2012级一轮复习磁场(巩固加强)

磁场___巩固加强

磁场是历年高考的考查重点，特别是磁场对运动电荷的作用力——洛仑兹力，以及电荷在复合场中的运动，一直是高考的热点之一，几乎是年年必考，并且综合性强，难度较大。一般考查带电粒子在复合中做匀速直线运动、匀速圆周运动、抛物线运动等。求解这类问题要注意分析粒子的受力图景、运动图景和能量图景，依据受力和初始条件来确定粒子的运动情况，结合运动情况充分利用数学几何知识求解相关问题。如2001年全国卷第18题、2004年湖北理综第24题、2004年广西卷第18题、2004年全国理综（四）第24题等。这一章的知识在科研生产实际中有许多重要应用，联系实际是这一章的最大亮点，如速度选择器、质谱仪、回旋加速器、磁流体发电机、电磁流量计、霍耳效应等，几乎是年年考，重复考！同学们一定要舍得下功夫把这些问题弄通弄懂！

磁场

『夯实基础知识』

1、磁场的产生：

⑴磁极周围有磁场。

⑵电流周围有磁场（奥斯特）。

⑶变化的电场在周围空间产生磁场（麦克斯韦）。

存在于（磁体、通电导线、运动电荷、变化电场、地球的）周围

2、磁场的物质性：

磁场是存在于磁体、电流和运动电荷周围空间的一种特殊形态的物质。

3、磁场的基本特性：磁场对处于其中的磁极、电流和运动电荷有力的作用；磁极与磁极、磁极与电流、电流与电流之间的相互作用都是通过磁场发生的(对磁极一定有力的作用；对电流只是可能有力的作用，当电流和磁感线平行时不受磁场力作用)。

4、磁场的方向：

①磁感线在该点的切线方向;

②规定在磁场中任意一点小磁针北极的受力方向（小磁针静止时N极的指向）为该点处磁场方向。

③对磁体：外部(N→S)，内部(S→N)组成闭合曲线；这点与静电场电场线(不成闭合曲线)不同。

④用安培左手定则判断

5、磁现象的电本质：

奥斯特发现电流磁效应（电生磁）后，安培提出分子电流假说（又叫磁性起源假说）：认为在原子、分子等物质微粒内部，存在着一种环形电流——分子电流，分子电流使每个物质微粒都成为微小的磁体，它的两侧相当于两个磁极；从而揭示了磁铁磁性的起源：磁铁的磁场和电流的磁场一样都是由电荷运动产生的；根据分子电流假说可以解释磁化、去磁等有关磁现象。（不等于说所有磁场都是由运动电荷产生的。）

二、磁感线，电场中引入电场线描述电场，磁场中引入磁感线描述磁场。

1、磁感线的定义：为了形象描述磁场，在磁场中画出一簇有向曲线，使曲线上每一点的切线方向都跟该点的磁场方向一致，这簇曲线叫做磁感线。

2、物理意义：描述磁场大小和方向的工具(物理摸型)，磁场是客观存在的，磁感线是一种工具。

3、磁感线的性质：

（1）磁感线上任意一点的切线方向都跟该点的磁场方向相同（该点处磁场方向、磁感应强度方向、磁感线的切线方向、小磁针北极受力方向、小磁针静止时N极指向都是同一个方向）；

