《计算方法》复习题
一 选 择(每题3分,合计42分)
1. x* = 1.732050808,取x =1.7320,则x 具有 位有效数字。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6
2. 取7
3.13≈(三位有效数字),则
≤-73.13 。
A 、30.510-?
B 、20.510-?
C 、10.510-?
D 、0.5 3. 下面 不是数值计算应注意的问题。
A 、注意简化计算步骤,减少运算次数
B 、要避免相近两数相减
C 、要防止大数吃掉小数
D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量)
0(x ?及常向量g ?,迭代过程g x B x
k k ?
??+=+)()
1(收敛的充分必要条件
是 。
A 、11<
B B 、1<∞
B
C 、1)(
D 、21B <
5. 用列主元消去法解线性方程组,消元的第k 步,选列主元)
1(-k rk
a ,使得)
1(-k rk a = 。
A 、 )
1(1max -≤≤k ik
n
i a B 、 )
1(max -≤≤k ik
n
i k a C 、 )
1(max -≤≤k kj
n
j k a D 、 )
1(1max -≤≤k kj
n
j a
6. 设?(x)= 5x 3-3x 2+x +6,取x 1=0,x 2=0.3,x 3=0.6,x 4=0.8,在这些点上关于?(x)的插值多项
式为3()P x ,则?(0.9)-3(0.9)P =__________。
A 、0
B 、0.001
C 、0.002
D 、0.003 7. 用简单迭代法求方程f (x )=0的实根,把方程f (x )=0转化为x =?(x ),则f (x )=0的根是: 。 A 、y =x 与y =?(x )的交点 B 、 y =x 与y =?(x )交点的横坐标 C 、y =x 与x 轴的交点的横坐标 D 、 y =?(x )与x 轴交点的横坐标 8. 已知x 0=2,f (x 0)=46,x 1=4,f (x 1)=88,则一阶差商f [x 0, x 1]为 。 A 、7 B 、20 C 、21 D 、42 9. 已知等距节点的插值型求积公式
()()46
3
k
k
k f x dx A f x =≈∑?,那么4
k
k A
==∑_ ___。
A 、0
B 、2
C 、3
D 、9
10. 用高斯消去法解线性方程组,消元过程中要求_ ___。
A 、0≠ij a
B 、0)
0(11≠a C 、0)(≠k kk a D 、0)1(≠-k kk a
11. 如果对不超过m 次的多项式,求积公式
)()(0
k b
a
n
k k x f A dx x f ?
∑=≈精确成立,则该求积
公式具有 次代数精度。
A 、至少m
B 、 m
C 、不足m
D 、多于m 12. 计算积分
2
1
1
dx x
?
,用梯形公式计算求得的值为 。 A 、0.75 B 、1 C 、1.5 D 、2.5
13. 割线法是通过曲线上的点))(,()),(,(11k k k k x f x x f x --的直线与 交点的横坐标作为方程0)(=x f 的近似根。
A 、y 轴
B 、x 轴
C 、x y =
D 、)(x y ?=
14. 由4个互异的数据点所构造的插值多项式的次数至多是 。 A 、 2次 B 、3次 C 、4次 D 、5次 二、计 算(共58分)
1. 将方程3210x x --=写成以下两种不同的等价形式:
①2
1
1x x =+
;②x =
试在区间[1.40,1.55]上判断以上两种格式迭代函数的收敛性。(8分)
2. 设方程f (x )=0在区间[0,1]上有惟一实根,如果用二分法求该方程的近似根,试分析至
少需要二分几次才能使绝对误差限为0.001。(8分)
3. 用复化梯形公式、复化辛卜生公式分别计算积分1
2041dx x
+?的近似值,要求总共选取9
个节点。(10分)
4. 用列主元高斯消去法解下列方程组:
????
??????=????????????????????-20111.0310********x x x (8分)
5. 给定线性方程组
???
??=++=++=++)3(,
2053)2(,18252)1(,1432321
321321x x x x x x x x x
写出雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式。(8分)
6. 已知函数
试构造三次拉格朗日插值多项式P n (x )(8分)
7.
