7.5) 等于 _____。

A. 0.5

B.－ 0.5

C. 1.5

D.－ 1.5

2. 设 f(x)＝ 3x－ 2，则 f 1 [f(x)]等于 ______ 。

x 8

B. 9x－8

C. x

D.1

A.

2

93x

3.若m、n、p、q∈ R且m2＋n2＝a，p2＋q2＝b，ab≠ 0，则mp＋nq的最大值是______。

a b

ab C.a 2b2ab

A. B.

2D.

2 a b

4.如果复数 z 满足 |z ＋ｉ | ＋|z －ｉ | ＝2，那么 |z ＋ｉ＋ 1| 的最小值为 ______。

A.1

B. 2

C.2

D.5

5. 设椭圆

y 2x2

＝ 1（ a>b>0）的半焦距为 c，直线 l 过(0,a)和 (b,0)，已知原点到＋

a 2b2

l 的距离等于2

21c，则椭圆的离心率为_____。

7

1

B.132

A.

2C. D.

432

6.已知三棱锥 S-ABC的三条侧棱两两垂直， SA＝ 5，SB＝ 4， SC＝ 3， D 为 AB 的中点， E 为 AC的中点，则四棱锥 S-BCED的体积为 _____。

A.152535

B. 10

C.

2

D.

2 2

【简解】 1 小题：由已知转化为周期为2, 所以 f(7.5)＝ f(-0.5)＝－ f(0.5) ，选 B；2小题：设 f(x) ＝ y，由互为反函数的值域与定义域的关系，选C；

3

m2p2n 2q2

小题：由 mp＋ nq≤

2

＋容易求解，选 A；

2

4小题：由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A；

5小题： ab＝2

21c × a 2b2，变形为12e4－ 31e 2＋7＝ 0，再解出 e，选 B；

7

6小题：由 S ADE＝1

S ABC 和三棱椎的等体积转化容易求，选A。4

Ⅱ、示范性题组：

例 1.若 x、 y、 z∈ R

111

且 x＋ y＋ z＝ 1，求 ( － 1)(－ 1)(－ 1) 的最小值。

x y z

【分析】由已知 x＋y＋ z＝ 1 而联想到，只有将所求式变形为含代数式x＋y＋ z，或者运用均值不等式后含xyz 的形式。所以，关键是将所求式进行合理的变形，即等价转化。

【解】 (1－ 1)(1－ 1)(1

－1)＝

1

x y z xyz

（ 1－ x）(1 － y)(1 － z)