（2）任何两条磁感线不相交、不相切；

（3）任何一根磁感线都不中断，是闭合曲线；磁感线在磁体的外部是N极指向S极，在内部是S极指向N极；

（4）磁感线的稀密表示磁场的强弱，磁感线越密处磁场越强，反之越弱；

（5）磁感线并不真实存在，但其形状可以用实验模拟；没有画出磁感线的地方，并不等于没有磁场。

3、熟悉几种常见磁场的磁感线的分布：蹄形磁体的磁场、条形磁体的磁场、直线电流的磁场、环形电流的磁场、通电螺电管的磁场。

4、地磁场：

要明白三个问题：(磁极位置? 赤道处磁场特点?南北半球磁场方向?)（1）地球是一个巨大的磁体、地磁的N极在地理的南极附近，地磁的S极在地理的北极附近；

（2）地磁场的分布和条形磁体磁场分布近似；

（3）在地球赤道平面上，地磁场方向都是由北向南且方向水平（平行于地面）；

（4）近代物理研究表明地磁场相对于地球是在缓慢的运动和变化的；地磁场对于地球上的生命活动有着重要意义。

电流的磁场、安培定则

『夯实基础知识』

1、直线电流的磁场。磁感线是以导线为圆心的同心圆，其方向用安培定则判定：右手握住导线，让伸直的大姆指指向电流方向，弯曲的四指所指的方向就是磁感线的环绕方向。直线电流周围空间的磁场是非匀强磁场，距导线近，磁场强；距导线远，磁场弱。

2、环形电流的磁场。右手握住环形导线，弯曲的四指和环形电流方向一致，伸直的大姆指所指方向就是环形电流中心轴线上磁感线的方向。

I

B

环形电流的磁场

3、通电螺线管的磁场。右手握住螺线管，让弯曲的四指指向电流方向，伸直的大姆指的指向为螺线管内部磁感线方向；长通电螺线管内部的磁感线是平行均匀分布的直线，其磁场可看成是匀强磁场，管外空间磁场与条形磁体外部空间磁场类似。

I

B

I

B

S

N

通电螺线管的磁场

四、磁感应强度

磁场的最基本性质是对放入其中的电流有磁场力的作用。电流垂直于磁场时受磁场力最大，电流与磁场方向平行时，磁场力为零。

1、定义：在磁场中垂直于磁场方向的通电直导线，所受的安培力F 跟电流I 和导线长度L 之乘积IL 的比值叫做磁感应强度，

定义式为

IL

F B

。（条件是匀强磁场中，或ΔL 很小，并且L ⊥B ）

磁感应强度是矢量。单位是特斯拉，符号为T ，1T=1N/(A ?m)=1kg/(A ?s 2) 2、对定义式的理解：

（1）定义式中反映的F 、B 、I 方向关系为：B ⊥I ，F ⊥B ，F ⊥I ，则F 垂直于B 和I 所构成的平面。

（2）定义式可以用来量度磁场中某处磁感应强度，不决定该处磁场的强弱，磁场中某处磁感应强度的大小由磁场自身性质来决定。

（3）磁感应强度是矢量，其矢量方向是小磁针在该处的北极受力方向，与安培力方向是垂直的。

（4）如果空间某处磁场是由几个磁场共同激发的，则该点处合磁场（实际磁场）是几个分磁场的矢量和；某处合磁场可以依据问题求解的需要分解为两个分磁场；磁场的分解与合成必须遵循矢量运算法则。

3、匀强磁场：磁感强度的大小处处相等，方向都相同的区域。两个较大的异名磁极之间(除边缘外)，长直通电螺线管内部(除两端外)都是匀强磁场。匀强磁场的磁感线是平行等距的直线。

磁通量、磁通密度

『夯实基础知识』 1、磁通量的定义：

如果在磁感应强度为B 的匀强磁场中有一个与磁场方向垂直的平面，其面积为S ，则定义B 与S 的乘积为穿过这个面的磁通量，用Φ表示。

可以认为磁通量就是穿过某面积的磁感线的条数叫做穿过这一面积的磁通量。

2、磁通量的计算公式：

若面积S 所在处为匀强磁场B ，磁感应强度方向又垂直面积S ，则穿过面积S 的磁通量为φ=B·S 。

B S

α

θ

S ⊥

若面积S 与垂直于磁场方向的平面间的夹角为θ，则穿过S 的磁通量

φ＝B·S ⊥＝BScosθ；若S 与B 之间的夹角为α，则φ＝B·S ⊥＝BSsinα；无论采用哪一种公式计算，关键把握住“线圈的有效面积——线圈平面沿磁场方向的投影”

若平面S 与磁场B 平形，则φ=0

3、磁通量是标量，没有方向，但有正负。若规定磁感线从某一边穿过平面时磁通量为正，则反方向穿过平面的磁通量就为负，当某面上同时有正反两个方向的磁感线穿过时，则穿过该面的实际磁通量为正负磁通量的代数和，φ＝φ正－φ负。

