热力学与统计物理第四章知识总结

§6.1粒子运动状态的经典描述

一、μ空间

1、μ空间的建立

在经典力学中，我们经常利用物体的坐标和动量描述物体的力学运动状态。当然这种方法也可以用于描述遵守经典力学规律的近独立粒子。如果粒子的自由度为r，则粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r个坐标q，q，…，q和相应的r个广义动量P，P，…，P在该时刻的数值确定。粒子的能量ε是广义坐标和广义动量的函数，即ε=ε(q，q，…，q; P，P，…，P)

当存在外场时，ε还是描述外场参量的函数。

为了形象地描述粒子的力学运动状态，我们用q，q，…，q；

P，P，…，P共2r个变量为直角坐标，构成一个2r维空间，称为粒子的相空间或者μ空间。

粒子在某一时刻的力学运动状态 (q，q，…，q; P，P，…，P)可以用μ空间中的一个点表示，称为粒子运动状态的代表点。当粒子的运动状态随时间改变时，代表点相应地在μ空间中移动，描绘出一种轨迹，称为相轨迹。由N个粒子组成的系统在某一时刻的一个特定的微观状态，在μ空间中用N个代表点表示。随着时间的变化，系统运动状态的变化由N个代表点在μ空间中的N条运动轨迹，即N条线代表。

2、性质

i) μ空间是人为想象出来的超越空间，是个相空间。引进它的目的在于使运动状态的描述几何化、形象化，以便于进行统计。μ空间中的一个代表点是一个粒子的微观运动状态而不是一个粒子。

ii) 在经典力学范围，在无相互作用的独立粒子系统中，任何粒子总可找到和它相应的μ空间来形象地描述它的运动状态，但不是所有的粒子的运动状态可以在同一μ空间中描述。如一个自由度数为3的粒子，它需在一个6维的μ空间中描述；一个自由度数为5的粒子，它的μ空间是10维的，即需在10维的μ空间中描述它的运动状态。

二、自由粒子

所谓自由粒子，指的是不受外力作用可以自由运动的粒子。在通常情况下，我们还经常把可以忽略外力作用的粒子看作自由粒子。例如，当不存在力场时，理想气体的分子或金属中的自由电子都可以被看作自由粒子。

自由粒子有三个自由度，确定它的运动状态需要三个坐标（x,y,z）和三个动量（P,P,P）。因此，它的运动可用六维相空间中的点来描述。经典力学告诉我们，自由粒子的能量就是它的动能

=（P+P+P

）⑴

最简单的μ空间运动是一维自由粒子的运动，其粒子运动状态可以在纸面上画出。我们用x 和P表示粒子的坐标和动量，以x和P为直角坐标，这样构成二维的μ空间。如图所示设一维容器的长度为L，则x可取0到L中的任何数值。

对于遵从经典力学运动规律的粒子，P原则上可以取-到中的任何数值。这样，粒子的任何一个运动状态（x,P）可由μ空间在上述范围中的一个点代表。当粒子以一定的动量P运动时，运动状态代表点的轨迹是平行于x轴的一条直线，直线与x轴的距离等于P。不同的动量P可以描绘出不同的直线。

对于3维的自由粒子，μ空间是6维的，不可能在纸上画出它的图形来，但可把这6维的μ空间分解为三个二维的子空间，在一个子空间中描述粒子沿一个坐标轴的运动。

三、线性谐振子

质量为m的粒子在弹性力f=-Ax的作用下，将在原点附近作一维简谐振动，称为线性谐振

子。振动的圆频率=，A为常数，是弹性力系数。M为粒子质量。在一定的条件下，分子内原子的振动，晶体中原子或离子在其平衡位置附近的振动都可以看成是线性谐振子的运动。

线性谐振子的自由度为1。任一时刻粒子离开原点的位移为x，相应的动量P=m，其能量是动能和势能之和，为

=+x=+m

x⑵

如果给定振子的能量，则⑵式可化为：+=1 ⑶

P为直角坐标构成二维的

P在能量一定时，满足⑶式。

和的一个椭圆，椭圆的面积等于

。

所联结成的等能面是半轴长度分别为和的椭圆。能量不同，椭圆也就不同。

§4.2 粒子运动状态的量子描述

一、量子描述

1、De Broglie(德布罗意)关系

实践和理论都告诉我们，微观粒子具有明显的波粒二象性。一方面，它们是客观存在的单个实体，另一方面，在适当的条件下又可以观察到微观粒子具有干涉、衍射等为波动所特有的物理现象。根据De Broglie(德布罗意)的波粒二象性理论，粒子能量与圆频率，动量与波矢的关系为

==

⑴上式称为De Broglie关系，适用于一切微观粒子，其中

=，称（或h）为Planck常数

它是量子物理中的基本常数。量纲为[时间][能量]=[长度][动量]=[角动量]。这类物理量常称为作用量，因此也称基本作用量子。用宏观现象的单位（Kg m S）来量度，的数值很小；反之，宏观世界用作用量子为单位时，其参量将有非常大的数值，这样，Planck常数提供了一个判据：当一个物质系统的任何具有作用量纲的物理量具有与相比

拟的数值时，这个物质系统是一个量子系统；反之，物理量用来量度，数值非常大时，该系统为经典系统。

2、测不准关系

当我们用粒子和波两种图象去描述同一个微观粒子时，我们不能把经典的宏观粒子的全部属性或经典波动的全部属性都强加给这个微观粒子。例如，当我们把经典力学中表征宏观粒子运动状态的位置（即坐标）和动量的观念用于微观粒子时，微观粒子的波动性就会对这种观念加以某种“限制”。1927年海森堡（W.HeiSenberg）指出，要同时确定微观粒子的坐标和动量是不可能的，它们的准确度有一个原则上的限度，若用Δx表示微观粒子在x 坐标轴上位置的准确度或者位置的可能范围，用ΔP表示同一微观粒子同一时刻在x坐标方向上动量分量的准确度或者动量分量的可能范围，则Δx和ΔP之间满足kΔxΔP h ⑵

这就是著名的海森堡测不准关系。上式说明：若准确地指定微观粒子的位置，即指定粒子准确地位于x出或者Δx=0，则由测不准关系式，必然得出ΔP，这表示微观粒子的动量可能具有P P+之间的任何数值，因而粒子的动量是不确定的。反之，若准确的指定微观粒子的动量，则粒子的坐标也是不确定的。这说明微观粒子的运动没有确定的轨迹，运动不是轨道运动。

在经典力学的理论中，粒子可以同时具有确定的坐标和动量。这并不是说在实际上我们可以任意的精确度做到这一点，而是说在经典力学的理论中，原则上不允许对这精确度有任何限制。由于普朗克常数h的数值很小，所以测不准关系在任何意义上都不会跟宏观物理学的经验知识发生矛盾。

