小学六年级奥数系列讲座：构造与论证(含答案解析)汇总

构造与论证1

内容概述

各种探讨给定要求能否实现，设计最佳安排和选择方案的组合问题．这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．

典型问题

2.有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：

(1某2堆石子全部取光?

(23堆中的所有石子都被取走?

【分析与解】 (1可以，如(1989，989，89 (1900，900，0(950，900，950

(50，0，50(25，25，50(O，0，25．

(2因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．

现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．

4.在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?

【分析与解】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高．

当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10+2+2-2=12(分．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分，其中专业选手之

间的三场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=11，推知，必有人得分不超过11分.

也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高.

6.如图35-1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求M的最小值并完成你的填图.

【分析与解】要使M最小，就要尽量平均的填写，因为如果有的连续5个圆圈内的数特别小，有的特别大，那么M就只能大于等于特别大的数，不能达到尽量小的目的．

因为每个圆圈内的数都用了5次，所以10次的和为5×(1+2+3+…+10=275．

每次和都小于等于朋，所以IOM大于等于275，整数M大于28．

下面来验证M=28时是否成立，注意到圆圈内全部数的总和是55，所以肯定是一边五个的和是28，一边是27．因为数字都不一样，所以和28肯定是相间排列，和27也是相问排列，也就是说数组每隔4个差值为l，这样从1填起，容易排出适当的填图.

8.1998名运动员的号码依次为1至1998的自然数．现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积．那么，选为仪仗队的运动员最少有多少人?

【分析与解】我们很自然的想到把用得比较多的乘数去掉，因为它们参与的乘式比较多，把它们去掉有助于使剩下的构不成乘式，比较小的数肯定是用得最多的，因为它们的倍数最多，所以考虑先把它们去掉，但关键是除到何处?

考虑到44的平方为1936，所以去到44就够了，因为如果剩下的构成了乘式，那么乘式中最小的数一定小于等于44，所以可以保证剩下的构不成乘式．因为对结果没有影响，所以可以将1保留，于是去掉2，3，4，…，44这43个数．

但是，是不是去掉43个数为最小的方法呢?构造2×97，3×96，4×95，…，44×45，发现这43组数全不相同而且结果都比1998小，所以要去掉这些乘式就至少要去掉43个数，所以43位最小值，即为所求.

10.在10×19方格表的每个方格内，写上0或1，然后算出每行及每列的各数之和．问最多能得到多少个不同的和数?

【分析与解】首先每列的和最少为0，最多是10，每行的和最少是0，最多是19，所以不同的和最多也就是0，1，2，3，4，…，18，19这20个．

下面我们说明如果0出现，那么必然有另外一个数字不能出现．

如果0出现在行的和中，说明有1行全是0，意味着列的和中至多出现0到9，加上行的和至多出现10个数字，所以少了一种可能．

如果0出现在列的和中，说明在行的和中19不可能出现，所以0出现就意味着另一个数字不能出现，所以至多是19，下面给出一种排出方法.

12．在1000×1000的方格表中任意选取n个方格染为红色，都存在3个红色方格，它们的中心构成一个直角三角形的顶点．求n的最小值．

【分析与解】首先确定1998不行．反例如下：

其次1999可能是可以的，因为首先从行看，1999个红点分布在1000行中，肯定有一些行含有2个或者以上的红点，因为含有0或1个红点的行最多999个，所以其他行含有红点肯定大于等于1999-999=1000，如果是大于1000，那么根据抽屉原理，肯定有两个这样红点在一列，那么就会出现红色三角形；

如果是等于1000而没有这样的2个红点在一列，说明有999行只含有1个红点，而剩下的一行全是红点，那也肯定已经出现直角三角形了，所以n的最小值为1999．

14．在图35-2中有16个黑点，它们排成了一个4×4的方阵．用线段连接其中4点，就可以画出各种不同的正方形．现在要去掉某些点，使得其中任意4点都不能连成正方形，那么最少要去掉多少个点?

【分析与解】至少要除去6个点，如下所示为几种方法：

构造与论证2

内容概述

组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．

典型问题

2．甲、乙、丙三个班人数相同，在班级之间举行象棋比赛．各班同学都按l，2，3，4，…依次编号．当两个班比赛时，具有相同编号的同学在同一台对垒．在甲、乙两班比赛时，有15台是男、女生对垒；在乙、丙班比赛时，有9台是男、女生对垒．试说明在甲、丙班比赛时，男、女生对垒的台数不会超过24．并指出在什么情况下，正好是24 ？

【分析与解】不妨设甲、乙比赛时，1～15号是男女对垒，乙、丙比赛时．在1～15号中有a 台男女对垒，15号之后有9-a台男女对垒(0≤a≤9

甲、丙比赛时，前15号，男女对垒的台数是15-a(如果1号乙与1号丙是男女对垒，那么1号甲与1号丙就不是男女对垒，15号之后，有9-a台男女对垒.所以甲、丙比赛时，男女对垒的台数为

15-a+9-a=24-2a≤24．

仅在a=0，即必须乙、丙比赛时男、女对垒的号码，与甲、乙比赛时男、女对垒的号码完全不同，甲、丙比赛时，男、女对垒的台数才等于24．

4．将15×15的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色．证明：至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同．

【分析与解】如果找不到两行的某种颜色数一样，那么就是说所有颜色的列与列之问的数目不同．那么红色最少也会占：

0+1+2+…+14=105个格子．

同样蓝色和绿色也是，这样就必须有至少：

3×(0+l+2+…+14=315个格子．

但是，现在只有15×15=225个格子，所以和条件违背，假设不成立，结论得证．

6. 4个人聚会，每人各带2件礼品，分赠给其余3个人中的2人．试证明：至少有2对人，每对人是互赠过礼品的．

【分析与解】将这四个人用4个点表示，如果两个人之间送过礼，就在两点之间连一条线．

由于每人送出2件礼物，图中共有4×2=8条线，由于每人礼品都分赠给2个人，所以每两点之间至多有1+1=2条线．

四点间，每两点连一条线，一共6条线，现在有8条线，说明必有两点之间连了2条线，还有另外两点(有一点可以与前面的点相同之间也连了2条线．

即为所证结论。

8．若干台计算机联网，要求：

①任意两台之间最多用一条电缆连接；

②任意三台之间最多用两条电缆连接；

③两台计算机之间如果没有电缆连接，则必须有另一台计算机和它们都连接有电缆．若按此要求最少要用79条电缆．

问：(1这些计算机的数量是多少台?