4、穿过某一线圈（多匝时）平面的磁通量的大小与线圈的匝数无关。穿过任意闭合曲面的总磁通量总是为零（如：穿过地球表面的总磁通量

为零）。

φ负

φ正

5、在国际单位制中，磁通量的单位是韦伯（Wb ）：1Wb ＝1T·m 2

＝

1N·m2/A·m＝1N·m/A＝1J/A＝1V·A·S/A＝1V·S。

6、磁通密度：垂直穿过单位面积上磁感线的条数（φ/S⊥）叫磁通密度。由φ＝B·S⊥，有B＝φ/S⊥，

故磁感应强度也叫磁通密度。磁通密度是从磁感线的稀密角度来描述磁场强弱的。国际单位制中规定：垂直穿过1m2面积上的磁感线条数为1根时，该面上的磁感应强度为1T（1T＝1Wb/m2）。

磁场对电流的作用

『夯实基础知识』

一、磁场对直线电流的作用

1、安培力：磁场对电流的作用叫安培力。

2、安培力的大小：

（1）安培力的计算公式：F＝BILsinθ，θ为磁场B与直导体L之间的夹角。

（2）当θ＝90°时，导体与磁场垂直，安培力最大F m＝BIL；当θ＝0°时，导体与磁场平行，安培力为零。

（3）F＝BILsinθ要求L上各点处磁感应强度相等，故该公式一般只适用于匀强磁场。

3、安培力的方向：

（1）安培力方向用左手定则判定：伸开左手，使大拇指和其余四指垂直，并且都跟手掌在同一个平面内，把手放入磁场中，让磁感线垂直穿入手心，并使伸开的四指指向电流方向，那么大拇指所指的方向就是通电导体在磁场中的受力方向。

（2）F、B、I三者间方向关系：已知B、I的方向（B、I不平行时），可用左手定则确定F的唯一方向：F⊥B，F⊥I，则F垂直于B和I所构成的平面（如图所示），但已知F和B的方向，不能唯一确定I的方向。由于I可在图中平面α内与B成任意不为零的夹角。同理，已知F和I的方向也不能唯一确定B的方向。

（3）用“同向电流相吸，反向电流相斥”（反映了磁现象的电本质）。只要两导线不是互相垂直的，都可以用“同向电流相吸，反向电流相斥”判定相互作用的磁场力的方向；当两导线互相垂直时，用左手定则判定。

4、安培力的作用点：安培力是分布在导体的各部分，但直导线在匀强磁场中受安培力的作用点是导体受力部分的几何中心。

磁场对运动电荷的作用

『夯实基础知识』

一、洛仑兹力的大小和方向

1、洛仑兹力的概念。磁场对运动电荷的作用力叫洛仑兹力。

2、洛仑兹力的大小。

（1）洛仑兹力计算式为F＝qvBsinθ，其中θ为v与B之间的夹角；

（2）当θ＝0°时，v∥B，F＝0；当θ＝90°时，v⊥B，F最大，最大值F max＝qvB。

3、洛仑兹力的方向。

（1）洛仑兹力的方向用左手定则判定：伸开左手，使大拇指和其余

四指垂直，并且都跟手掌在同一平面内，把手放入磁场中，让磁感线垂直穿入掌心，四指指向正电荷的运动方向，那么，大拇指所指的方向就是正电荷所受洛仑兹力的方向；如果运动电荷为负电荷，则四指指向负电荷运动的反方向。

（2）F、v、B三者方向间的关系。已知v、B的方向，可以由左手定则确定F的唯一方向：F⊥v、F⊥B、则F垂直于v和B所构成的平面（如图所示）；但已知F和B的方向，不能唯一确定v的方向，由于v可以在v和B所确定的平面内与B成不为零的任意夹角，同理已知F和v的方向，也不能唯一确定B的方向。