3、量子描述

在量子力学中微观粒子的运动状态称为量子态。量子态由一组量子数表征。这组量子数的数目等于自由度数。

以下举例说明几种粒子的量子数。

（1）外磁场中的电子自旋电子自旋.swf

电子具有自旋角动量和自旋磁矩。两者之比

=-

其中e为电子电荷的绝对值，m为电子的质量。在原子物理课讲过，如果存在z方向的外磁场，磁感强度为，电子的自旋角动量在外磁场方向的投影有两个可能的值，即S=

±。自旋磁矩在外磁场方向的投影相应为μ=。电子在外磁场的势能为

-=±B

⑶

因此描述处在外磁场中的电子自旋只要一个量子数S，它只能取两个分立的数值±

。

（2）自由粒子

所谓自由粒子，指的是不受外力作用可以自由运动的粒子。在通常情况下，我们还经常把可以忽略外力作用的粒子看作自由粒子

i) 一维自由粒子

为简单起见，我们首先讨论一维的自由粒子。设粒子处在长度为L的一维容器中，由量子力学知，在边界满足周期条件，则有

波矢量 k=n, n=0, ±1,±2…⑷

其中是波矢。将上式代入=，得一维自由粒子的动量为：

P=n, n=0, ±1,±2…⑸

这里，n表征一维自由粒子运动状态的量子数。则一维自由粒子的能量由经典力学可得

==, n=0, ±1,±2…⑹式⑸和⑹表明粒子的动量是分立的。这是局域在有限空间范围的量子特征。分立的能量值称为能级，由⑹式可求得相邻两能级的能级

间距为ΔE=E- E=-=

⑺

ii)三维自由粒子

设粒子处在边长为L的立方容器中，则粒子的三个动量分量分别为

P=n, n=0, ±1,±2…

P=n, n=0, ±1,±2…⑻

P=n, n=0, ±1,±2…

式中n, n, n是三维自由粒子运动状态的量子数。能量为

=（P+P+P）=⑼

由此可知，能级取决于（）的数值。因此处于同一能级上的量子态不

止一个。例如：当=时，n, n, n可以取6组不同的值，即: n=0 n=0 n=±1

n=0 n=±1 n=0

n=±1 n=0 n=0

也就是说，能级上的量子态有6个，我们就称能级是简并的简并度为6。某一能级的量子状态不止一个，一个能级的量子态数称为该能级的简并度

二、粒子的量子状态在μ空间中的描述

现在我们把测不准关系的结论应用到μ空间中。

可以证明，对于自由度为r的粒子，每一个量子状态在μ空间中占据大小为h的一个体积元。换句话说，粒子每一个可能的状态的状态对应于μ空间中大小为h的一个体积元，

我们可以根据测不准关系来理解。测不准关系指出，在量子力学所容许的最精确的描述中，粒子坐标的不确定值Δq和与之共扼的动量的不确定值ΔP满足

ΔqΔP

h

⑽

因此如果用广义坐标q和广义动量P在μ空间中描述粒子的运动状态时，一个运动状态必然对应于μ空间中的一个体积元，我们称这个体积元为一个相格。（由于微观粒子的运动受测不准关系限制，因而在μ空间中表示同一空间运动状态的代表点将分布在一块小体积内，这块小体积称为相格。）对于自由度为1的粒子，这个相格（体积元）的大小为h。如果粒子的自由度为r，每一个自由度的坐标和动量的不确定值Δq和ΔP分别满足测不准关系ΔqΔP h，则

Δq…ΔqΔP…ΔP

h⑾

因此，对于自由度为r的粒子，每一个可能的状态对应于μ空间中大小为h的一个相格（体积元）。

例如，三维自由粒子的一个量子态对应于μ空间中体积为h的一个相格。

nsV表示容器的体积。在体积V内，在P到P+d P,P到 P+d P，P到P+d P 的动量范围内，三维自由粒子可能的量子状态数就

为

⑿

这个结果也可以直接从P=n,P=n,P=n得出。

证明：设容器为边长L的正方形V=L。因此在P到P+d P的范围内，可能的P的数目d n由P=n，得

dn= d P

P到 P+d P和P到P+d P的范围内，可能的P， P的数目为

dn= d P

dn= d P

则在体积V=L内，P到P+d P,P到 P+d P，P到P+d P内，自由粒子的量子态数为

dn dn dn=（）dP dP dP=dP dP dP

其中利用了=，与测不准关系所得结果一致。

在某些问题中，往往用动量空间中的球极坐标p，，来描写自由粒子的动量。则P=Psin cos，P=Psin cos，P=cos⑿

这时动量空间体积元为P sin dpd d。所以在体积V内，动量大小在P到P+dP，动量方向在+d，到+d的范围，自由粒子可能的状态为

⒀如果再对和积分，由0积分到，由0积分到2，得

d sin d=4⒁

便可求得在体积V内，动量绝对值在P到P+dP范围内（动量方向任意），自由粒子可能的状态数为

P

dP ⒂将ε=代入上式得，在体积V内，在ε到ε+dε范围内自由粒子的可能状态数为

2mεd=(2m)εdε⒃

定义：D（ε）=(2m)ε表示单位能量间隔的可能量子状态数称为态密度。

应当说明，上述粒子的状态数没有考虑；粒子的自旋。如果粒子的自旋不等于零，还要计及自旋的贡献。例如，假如粒子的自旋量子数为，自旋角动量在动量方向的投影有

两个可能值，上述粒子的状态数都应乘以因子2。

§4.3系统微观粒子运动状态的描述

一、经典力学描述

设有N个粒子组成的系统，每个粒子的自由度为r，确定任一个例如第i个粒子在任一

时刻的力学运动状态，需要有r个广义坐标，，…和r个广义动量，，…

的数值来确定，则整个系统在任一时刻的力学运动状态需要有Nr个广义坐标和Nr个广

义动量来确定，也就是说需要有2Nr个变量，，…；，，…(i=1,2, …N)来确定整个系统的力学运动状态。

（全同粒子：内禀属性(质量、电荷、自旋等)完全相同的粒子）

在经典物理中，全同粒子是可以分辨的。主要原因是经典粒子的运动是轨迹运动，由广义坐标和广义动量就可以确定它的运动轨迹，所以只要确定每一个粒子的初始位置，就可以确定其后任一时刻的位置。所以尽管全同粒子的属性完全相同，原则上仍然可以辨认。既然全同粒子可以分辨，如果在含有多个全同粒子的系统中，将任意两个粒子的运动状态加以交换，系统的力学运动状态在交换前后也是不同的例如第i个粒子和第j个粒子的运动状态分别是（q,q,…q，P,P,…P）和（q,q,…q;P,P,…P）,两者交换后，第i个粒子的运动状态为（q,q,…q;P,P,…P），第j个粒子的运动状态为（q,q,…q，P,P,…P）。改变了它们的力学运动状态。如图所示

μ空间中的一个点表示一个粒子在某一时刻

的力学运动状态则由N个全同粒子组成的系统在

某一时刻的力学运动状态可在μ空间中用N个点

表示。根据经典物理中全同粒子的可分辨性可知，

如果交换μ空间中任意两个点的位置，整个系统的

微观状态将被改变。

三、量子力学描述

1、全同性原理

微观粒子的全同性原理指出，在量子物理中，全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何一对全同粒子加以交换，不改变整个系统的微观运动状态。这个原理与经典物理关于全同粒子可以分辨的论断是截然相反的。导致这两个完全相反的论断的根据原因是：经典粒子的运动是轨道运动，原则上可以跟踪经典粒子的运动而加以辨认；而量子粒子具有波粒二象性，它的运动不是轨道运动，原则上不可能跟踪量子粒子的运动而加以辨认。

假设在t=0时已知两个粒子的位置，如果是g经典粒子，它们将沿着自己确定的轨迹运动，对于量子粒子来说，由于波动性而使它们的波动迅速扩散而互相重叠，在t>0时已不能辨认哪个粒子。如图所示

2系统微观运动状态的量子描述

i)定域系和非定域系

如果量子粒子是定域的，其粒子是可以分辨的。确定系统的微观状态要求确定每个粒子的个体量子态。

对于非定域系统，粒子运动是非定域的，确定非定域系统的微观状态不可能要求确知每一个粒子所处的个体量子态，而只能确定每一个个体量子态上各有多少个粒子（简并度）。

ii)玻耳兹曼系统，费米系统，玻色系统

由费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡利不相容原理。(泡利不相容原理：在原子中不能容纳运动状态完全相同的电子。)

由玻色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的约束。

在统计物理学发展的早期，玻耳兹曼建立了玻耳兹曼系统：即把可分辨是全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。

举例说明三种系统的区别：

设系统含有两个粒子。粒子的个体量子态有3个。如果这两个粒子是玻耳兹曼粒子，玻色子和费米子时，分别讨论系统各有哪些可能的微观状态。

①玻耳兹曼系统：粒子可以分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒子数不受限制。以A、B 表示可以分辨的两个粒子，它们占据3个个体量子态，可以有以下的方式：

②玻色系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态所能容纳的粒子数不受限制。由于粒子不可分辨，令A=B；两个粒子占据三个个体量子态有以下的方式：

③费米系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态最多能容纳一个粒子。两个粒子占据3个个体量子态有一下的方式：

§4.4分布和微观状态

一、分布（粒子在各能级的分布）

设有一近独立粒子系统，有确定的粒子数N，能量E和体积V以ε(l=1,2,…)表示粒子的能级，ω表示能级ε的简并度。则N个粒子在各个能级的分布可表示为：能级：ε，ε，…ε…

简并度：ω，ω，…ω…

粒子数： a，a，…a…

它表明：能级ε上有a个粒子，能级ε上有 a个粒子，…，能级ε上有a个粒子，…，等等。我们用{a}表示数列a，a，…a…称为一个分布。对于具有确定的N,E,V

的系统，分布{a}必须满足条件a=N，E a

=E 给定一个分布{a}，就确定了处在每一个能级ε上的粒子数a。

分布和微观状态是两个不同的概念，与一个分布{a}相应的系统的微观状态往往可以有若干个。这微观状态数对于玻耳兹曼系统，玻色系统和费米系统显然不同，下面分别加以讨论。

二、微观状态数

1、玻耳兹曼系统

粒子可以分辨，即可得粒子编号。这样，当交换粒子时，将改变系统的占据方式，因此改变了系统的状态。例如有三个可区分的粒子的系统，其排列是一种全排列，交换粒子，可以得到3!=6种占据方式，即系统有3!个微观状态。

有N个可分辨的粒子系统，其粒子占据能级的分布为{a}.首先考虑，a个离子占据能级ε上的ω个量子态时，第一个粒子可以占据ω个量子态中的任何一个态，有ω种可能的占据方式。由于每个量子态能够容纳的粒子数不受限制，在第一个粒子占据了某一个量子态以后，第二个粒子仍然有ω种的占据方式，…，这样a个编了号的粒子占据ω个量子态共有ω种可能的占据方式，因此a，a，…a…个编了号的粒子分别占据能级ε，ε，…ε…上的量子态共有种方式。现在考虑将N个粒子互相交换，不管是否在同一能级上，交换数是N!在这个交换中应该除去在同一能级上a个