(2这些计算机按要求联网，最多可以连多少条电缆?

【分析与解】将机器当成点，连接电缆当成线，我们就得到一个图，如果从图上一个点出发，可以沿着线跑到图上任一个其它的点，这样的图就称为连通的图，条件③表明图是连通图．

我们看一看几个点的连通图至少有多少条线．可以假定图没有圈(如果有圈，就在圈上去掉一条线，从一点出发，不能再继续前进，将这一点与连结这点的线去掉．考虑剩下的n-1个点的图，它仍然是连通的．用同样的办法又可去掉一点及一条线．这样继续下去，最后只剩下一个点．因此n个点的连通图至少有n-1条线(如果有圈，线的条数就会增加，并且从一点A向其他n-1个点各连一条线，这样的图恰好有n-1条线．

因此，(1的答案是n=79+1=80，并且将一台计算机与其他79台各用一条线相连，就得到符合要求的联网．

下面看看最多连多少条线．

在这80个点(80台计算机中，设从引出的线最多，有k条，与相连的点是

,，…，由于条件，,…，之间没有线相连．

设与不相连的点是，…，，则m+k=80，而，…,每一点至多引

出k条线，图中至多有mk条线，因为≤

所以m×k≤1600，即连线不超过1600条．

另一方面，设80个点分为两组：,…，；，…，第一组的每一点与第二组的每一点各用一条线相连，这样的图符合题目要求，共有

40×40=1600条线．

10．在一个6×6的方格棋盘中，将若干个1×1的小方格染成红色．如果随意划掉3行3列，在剩下的小方格中必定有一个是红色的．那么最少要涂多少个方格?

【分析与解】方法一：显然，我们先在每行、每列均涂一个方格，使之成为红色，如图A所示，但是在图B中，划去3行3列后，剩下的方格没有红色的，于是再将两个方格涂成红色(依据对称性，应将2个方格同时涂成红色，如图C所示，但是图D的划法，又使剩下的方格没有红色，于是再将两个方格涂成红色(还是由于对称的缘故，将2个方格涂成红色，得到图E，图E不管怎么划去3行3列，都能使剩下的方格含有红色的．

这时共涂了10个方格．

方法二：一方面，图F表明无论去掉哪三行哪三列总会留下一个涂红的方格．

另一方面，如果只涂9个红色方格，那么红格最多的三行至少有6个红格(否则第三多的行只有1个红格，红格总数≤5+3=8，去掉这三行至多还剩3个红格，再去掉三列即可将这三个红格也去掉．

综上所述，至少需要将10个方格涂成红色．

12. 证明：在6×6×6的正方体盒子中最多可放入52个1×l×4的小长方体，这里每个小长方体的面都要与盒子的侧面平行．

【分析与解】先将6× 6×6的正方体盒子视为实体，那么6×6×6的正方体可分成216个小正方体，这216个小正方体可以组成27个棱长为2的正方体．我们将这27个棱长为2的正方体按黑白相间染色，如下图所示．

其中有14个黑色的，13个白色的，而一个白色的2×2×2的正方体可以对应的放人4个每个面都与盒子侧面平行的1×l×4的小长方体，所以最多可以放入

13×4=52个1×1×4的小长方体．

评注：6×6×6的正方体的体积为216，1×1×4的小长方体的体积为4，所以可放入的小正方体数目不超过216÷4=54个．

14．用若干个l×6和1×7的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个11×12的大长方形，最少要用小长方形多少个?

【分析与解】我们先通过面积计算出最优情况：

11×12=132，设用1×6的小长方形x个，用1×7的小长方形y个，有

．

解得：（t为可取0的自然数，共需x+y=19+t个小长方形．

(1当t=0时，即x+y=1+18=19，表示其中的1×6的小长方形只有1个，剩下的18个小长方形都是

l×7的．

大长方形中无论是1行还是1列，最多都只能存在1个l×7的小长方形，所以在大长方形中最多只能无重叠的同时存在16个l×7的小长方形．

现在却存在18个1×7的小长方形，显然不满足；

(2当t=l时，即x+y=8+12=20，有如下分割满足，所以最少要用小长方形20个．

河北省邢台市小学数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

河北省邢台市小学数学小学奥数系列8-6-1构造与论证 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！ 一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分) 1. （1分） (2019六下·蓝山期中) A、B、C、D、E五位小朋友之间进行象棋比赛，每两个人都要比赛一场．到现在为止，A赛了4场，B赛了3场，C赛了2场，D赛了1场，那么E赛了________场． 2. （5分）三个连续偶数的和是54，这三个偶数分别是多少？ 3. （5分）排队游戏。 小冰、小亮、小强、小风四人一起排队上车。小风在小冰和小亮的中间，小强在最后，小冰不是第一个。请把他们的名字从前往后写下来。 4. （5分）篮子里的7个莱果掉了4个在桌子上，还有一个不知掉到哪去了，飞飞把桌子上的莱果拾进篮子里，又吃了一个，请问篮子里还剩下几个苹果？ 5. （10分）一个苹果减去一个苹果，猜一个字。 6. （5分）给下面每个格子涂上黑色或红色．观察每一列，你有什么发现？ 能说出其中的道理吗？ 7. （5分）考试做判断题，小花掷骰子决定答案，但题目有20题，为什么他却扔了40次？ 8. （10分）甲和乙做猜数的游戏。首先，甲在纸上写个各位数字都不同的四位数，写好后将纸翻过来。不让乙看到，然后让乙猜这个四位数的各位数字。如果数字和位数都猜对了就是○，如果数字对而位数不对就是△。