二、洛仑兹力的特性

1、洛仑兹力计算公式F洛＝qvB可由安培力公式F安=BIL和电流的微观表达式I＝nqvS共同推导出：F

安

＝BIL＝B（nqvS）L＝（nSL）qvB，而导体L中运动电荷的总数目为N＝nsL，故每一个运动电荷受洛伦兹力

为F

洛

＝F

安/N＝qvB。安培力是大量运动电荷所受洛伦兹力的宏观表现。

2、无论电荷的速度方向与磁场方向间的关系如何，洛仑兹力的方向永远与电荷的速度方向垂直，因此洛仑兹力只改变运动电荷的速度方向，不对运动电荷作功，也不改变运动电荷的速率和动能。所以运动电荷垂直磁感线进入匀强磁场仅受洛仑磁力作用时，一定作匀速圆周运动。

3、洛仑兹力是一个与运动状态有关的力，这与重力、电场力有较大的区别，在匀强电场中，电荷所受的电场力是一个恒力，但在匀强磁场中，若运动电荷的速度大小或方向发生改变，洛仑兹力是一个变力。

带电粒子在匀强磁场中的运动

『夯实基础知识』

1、在不计带电粒子（如电子、质子、α粒子等基本粒子）的重力的条件下，带电粒子在匀强磁场有三种典型的运动，它们决定于粒子的速度（v）方向与磁场的磁感应强度（B）方向的夹角（θ）。

（1）若带电粒子的速度方向与磁场方向平行时，粒子不受洛仑兹力作用而作匀速直线运动。

（2）若粒子的速度方向与磁场方向垂直，则带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度v作匀速圆周运动，其运动所需的向心力全部由洛仑兹力提供。

（3）若带电粒子的速度方向与磁场方向成一夹角θ（θ≠0°，θ≠90°），则粒子的运动轨迹是一螺旋线（其轨迹如图）：粒子垂直磁场方向作匀速圆周运动，平行磁场方向作匀速运动，螺距S=v∥T。

θ

B

S

V

V

V

2、带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的几个基本公式

向心力公式：

BqV m

V

R

=2

轨道半径公式：

R mV Bq

P Bq

=

=

周期、频率和角频率公式：

T R V m B q

=

=

22ππ

m

Bq T f π21=

=

m

Bq f T =

==ππω22

动能公式：(

)E m V P m B q R m

K

===122222

2

T 、f 和ω的两个特点

第一、T 、 f 的ω的大小与轨道半径（R ）和运行速率（V ）无关，而只与磁场的磁感应强度（B ）和粒子的荷质比（q/m ）有关。

第二、荷质比（q/m ）相同的带电粒子，在同样的匀强磁场中，T 、f 和ω相同。

3、带电粒子的轨道圆心（O ）、速度偏向角（φ）是指末速度与初速度之间的夹角、回旋角（α）一段圆弧所对应的圆心角叫回旋角、和弦切角（θ）圆弧的弦与过弦的端点处的切线之间的夹角叫弦切角。

在分析和解答带电粒子作匀速圆周运动的问题时，除了应熟悉上述基本规律之外，还必须掌握确定轨道圆心的基本方法和计算?、α和θ的定量关系。如图6所示，在洛仑兹力作用下，一个作匀速圆周运动的粒子，不论沿顺时针方向还是逆时针方向，从A 点运动到B 点，均具有三个重要特点。