粒子的交换a!，因此得因子N!/ 。这样，可区分粒子系统。玻耳兹曼系统，其分

布为{a}的微观状态数为=⑵

2、玻色系统

粒子不可分辨，每一个个体量子态能容纳的粒子数不受限制。为了求玻色系统的一个分布所包含的微观状态数。我们先来研究一个问题，将10个相同的球放进6个格子，每个格子可容纳的球数不限，问多少种放法下面画出任意的两种放法··|·|····|||···，·|·|··|···|···|，

上图启示我们，为了计算所有可能的放法，可以设想10个球被5个可以移动的隔板隔成6部分，如果把球和隔板都当作被排列的元素，则它们的任何一种全排列都对应一种放法。已知15个元素是全排列数为15!。但是如果考虑到球是全同的隔板也是全同的，两球相换或者两板相换都不对应新的放法所以还需从15!中除去两球互换的方式数10!和两板互换的

方式数5!。综上所述，不同的放法共有种。

同理，a个玻色子在ω个量子态中的分配情况也是一样的，我们可以把a个玻色子当作a个全同小球，把ω个量子态当作（ω-1）个全同隔板，使用类似的方法将得到a个玻色子在ω个量子态中的分配方式数（微观状态数）为

由于每一个能级都有相同的表达式，所以一个分布包含的微观状态数为

=

⑶

3、费米子

粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。同样，我们先求ε能级的a个费米子分配到ω个量子态的可能方式数。由于费米子遵从泡利不相容原理，所以必须假设ω≥a。如果先将粒子编号，（实际不能编号）。显然，第一个粒子有ω种可能的分配方法，第二个粒子就有（ω-1）种可能的分配方法，依此类推，第a个就有（ω-a+1）种分配方法，因此，满足泡利不相容原理的编了号的a个粒子按ω个量子态的分配方式数为

ω（ω-1）…（ω-a+1）=

考虑到费米子的全同性，同一能级中的任何二个粒子的交换（a个粒子有a！种互换方式），并不对应新的分配方式，所以a个费米子分配到ω个量子态中的可能方式为

因为对于每一能级都有相同的表达方式，所以一个分布所包含的微观态数为：

=⑷

4、经典极限条件

如果在Bose和Fermi系统中，任一能级ε上的粒子数均远小于该能级量子态数，即《1 （对所有的l）⑸

则玻色系统的微观状态数可以近似为

==

=≈

=⑹

费米系统的微观状态数可以近似为

==

=≈

=⑺

当《1 时存在着==

所以称《1为经典极限条件，也称非简并性条件。表示所有能级中的粒子数远小于量子态数。这意味着，平均而言处在每一个量子态上的粒子数均远小于1。当满足非简并条件时，不论是Bose还是Fermi系统与分布{a}相对应的微观状态数都近似等于可区分粒子系统微观状态数除以N!

一、经典统计中的分布和微观状态数

在经典力学中，粒子的坐标和动量是能够唯一确定的。对于自由度数为r的粒子在某一时刻的运动状态就可以由r个广义坐标和r个广义动量（q,q,…q，P,P,…P）来确定，相应于μ空间中的一个代表点，随着时间的推移。将在μ空间中描绘一条曲线。对于由N个粒子组成的系统来说，在某一时刻的运动状态就由Nr个广义坐标和Nr个广义动量（q,q,…q，P,P,…P）（i=1,2,…N）共Nr个变量来确定，相应于μ空间中的N 个代表点。随着时间的推移，将在μ空间中描绘N条曲线，N条相轨迹。也就是说q和p是连续变量，因此粒子和系统的微观状态也是一个连续的量，是不可数的。

但是为了计算粒子的微观状态数，我们可以将μ空间划分成大小相等的小体积，即相格。划分方法：将第i个连续变量q和p划分成大小相等的许多小间隔，满足δqδp=h，其中h是与i无关的具有固定大小的任意小量，量纲为[长度][动量]。因此就可以由粒子运动状态在μ空间中的代表点，所在的相格来确定粒子的运动状态。对于自由度为r的粒子可以将μ空间划分成δq…δqδp…δp= h大小的相格。处在同一相格中的代表点，代表相同的运动状态。相空间被分割成小相格的尺寸选的愈小，即h选得愈小，粒子状态的确定显然就愈精确。在经典描述中，h可以选得任意小，但是正确的量子力学描述对于h施加一个限制，选择h的最小值为普朗克常数h

选择h

对于由N个粒子组成的系统的经典统计描述，我们可以将μ空间划分为许多体积元Δ

ω（l=1,2,…）,以ε表示运动状态处在Δω内的粒子所具有的参量。由于一个粒子（自

由度数为r）的微观运动状态用μ空间中大小为h的相格确定，则Δω内粒子的运动状

态数为。这个量与量子统计中的简并度相当。因此，N个粒子处在各Δω的分布可以描述如下：

体积元：Δω，Δω，…，Δω…

“简并度”，，…，…

能量ε，ε，…，ε…

粒子数a，a，…，a…

经典粒子可以分辨，处在一个相格内的经典粒子数不受限制。因此，在经典统计中与

分布{a}对应的微观状态数可以参照=

§4.5玻耳兹曼分布

我们在上节求出了与一个分布相应的系统的微观状态数，等概率原理认为：对于处于平衡状态的孤立系统，每一个可能的微观状态出现的概率是相等的。然而不同的分布{a}有不同的出现概率，微观状态数最多的分布，必然出现在概率最大，称为最概然分布（最可几分布）。这种概率最大的分布对应系统的平衡态，或者说这是系统平衡态的分布。这样，求平衡态的分布，就是在各种分布中，求含有微观状态数最多的那种分布。

本节推导玻耳兹曼系统粒子的最概然分布，称为玻耳兹曼分布.在推导玻耳兹曼分布以前，先证明一个近似等式

一、Stirting(斯特令)公式

lnm!=m(lnm-1)

⑴

其中m是远大于1的整数。

证明：lnm! =ln1+ ln2+ lnm

所以上式右侧等于图中一系列矩形面积之和，图各矩形面积的宽为1，高分别为ln1，ln2，…， lnm 当m远大于1时，矩形面积之和近似等于曲线lnx下的面积。所以由积

分定义：lnm!≈=[xlnx-x]≈m(lnm-1)

二、Bdtzmann分布

对于玻耳兹曼系统的微观状态数我们可以简写为

=

⑵求最概然分布就是求为最小的分布。把看作多元变数的函数，这样求最概然分布就归结为求多元变数函数的极值问题，因此最概然分布是使为极大值的分布。由于ln

随变化是单调的，为了使运算简便，我们用求ln的极大值来代替求的极大值，对⑵式取对数有

ln= lnN!-

+⑶设所有的a都很大，利用斯特令公式⑴可得上式写为

ln=N(lnN-1)-+

=NlnN-N-++

因为近独立粒子系统满足=N 所以上式可得

ln= NlnN-

+⑷为了求得{a}为极大的分布，必有

δln=0=-+

=-

=--δ

=-

⑸

其中利用了δN==0 另外还需满足δE==0

我们用Lagrange未定乘子法求解方积⑸。用未定乘子α和β乘δN和δE，并从δln

中减去，得

ln-αδN-βδE=-+α+βE)δa=0

根据拉氏乘子法原理，每个δa的系数都等于0，所以得

ln()+α+βE=0

即a=

e

⑹

此即Boltzmann系统的最概然分布，称为麦克斯韦——玻耳兹曼分布或玻耳兹曼分布。

拉氏乘子α和β由条件

N=和E=来确定，即

N=

E=⑺a=e是在最概然分布下，处在能级ε的粒子数。能级ε上有ω个量子态，处在其中任何量子态的平均粒子数应该是相同的。因此，处在能量为E上量子态S上的平均粒子为

f= e

⑻

此时⑺式可写为 N=,E=⑼

其中是对粒子的所有量子态求和。

说明：（1）我们求Boltzmann分布，是用ln的一级微分等于零，即ln取极值。要证明这个极值是极大值，还需证明ln的二级微分小于零。

证明：δln=-δδa

=-δa-δa

=-

由于a>0，所以上式总是负的，因此，Boltzmann分布是使之为极大的分布。

（2）Boltzmann分布是出现概率最大的分布。对于宏观系统，与最概然分布相对应的

的极大值非常陡，使其它分布的微观状态数与最概然分布的微观状态数相比几乎接近于零。

证明：将Boltzmann分布的微观状态数与其分布偏离为δa（l=1,2,…）的一个分

布的微观状态数+Δ比较，ln(+Δ)展开，得ln(+Δ)=ln+δln+δ

ln+…

将δln=0和δln=-代入上式，有

ln(+Δ)=ln-

如果假设偏差为δa∕a≈-10N

对于N=10的宏观系统，可得

≈e

这说明最概然分布是仅有极小偏差的分布，它的微观状态数与最概然分布的微观数相比也是几乎接近与零的，这就是说最概然分布的微观在状态数非常接近于全部可能的微观状态数。根据等概率原理，认为平衡态下，粒子实质上处于Boltzmann分布，所引起的误差可以忽略