例如：甲写的是，乙猜的是，那么就是个○，个△。 请阅读以下对话并回答问题： 乙：“我猜”，甲：“ 个○，个△。” 乙：“ ？”，甲：“也是个○，个△。” 乙：“ ？”，甲：“也是个○，个△。” 乙：“ 呢？”，甲：“ 个△。” 乙：“哇，猜不着呀，呢？”甲：“也是个△。” （1）：请从以上的对话中答出甲最可能写的个四位数。 后来，甲发现自己刚才的回答中对四位数的判断有误。 甲：“对不起，刚才有搞错的。”乙：“啊！那么” 甲“只是个数字搞错了，在刚才说到的数字中，只是对的判断有误，正确的回答应该是个○，个△。” 乙“稍等一会儿，啊！我知道啦！甲写的四位数是________吗”？ 甲：“对啦！你真棒！” （2）请问甲写的这个四位数是什么？ 9. （5分）班上四名同学进行跳棋比赛，每两名同学都要赛一局．每局胜者得分，平者各得分，负者得分．已知甲、乙、丙三名同学得分分别为分、分、分，且丙同学无平局，甲同学有胜局，乙同学有平局，那么丁同学得分是多少？ 10. （2分）任意给出5个不同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数．你能说出其中的道理吗？ 11. （5分）传说有个说谎国，这个国家的男人在星期四、五、六、日说真话，在星期一、二、三说假话；女人在星期一、二、三、日说真话，在星期四、五、六说假话．有一天，一个人到说谎国去旅游，他在那里认识了一男一女．男人说：“昨天我说的是假话”，女人说：“昨天也是我说假话的日子”．这下，那个外来的游人可发愁了，到底今天星期几呢？请同学们根据他们说的话，判断一下今天是星期几呢？ 12. （5分）在一次数学竞赛中，，，，，五位同学分别得了前五名（没有并列同一名次

山东省莱芜市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

山东省莱芜市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！ 一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分) 1. （1分）小强、小明、小勇三人参加数学竞赛，他们分别来自甲、乙、丙三个学校，并分别获得一、二、三等奖．已知：⑴小强不是甲校选手；⑵小明不是乙校选手；⑶甲校的选手不是一等奖；⑷乙校的选手得二等奖； ⑸小明不是三等奖．根据上述情况，可判断出小勇是________校的选手，他得的是________等奖． 2. （5分）三个连续偶数的和是54，这三个偶数分别是多少？ 3. （5分）甲、乙、丙、丁在谈论他们及他们的同学何伟的居住地． 甲说：“我和乙都住在北京，丙住在天津．” 乙说：“我和丁都住在上海，丙住在天津．” 丙说：“我和甲都不住在北京，何伟住在南京．” 丁说：“甲和乙都住在北京，我住在广州．” 假定他们每个人都说了两句真话，一句假话．问：不在场的何伟住在哪儿？ 4. （5分）有三个小朋友在猜拳，，一个出剪刀，一个出石头，一个出布，请问三个人共有几根指头？ 5. （10分）在期末考试前，学生、、、分别预测他们的成绩是、、或，评分标准是比好，比好，比好． 说：“我们的成绩都将不相同．若我的成绩得，则将得．” 说：“若的成绩得，则将得．的成绩将比好．” 说：“若的成绩不是得到，则将得．若我的成绩得到，则的成绩将不是．” 说：“若的成绩得到，则我将得到．若的成绩不是得到，则我也将不会得到．” 当期末考试的成绩公布，每位学生所得到的成绩都完全符合他们的预测．请问这四位学生的成绩分别是什么？

河北省衡水市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

河北省衡水市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！ 一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分) 1. （1分） (2019六上·南康期末) 六年级1、2、3、4四个班举行拔河比赛，甲、乙、丙三个同学猜测四个班比赛的前三名名次．甲说：1班第三，3班第一；乙说：3班第二，2班第三；丙说：4班第二，1班第一．比赛结果，三个人都猜对了一半．那么，1班第________名，4班第________名． 2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。已知最上层有4根，最下层有20根。 （1）这堆原木堆放了多少层? （2）一共有多少根原木? 3. （5分）小明、小勇、小军三个小朋友，小明比小勇轻，小军是最轻的。请写出他们的名字。 4. （5分）一个乡村小学，A、B、C三位老师共同承担全校语文、数学、品德、体育、音乐、美术六门课，每人教两门．根据下列条件判断他们分别教哪两门课．