??
?
??=-=1)0(2y y x y dx
dy 在区间[0, 0.8]上,取h = 0.1,用改进欧拉法求解初值问题。要求计算过程至少保留小数点后4位数字。(8分)
《计算方法》答 案
一、选 择
1. x* = 1.732050808,取x =1.7320,则x 具有 B 位有效数字。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6
2. 取7
3.13≈(三位有效数字),则
≤-73.13 B 。
A 、30.510-?
B 、20.510-?
C 、10.510-?
D 、0.5
3. 下面_ D _不是数值计算应注意的问题。
A 、注意简化计算步骤,减少运算次数
B 、要避免相近两数相减
C 、要防止大数吃掉小数
D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量)
0(x ?及常向量g ?,迭代过程g x B x
k k ?
??+=+)()
1(收敛的充分必要条件是
_C_。
A 、11<
B B 、1<∞
B
C 、1)(
D 、21B <
5. 用列主元消去法解线性方程组,消元的第k 步,选列主元)
1(-k rk
a ,使得)
1(-k rk a = B 。
A 、 )
1(1max -≤≤k ik
n
i a B 、 )
1(max -≤≤k ik
n
i k a C 、 )
1(max -≤≤k kj
n
j k a D 、 )
1(1max -≤≤k kj
n
j a
6. 设?(x)= 5x 3-3x 2+x +6,取x 1=0,x 2=0.3,x 3=0.6,x 4=0.8,在这些点上关于?(x)的插值多项
式为3()P x ,则?(0.9)-3(0.9)P =_____A_____。 A 、0 B 、0.001 C 、0.002 D 、0.003
7. 用简单迭代法求方程f (x )=0的实根,把方程f (x )=0转化为x =?(x ),则f (x )=0的根是: B 。 A 、y =x 与y =?(x )的交点 B 、 y =x 与y =?(x )交点的横坐标 C 、y =x 与x 轴的交点的横坐标 D 、 y =?(x )与x 轴交点的横坐标 8. 已知x 0=2,f (x 0)=46,x 1=4,f (x 1)=88,则一阶差商f [x 0, x 1]为 C 。 A 、7 B 、20 C 、21 D 、42
9. 已知等距节点的插值型求积公式()()4
6
3
k
k
k f x dx A f x =≈∑?,那么4
k
k A
==∑__C___。
A 、0
B 、2
C 、3
D 、9
10. 用高斯消去法解线性方程组,消元过程中要求__C__。
A 、0≠ij a
B 、0)
0(11≠a C 、0)(≠k kk a D 、0)1(≠-k kk a
11. 如果对不超过m 次的多项式,求积公式
)()(0
k b
a
n
k k x f A dx x f ?
∑=≈精确成立,则该求积
公式具有 A 次代数精度。
A 、至少m
B 、 m
C 、不足m
D 、多于m 12. 计算积分
2
1
1
dx x
?
,用梯形公式计算求得的值为 A 。 A 、0.75 B 、1 C 、1.5 D 、2.5
13. 割线法是通过曲线上的点))(,()),(,(11k k k k x f x x f x --的直线与 B 交点的横坐标作为方程0)(=x f 的近似根。
A 、y 轴
B 、x 轴
C 、x y =
D 、)(x y ?=
14. 由4个互异的数据点所构造的插值多项式的次数至多是_B___。 A 、 2次 B 、3次 C 、4次 D 、5次 二、计 算
1. 将方程3210x x --=写成以下两种不同的等价形式:
①2
1
1x x =+
;②x =
试在区间[1.40,1.55]上判断以上两种格式迭代函数的收敛性。(8分)
解: ①令121()1x x ?=+
,则'132()x x
?=-,173.0|)40.1(||)(|'
1'1
<≈≤??x ; 又]55.1,40.1[]51.1,42.1[)]40.1(),55.1([)(?≈∈???x ,故由定理2.1知,对任意]55.1,40.1[0∈x ,迭代格
式收敛; ②令11)(2-=
x x ?,则3'
2)
1(21)(--
=x x ?,123.1|)55.1(||)(|'2'2>≈>??x ,故由定理2.2知,对任意]55.1,40.1[0∈x ,且*0x x ≠,迭代格式发散。
2. 设方程f (x )=0在区间[0,1]上有惟一实根,如果用二分法求该方程的近似根,试分析至
少需要二分几次才能使绝对误差限为0.001。(8分) 解:设方程的精确解为x *,任取近似根x ],[n n b a ∈(有根区间)?[0,1],
则
001.02
12
1
≤=
-≤
-+*n n
n a b x x
97.812
ln 001
.0ln ,001.0121≈--≥∴≥
+n n
所以至少要二分9次,才能保证近似根的绝对误差限是0.001.