第一、轨道圆心（O ）总是位于A 、B 两点洛仑兹力（f ）的交点上或AB 弦的中垂线（OO '）与任一个f 的交点上。

第二、粒子的速度偏向角（?），等于回旋角（α），并等于AB 弦与

切线的夹角——弦切角（θ）的2倍，即? = α = 2θ = ω t 。

第三、相对的弦切角（θ）相等，与相邻的弦切角（θ' ）互补，即θ +

θ' = 180°

二、“电偏转”与“磁偏转”的比较

1、概念：带电粒子垂直电场方向进入匀强电场后，在电场力作用下

的偏转叫“电偏转”。带电粒子垂直磁场进入匀强磁场后，在洛伦兹力作用下的偏转叫“磁偏转”。

2、“电偏转”和“磁偏转”的比较。

（1）带电粒子运动规律不同。电偏转中：粒子做类平抛运动，轨迹

为抛物线，研究方法为运动分解和合成，加速度a ＝Eq/m ，（粒子的重力不计）侧移量（偏转量）y ＝at 2

/2＝qEt 2

/2m ；磁偏转中：带电粒子做匀速

圆周运动，从时间看T=2πm/qB ，从空间看：R=mv/qB 。

V 0

O

x

E

θE

θE

V x V y

V

y

Y

X

电偏转

（2）带电粒子偏转程度的比较。

电偏转：偏转角（偏向角）θE ＝t an －1(V Y /V X )＝tan －1（Eqt/mv 0），由式中可知：当偏转区域足够大，偏转时间t 充分长时，偏转角θE 接近π/2，但不可能等于π/2。磁偏转的偏转角θB ＝ωt ＝Vt/r ＝qBt/m ，容易实现0—π角的偏转

θB O

X

Y V 0

V θB

O′B

磁偏转

三、带电粒子在有界匀强磁场中运动的问题

有界匀强磁场是指在局部空间内存在着匀强磁场。对磁场边界约束时，可以使磁场有着多种多样的边界形状，如：单直线边界、平行直线边界、矩形边界、圆形边界、三角形边界等。这类问题中一般设计为：带电粒子在磁场外以垂直磁场方向的速度进入磁场，在磁场内经历一段匀速圆周运动后离开磁场。粒子进入磁场时速度方向与磁场边界夹角不

同，使粒子运动轨迹不同，导致粒子轨迹与磁场边界的关系不同，由此带来很多临界问题。

1、基本轨迹。

（1）单直线边界磁场（如图1所示）。

O 1

O 2O

V 1

V 2V V

V 1V 2

θ1θ2

θ1

θ2

图（1）

带电粒子垂直磁场进入磁场时。

①如果垂直磁场边界进入，粒子作半圆运动后垂直原边界飞出； ②如果与磁场边界成夹角θ进入，仍以与磁场边界夹角θ飞出（有两种轨迹，图1中若两轨迹共弦，则θ1＝θ2） （2）平行直线边界磁场（如图2所示）。

V 1

V 2

V 3

O 1

O 2

O 3

图（2）

q

带电粒子垂直磁场边界并垂直磁场进入磁场时， ①速度较小时，作半圆运动后从原边界飞出；

②速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切；③速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出。 （3）矩形边界磁场（如图3所示）。

V 1

V 2V 3

O 1

O 2O 3图（3）O 4

V 4

q

带电粒子垂直磁场边界并垂直磁场进入磁场时， ①速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出； ②速度在某一范围内时从侧面边界飞出；

③速度为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与对面边界相切； ④速度较大时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。

（4）带电粒子在圆形磁场区域中做匀速圆周运动的几个特点。 特点1 入射速度方向指向匀强磁场区域圆的圆心，则出射速度方向的反向延长线必过该区域圆的圆心。

例1。 如图1，圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，现有一电荷量为q ，质量为m 的正离子从a 点沿圆形区域的直径入射，设正离子射出磁场区域方向与入射方向的夹角为60?，求此离子在磁场区域内飞行的时间。

★解析：设正离子从磁场区域的b 点射出，射出速度方向的延长线与入射方向的直径交点为O ，如图2，正离子在磁场中运动的轨迹为一段圆弧，该轨迹圆弧对应的圆心O’位于初、末速度方向垂线的交点，也在弦

ab 的垂直平分线上，O’b 与区域圆相切，弦ab 既是轨迹圆弧对应的弦，也是区域圆的弦，由此可知，OO’就是弦ab 的垂直平分线，O 点就是磁场区域圆的圆心。

又因为四边形OabO’的四个角之和为

360?，可推出

∠=?