①A喜欢和体育老师、数学老师游泳． ②B和音乐老师、语文老师都喜欢踢足球． ③体育老师比语文老师年龄大． ④B不是体育老师． ⑤品德老师和数学老师喜欢下棋． (提示：是某个学科的老师就在下面用“√”表示，不是就用“×”表示，根据上面的条件，填写下表．) 5. （10分）四对夫妇坐在一起闲谈．四个女人中，吃了个梨，吃了个，吃了个，吃了个；四个男人中，甲吃的梨和他妻子一样多，乙吃的是妻子的倍，丙吃的是妻子的倍，丁吃的是妻子的倍．四对夫妇共吃了个梨．问：丙的妻子是谁？ 6. （5分）任意13个人中，必然有2人是在同一个月出生的．为什么？ 7. （5分）三张分别写有2，1，6的卡片，能否排成一个可以被43除尽的整数？ 8. （10分）在世界杯小组赛上，每四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得分，负队得分，平局则两队各得分．小组赛结束后，总积分高的两队出线，进入下一轮比赛，如果总积分相同，还要按进一步的规则排序．那么一个队至少要积几分才能保证本队必然出线？若有一个队总积分是分，则这个队可能出线吗？ 9. （5分）有三个盒子，甲盒装了两个克的砝码，乙盒装了两个克的砝码，丙盒装了一个克、一个 克的砝码．每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的．聪明的小明只从一个盒子里取出一个砝码，放到天平上称了一下，就把所有标签都改正过来了．你知道这是为什么吗？ 10. （2分） 20道复习题，小明在两周内做完，每天至少做一道题．证明：小明一定在连续的若干天内恰好做了7道题目． 11. （5分）烟鬼甲每天抽50支烟，烟鬼乙每天抽10支烟。5年后，烟鬼乙抽的烟比烟鬼甲抽的还多，为什么？ 12. （5分）在路上，它翻了一个跟斗，接着又翻了一次（猜4字成语）? 13. （5分）名运动员参加一项比赛，赛前，甲说：“我肯定是最后一名．”乙说：“我不可能是第一名，也不可能是最后一名．”丙说：“我绝对不会得最后一名．”丁说：“我肯定得第一名．”赛后，发现他们人的预测中只有一人是错误的．请问谁的预测是错误的？

小学奥数构造与论证第一讲

构造与论证第一讲 内容概述 各种探讨给定要求能否实现，设计最佳安排和选择方案的组合问题．这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计． 典型问题 2.有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到： (1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走? 【分析与解】 (1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→ (50，0，50)→(25，25，50)→(O，0，25)． (2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变． 现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走． 4.在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高? 【分析与解】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高． 当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三 场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=111 3 ， 推知，必有人得分不超过11分.

广东省揭阳市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

广东省揭阳市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！ 一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分) 1. （1分）先找规律,填好幻方,使下面幻方中竖的、横的、斜的3个数的和都是18．然后按从上到下，从左到右的顺序,填写结果. ________ 2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。已知最上层有4根，最下层有20根。 （1）这堆原木堆放了多少层? （2）一共有多少根原木? 3. （5分）由，，三个班中各出3名学生比赛长跑．规定第一名得9分，第二名得8分，第三名得7分，……，第八名得2分，第九名得1分．比赛结果是三个班总分相等，而且九名学生没有名次并列的，也没有同一个班的学生获得相连名次的．如果第一名是班的，第二名是班的．那么最后一名是哪个班的？ 4. （5分）四个足球队进行单循环比赛，规定胜一场得分，平一场得分，负一场得分，有一个队没输过，但却排名倒数第一，你觉得有可能吗？如果可能，请举出这种情况何时出现，如果不可能，请你说明理由．

5. （10分）篮子里的7个莱果掉了4个在桌子上，还有一个不知掉到哪去了，飞飞把桌子上的莱果拾进篮子里，又吃了一个，请问篮子里还剩下几个苹果？ 6. （5分）把4支铅笔放进3个文具盒里，不管怎么放总有一个文具盒里至少放进2支铅笔，为什么？ 7. （5分）五号楼住着四个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的岁，最小的岁，最大的女孩比最小的男孩大岁，最大的男孩比最小的女孩也大岁，求最大的男孩的岁数． 8. （10分）一个篮子里装着五个苹果，要分给五个人，要求每人分的一样多，最后篮子里还要剩下一个苹果，如何分（不能切开苹果） 9. （5分）架子上摆着大、中、小三种皮球，只知道小皮球每只20元，每层皮球的价钱同样多，每只中皮球和大皮球各需要多少元？ 10. （2分）任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数（单独一个数也当做和）． 11. （5分）重阳节，25位老人来品茶，25位老人的年龄是连续数，也是自然数，两年后25位老人年龄和是2000，问25位老人最大的一位是多大？ 12. （5分）宝宝、贝贝、聪聪每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们，此外：⑴数学博士夸跳高冠军跳的高⑵跳高冠军和大作家常与宝宝一起看电影⑶短跑健将请小画家画贺年卡⑷数学博士和小画家关系很好⑸贝贝向大作家借过书⑹聪聪下象棋常赢贝贝和小画家问：宝宝、贝贝、聪聪各有哪两个外号吗？ 13. （5分）有三个盒子，甲盒装了两个克的砝码，乙盒装了两个克的砝码，丙盒装了一个克、一个克的砝码．每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的．聪明的小明只从一个盒子里取出一个砝码，放到天平上称了一下，就把所有标签都改正过来了．你知道这是为什么吗？ 14. （5分） 5只鸡，5天生了5个蛋。100天内要100个蛋，需要多少只鸡？

安徽省亳州市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

安徽省亳州市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！ 一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分) 1. （1分）动物村开运动会，在1000米跑比赛中，小马比小鹿跑得慢，小马不如小兔跑得快，小鹿比小兔跑得快． 小朋友，请你当裁判，金牌应该发给________？ 2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。已知最上层有4根，最下层有20根。 （1）这堆原木堆放了多少层? （2）一共有多少根原木? 3. （5分）在下面的方格中，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次，填出空格里缺少的数。

