最新回归分析的基本知识点及习题
回归分析的基本知识点及习题
本周难点：
（1）求回归直线方程，会用所学的知识对实际问题进行回归分析.
（2）掌握回归分析的实际价值与基本思想.
（3）能运用自己所学的知识对具体案例进行检验与说明.
（4）残差变量的解释；
（5）偏差平方和分解的思想；
１．回归直线：
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。
求回归直线方程的一般步骤：
①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系→②求回归系数→
③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明.
2.回归分析：
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
建立回归模型的基本步骤是：
①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）.
③由经验确定回归方程的类型.
④按一定规则估计回归方程中的参数（最小二乘法）；
⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误，后模型是否合适等.
4.残差变量的主要来源：
（1）用线性回归模型近似真实模型（真实模型是客观存在的，通常我们并不知道真实模型到底是什么）所引起的误差。可能存在非线性的函数能够更好地描述与之间的关系，但是现在却用线性函数来表述这种关系，结果就会产生误差。
这种由于模型近似所引起的误差包含在中。
（2）忽略了某些因素的影响。影响变量的因素不只变量一个，可能还包含其他许多因素（例如在描述身高和体重关系的模型中，体重不仅受身高的影响，还会受遗传基因、饮食习惯、生长环境等其他因素的影响），但通常它们每一个因素的影响可能都是比较小的，它们的影响都体现在中。
（3）观测误差。由于测量工具等原因，得到的的观测值一般是有误差的（比如一个人的体重是确定的数，不同的秤
可能会得到不同的观测值，它们与真实值之间存在误差），这样的误差也包含在中。
上面三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。
二、例题选讲
1为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计部门随机调查了10个家庭，得数据如下：
（1）判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关？
（2）若二者线性相关，求回归直线方程.
解（1）作出散点图：
观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近，所以二者呈线性相关关系.
（2）=
(0.8+1.1+1.3+1.5+1.5+1.8+2.0+2.2+2.4+2.8)=1.74, =
（0.7+1.0+1.2+1.0+1.3+1.5+1.3+1.7+2.0+2.5）=1.42，
=≈0.813 6，=1.42-1.74×0.813 6≈0.004 3，
∴回归方程=0.813 6x +0.004 3. 2下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨）与相应的生产能耗y （吨）标准煤的几组对照数据.
（1（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程=x +； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ 解 （1）散点图如下图
:
（2）=
=4.5,==3.5
=3×2.5+4×3+4×5+6×4.5=66.5.
=32+42+52+62
=86
∴==
=0.7
=-=3.5-0.7×4.5=0.35. ∴所求的线性回归方程为=0.7x +0.35. （3）现在生产100吨甲产品用煤 y =0.7×100+0.35=70.35，
∴降低
90-70.35=19.65(吨)标准煤.
x 10
1
y 10
1
b
?∑∑==-?-n
i i
n
i i i x n x
y
x n y x 1
2
2
1
a
?y
?y
?b ?a ?x 46543+++y 4
5
.4435.2+++∑=4
1
i i
i y
x ∑=4
1
2
i i
x
b
?2
4
1
2
4
1
44x x
y
x y
x i i
i i
i -?-∑∑==2
5.44865.45.345.66?-??-a
?y b ?x y
?
3科研人员为了全面掌握棉花新品种的生产情况，查看了气象局对该地区年降雨量与年平均气温的统计数据（单位分别是mm,℃)，并作了统计.
（1）试画出散点图；
（
2）判断两个变量是否具有相关关系. 解 （1）作出散点图如图所示，
(2)由散点图可知，各点并不在一条直线附近，所以两个变量是非线性相关关系.
4在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：
由资料看y 与x 呈线性相关，试求回归方程. 解 =30,=
=93.6.
=≈0.880 9.=-=93.6-0.880 9×30=67.173. ∴回归方程为=0.880 9x +67.173. 5.某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：
（1）求出线性回归方程；
（2）指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少？ （3）假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？ 解 （1）n =6，
=21，
=426，=3.5,=71,
=79，
=1 481，
x y 5
.1283.1120.850.767.66++++b
?2
5
1
2
5
1
55x x
y
x y
x i i
i i
i -?-∑∑==a
?y b ?x y
?∑=6
1
i i
x
∑=6
1
i i
y
x y ∑
=6
1
2
i i x ∑=6
1
i i
i y
x
==
=-1.82.