（3）推导利用了a》1的近似

（4）假设系统是单元系，仅含一种粒子，可以把理论推广到含有多个组元的情形

（5）经典统计中的玻耳兹曼分布的表达式可以写为：

a= e

其中α、β满足

N=

E=-

§4.6玻色分布和费米分布

考虑一个处于平衡状态的孤立系统，具有确定的粒子数N，体积V和能量E。我们以ε（l=1,2,…）表示粒子的各能级，ω表示能级ε的简并度，以{a}表示处在各能级上的粒子数。显然分布{a}满足条件

=N

=E ⑴

首先我们推导玻色系统中粒子的最概然分布。

一、玻色系统

=

⑵

对上式取对数，得ln=

设a》1，ω》1，因而ω+a-1≈ω+aω-1≈ω

同时由斯特式近似lnm!=m(lnm-1) 得

热力学与统计物理第二章知识总结

§2.1内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分 热力学函数中的物态方程、内能和熵是基本热力学函数，不仅因为它们对应热力学状态描述第零定律、第一定律和第二定律，而且其它热力学函数也可以由这三个基本热力学函数导出。 焓：自由能： 吉布斯函数： 下面我们由热力学的基本方程(1) 即内能的全微分表达式推导焓、自由能和吉布斯函数的全微分 焓、自由能和吉布斯函数的全微分 o焓的全微分 由焓的定义式，求微分，得， 将（1）式代入上式得(2) o自由能的全微分 由得 (3) o吉布斯函数的全微分 (4)

从方程（1）（2）（3）（4）我们容易写出内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分dU，dH，dF，和dG独立变量分别是S，V；S，P；T，V和T，P 所以函数U（S，V），H（S，P），F（T，V），G（T，P）就是我们在§2.5将要讲到的特性函数。下面从这几个函数和它们的全微分方程来推出麦氏关系。 二、热力学（Maxwell）关系(麦克斯韦或麦氏) (1)U（S，V） 利用全微分性质（5） 用（1）式相比得（6） 再利用求偏导数的次序可以交换的性质，即 （6）式得（7） （2） H（S，P） 同（2）式相比有 由得（8） （3） F（T，V）

同（3）式相比 （9） （4） G（T，P） 同（4）式相比有 （10） （7），（8），（9），（10）式给出了热力学量的偏导数之间的关系，称为麦克斯韦（J.C.Maxwell）关系，简称麦氏关系。它是热力学参量偏导数之间的关系，利用麦氏关系，可以从以知的热力学量推导出系统的全部热力学量，可以将不能直接测量的物理量表示出来。例如，只要知道物态方程，就可以利用（9），（10）式求出熵的变化，即可求出熵函数。 §2.2麦氏关系的简单应用 证明 1. 求 选T,V为独立变量，则内能U（T,V）的全微分为 （1） 熵函数S(T,V)的全微分为( 2)

物理第四章知识点总结的内容

物理第四章知识点总结的内容 物理第四章知识点总结的内容 初二物理第四章知识点总结（苏科版） 第四章光的折射知识归纳 光的折射：光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向一般发生变化的现象。 凸透镜：中间厚边缘薄的透镜，它对光线有会聚作用，所以也叫会聚透镜。 凸透镜成像： (1)物体在二倍焦距以外(u>2f)，成倒立、缩小的实像(像距： f2f)。如幻灯机。 (3)物体在焦距之内（u

7．人的眼睛像一架神奇的照相机，晶状体相当于照相机的镜头（凸透镜），视网膜相当于照相机内的胶片。 8．近视眼看不清远处的景物，需要配戴凹透镜；远视眼看不清近处的景物，需要配戴凸透镜。 9．望远镜能使远处的物体在近处成像，其中伽利略望远镜目镜是凹透镜，物镜是凸透镜；开普勒望远镜目镜物镜都是凸透镜（物镜焦距长，目镜焦距短）。 10．显微镜的目镜物镜也都是凸透镜（物镜焦距短，目镜焦距长）。

大学物理热学总结

大学物理热学总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

大学物理热学总结 (注：难免有疏漏和不足之处，仅供参考。 ) 教材版本：高等教育出版社《大学物理学》热力学基础 1、体积、压强和温度是描述气体宏观性质的三个状态参量。 ①温度：表征系统热平衡时宏观状态的物理量。摄氏温标，t表示，单位摄氏度（℃）。热力学温标，即开尔文温标，T表示，单位开尔文，简称开（K）。 热力学温标的刻度单位与摄氏温标相同，他们之间的换算关系： T/K=273.15℃+ t 温度没有上限，却有下限，即热力学温标的绝对零度。温度可以无限接近0K，但永远不能达到0K。 ②压强：气体作用在容器壁单位面积上指向器壁的垂直作用力。单位帕斯卡，简称帕（Pa）。其他：标准大气压（atm）、毫米汞高（mmHg）。 1 atm =1.01325×105 Pa = 760 mmHg ③体积：气体分子运动时所能到达的空间。单位立方米（m3）、升（L） 2、热力学第零定律：如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡，则这两个系统也必处于热平衡。 该定律表明：处于同一热平衡状态的所有热力学系统都具有一个共同的宏观特征，这一特征可以用一个状态参量来表示，这个状态参量既是温度。3、平衡态：对于一个孤立系统（与外界不发生任何物质和能量的交换）而言，如果宏观性质在经过充分长的时间后保持不变，也就是系统的状态参量不再岁时间改变，则此时系统所处的状态称平衡态。 通常用p—V图上的一个点表示一个平衡态。（理想概念） 4、热力学过程：系统状态发生变化的整个历程，简称过程。可分为： ①准静态过程：过程中的每个中间态都无限接近于平衡态，是实际过程进行的无限缓慢的极限情况，可用p—V图上一条曲线表示。 ②非准静态过程：中间状态为非平衡态的过程。

(高考必背)原子物理和热学知识点总结

原子物理 一、波粒二象性 1、热辐射：一切物体均在向外辐射电磁波。这种辐射与温度有关。故叫热辐射。 特点：1）物体所辐射的电磁波的波长分布情况随温度的不同而不同；即同时辐射各种 波长的电磁波，但某些波长的电磁波辐射强度较强，某些较弱，分布情况与 温度有关。 2）温度一定时，不同物体所辐射的光谱成分不同。 2、黑体：一切物体在热辐射同时，还会吸收并反射一部分外界的电磁波。若某种物体，在热辐射的同时能够完全吸收入射的各种波长的电磁波，而不发生反射，这种物体叫做黑体(或绝对黑体)。在自然界中，绝对黑体实际是并不存在的，但有些物体可近似看成黑体，例如，空腔壁上的小孔。 注意，黑体并不一定是黑色的。 热辐射特点 吸收反射特点 一般物体 辐射电磁波的情况与温度，材 料种类及表面状况有关 既吸收，又反射，其能力与材料的种类及入射光波长等因素有关 黑体 辐射电磁波的强度按波长的 分布只与黑体温度有关 完全吸收各种入射电磁波，不反射 黑体辐射的实验规律： 1）温度一定时，黑体辐射的强度，随波长分布有一个极大值。 2）温度升高时，各种波长的辐射强度均增加。 3）温度升高时，辐射强度的极大值向波长较短方向移动。 4、能量子:上述图像在用经典物理学解释时与该图像存在严重的不符（维恩、瑞利的解释）。普朗克认为能量的辐射或者吸收只能是一份一份的．这个不可再分的最小能量值ε叫做能量子．νεh = )1063.6(34叫普朗克常量s J h ??=?。由量子理论得出的结果与黑体的辐射强度 图像吻合的非常完美，这印证了该理论的正确性。 5光电效应：在光的照射下，金属中的电子从金属表面逸出的现象。发 射出来的电子叫光电子。光电效应由赫兹首先发现。 爱因斯坦指出: ① 光的能量是不连续的，是一份一份的，每一份能量子叫做一个光子．光子的能量为ε＝h ν，其中h=6.63×10－34 J ·s 叫普朗克常量，ν是光的频率； ② 当光照射到金属表面上时，一个光子会被一个电子吸收，吸收的过程是瞬间的（不超过10-9 s ）。电子在吸收光子之后，其能量变大并向金属外逃逸，从而产生光电效应现象；