2 24 3 1 4. （5分）考试做判断题，小花掷骰子决定答案，但题目有20题，为什么他却扔了40次？ 5. （10分）(2011·广州模拟) 甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两人要赛一场，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同，问丁胜了几场？ 6. （5分）在一个直径为2厘米的圆内放入七个点，请证明一定有两个点的距离不大于1厘米。 7. （5分）一个挂钟敲六下要30秒，敲12下要几秒？ 8. （10分）先填一填，再说说我的新发现． 观察表，我发现了：________ 9. （5分）架子上摆着大、中、小三种皮球，只知道小皮球每只20元，每层皮球的价钱同样多，每只中皮球和大皮球各需要多少元？

10. （2分）如图，分别标有数字的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标的数字都不相同．当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对． 11. （5分）班里举行投篮比赛，规定投中一个球得分，投不进扣分．小立一共投了个球，得了分，那么小立投中了几个球？ 12. （5分）学校新来了一位老师，五个学生分别听到如下的情况： ⑴是一位姓王的中年女老师，教语文课； ⑵是一位姓丁的中年男老师，教数学课； ⑶是一位姓刘的青年男老师，教外语课； ⑷是一位姓李的青年男老师，教数学课； ⑸是一位姓王的老年男老师，教外语课． 他们每人听到的四项情况中各有一项正确．问：真实情况如何？ 13. （5分）趣味滑冰锦标赛最后进行的是花样滑冰双人滑的表演，规定男女双方都不能和自己的原搭档在一起表演．男士用、、表示，女士用甲、乙、丙表示．已知前面表演过程中和甲一起滑过，和丙一起滑过，和甲一起滑过，和乙一起滑过，的新搭档不可能是丙，那么乙的新搭档是谁？ 14. （5分）有A、B、C三个足球队，每两队都比赛一场，比赛结果是：A有一场踢平，共进球2个，失球8个；B两战两胜，共失球2个；C共进球4个，失球5个，请你写出每队比赛的比分。 15. （5分）在下表中填入三人的名字。 小明收集的邮票比小刚多一些，小刚收集的邮票比小兰少得多。

小学六年级奥数系列讲座：构造与论证(含答案解析)

构造与论证1 内容概述 各种探讨给定要求能否实现，设计最佳安排和选择方案的组合问题．这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计． 典型问题 2.有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到： (1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走? 【分析与解】 (1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，50)→(O，0，25)． (2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变． 现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走． 4.在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高? 【分析与解】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高． 当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三 场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=111 3 ，

广西南宁市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

广西南宁市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！ 一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分) 1. （1分）请根据甲、乙、丙三人说的话判断他们年龄的大小，①甲：我比乙大3岁；②乙：我比丙小2岁； ③丙：我比甲小1岁，判断________＞________＞________ 2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。已知最上层有4根，最下层有20根。 （1）这堆原木堆放了多少层? （2）一共有多少根原木? 3. （5分）甲、乙、丙、丁在谈论他们及他们的同学何伟的居住地． 甲说：“我和乙都住在北京，丙住在天津．” 乙说：“我和丁都住在上海，丙住在天津．” 丙说：“我和甲都不住在北京，何伟住在南京．” 丁说：“甲和乙都住在北京，我住在广州．” 假定他们每个人都说了两句真话，一句假话．问：不在场的何伟住在哪儿？ 4. （5分）张强、王明、李红三个同学都喜欢球类运动．他们分别喜欢足球、篮球和乒乓球．

已知： ①没有两个人喜欢同一种球． ②张强不喜欢足球． ③喜欢篮球的同学比李红小． ④张强比喜欢乒乓球的同学大一岁． 你知道这三位同学分别喜欢哪项球类运动吗？ 5. （10分）四名棋手两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得分，平一局得分，负一局得分．比赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至少有几局平局？ 6. （5分）任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数（单独一个数也当做和）． 7. （5分）五号楼住着四个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的岁，最小的岁，最大的女孩比最小的男孩大岁，最大的男孩比最小的女孩也大岁，求最大的男孩的岁数． 8. （10分）某地质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别。甲判断：不是铁，也不是铜。乙判断：不是铁，而是锡。丙判断：不是锡，而是铁。经化验证明：有一个人的判断完全正确，有一个人说对了一半，而另一个人完全说错了。你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗？ 9. （5分）在路上，它翻了一个跟斗，接着又翻了一次（猜4字成语）? 10. （2分）张老师说北京市的所有人中一定有两个人头发根数一样多．你觉得张老师说的话有道理吗？为什么？(人的头发约有十万根) 11. （5分）有一个骗子和一个老实人，骗子永远讲假话，老实人永远讲真话，你能提出一个尽量简单的问题，使两个人的回答相同吗？ 这个问题可以是 12. （5分）甲，乙，丙，丁四个同学中有两个同学在假日为街道做好事，班主任把这四人找来了解情况，四人分别回答如下．甲：“丙、丁两人中有人做了好事．” 乙：“丙做了好事，我没做．”