3. 用复化梯形公式、复化辛卜生公式分别计算积分
1
204
1dx x +?的近似值,要求总共选取9
个节点。(10分)
解:要选取9个节点应用复化梯形公式,则需将积分区间[0, 1]作8等分,即
8n =, 10
0.1258
h -=
=,0.125i x a ih h =+=(08i ≤≤) 设()241f x x =
+,则积分1204
1dx x
+?的复化梯形公式为: 1
1
02
017
0814()2()()120.125()2()()2n i n i i i h dx f x f x f x x f x f x f x -==??
≈++??+??
??=++??
??
∑?∑
若选取9个节点应用复化辛卜生公式,则
4n =,110
0.254
h -=
=,110.25i x a ih h =+=(04i ≤≤) 积分1
2
04
1dx x +?
的复化辛卜生公式为:
11
1
101200123
3
010124
()4()2()()160.25()4()2()()6n n k n k k k k n k k k h dx f x f x f x f x x f x f x f x f x --+==+==??≈+++??+??
??=+++????
∑∑?∑∑
将所用到的i x 与相应的()i f x ,以及()i f x 的梯形加权系数i T 、()i f x 的辛卜生加权系数i S 全部列于下表,得:
那么由复化梯形公式求得
7
1
082
0140.125()2()()123.138989
i i dx f x f x f x x =??
≈++??+??=∑? 由复化辛卜生公式求得
.
33
1
012001240.25()4()2()()163.141593
k n k k k dx f x f x f x f x x +==?
?≈+++??+??=∑∑?
4. 用列主元高斯消去法解下列方程组:
????
??????=????????????????????-20111.031045321
321x x x (8分)
解: ??????????-211.03010451321 ???????????--255.2112.101045 ?????
??????---96.14.1255.201045
再用“回代过程”可计算解:
2
.15/)]4.1(1024[2
)5.2/()]4.1(52[4
.1)4.1/(96.1123=-?-?-==--?+=-=-=x x x
5. 给定线性方程组
???
??=++=++=++)3(,
2053)2(,18252)1(,
1432321
321321x x x x x x x x x
写出雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式。(8分)
解:写出用雅可比迭代法解该方程组的迭代公式为
???
?
??
???--=--=--=+++)
3(),320(51)2(),2218(51)1(,3214)(2)(1)1(3)
(3)(1)1(2
)
(3)(2)
1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x
用高斯-赛德尔迭代法解该方程组的迭代公式。
???
???
???--=--=--=++++++)3(),320(51)2(),2218(51)1(,3214)1(2)1(1)1(3)
(3)1(1)1(2
)
(3)(2)
1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x
6. 已知函数
试构造三次拉格朗日插值多项式P n (x )(8分) 解:先构造基函数
845-4--=5-2-4-2-0-2-5-4-=
0)
)(())()(())(()(x x x x x x x l
405-4-2+=5-04-02--05-4-2+=
1)
)()(())())((())()(()(x x x x x x x l
24
5-2+-=5-40-42+45-2+=
2)
)(())()(()()()(x x x x x x x l
35
)
4()2()45)(05)(25()4()2()(3-+=
--+-+=
x x x x x x x l 所求三次多项式为 P 3(x )=
∑=n
k k
k x l
y 0
)(
=84
5-4-?5-))((x x x +405-4-2+))()((x x x -245-2+?3-)
)(()(x x x +
35
4-2+)
()(x x x
7.