热力学与统计物理学课后习题及解答

第一章 热力学的基本规律 1.1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数T k 。 解：由理想气体的物态方程为 nRT PV = 可得: 体胀系数：T P nR V T V V αp 111==??? ????= 压强系数：T V nR P T P P βV 111==??? ????= 等温压缩系数：P P nRT V P V V κT 1)(112=???? ??=??? ?????= 1.2 证明任何一种具有两个独立参量P T ，的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T k ，根据下述积分求得：()??=dP κdT αV T ln 如果P κT αT 11==，，试求物态方程。 解： 体胀系数：p T V V α??? ????=1，等温压缩系数：T T P V V κ??? ?????=1 以P T ，为自变量，物质的物态方程为：()P T V V ,= 其全微分为：dP κV VdT αdP P V dT T V dV T T p ?=??? ????+??? ????=，dP κdT αV dV T ?= 这是以P T ，为自变量的全微分，沿任意的路线进行积分得： ()??=dP κdT αV T ln 根据题设 ，将P κT αT 1,1==，代入：???? ???=dP P dT T V 11ln 得：C p T V +=ln ln ，CT PV =，其中常数C 由实验数据可确定。 1.4 描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力￡，物态方程是()0￡=T L f ，，，实验通常在1n p 下进行，其体积变化可以忽略。

高中化学选修4 第四章知识点分类总结

第四章电化学基础 第一节原电池 原电池： 1、概念：化学能转化为电能的装置叫做原电池_______ 2、组成条件：①两个活泼性不同的电极②电解质溶液③电极用导线相连并插入电解液构成闭合回路 3、电子流向：外电路：负极——导线——正极 内电路：盐桥中阴离子移向负极的电解质溶液，盐桥中阳离子移向正极的电解质溶液。 4、电极反应：以锌铜原电池为例： 负极：氧化反应：Zn－2e＝Zn2＋（较活泼金属） 正极：还原反应：2H＋＋2e＝H2↑（较不活泼金属） 总反应式：Zn+2H+=Zn2++H2↑ 5、正、负极的判断： （1）从电极材料：一般较活泼金属为负极；或金属为负极，非金属为正极。 （2）从电子的流动方向负极流入正极 （3）从电流方向正极流入负极 （4）根据电解质溶液内离子的移动方向阳离子流向正极，阴离子流向负极

（5）根据实验现象①__溶解的一极为负极__②增重或有气泡一极为正极 第二节化学电池 1、电池的分类：化学电池、太阳能电池、原子能电池 2、化学电池：借助于化学能直接转变为电能的装置 3、化学电池的分类：一次电池、二次电池、燃料电池 一、一次电池 1、常见一次电池：碱性锌锰电池、锌银电池、锂电池等 二、二次电池 1、二次电池：放电后可以再充电使活性物质获得再生，可以多次重复使用，又叫充电电池或蓄电池。 2、电极反应：铅蓄电池 放电：负极（铅）：Pb＋SO 4 2-－2e-＝PbSO4↓ 正极（氧化铅）：PbO2＋4H+＋SO 4 2-＋2e-＝PbSO4↓＋2H2O 充电：阴极：PbSO4＋2H2O－2e-＝PbO2＋4H+＋SO 4 2- 阳极：PbSO4＋2e-＝Pb＋SO 4 2- 两式可以写成一个可逆反应：PbO2 2H2SO42PbSO4 ↓＋2H2O 3、目前已开发出新型蓄电池：银锌电池、镉镍电池、氢镍电池、锂离子电池、聚合物锂离子电池 三、燃料电池

大学物理之热学公式篇

热 学 公 式 1.理想气体温标定义:0 273.16lim TP p TP p T K p →=?(定体) 2.摄氏温度t 与热力学温度T 之间的关系:0 //273.15t C T K =- 华氏温度F t 与摄氏温度t 之间的关系:9325 F t t =+ 3.理想气体状态方程:pV RT ν= 1mol 范德瓦耳斯气体状态方程:2 ()()m m a p V b RT V + -= 其中摩尔气体常量8.31/R J mol K =?或2 8.2110/R atm L mol K -=??? 4.微观量与宏观量的关系:p nkT =,23kt p n ε= ,3 2kt kT ε= 5.标准状况下气体分子的数密度(洛施密特数)253 0 2.6910/n m =? 6.分子力的伦纳德-琼斯势:12 6 ()4[()()]p E r r r σ σ ε=-,其中ε为势阱深度 , σ= ,特别适用于惰性气体,该分子力大致对应于昂内斯气体; 分子力的弱引力刚性球模型(苏则朗模型):06 000, ()(), p r r E r r r r r φ+∞

初中物理第三章第四章知识点总结

第三章物态变化 一、温度 1、定义：温度表示物体的冷热程度。 2、单位： ①国际单位制中采用热力学温度。 ②常用单位是摄氏度（℃）规定：在一个标准大气压下冰水混合物 的温度为0度，沸水的温度为100度，它们之间分成100等份， 每一等份叫1摄氏度某地气温-3℃读做：零下3摄氏度或负3摄 氏度 ③换算关系T=t + 273K 3、测量——温度计（常用液体温度计） ①温度计构造：下有玻璃泡，里盛水银、煤油、酒精等液体；内有粗细 均匀的细玻璃管，在外面的玻璃管上均匀地刻有刻度。 ②温度计的原理：利用液体的热胀冷缩进行工作。 ③分类及比较：

④ 常用温度计的使用方法： 使用前：观察它的量程，判断是否适合待测物体的温度；并认清温度计的分度值，以便准确读数。 使用时：温度计的玻璃泡全部浸入被测液体中，不要碰到容器底或容器 壁；温度计玻璃泡浸入被测液体中稍候一会儿，待温度计的示数稳 定后再读数； 读数时: 玻璃泡要继续留在被测液体中，视线与温度计中液柱的上表面 相平。 ◇温度计的玻璃泡要做大目的是：温度变化相同时，体积变化大，上面 的玻璃管做细的目的是：液体体积变化相同时液柱变化大，两项措施的共同目的是：读数准确。 二、物态变化 填物态变化的名称及吸热放热情况： 1、熔化和凝固 ① 熔化： 定义：物体从固态变成液态叫熔化。 晶体物质：海波、冰、石英水晶、 非晶体物质：松香、石蜡玻璃、沥青、蜂蜡食盐、明矾、奈、各种金属 熔化图象： 熔化特点：固液共存，吸热，温度不变 熔化特点：吸热，先变软变稀，最后变为液态， 温度不断上升。 晶体和非晶体的根本区别是：晶体有熔点（熔化时温度不变继续吸热），非晶体没有熔点（熔化时温度升高，继续吸热）； 固 液 升华 吸热 凝华 放热

大学热学知识点总结

热学复习大纲 等温压缩系数 K^-1 (dV )T V d P 体膨胀系数 P p = -( dV )p p V dT p 压强系数O V =2(业)V p dT =1 ('d L)p 通常 ot v =3。 l dT 热力学第零定律 B 没有接触，它们仍然处于热平衡状态，这种规律被称为热力学第零定律。 1) f 选择某种测温物质，确定它的测温属性; 经验温标三要素: ) 选定固定点; 经验温标：理想气体温标、华氏温标、兰氏温标、摄氏温标 (热力学温标是国际实用温标不是经验温标 理想气体物态方程 p 0V 0 R=-— =8.31J / mol K T 0 ?M = Nm ,M m = N A m k = R 1.3^10^3 J / K n 为单位体积内的数密度 N A N A =6.02 X1023 个 /mol 理想气体微观模型 1分子本身线度比起分子间距小得多而可忽略不计 23 洛喜密脱常数 ：n o = — m A = 2.7Xio 25 m A 22.4X10 距离： 1 1 "3 Q =( 25 )3 m =3.3X10 m 2.7X10 1 1 3 3 3M m 3 二0 r =( --- ) =(—-—)3 =2.4X10 m '4 兀 n '4 兀 PN A 2、 除碰撞一瞬间外，分子间互作用力可忽略不计。分子在两次碰撞之间作自由的匀速直线 运动； 3、 处于平衡态的理想气体，分子之间及分子与器壁间的碰撞是完全弹性碰撞； 4、 分子的运动遵从经典力学的规律 ：在常温下，压强在数个大气压以下的气体，一般都能 很好地满足理 3) 进行分度，即对测温属性随温度的变化关系作出规定。 线膨胀系数a :在不受外界影响的情况下，只要 A 和B 同时与C 处于热平衡，即使 A 和 空/亘量 T pV =\RT =—RT M m p = nkT 标准状态下分子间平均 1 U)3 n o 氢分子半径