西藏阿里地区数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

西藏阿里地区数学小学奥数系列8-6-1构造与论证 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！ 一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分) 1. （1分）小王、小李、小赵分别是海军、飞行员、运动员。已知：①小李从未坐过船；②海军年龄最大； ③小赵不是年龄最大的，他经常与飞行员散步。请你判断小王是________，小李是________，小赵是________。 2. （5分）三个连续偶数的和是54，这三个偶数分别是多少？ 3. （5分）甲、乙、丙三人进行田径比赛，比赛项目有60米、100米、200米、跳高、跳远五项，已知每项第一名、第二名、第三名各得5分、2分、1分。乙200米得第一名。比赛结束后，每人的总得分是：甲得22分，乙、丙各得9分，想一想，这三人在五项比赛中各得到多少分？ 4. （5分）有一个年轻人，他要过一条河去办事；但是，这条河没有船也没有桥。于是他便在上午游泳过河，只一个小时的时间他便游到了对岸，当天下午，河水的宽度以及流速都没有变，更重要的是他的游泳速度也没有变，可是他竟用了两个半小时才游到河对岸. 5. （10分）(2011·广州模拟) 某路公共汽车，包括起点和终点共有15个车站，有一辆车除终点外，每一站上车的乘客中，恰好有一位乘客到以后的每一站下车，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少要有多少个座位？ 6. （5分）一些孩子在沙滩上玩耍，他们把石子堆成许多堆，其中有一个孩子发现从石子堆中任意选出六堆，其中至少有两堆石子数之差是5的倍数，你能说一说他的结论对吗？为什么？ 7. （5分）振华小学组织了一次投篮比赛，规定投进一球得分，投不进倒扣分．小亮投了个球，投进了个．那么，他应该得多少分？ 8. （10分）三年级一班新转来三名学生，班主任问他们三人的年龄．刘强说：“我12岁，比陈红小2岁，比李丽大1岁．”陈红说：“我不是年龄最小的，李丽和我差3岁，李丽是15岁．”李丽说：“我比刘强年岁小，刘强13岁，陈红比刘强大3岁．”这三位学生在他们每人说的三句话中，都有一句是错的．请你帮助班主任分析出他们三人各是多少岁？

六年级奥数.杂题.构造与论证(ABC级).教师版

（1） 掌握最佳安排和选择方案的组合问题. （2） 利用基本染色去解决相关图论问题． 各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计． 组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色． 一、 最佳安排和选择方案 【例 1】 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到 第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次? 【考点】构造与论证 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234； 现在将第4卷调至此时第1卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123； 现在将第3卷调至此时第1卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312； 最后将第1卷和第2卷对调即可． 所以，共需调换4+3+2+1=10次． 例题精讲 重难点 知识框架 构造与论证

【答案】10次 【巩固】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？ 【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答 【解析】从整体进行考虑．所得的2009个和相加，便等于1～2009的所有数的总和的2倍，是个偶数．2009个数的和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么这2009个数的乘积是偶数． 本题也可以考虑其中的奇数．由于1～2009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数，而只有2009张卡片，根据抽屉原理，其中必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字的和是偶数，从而所有2009个和的乘积也是偶数． 【答案】偶数 【例2】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有 10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一 场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜 几场，才能确保他的得分比某位专业选手高? 【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答 【解析】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高． 当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得 10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三场比赛 共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=111 3 ，推知，必 有人得分不超过11分.

安徽省合肥市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

安徽省合肥市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！ 一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分) 1. （1分）甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛，通过抽签决定出赛顺序．在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测．甲猜：乙第三，丙第五．乙猜：戊第四，丁第五．丙猜：甲第一，戊第四．丁猜：丙第一，乙第二．戊猜：甲第三，丁第四．老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，则出赛顺序中，第一是________；第三是________． 2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。已知最上层有4根，最下层有20根。 （1）这堆原木堆放了多少层? （2）一共有多少根原木? 3. （5分）在方格里填上1～9中的数字，每个算式中的数字不能重复。 4. （5分）甲、乙、丙、丁四人进行象棋比赛，每两个都比赛一场，规定胜者得分，平局各得分，输者得分．结果甲第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得几分？ 5. （10分）甲、乙、丙、丁在比较他们的身高，甲说：“我最高．”乙说：“我不最矮．”丙说：“我没甲

高，但还有人比我矮．”丁说：“我最矮．”实际测量的结果表明，只有一人说错了．请将他们按身高次序从高到矮排列出来． 6. （5分）如图，分别标有数字的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标的数字都不相同．当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对． 7. （5分）甲、乙、丙、丁每人只会中、英、法、日四种语言中的两种，其中有一种语言只有一人会说．他们在一起交谈可有趣啦：⑴乙不会说英语，当甲与丙交谈时，却请他当翻译；⑵甲会日语，丁不会日语，但他们却能相互交谈；⑶乙、丙、丁找不到三人都会的语言；⑷没有人同时会日、法两种语言．请问：甲、乙、丙、丁各会哪两种语言？ 8. （10分） 5只鸡，5天生了5个蛋。100天内要100个蛋，需要多少只鸡？ 9. （5分）小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。现知道：（1）小明不在一小；（2）小芳不在二小（3）爱好乒乓球的不在三小；（4）爱好游泳的在一小；（5）爱好游泳的不是小芳。问：三人上各爱好什么运动？各上哪所小学？ 10. （2分）证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。 11. （5分）甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。赛前甲、乙、丙分别做了预测。甲说：“丙第名，我第名。”乙说：“我第名，丁第名。”丙说：“丁第名，我第名。”成绩揭晓后，发现他们每人只说对了一半，你能说出他们的名次吗？ 12. （5分）(2013·广州) 有一家四口人要走过一座窄桥，窄桥一次最多只可允许两个人一起过桥，由于天色很暗，同时他们又只有一只手电筒，行人过桥时必须持有手电筒，以防止跌落水中，因此就得有人把手电筒带来带去，来回桥两端，四个人的步行速度各不相同，已知每人过桥所需要使用的时间分别为：哥哥——1分钟； 爸爸——2分钟； 妈妈——5分钟；

河北省保定市小学奥数系列8-6-1构造与论证

河北省保定市小学奥数系列8-6-1构造与论证 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！ 一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分) 1. （1分）甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛，通过抽签决定出赛顺序．在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测．甲猜：乙第三，丙第五．乙猜：戊第四，丁第五．丙猜：甲第一，戊第四．丁猜：丙第一，乙第二．戊猜：甲第三，丁第四．老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，则出赛顺序中，第一是________；第三是________． 2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。已知最上层有4根，最下层有20根。 （1）这堆原木堆放了多少层? （2）一共有多少根原木? 3. （5分）一个数若去掉前面的第一个数字是11，去掉最后一个数字为50，原数是多少？ 4. （5分）四个孩子 老孙和老陈两家都有两个年龄不到9岁的男孩，四个孩子的年龄各不相同．一位邻居这样介绍： ①小明比他哥哥小3岁． ②海涛的年龄最大．