=-=71+1.82×3.5=77.37. 回归方程为=+x =77.37-1.82x . （2）因为单位成本平均变动=-1.82＜0,且产量x 的计量单位是千件,所以根据回归系数b 的意义有: 产量每增加一个单位即1 000件时,单位成本平均减少1.82元. (3)当产量为6 000件时,即x =6,代入回归方程:
=77.37-1.82×6=66.45（元） 当产量为6 000件时，单位成本为66.45元.
1.观察下列散点图，则①正相关；②负相关；③不相关.它们的排列顺序与图形对应顺序是 .
答案 a ,c ,b
2.回归方程=1.5x -15,则下列说法正确的有 个. ①=1.5-15②15是回归系数a ③1.5是回归系数a ④x =10时，y =0
答案 1
3.（2009.湛江模拟）某地区调查了2～9岁儿童的身高，由此建立的身高y (cm)与年龄x (岁)的回归模型为=8.25x +60.13,下列叙述正确的是 .
①该地区一个10岁儿童的身高为142.63 cm ②该地区2～9岁的儿童每年身高约增加8.25 cm
③该地区9岁儿童的平均身高是134.38 cm
④利用这个模型可以准确地预算该地区每个2～9岁儿童的身高 答案 ②
4.某人对一地区人均工资x (千元）与该地区人均消费y (千元）进行统计调查，y 与x 有相关关系，得到回归直线方程=0.66x +1.562.若该地区的人均消费水平为7.675千元，估计该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为 . 答案 83%
5.某化工厂为预测产品的回收率y ,需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系,现取8对观测值,计算,得
=52,
=228,
=478,
=1 849,则其线性回归方程为 .
答案 =11.47+2.62x 6.有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；
b
?2
6
1
26
1
66x x
y
x y
x i i
i i
i -?-∑∑==2
5.3679715.364811?-??-a
?y b ?x y
?a ?b ?b
?y
?y
?y x y
?y
?∑=8
1
i i
x
∑=8
1
i i
y
∑
=8
1
2
i i x ∑=8
1
i i
i y
x y
?
④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系.其中，具有相关关系的是 .
答案 ①③④
7.已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y (万元），有如下统计资料：
若y 对x 呈线性相关关系，则回归直线方程=x +表示的直线一定过定点 . 答案 （4，5） 二、解答题
8.期中考试结束后，记录了5名同学的数学和物理成绩，如下表：
（1）数学成绩和物理成绩具有相关关系吗？
（2）请你画出两科成绩的散点图，结合散点图，认识（1）的结论的特点
. 解 （1）数学成绩和物理成绩具有相关关系.
（2）以x 轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，可得相应的散点图如下：
由散点图可以看出，物理成绩和数学成绩对应的点不分散，大致分布在一条直线附近. 9.
（1）画出数据对应的散点图；
（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线. 解 （1）数据对应的散点图如图所示：
（2）=109,=23.2,
=60 975,
=12 952,=≈0.196 2
=-≈1.814 2 ∴=0.196 2x +1.814 2. 10.某公司利润y 与销售总额x (单位：千万元）之间有如下对应数据：
y ?b ?a ?x y ∑=5
1
2i i
x
∑=5
1
i i i
y x
b
?2
5
1
25
1
55x x
y
x y
x i i
i i
i -?-∑∑==a
?y b ?x y
?
（1）画出散点图；（2）求回归直线方程； （3）估计销售总额为24千万元时的利润. 解 （1）散点图如图所示：
（2)=
(10+15+17+20+25+28+32)=21, =(1+1.3+1.8+2+2.6+2.7+3.3)=2.1,
=102+152+172+202+252+282+322
=3 447,
=10×1+15×1.3+17×1.8+20×2+25×2.6+28×2.7+32×3.3=346.3,
==
≈0.104,
=-=2.1-0.104×21=-0.084, ∴=0.104
x -0.084. (3)把x =24(千万元）代入方程得，
=2.412（千万元）. ∴估计销售总额为24千万元时，利润为2.412千万元.
11某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：百万元）之间有如下对应数据:
（1）画出散点图； （2）求回归直线方程；
（3）试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？ 解 （1）根据表中所列数据可得散点图如下：
x 7
1
y 7
1
∑=7
1
2i i
x
∑=7
1
i i i
y x
b
?2
7
1
27
1
77x x
y
x y
x i i
i i
i -?-∑∑==2
21744731.22173.346?-??-a
?y b ?x y
?y
?