初中物理热学知识点总结

初中物理热学知识点总结 1．温度：是指物体的冷热程度。 2．温度计使用：(1)使用前应观察它的量程和最小刻度值；(2)使用时温度计玻璃泡要全部浸入被测液体中，不要碰到容器底或容器壁；(3)待温度计示数稳定后再读数；(4)读数时玻璃泡要继续留在被测液体中，视线与温度计中液柱的上表面相平。 3．固体、液体、气体是物质存在的三种状态。 第二、分子运动论初步知识 1．分子运动论的内容是：（1）物质由分子组成；（2）一切物体的分子都永不停息地做无规则运动。（3）分子间存在相互作用的引力和斥力。 2．扩散：不同物质相互接触，彼此进入对方现象。 3．固体、液体压缩时分子间表现为斥力大于引力。 固体很难拉长是分子间表现为引力大于斥力。 4．内能：物体内部所有分子做无规则运动的动能和分子势能的总和叫内能。。一切物体都有内能。内能单位：焦（内能也称热能） 5．物体的内能与温度有关：物体的温度越高，分子无规则运动越剧烈，内能就越大。 6．热运动：物体内部大量分子的无规则运动。 7．改变物体的内能两种方法：做功和热传递，这两种方法对改变物体的内能是等效的。 8．物体对外做功，物体的内能减小；外界对物体做功，物体的内能增大。 9．物体吸收热量，当温度升高时，物体内能增大；物体放出热量，当温度降低时，物体内能减小。 10．所有能量的单位都是：焦耳。 11．热量（Q）：在热传递过程中，传递能量的多少叫热量。（物体含有多少热量的说法是错误的） 12．比热（c ）：单位质量的某种物质温度升高（或降低）1℃，吸收（或放出）的热量叫做这种物质的比热。 13．比热是物质的一种属性，它不随物质的体积、质量、形状、位置、温度的改变而改变，只要物质相同，比热就相同。 14．比热的单位是：焦耳/(千克?℃)，读作：焦耳每千克摄氏度。

热力学与统计物理学的形成

热力学与统计物理学的形成 人们最初接触热的概念是和火分不开的。自亚里士多德以后，在西方火被看作构成宇宙万物的四大元素之一。直到16、17世纪这种观点才被三要素学说取代。这三要素指可溶性、挥发性、可燃性的相应实体。可燃性要素从物体中逃逸出来，这就是燃烧。我国古代有五行说，有隧人氏"钻木取火"的传说。"钻木取火"说明我国人民在那时已经知道了摩擦生热的现象。但是，在古代社会生产力水平很低，人们在生产和生活中对热的利用，只限于煮熟食物、照明和取暖，最多也不过利用热来冶炼和加工一些简单的金属工具。由于生产和生活没有对热提出进一步的要求，所以也就没有人对热现象进行深入的研究。 18世纪初，正是资本主义发展的初期，社会生产已有很大的发展。生产需要大量的动力，许多人开始尝试利用热获得机械功，这样一来，就开始了对热现象所进行的广泛的研究。 对热现象的定量研究，首先必须解决如何客观地表示物体的冷热程度，温度计就应运而生。虽然伽利略早在16世纪就利用气体热胀冷缩规律做成气体温度计，但这种温度计使用起来不方便，而且随外界气压变化所测得的值也不同，误差较大。1709年华伦海特制造成了第一支用酒精做测温质的实用温度计，后来这种温度计又改用水银作测温质。经改进，把水的冰点定为32度，水的沸点定为212度，就成了如今的华氏温度计。华氏温标由单位用℉表示。1742年摄尔萨斯把一标准大气压下，冰水混合物的温度定为100度，水沸点定为0度，制成另一种温标的温度计。后来根据同事施勒默尔的建议，摄尔萨斯把这个标度倒了过来，就成了现代的摄氏温标。 实用温度计诞生之后，热学的研究走上了实验科学的道路。随着研究的深入，人们开始考虑热的本质问题。 关于热的本质，在古希腊时代就有两种学说。一种认为热是一种元素，另一种学说认为热是物质运动的一种表现。热科学的实验发展以后，不少学者倾向于热是一种元素的说法，后来热的元素学说，发展成热质说。热质说认为热是一种特殊的物质，它是看不见又没有质量的热质，热质可以透入到一切物体的里面，一个物体含的热质越多，就越热；冷热不同的两个物体接触时，热质便从较热的物体流入较冷的物体；热质不能凭空地产生，也不会被消灭。热质说能够成功地解?quot;混合量热法"的规律：两个温度不同的物体，混合后达到同一温度时，如果没有热量散失，那么，温度较高的物体失去的热质，等于温度较低的物体吸收的热质。热量单位"卡"，也是根据热质说的思想产生的．"卡"这个单位现在已废弃不用了。 与热质说相对立的学说认为热是物质运动的一种表现。培根很早就根据摩擦生热的事实提出了这种学说，罗蒙诺索夫在他的论文《论热和冷的原因》里批判了当时流行的热质说，认为热是分子运动的表现。但在热质说十分流行的时代。这些观点未被人们重视。 1798年，伦福特伯爵发现制造枪管时，被切削下来的碎屑有很高的温度，而且在连续不断的工作之下，这种高温碎屑不断产生。被加工的材料和车刀温度都不高，他们包含的热质应该是极有限的，工件和碎屑温度这么高，这些热质从何而来呢？1799年戴维做了一个实验，他用钟表机件作动力，在真空中使两块冰相互摩擦，整个设备都处于－2℃的温度下，结果冰熔化了，得到2℃的水。这些事实都没有办法用热质说来说明。但在当时由于能量转换的观点没有建立起来；还无法彻底推翻热质说。 1842年，德国医生买厄发表一篇论文，提出能量守恒的学说，他认为热是一种能量，能够跟机械能互相转化。他还从空气的定压与定容比热之差，算出了热和机械功的比值。与此同时，焦耳进行了许多实验，用各种各样的方法来测定热功当量，发现结果都一致。在这一发现的基础上焦耳提出了：自然界的能量是不能毁灭的，那里消耗了机械能，总能得到相当的热，热只是能的一种形式。可惜焦耳提出这个定律时，未被大多数科学家重视。直到19世纪中叶，许多科学家先后都宣布了和焦耳相同的结论，此时，焦耳所做的

大学物理热学第一章知识点整理

第一章导论 1. 宏观描述方法和微观描述方法 热力学是热物理学的宏观理论,而统计物理学则是热物理学的微观理论. 2. 热力学系统的平衡态 在不受外界条件的影响下,经过足够长时间后系统必将达到一个宏观上看来不随时间变化的状态,这才是平衡态 判断是否平衡态的标准：有无热流与粒子流. 力学平衡条件:通常情况下，表现为压强处处相等 热学平衡条件：温度处处相等(无热流) 化学平衡条件：无外场作用下，系统各部分的化学组成处处相同 只有在外界条件不变的情况下同时满足力学平衡条件、热学平衡条件和化学平衡条件的系统，才不会存在热流与粒子流，才处于平衡态。 3.热力学第零定律和温标 热力学第零定律的物理意义：互为热平衡的物体之间必存在一个相同的特征-----它们的温度是相同的 温标是温度的数值表示法 建立经验温标的三个要素： （1）选择某种测温物质，确定它的测温属性（某种属性随着冷热程度的改变而单调、显著的改变） （2）选定固定点（如水的沸点为100℃，冰的正常熔点是0℃） （3）进行分度 水的三相点温度为273.16k，冰点温度为273.15k 热力学温标为基本温标 摄氏温标、理想气体温标和热力学温标 4、物态方程 处于平衡态的某种物质的热力学参量(如压强、体积、温度)之间所满足的函数关系称为这种物质的物态方程,或称状态方程。物态方程都显含有温度T。 只有在压强趋于零时的气体才是理想气体，在理想气体条件下，一切不同化学组成的气体在热学性质上的差异趋于消失。 理想气体物态方程：R=8.31普适气体常量另一形式：p=nkT 能严格满足理想气体物态方程的气体才是理想气体，理想气体虽然是一种理想模型，但常温

大学热学知识点总结.doc

热学复习大纲 α αααβ3 )(1 )(1 )(1 )(1 ====- =V p V V p p T T dT dl l dT dp p dT dV V dP dV V K 通常线膨胀系数压强系数体膨胀系数等温压缩系数 热力学第零定律:在不受外界影响的情况下，只要A 和B 同时与C 处于热平衡，即使A 和B 没有接触，它们仍然处于热平衡状态，这种规律被称为热力学第零定律。 为单位体积内的数密度恒量理想气体物态方程 n K J N R k m N M Nm M K mol J T V p R nkT p RT M M RT pV T pV A A m m /1038.1,/31.823000-?===?==???? ? ???? ====νmol N A /1002.623个?= 理想气体微观模型 1、分子本身线度比起分子间距小得多而可忽略不计 m N M n r m m n L m m n A m 10313 1 931 25 31 03 253 3 230104.2)43()43(103.3)107.21()1(:107.210 4.221002.6:-----?===?=?==?=??=πρπ氢分子半径距离标准状态下分子间平均洛喜密脱常数 2、除碰撞一瞬间外，分子间互作用力可忽略不计。分子在两次碰撞之间作自由的匀速直线 运动； 3、处于平衡态的理想气体，分子之间及分子与器壁间的碰撞是完全弹性碰撞； 4、分子的运动遵从经典力学的规律:在常温下，压强在数个大气压以下的气体，一般都能很好地满足理想气体方程。 处于平衡态的气体均具有分子混沌性 单位时间内碰在单位面积器壁上的平均分子数