11

＝(1 － x－ y－ z＋ xy ＋ yz ＋ zx －xyz) ＝(xy ＋ yz ＋ zx－ xyz) xyz xyz

111133

－1＝ 9＝＋＋－1≥33－ 1＝－ 1≥

x y x y z xyz3 xyz z

3

【注】对所求式进行等价变换：先通分，再整理分子，最后拆分。将问题转化为求

1

＋

x

1 1 ＋

的最小值，则不难由平均值不等式而进行解决。此题属于代数恒等变形题型，即代

y

z

数式在形变中保持值不变。

例 2. 设 x 、 y ∈ R 且 3x 2 ＋2y 2 ＝ 6x ，求 x 2 ＋y 2 的范围。

【分析】 设 k ＝x 2 ＋y 2 ，再代入消去 y ，转化为关于 x 的方程有实数解

时求参数 k 范围

的问题。其中要注意隐含条件，即

x 的范围。

【解】由 6x － 3x 2 ＝ 2y 2 ≥ 0 得 0≤ x ≤ 2。

设 k ＝ x 2 ＋ y 2 ，则 y 2 ＝ k － x 2 ，代入已知等式得： x 2 － 6x ＋ 2k ＝ 0 ，

即 k ＝－ 1

x 2 ＋ 3x ，其对称轴为 x ＝ 3。

2

由 0≤ x ≤ 2 得 k ∈ [0,4] 。

所以 x 2 ＋ y 2 的范围是： 0≤ x 2 ＋ y 2 ≤ 4。

【另解】 数形结合法（转化为解析几何问题）

：

2

由 3x 2 ＋ 2y 2 ＝ 6x 得 (x － 1) 2

＋

y

＝ 1，即表示如图所示椭圆， 其一个顶点在坐标原点。

3 2

x 2 ＋ y 2 的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是 0, 距离最大的

点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。

设圆方程为 x 2 ＋y 2 ＝ k ，代入椭圆中消 y 得 x 2 －

6x ＋ 2k ＝ 0。由判别式△＝ 36－ 8k ＝ 0 得 k ＝ 4, 所以 x 2 ＋ y 2 的范围是： 0≤ x 2 ＋ y 2

≤ 4。

【再解】 三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）

：

y 2 x 1 cos

由 3x 2 ＋ 2y 2 ＝ 6x 得 (x － 1) 2

＋ ＝ 1，设 6 ，则

3

y

2 sin

2

x 2 ＋ y 2 ＝ 1＋ 2cos α ＋ cos 2 α ＋ 3 s in 2 α ＝ 1＋ 3 ＋ 2cos α－ 1 cos 2 α

2 2

2

＝－ 1

cos 2

α ＋ 2cos α ＋ 5

∈[0,4]

2 2

所以 x 2 ＋ y 2 的范围是： 0≤ x 2 ＋ y 2 ≤ 4。

【注】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助

于提高发散思维能力。 此题还可以利用均值换元法进行解答。 各种方法的运用， 分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型。

例 3. 求值： ctg10 °－ 4cos10 °

【分析】分析所求值的式子，估计两条途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角 化为特殊角。

cos10° cos10°

4sin 10° cos10° 【解一】 ctg10 °－ 4cos10 °＝ sin 10° － 4cos10 °＝

sin10°

sin 80 ° 2sin 20°

sin 80° sin 20°

sin 20°

＝

＝

sin 10°

sin 10°

2 cos50° sin 30 °

sin 20°

sin 40° sin 20°

2 cos30° sin10°

＝

＝

sin 10 °

＝

＝

sin10 °

sin10°

3

（基本过程：切化弦→通分→化同名→拆项→差化积→化同名→差化积）

cos10°

－

cos10°

4sin 10° cos10° 【解二】 ctg10 °－ 4cos10 °＝

4cos10 °＝

sin10°

sin 10°

sin 80 °

2sin 20°

2·

1

sin 80° 2 sin 20 °

＝ ＝ 2

sin 10°

sin 10°

＝ 2 cos 60° sin 80°

2 sin 20°

sin140°

sin( 20° ) 2sin 20°

sin 10°

＝

sin 10°

＝

sin 140°

sin 20°

＝

2 cos80° sin 60°

3 sin 10°

sin10 °

＝

（基本过程：切化弦→通分→化同名→特值代入→积化和→差化积）

cos10°

cos10°

4sin 10° cos10° 【解三】 ctg10 °－ 4cos10 °＝

－ 4cos10 °＝

sin10°

sin 10°

＝

sin 80 ° 2sin 20°

＝ sin(60

20 ) 2sin 20°

sin 10°

sin10 °

3

1

2sin 20°

1

3 )

cos20

sin 20

3( cos20

sin 20 ＝ 2

2

＝

2

2

sin10°

sin 10°

＝

3 cos( 60 20 )＝

3

sin 10°

（基本过程：切化弦→通分→化同名→拆角

80°→和差角公式）

【注】无条件三角求值问题，是高考中常见题型，其变换过程是等价转化思想的体现。 此种题型属于三角变换型。 一般对， 对于三角恒等变换， 需要灵活运用的是同角三角函数的 关系式、 诱导公式、 和差角公式、 倍半角公式、 和积互化公式以及万能公式， 常用的手段是： 切割化弦、 拆角、将次与升次、 和积互化、 异名化同名、 异角化同角、 化特殊角等等。 对此， 我们要掌握变换的通法，活用

2 公式，攻克三角恒等变形的每一道难关。

例 4. 已知 f(x) ＝ tgx ， x ∈ (0,

π

) ，若 x 、 x 2∈ (0,

π

2

1

2

) 且 x 1 ≠ x 2 ，

求证：

1

) ＋ f(x

)]>f( x 1

x 2 )

（ 94 年全国高考）

[f(x

1 2

2

2

【分析】从问题着手进行思考，运用分析法，一步步探求问题成立的充分条件。 【证明】

1

[f(x

1

) ＋ f(x

2 )]>f(

x 1 x 2 )

1 [tgx 1 ＋ tgx 2

]>tg x 1 x 2

2

2

2

2

1 ( sin x 1 ＋

sin x

2 )> sin( x 1 x 2 ) 1 sin( x 1 x 2 ) > sin( x 1 x 2 ) 2 cosx 1 cos x 2 1 cos(x 1 x 2 )