??
???=-
=1)0(2y y x y dx
dy
在区间[0, 0.8]上,取h = 0.1,用改进欧拉法求解初值问题。要求计算过程至少保留小数点后4位数字。(8分)
解:用改进欧拉法计算公式如下:
???? ?
?-+=+n n n n n y x y h y y 2)0(1
[]
1
.0,1222),(),(2
0)0(11)0(1)
0(111==???
????????? ??-+???? ??
-+=++
=++++++h y y x y y x y h y y x f y x f h y y n n n n n n n n n n n n n 计算结果如下表:
x n
改进欧拉法y n
0 1 0.1 1.095909 0.2 1.184097 0.3
1.266201
0.4 1.343360 0.5 1.416402 0.6 1.485956 0.7 1.552514 0.8 1.616475
《计算方法》期中复习试题 一、填空题: 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案:2.367,0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 , 拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 8、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=5.9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 ); 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f ),代数精 度为( 5 ); 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。
《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案:, 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 , 拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); ( 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y ),y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为
( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y ); 10、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( ); 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f ),代数精 度为( 5 ); 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ,1 ,进行两步后根的所在区间为 , 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ,用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ,梯形公式的代数精度为 1 ,辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ,该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ,)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高,具 有( 12+n )次代数精度。
模拟试题四 一、 单选题(每题3分,共15分) 1) ∏的近似值3.1428是准确到 位的近似值。 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 2) 已知求积公式)2(6 1)23()1(61)(12f Af f dx x f ++=?,则A= 。 A 、 1/6 B 、 1/3 C 、 1/2 D 、 2/3 3) 若求方程f(x)=0的根的牛顿法收敛,则它具有 收敛速度。 A 、线性 B 、 超越性 C 、平方 D 、三次 4) 改进的欧拉法的局部截断误差为 。 A 、O(h 5) B 、O(h 4) C 、O(h 3) D 、O(h 2) 5) 通过点x 0,x 1,… x n 处的拉格朗日插值多项式是 。 A 、n 次的 B 、n+1次的 C 、n-1次的 D 、不超过n 次的 二、 填空题(每小题3分,共15分) 1) 如果x >>1,计算公式x x x x 11--+比较精确的等价公式为_____ 。 2) 满足f(x a )=y a , f(x b )=y b ,f(x c )=y c 的拉格朗日插值余项为 。 3) 幂法是求实方阵A 的 的一种迭代方法。 4) 设A=(a ij )为n 阶方阵,若满足 ,则称A 为按行严格对角占优矩阵。 5) 如果函数f(x)在区间[a,b] 上连续、单调,且满足f(a)f(b)<0,即方程f(x)=0在(a,b )内有 根。 三、(15分) 用一般迭代法求方程x 3-4x+1=0在[0,0.5]内的根, 1) 写出一般迭代法迭代公式; 2) 说明迭代法的收敛性; 3) 取初始值x 0=0.5,求出x 1 。 四、(15分)