热力学与统计物理答案详解第二章的

第二章 均匀物质的热力学性质 2.1 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度. 试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加. 解：根据题设，气体的压强可表为 (),p f V T = （1） 式中()f V 是体积V 的函数. 由自由能的全微分 dF SdT pdV =-- 得麦氏关系 .T V S p V T ??????= ? ??????? （2） 将式（1）代入，有 ().T V S p p f V V T T ?????? === ? ? ?????? （3） 由于0,0p T >>，故有0T S V ??? > ????. 这意味着，在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加. 2.2 设一物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = 试证明其内能与体积无关. 解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = （1） 故有 ().V p f V T ???= ???? （2） 但根据式（2.2.7），有 ,T V U p T p V T ?????? =- ? ??????? （3） 所以

()0.T U Tf V p V ???=-= ???? （4） 这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数. 2.3 求证： ()0;H S a p ???< ???? ()0.U S b V ??? > ???? 解：焓的全微分为 .dH TdS Vdp =+ （1） 令0dH =，得 0.H S V p T ???=-< ???? （2） 内能的全微分为 .dU TdS pdV =- （3） 令0dU =，得 0.U S p V T ??? => ? ??? （4） 2.4 已知0T U V ??? = ????，求证0.T U p ?? ?= ???? 解：对复合函数 (,)(,(,))U T P U T V T p = （1） 求偏导数，有 .T T T U U V p V p ?????????= ? ? ?????????? （2） 如果0T U V ??? = ????，即有 0.T U p ?? ?= ???? （3） 式（2）也可以用雅可比行列式证明：

热力学与统计物理学基础

热力学与统计物理学基础 Classical Thermodynamics and Statistical Physics 课程编号：课程属性：学科基础课课时/学分：50/2.5 预修课程：高等数学 教学目的和要求： 本课程为力学学科博士研究生的学科基础课，也可为物理学以及其它应用科学研究生的选修课。 通过本课程的学习，学生不仅能掌握热力学和统计物理学的一般知识并熟练运用，而且还能系统地学习到从宏观上和微观上描述热力学系统热现象和热性质的方法。这些有助于学习和掌握其它课程，并大大开拓学生的研究思路。 内容提要： 引言 第一章热力学的基本规律 热力学系统的平衡状态及其描述，热平衡定律和温度，物态方程，热力学第一定律，热容量、焓、内能，卡诺循环，热力学第二定律，热力学第三定律。 第二章热力学基本微分方程 熵，自由能、吉布斯函数，基本热力学函数的确定，特性函数 第三章单元系的相变 热动平衡判据，开系的热力学基本方程，复相平衡条件，单元复相系的平衡性质，临界点和气液两相的转变。 第四章多元系的复相平衡和化学平衡 多元系的热力学函数和热力学方程，多元系的复相平衡条件，吉布斯相律，化学平衡条件，混合理想气体的性质，理想气体的化学平衡。 第五章统计物理学基本理论 统计规律性，概率分布，统计平均值，等概率原理，近独立粒子系统的经典统计理论。 第六章平衡态统计物理学 系统微观状态的描述，统计系综，刘维尔定律，微正则系综，正则系综，巨正则系综，正则分布对近独立粒子系统的应用，能量均分定律和理想气体比热容，实际气体的物态方程。 第七章涨落理论 涨落的准热力学方法，涨落的空间关联与时间关联，布朗运动，仪器的灵敏度，电路中的热噪声。 第八章非平衡态热力学与统计物理简介 不可逆过程与偏离平衡态的物质，昂萨格关系，波尔兹曼积分微分方程，H定理与细致平衡原理，气体的黏滞性，输运过程的动理论。 主要参考书： 1. Ashley H. Carter, Classical and Statistical Thermodynamics(热力学与统计物

热力学与统计物理教案

导言 一．热力学与统计物理学所研究的对象与任务相同 对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统。 任务：研究热运动规律及热运动对物质宏观性质的影响。 一．热力学与统计物理学的研究方法不同 1. 热力学方法—热运动的宏观理论 热力学方法是从热力学三个定律出发，通过数学演绎，得到物质的各宏观性质之间的关系、宏观物理过程进行的方向和限度等一系列理论结论。 热力学方法的优点：其结论具有高度的可靠性和普遍性。因为热力学三定律是人们从大量的观测、实验中总结出来的基本规律，并为人们长期的生产实践所证实，非常可靠。而且热力学三定律又不涉及物质的具体微观结构，它适用于一切物质系统，非常普遍。 热力学方法的局限性：由热力学不能导出具体物质的具体特性；也不能解释物质宏观性质的涨落现象；等等。 2. 统计物理学方法—热运动的微观理论 统计物理学方法是从“宏观物质系统是由大量的微观粒子所组成的”这一基本事实出发，认为宏观物理量就是相应微观量的统计平均值。 统计物理学的优点：能把热力学三个相互独立的基本规律归结于一个基本的统计原理，阐明三个定律的统计意义；可以解释涨落现象；而且在对物质的微观结构作了某些假设之后，还可以求得物质的具体特性；等等。 统计物理学的局限性：由统计物理学所得到的理论结论往往只是近似的结果，这是因为对物质的微观结构一般只能采用简化模型所致。 总之，在热现象研究中，热力学和统计物理学两者相辅相成，相互补充。 一．主要参考书 王竹溪：《热力学简程》、《统计物理学导论》 第一章热力学的基本规律 本章主要介绍热力学的基本规律以及常见的基本热力学函数。但本章的大多数内容在普通物理的《热学》课程中已经较详细学习过，在此只作一个归纳。因此，本章的各节将有所改变， 与课本不完全一致。 第一章热力学的基本规律 §热平衡定律和温度 一．热平衡定律 热平衡定律也可称之为热力学第零定律。它是建立温度概念的实验基础。 1. 热力学系统 由大量微观粒子组成的有限的宏观客体称之为热力学系统，简称为系统。热力学所研究的系统有如下三种： ⑴孤立系统：与外界没有任何相互作用的系统。 ⑵封闭系统：与外界有能量交换，但无物质交换的系统。 ⑶开放系统：与外界既有能量交换，又有物质交换的系统。 2. 平衡状态及其描述 当没有外界影响时，只要经过足够长的时间，系统将会自动趋于一个各种宏观性质不随时间变化的状态，这种状态称为平衡状态，简称为平衡态。它是一种热动平衡状态。

(完整word版)大学物理热学总结

大学物理热学总结 ( 注：难免有疏漏和不足之处，仅供参考。 教材版本：高等教育出版社《大学物理学》) 热力学基础 1、体积、压强和温度是描述气体宏观性质的三个状态参量。 ①温度：表征系统热平衡时宏观状态的物理量。摄氏温标，t 表示，单位摄氏度（℃）。热力学温标，即开尔文温标，T 表示，单位开尔文，简称开（K ）。 热力学温标的刻度单位与摄氏温标相同，他们之间的换算关系： T /K=273.15℃+ t 温度没有上限，却有下限，即热力学温标的绝对零度。温度可以无限接近0K ，但永远不能达到0K 。 ②压强：气体作用在容器壁单位面积上指向器壁的垂直作用力。单位帕斯卡，简称帕（Pa ）。其他：标准大气压（atm ）、毫米汞高（mmHg ）。 1 atm =1.01325×105 Pa = 760 mmHg ③体积：气体分子运动时所能到达的空间。单位立方米（m 3）、升（L ） 2、热力学第零定律：如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡，则这两个系统也必处于热平衡。 该定律表明：处于同一热平衡状态的所有热力学系统都具有一个共同的宏观特征，这一特征可以用一个状态参量来表示，这个状态参量既是温度。 3、平衡态：对于一个孤立系统（与外界不发生任何物质和能量的交换）而言，如果宏观性质在经过充分长的时间后保持不变，也就是系统的状态参量不再岁时间改变，则此时系统所处的状态称平衡态。 通常用p —V 图上的一个点表示一个平衡态。（理想概念） 4、热力学过程：系统状态发生变化的整个历程，简称过程。可分为： ①准静态过程：过程中的每个中间态都无限接近于平衡态，是实际过程进行的无限缓慢的极限情况，可用p —V 图上一条曲线表示。 ②非准静态过程：中间状态为非平衡态的过程。 5、理想气体状态方程: 一定质量的气体处于平衡态时，三个状态参量P.V .T 存在一定的关系，即气体的状态方程()0,,=T V P f 。 理想气体p 、V 、T 关系状态方称2 22111T V P T V P =，设质量m ，摩尔质量M 的理想气体达标准状态，有 00000T V P M m T V P T PV m == 令00/T V P R m =,则有理想气体状体方程 RT M m PV = 式中1131.8--??=K mol J R ，为摩尔气体常量。