2 cos x 1 cos x 2 1 cos(x 1 x 2 )

1 ＋ cos(x 1 ＋ x

2 )>2cosx 1 cosx 2 1 ＋ cosx 1 cosx 2 ＋ sinx 1 sinx 2 >2cosx 1 cosx 2

cosx 1 cosx 2 ＋ sinx 1 sinx 2 <1

cos(x 1 － x 2 )<1

cos(x 1 － x 2 )<1 成立，所以

1 1 ) ＋

由已知显然 [f(x

x 1 x 2

2

f(x 2 )]>f(

)

2

【注】 本题在用分析法证明数学问题的过程中，每一步实施的都是等价转化。此种题型属于分析证明型。

例 5. 如图，在三棱锥 S-ABC 中， S 在底面上的射影 N 位于底面的高 CD 上，M 是侧棱 SC 上的一点， 使截面 MAB 与底面所成角等于∠ NSC 。求证： SC 垂直于截面 MAB 。（ 83 年全国高考）

【分析】 由三垂线定理容易证明 SC ⊥ AB ，再在平面SDNC 中利用平面几何知识证明 SC ⊥ DM 。

D N C

B

S

A

M

【证明】由已知可得：

SN ⊥底面 ABC ， AB ⊥ CD ， CD 是斜线 SC 在底面 AB 的射影，

∴ AB ⊥ SC 。

∵ AB ⊥ SC 、 AB ⊥ CD

∴ AB ⊥平面 SDNC

∴ ∠ MDC 就是截面 MAB 与底面所成的二面角由已知得∠ MDC ＝∠ NSC 又∵ ∠ DCM ＝∠ SCN ∴ △ DCM ≌△ SCM

∴ ∠ DMC ＝∠ SNC ＝ Rt ∠

即 SC ⊥ DM

所以 SC ⊥截面 MAB 。

【注】立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面上的证明时运用平面几何知识。

Ⅲ、巩固性题组：

1. 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 成 90°的二面角，则 AC 与 BF 所成的角为 _____。

A. 45 °

B. 60 °

C. 30 °

D.90°

2. 函数 f(x)

＝ |lgx| ，若 0f(b)

，则下列各式中成立的是 _____。

A. ab

≤ 1 B. ab<1

C. ab>1

D. a>1

且 b>1

3. lim [

1 2 ,

n －

1

2 ,

( n 1) ]

(n ∈ N) 的值为 ______。

n →∞

A.

2 B. 2 C.0 D.1

2

4. (a ＋ b ＋c) 10 展开式的项数是 _____。

A. 11

B. 66

C. 132

D. 3

10

5. 已知长方体 ABCD-A ’B ’C ’D ’中， AA ’＝ AD ＝ 1， AB ＝ 3 ，则顶点 A 到截面 A ’BD 的距离是

_______。

6. 已知点 M(3cosx ，3sinx) 、N(4cosy ， 4siny) ，则 |MN| 的最大值为 _________ 。

7. 函数 y ＝

x ＋ 1 x 的值域是 ____________ 。

8. 不等式 log 8 （ x 3

＋ x ＋ 3） >log 2 (x ＋ 2) 的解是 ____________ 。

1

1

9．设 x>0， y>0，求证： (x 2 ＋ y 2 ) 2 >(x 3 ＋y 3 ) 3 (86 年上海高考 )

10. 当 x ∈[0,

π ] 时，求使 cos 2

x － mcosx ＋ 2m － 2>0 恒成立的实数 m 的取值范围。

2

11. 设△ ABC 的三内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、c ，若三边 a 、 b 、 c 顺次成等差数

列，求复数

z ＝ [cos(

π ＋

A ) ＋ｉ sin(

π＋

A )]

·[sin(

3π

－ C ) ＋ｉ cos(

3π

－C )]

的辐

2

2

2

2

2

2

角主值

argz

的最大值。

12. 已知抛物线

C ： y ＝ (t

2 ＋ t － 1)x

2 － 2(a ＋t)

2 x ＋ (t

2 ＋ 3at

＋ b) 对任何实数

t 都与 x 轴

交于

P(1,0)

点，又设抛物线

C 与

x 轴的另一交点为

Q(m,0) ，求

m 的取值范围