2002-2003 第一学期 一.计算及推导( 5*8) 1.已知 x* 3.141, x ,试确定 x * 近似 x 的有效数字位数。 * * * 0.100 * * * 2.有效数 x 1 3.105, x 2 0.001, x 3 1 x 2 3 ,试确定 x x 的相对误差限。 3.已知 f ( x) 0.5 x 3 0.1x 2 ,试计算差商 f 0,1,2,3 4.给出拟合三点 A (0,1), B (1,0) 和 C (1,1) 的直线方程。 5.推导中矩形求积公式 b (b a) f ( a b ) 1 f '' ( )(b a)3 f (x)dx a 2 24 b n f (x)dx A i f ( x i ) a 6.试证明插值型求积公式 i 0 的代数精确度至少是 n 次。 7.已知非线性方程 x f (x) 在区间 a, b 内有一实根,试写出该实根的牛顿迭代 公式。 8.用三角分解法求解线性方程组 1 2 1 x 1 0 2 2 3 x 2 3 1 3 0 x 3 2 二.给出下列函数值表 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x i 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 f ( x i ) 要用二次插值多项式计算 f (0.63891) 的近似值,试选择合适的插值节点进行计 算,并说明所选用节点依据。 (保留 5 位有效数字)(12 分) 三. 已知方程 x ln x 0 在 (0,1) 内有一实根 ( 1)给出求该实根的一个迭代公式,试之对任意的初始近似 x 0 (0,1) 迭代法都收 敛,并证明其收敛性。 ( 2) x 0 0.5 试用构造的迭代公式计算 的近似值 x n ,要求 x n x n 1 10 3 。 四. 设有方程组
计算方法考试题(一) 满分70分 一、选择题:(共3道小题,第1小题4分,第2、3小题3分,共10分) 1、将A 分解为U L D A --=,其中),,(2211nn a a a diag D =,若对角阵D 非奇异(即),1,0n i a ii =≠,则b Ax =化为b D x U L D x 1 1)(--++=(1) 若记b D f U L D B 111 1),(--=+= (2) 则方程组(1)的迭代形式可写作 ) 2,1,0(1 )(1)1( =+=+k f x B x k k (3) 则(2)、(3)称 【 】 (A)、雅可比迭代。(B)、高斯—塞德尔迭代 (C)、LU 分解 (D)、Cholesky 分解。 2、记*x x e k k -=,若0lim 1≠=+∞→c e e p k k k (其中p 为一正数)称序列}{k x 是 【 】 (A)、p 阶收敛; (B)、1阶收敛; (C)、矩阵的算子范数; (D)、p 阶条件数。 3、牛顿切线法的迭代公式为 【 】 (A)、 ) () (1k x f x f x x k k k '- =+ (B)、 )()())((111--+--- =k k k k k k k x f x f x x x f x x 1 )() ()1()()()(x x f x f x f k i k i k i ??+=+ (D)、 )() ()()1(k k k x f x x -=+ 二、填空题:(共2道小题,每个空格2分,共10分) 1、设0)0(f =,16)1(f =,46)2(f =,则一阶差商 ,二阶差商=]1,2,0[f ,)x (f 的二次牛顿 插值多项式为 2、 用二分法求方程 01x x )x (f 3 =-+=在区间]1,0[内的根,进行第一步后根所在的区间为 ,进行第二步后根所在的区间 为 。 三、计算题:(共7道小题,第1小题8分,其余每小题7分,共50分) 1、表中各*x 都是对准确值x 进行四舍五入得到的近似值。试分别指出试用抛物插值计算115的近似值,并估计截断误差。 3、确定系数101,,A A A -,使求积公式 ) ()0()()(101h f A f A h f A dx x f h h ++-≈? -- (1) 具有尽可能高的代数精度,并指出所得求积公式的代数精度。
《计算方法》期末考试试题 一 选 择(每题3分,合计42分) 1. x* = 1.732050808,取x =1.7320,则x 具有 位有效数字。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 2. 取7 3.13≈(三位有效数字),则 ≤-73.13 。 A 、30.510-? B 、20.510-? C 、10.510-? D 、0.5 3. 下面_ _不是数值计算应注意的问题。 A 、注意简化计算步骤,减少运算次数 B 、要避免相近两数相减 C 、要防止大数吃掉小数 D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量)0(x ?及常向量g ?,迭代过程g x B x k k ? ??+=+)() 1(收敛的充分必要条件是_ _。 A 、11< B B 、1<∞ B C 、1)(数值计算方法期末模拟试题二
,取 , ,取初始值, 近似解的梯形公式是 ,则== = =