大学有机化学知识点总结

有机化学 一．有机化合物的命名 1. 能够用系统命名法命名各种类型化合物： 包括烷烃，烯烃，炔烃，烯炔，脂环烃（单环脂环烃和多环置换脂环烃中的螺环烃和桥环烃），芳烃，醇，酚，醚，醛，酮，羧酸，羧酸衍生物（酰卤，酸酐，酯，酰胺），多官能团化合物（官能团优先顺序：－COOH ＞－SO3H ＞－COOR ＞－COX ＞－CN ＞－CHO ＞>C ＝O ＞－OH(醇)＞－OH(酚)＞－SH ＞－NH2＞－OR ＞C ＝C ＞－C ≡C －＞(－R ＞－X ＞－NO2)，并能够判断出Z/E 构型和R/S 构型。 2. 根据化合物的系统命名，写出相应的结构式或立体结构式（伞形式，锯架式，纽曼投影式，Fischer 投影式）。 立体结构的表示方法： 1 ）伞形式：COOH OH 3 2）锯架式：CH 3 OH H H OH 2H 5 3） 纽曼投影式： 4）菲舍尔投影式：COOH 3 OH H 5）构象(conformation) (1) 乙烷构象：最稳定构象是交叉式，最不稳定构象是重叠式。 (2) 正丁烷构象：最稳定构象是对位交叉式，最不稳定构象是全重叠式。 (3) 环己烷构象：最稳定构象是椅式构象。一取代环己烷最稳定构象是e 取代的椅 式构象。多取代环己烷最稳定构象是e 取代最多或大基团处于e 键上的椅式构象。 立体结构的标记方法 1. Z/E 标记法：在表示烯烃的构型时，如果在次序规则中两个优先的基团在同一 侧，为Z 构型，在相反侧，为E 构型。 CH 3 C C H C 2H 5CH 3C C H 2H 5Cl (Z)－3－氯－2－戊烯 (E)－3－氯－2－戊烯 2、 顺/反标记法：在标记烯烃和脂环烃的构型时，如果两个相同的基团在同一侧， 则为顺式；在相反侧，则为反式。 CH 3C C H CH 3H CH 3C C H H CH 3顺－2－丁烯 反－2－丁烯3 3 3顺－1,4－二甲基环己烷反－1,4－二甲基环己烷

热力学与统计物理论文

负温度状态 姓名：王军帅学号：20105052010 化学化工学院应用化学专业 指导老师：胡付欣职称：教授 摘要：通过分析负温度概念的引入，从理论上证明负温的存在，并论证实验上负温度的实现，在进步分析了负温度系统特征的基础上，引入了种新的温度表示法，使之与人们的习惯致。 关键词：负温度;熵;能量;微观粒 Negative Temperature State Abstract：The concept of negative temperature was introduced Its existence was proved theoretically and its realization in experiment also discussed after analysis of the negative temperature system characteristic，one kind of new temperature express is used in order to consistent with the common express. Key words: negative temperature; entropy; energy; microparticle 引言 温度是热学中非常重要的一个物理量，可以说任何热力学量都与温度有关.描述物体冷热程度的物理量—开尔文温度—一般都是大于零的，由热力学第三定律可知“绝对零度是不可能达到的”，也就是说自然界的低温极限是绝对零度，即-273.16℃.以OK作为坐标原点，通常意义上的温度一般就在原点的右半轴上，其范围就是零到 值总为正。那么有没有负温度呢？左半轴是不是可以用负温度来对应呢？它表示的温度是不是更低呢？此时系统的热力学性质又将会怎么样呢？这些问题激起人们对温度的疑惑与兴趣. 1.负温度概念的引入 通常所说的温度与系统微观粒子的运动状态有关，随着温度的升高，粒子的能量也升高，粒子运动就会越激烈，无序度也会增加:在低温时，高能量粒子的数目总是少于低能量粒子的数目，所以随着温度的升高，高能量粒子数目逐渐增

第十八章 热力学与统计物理学概述

第十八章 热力学与统计物理学概述 18-1外界对一个气体系统所作的功可以用式(18-1)表示，即2 1 V V A pdV =-? 由此我们是否可以说，任何没 有体积变化的过程外界都不会对它作功？ 答：错误。外界对气体系统作功可以有许多形式，如电场力作功、磁场力作功等，实际上可以把除了热的形式以外的各种传递能量的形式都归结为作功。而式：2 1 V V A pdV =- ? 只适用于一个均匀的气体系统在没 有外场作用的情况下的准静态过程。如果是非准静态过程，体积没有变化，外界也可能对系统作功。如一装有气体的容器在运动中突然停止，这时容器内气体的体积不变，但此时外界对气体有作功。 18-2能否说系统含有多少热量？为什么？ 答：错误。因为：对于一个处于一定状态的系统，既不吸热，也不放热，无热量可言。而系统吸热或放热的多少都与过程有关，即热量是一个过程量，不是一个状态量，所以不能说系统含有多少热量。 18-3分别在p -V 图、p -T 图和T -V 图上画出下列过程：等体、等压、等温和绝热。 答： 18-4为什么公式pV C γ =只有在准静态过程的条件下才成立？ 答：（1）因为只有在准静态过程中，每一瞬间系统都处于平衡态，才可以使用理想气体物态方程来描述。 绝热过程 P —V 图 P —T 图 T —V 图

（2）在推导公式pV C γ =过程中，用到绝热过程dU pdV =-也只有在准静态过程中才成立。 18-5 将20g 的氦气分别按照下面的过程，从17℃升至27℃，试分别求出在这些过程中气体系统内能的变化、吸收的热量和外界对系统作的功：(1)保持体积不变；(2)保持压强不变；(3)不与外界交换热量。 设氦气可看作理想气体，且3 2 V R C ν=。 解：(1)保持体积不变： 外界对系统不作功：0A =； 系统内能的变化为：2 3 6.23102 V U C T R T J ν?=?=?=?； 由热力学第一定律，吸收的热量为： 2 6.2310V Q U J =?=? 这表示，在系统体积不变的情况下， 外界对系统不作功，系统从外界获得的热量全部用于内能的增加。 (2)保持压强不变： 吸收的热量：()3 1.0410p p V Q C T C R T J ν=?=+?=? 系统内能的变化：2 3 6.23102 V U C T R T J ν?=?=?=? 外界对系统作功：2 4.1610p A U Q J =?-=-? 这表示，在系统保持压强不变的情况下，系统从外界获得的热量，一部分用于增加系统的内能，另一部分用于系统对外界作功。 (3)不与外界交换热量，即绝热过程： 吸收的热量：0Q = 系统内能的变化：23 6.23102 V U C T R T J ν?=?= ?=?

热力学与统计物理

《热力学与统计物理》课程教学大纲 课程英文名称：Thermodynamics and Statistical Physics 课程编号：0312043002 课程计划学时：48 学分：3 课程简介： 《热力学与统计物理》课是物理专业学生的专业基础课，与理论力学、量子力学、电动力学共同构成物理专业重要的四门必修课，通常称为物理专业的四大力学课。热力学和统计物理的任务是研究热运动的规律，研究与热运动有关的物性及宏观物质系统的演化。本课程的作用是使学生掌握热力学与统计物理的基本原理和处理具体问题的一些重要方法，并初步具有用这些方法解决较简单问题的能力。 一、课程教学内容及教学基本要求 第一章热力学的基本规律 本章重点：热力学的基本规律，热力学的三个定律，掌握热力学函数内能、焓、熵、自由能、吉布斯函数的物理意义. 难点：熵增加原理的应用及卡诺循环及其效率。 本章学时:16学时 教学形式:讲授 教具:黑板，粉笔 第一节热力学系统的平衡状态及其描述 本节要求：掌握：系统、外界、子系统，系统的分类，热力学平衡态及其描述。 1系统、外界、子系统（①掌握：系统与外界概念。②了解：界面的分类。③了解：系统与子系统的相对性） 2系统的分类（掌握：孤立系、闭系、开系的概念。） 3热力学平衡态及其描述（①掌握：热力学平衡态概念。②掌握：状态参量的描述及引入。）第二节热平衡定律和温度 本节要求：掌握：热接触与热平衡，热平衡定律、温度、热平衡的传递性，存在态函数温度的数学论证，温度的测量(考核概率50%)。 1热接触与热平衡（①掌握：系统间没有热接触时系统状态参量的变化。②掌握：系统间热接触时系统状态参量的变化。） 2热平衡定律、温度、热平衡的传递性（①掌握：热平衡定律。②掌握：温度的数学论证，温标的确定及分类）（重点） 第三节物态方程