③小峰的年龄恰好是老陈家其中一个孩子的年龄的一半． ④奇志比老孙家第二个孩子大5岁． ⑤他们两家五年前都只有一个孩子． 谁是哪一家的孩子？每个孩子的年龄各是多少？ 5. （10分）三个孩子吃三个饼要用3分钟，九十个孩子九十个饼要用多少时间? 6. （5分）一个正方体有六个面，给每个面都涂上红色或白色，至少有三个面是同一颜色。为什么？ 7. （5分）将100颗绿豆和100颗黄豆混在一起又一分为二，需要几次才能使A堆中黄豆和B堆中的绿豆相等呢？ 8. （10分）一次数学考试，共六道判断题．考生认为正确的就画“√”，认为错误的就画“ ”．记分的方法是：答对一题给2分；不答的给1分；答错的不给分．已知、、、、、、七人的答案及前六个人的得分记录在表中，请在表中填出的得分．并简单说明你的思路． 9. （5分）从A，B，C，D，E，F六种产品中挑选出部分产品去参加博览会。根据挑选规则，参展产品满足下列要求： （1）A，B两种产品中至少选一种； （2）A，D两种产品不能同时入选； （3）A，E，F三种产品中要选两种； （4）B，C两种产品都入选或都不能入选； （5）C，D两种产品中选一种；

小学奥数构造与论证教师版

1. 掌握最佳安排和选择方案的组合问题. 2. 利用基本染色去解决相关图论问题． 各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计． 组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色． 模块一 最佳安排和选择方案 【例 1】 一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作： 每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是 颜色(填“黑”或者“白”)． 【解析】 在每一次操作中，若拿出的两枚棋子同色，则补黑子1枚，所以拿出的白子可能为0枚或2枚； 若拿出的两枚棋子异色，则补白子1枚，“两枚棋子异色”说明其中一黑一白，那么此时拿出的白子数为0枚．可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚，而由于起初白子有200枚，是偶数枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子． 【例 2】 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷 教学目标 知识点拨 例题精讲 第十三讲：构造与论证

吉林省四平市小学数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

吉林省四平市小学数学小学奥数系列8-6-1构造与论证 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！ 一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分) 1. （1分） (2020三下·京山期末) 有A、B、C、D、E五个小足球队参加足球比赛，到现在为止，A队赛了4场，B队赛了3场，C队赛了2场，D队赛了1场。那么E队赛了________场。 2. （5分）有10张，卡片分别标有从2开始的10个连续偶数。如果将它们分成5组，每组两张，计算同组中两个偶数和分别得到①34，②22，③16，④30，⑤8。那么每组中的两张卡片上标的数各是多少？ 3. （5分） (2018二下·云南月考) 丹丹、红红和玲玲三个小朋友身高不同，玲玲说：”我不是最高的。”红红说：”我不是最高的也不是最矮的。”她们三个人中谁最高?谁最矮? 4. （5分）有ABC三个足球队，两两比赛一次，一共比赛了三场球，每个队的比赛结果累计填在下表内.根据表上的结果，你能不能写出三场球赛的具体比分? 胜负平入球失球 A262 B1144 C226 5. （10分）一只桶里装满油，第一次取出总量的一半少1千克，第二次取出余下的一半还多3千克，这时桶中还剩5千克，原来桶中装有油多少千克？ 6. （5分）一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得5分；回答不完全正确，得3分，回答完全错误或不回答，得0分．至少________人参加这次测验，才能保证至少有3人得得分相同． 7. （5分）甲，乙，丙，丁四个同学中有两个同学在假日为街道做好事，班主任把这四人找来了解情况，四人分别回答如下．甲：“丙、丁两人中有人做了好事．” 乙：“丙做了好事，我没做．”

广东省云浮市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

广东省云浮市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！ 一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分) 1. （1分）动物村开运动会，在1000米跑比赛中，小马比小鹿跑得慢，小马不如小兔跑得快，小鹿比小兔跑得快． 小朋友，请你当裁判，金牌应该发给________？ 2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。已知最上层有4根，最下层有20根。 （1）这堆原木堆放了多少层? （2）一共有多少根原木? 3. （5分）三个小朋友去买文具，他们分别要买铅笔、转笔刀和尺子。

4. （5分） 3个人3天用3桶水，9个人9天用几桶水? 5. （10分），，，分别是中国、日本、美国和法国人.已知：⑴ 和中国人是医生；⑵ 和法国人是教师；⑶ 和日本人职业不同；⑷ 不会看病.问：，，，各是哪国人， 6. （5分）从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数? 7. （5分）五号楼住着四个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的岁，最小的岁，最大的女孩比最小的男孩大岁，最大的男孩比最小的女孩也大岁，求最大的男孩的岁数． 8. （10分）(2013·广州) 有一家四口人要走过一座窄桥，窄桥一次最多只可允许两个人一起过桥，由于天色很暗，同时他们又只有一只手电筒，行人过桥时必须持有手电筒，以防止跌落水中，因此就得有人把手电筒带来带去，来回桥两端，四个人的步行速度各不相同，已知每人过桥所需要使用的时间分别为：哥哥——1分钟； 爸爸——2分钟； 妈妈——5分钟； 爷爷——10分钟。 若两人同行则以较慢者的速度为准，请问一家四口人全部过桥的总用时至少是几分钟？ 请写出你设计的方案： 第一步，________与________过桥，________回来； 第二步，________与________过桥，________回来； 第三步，________与________过桥，共耗时________分钟。 9. （5分） 10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，无平局．其中有两队并列第一，两队并列第三，