10、设,当时,必有分解式,其中 L为下三角阵,当其对角线元素足条件时,这种分解是唯一的。 二、计算题(共60 分,每题15分) 1、设 在上的三次Hermite插值多项式H(x)使满 (1)试求 足H(x)以升幂形式给出。 (2)写出余项的表达式 2、 已知的满足,试问如何利用构造一 个收敛的简单迭代函数,使0,1…收敛? 3、试确定常数A,B,C和,使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少?它是否为Gauss型的? 4、推导常微分方程的初值问题的数值解公式:
三、证明题 1、设 (1)写出解 的Newton迭代格式 (2)证明此迭代格式是线性收敛的 2、设R=I-CA,如果,证明: (1)A、C都是非奇异的矩阵 (2) 参考答案: 一、填空题 1、2.3150 2、 3、 4、1.5 5、 6、 7、 8、收敛
9、O(h) 10、 二、计算题 1、1、(1) (2) ,可得 2、由 因故 故,k=0,1,…收敛。 3、,该数值 求积公式具有5次代数精确度,它是Gauss型的 4、数值积分方法构造该数值解公式:对方程在区间 上积分,得 ,记步长为h,对积分
用Simpson求积公式得 所以得数值解公式: 三、证明题 1、证明:(1)因,故,由Newton 迭代公式: n=0,1,… 得,n=0,1,… (2)因迭代函数,而, 又,则 故此迭代格式是线性收敛的。 2、证明:(1)因,所以I–R非奇异,因I–R=CA,所以C,A都是非奇异矩阵 (2)(2)故则有
《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉 格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式就是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差与( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 10、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=5、9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0、15 ); 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式
计算方法模拟试题 一. 填空题 1. 已知46)2(,16)1(,0)0(===f f f , 则=]1,0[f __16__,=]2,1,0[f ___17__, )(x f 的二次牛顿插值多项式为_N 2(x)=_0+16x+7x(x-1)__. 2. 已知16.0)4.0(,04.0)2.0(==f f , 则一次差商=]4.0,2.0[f ___0.6_. 3. 用二分法求方程01)(3=++=x x x f 在区间[0,1]内的根, 进行一步后根所在区间为___________, 进行二步后根所在区间为_____________, 4. 计算积分?211dx x , 用梯形公式计算求得的值为_______, 用辛普森公式计算求得的值为_____________. 5. 设??? ? ??-=1223A , ???? ??-=32x , 则=∞||||A ___5___, =∞||||x _3_. 二. 计算题 1. 已知12144,11121,10100===,试利用二次Lagrange 插值多项式计算 115的近似值. 2. 用插值点(1, 4), (2, 1), (4, 0), (6,1)构造牛顿插值函数)(3x N . 3. 求三个常数C B A ,,, 使求积公式 )2()1()0()(20Cf Bf Af dx x f ++≈? 具有尽可能高的代数精确度. 4. 用最小二乘法求下列数据的线性拟合函数2bx a y += i x 2 3 5 7 8 i y 1 6 22 46 61
5.设0 =x x x f,试求方程的一个含正根的区间;给出在有根区间收- - 1 (3= 3 ) 敛的不动点迭代公式;给出求有根区间上的牛顿迭代公式。
计算方法模拟试题 一、 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.近似值210450.0?的误差限为( )。 A . 0.5 B. 0.05 C . 0.005 D. 0.0005. 2. 求积公式)2(3 1 )1(34)0(31)(2 0f f f dx x f ++≈ ?的代数精确度为( )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若实方阵A 满足( )时,则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ,使LR A =。 A. 0det ≠A B. 某个0 det ≠k A C. )1,1(0det -=≠n k A k D. ),,1(0det n k A k =≠ 4.已知?? ?? ? ?????=531221112A ,则=∞A ( )。 A. 4 B. 5 C. 6 D 9 5.当实方阵A 满足)2(,221>>-=i i λλλλ,则乘幂法计算公式1e =( )。 A. 1+k x B. k k x x 11λ++ C. k x D. k k x x 11λ-+ 二、填空题(每小题3分,共15分) 1. 14159.3=π,具有4位有效数字的近似值为 。 2. 已知近似值21,x x ,则=-?)(21x x 。 3.已知1)(2-=x x f ,则差商=]3,2,1[f 。 4.雅可比法是求实对称阵 的一种变换方法。