小学奥数知识体系

小学奥数知识体系Revised on November 25, 2020

小学奥数知识体系 小学奥数分为十七个体系，这十七个体系分别是：1、计算 2、数论 3、几何 4、应用题 5、行程问题 6、.计数 7、分数 8、方程 9、找规律 10、算式谜11、火柴棒问题 12、智力问题 17、解题方法 18、杂题 当然这十七个体系并不集中在某一年级阶段，可能在不同阶段都对某一体系有要求，只是要求的程度不同而已，比如数论这一体系，在4、5和6年级都会出现，像4年级得起奇偶性问题，5年级得位值原理、数的整除特征，5、6年级得完全平方数的性质都是属于数论这一体系中。本次主要介绍3-6年级所涉及的奥数课程，主要讲解各年级奥数课程大纲、再把各年级的知识点归结成几个重要的版块。 三年级奥数课程大纲 1、加减法巧算 2、时间的计算 3、重叠问题 4、图形的简拼 5、倍数问题 6、综合应用题 7、数字迷 8、奇数、偶数的灵活运用 9、等量代换推理 10、列队问题 11、乘船坐车问题 12、逻辑推理 13、枚举法 14、循环问题 （周期问题） 四年级奥数课程大纲 1、巧用方法算的快 2、列方程解应用题 3、巧求周长与面积 4、抽屉原理 （一） 5、综合应用题 6、规律性问题 7、鸡兔同笼问题 8、简单的统计 9、染色与覆盖 10、年龄问题 11、加成法原理 12、体育与赛中的数字问题 13、奇数与偶数 14、整除问题 五、六年级奥数课程大纲 1、计算（主要涉及速度与巧算、数列计算、技巧计算等知识）

2、代数与方程（主要涉及等量代换、方程解法综合、方程解应用题等知识） 3、行程部分（主要涉及相遇与追及、典型行程问题、比例问题等知识） 4、几何部分（主要涉及几何初步认识、直线型面积、立体几何等知识） 5、数论部分（主要涉及奇数与偶数、数的整除、约数与倍数、完全平方 数、直竖与合数分解质因数、余数问题、位值原则与数的进制、数字迷知识和算式谜等知识） 6、应用题部分（主要涉及经典应用题、百分应用题、工程问题等知识） 7、计数综合（主要涉及加法原理、乘法原理、加乘原理、排列组合、几何计数等问题） 8、杂题部分（主要涉及智巧解题、抽屉原理、逻辑推理、统筹规划、操作与策略、构造与论证、统计与概率、最短路线等知识） 虽然三至六年级所涉及的知识众多，但归结起来主要分为以下几个板块 1、行程问题 2、数论问题 3、几何问题 4、计数问题 5、应用题 6、计算问题 7、杂题

河北省保定市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

河北省保定市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！ 一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分) 1. （1分）甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行乒乓球训练，每局2人进行比赛，另1人当裁判．每一局的输方去当下一局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时，发现甲共打了15局，乙共打了21局，而丙共当裁判5局．那么整个训练中的第3局当裁判的是________． 2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。已知最上层有4根，最下层有20根。 （1）这堆原木堆放了多少层? （2）一共有多少根原木? 3. （5分）甲、乙、丙三人进行田径比赛，比赛项目有60米、100米、200米、跳高、跳远五项，已知每项第一名、第二名、第三名各得5分、2分、1分。乙200米得第一名。比赛结束后，每人的总得分是：甲得22分，乙、丙各得9分，想一想，这三人在五项比赛中各得到多少分？ 4. （5分）将100颗绿豆和100颗黄豆混在一起又一分为二，需要几次才能使A堆中黄豆和B堆中的绿豆相等呢？ 5. （10分）有一个年轻人，他要过一条河去办事；但是，这条河没有船也没有桥。于是他便在上午游泳过河，只一个小时的时间他便游到了对岸，当天下午，河水的宽度以及流速都没有变，更重要的是他的游泳速度也没有变，可是他竟用了两个半小时才游到河对岸.

6. （5分）六(1)班有49名学生，数学高老师了解到期中考试该班英语成绩除3人外，均在86分以上后就说：“我可以断定，本班至少有4人成绩相同”。王老师说的对吗?为什么? 7. （5分）去年学而思杯颁奖大会上，很多同学都过来领奖了。崔梦迪老师在让所有获奖的同学就座后，突然突发奇想，让所有同学用一张纸写下来在会场里的其他同学中，自己认识的人数。崔老师把同学们写好的纸条收走后，看了一遍，说：“真巧，咱们所有同学在这里认识的人数都刚好不一样。”这时下面有个特别聪明的同学，立刻说道：“不可能，肯定是有人统计错了！”当他解释过自己这样说的原因后，教室里的其他同学们和崔老师都很佩服这个同学。那么同学们能够说出这个同学这样说的原因吗？ 8. （10分）架子上摆着大、中、小三种皮球，只知道小皮球每只20元，每层皮球的价钱同样多，每只中皮球和大皮球各需要多少元？ 9. （5分）烟鬼甲每天抽50支烟，烟鬼乙每天抽10支烟。5年后，烟鬼乙抽的烟比烟鬼甲抽的还多，为什么？ 10. （2分）有苹果和桔子若干个，任意分成堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？ 11. （5分）甲、乙、丙、丁四人进行象棋比赛，每两个都比赛一场，规定胜者得分，平局各得分，输者得分．结果甲第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得几分？ 12. （5分）一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问．四人分别供述如下： 甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中．” 乙说：“我没有作案，是丙偷的．” 丙说：“在甲和丁中间有一人是罪犯．” 丁说：“乙说的是事实．”