a O

b '60，因此，正离子在磁场中完成了1/6圆周，即 t T m

qB

=

=

16

3π

特点2 入射速度方向（不一定指向区域圆圆心）与轨迹圆弧对应的弦的夹角为θ（弦切角），则出射速度方向与入射速度方向的偏转角为

2θ

，轨迹圆弧对应的圆心角也为

2θ

，并且初末速度方向的交点、轨

迹圆的圆心、区域圆的圆心都在弧弦的垂直平分线上。

如图3，带电粒子从a 点射入匀强磁场区域，初速度方向不指向区域圆圆心，若出射点为b ，轨迹圆的圆心O’在初速度v 0方向的垂线和弦ab 的垂直平分线的交点上，入射速度方向与该中垂线的交点为d ，可以证明：出射速度方向的反向延长线也过d 点，O 、d 、O’都在弦ab 的垂直平分线上。

如果同一种带电粒子，速度方向一定、速度大小不同时，出射点不同，运动轨迹对应的弦不同，弦切角θ不同，该轨迹圆弧对应的圆心角2θ

也不同，则运动时间t

m q B

=

2θ也不同。

例2。 如图4所示，在xOy 坐标系第一象限内有一个与x 轴相切于Q 点的圆形有界匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直纸面向外，一带电粒子（不计重力）质量为m ，带电荷量为+q ，以初速度v 0从P 点进入第一

象限，θ=?3

0，经过该圆形有界磁场时，速度方向偏转了60?，从x 轴上的Q 点射出。

问：在第一象限内圆形磁场区域的半径多大？

分析：根据上述特点2可知，速度偏转角为60?，那么弦切角就为30?，我们可以先做出弦，并且弦一定过Q点，因此，做出过Q点且

平行于y轴的直线，与初速度v

方向的交点为A，A点就是入射点，AQ 就是弦，又因为区域圆在Q点与x轴相切，AQ也是区域圆的直径，如图4。轨迹圆心为Q’，圆心角为60?，?AO Q

'为等边三角形，半径

r

m v

q B

A Q r ==

0,，

所以圆形磁场区域的半径为r m v

q B 22

0 =

也可在图4中体会一下，如果区域圆半径过大或过小，弦（入射点和Q点的连线）也会发生变化，可以看出弦切角不再是30?，那么偏转角也就不会是60?了。

2．基本方法。

带电粒子在匀强磁场中作部分圆周运动时，往往联系临界和多解问题，分析解决这类问题的基本方法是：

(1)运用动态思维，确定临界状态。从速度的角度看，一般有两种情况：

①粒子速度方向不变，速度大小变化；此时所有速度大小不同的粒子，其运动轨迹的圆心都在垂直于初速度的直线上，速度增加时，轨道半径随着增加，寻找运动轨迹的临界点（如：与磁场边界的切点，与磁场边界特殊点的交点等）；

②粒子速度大小不变，速度方向变化；此时由于速度大小不变，则所有粒子运动的轨道半径相同，但不同粒子的圆心位置不同，其共同规律是：所有粒子的圆心都在以入射点为圆心，以轨道半径为半径的圆上，从而找出动圆的圆心轨迹，再确定运动轨迹的临界点。

（2）确定临界状态的圆心、半径和轨迹，寻找临界状态时圆弧所对应的回旋角求粒子的运动时间（见前一课时）。

四．带电粒子在匀强磁场运动的多解问题

带电粒子在匀强磁场中运动时，可能磁场方向不定、电荷的电性正负不定、磁场边界的约束、临界状态的多种可能、运动轨迹的周期性以及粒子的速度大小和方向变化等使问题形成多解。

1．带电粒子的电性不确定形成多解。当其它条件相同的情况下，正负粒子在磁场中运动的轨迹不同，形成双解。

2．磁场方向不确定形成多解。当磁场的磁感应强度的大小不变，磁场方向发生变化时，可以形成双解或多解。

3．临界状态不唯一形成多解。带电粒子在有界磁场中运动时，可能出现多种不同的临界状态，形成与临界状态相对应的多解问题。

4．带电粒子运动的周期性形成多解。粒子在磁场中运动时，如果改变其运动条件（如：加档板、加电场、变磁场等）可使粒子在某一空间出现重复性运动而形成多解

五．磁场最小范围问题

近年来高考题中多次出现求圆形磁场的最小范围问题，这类问题的求解方法是：先依据题意和几何知识，确定圆弧轨迹的圆心、半径和粒子运动的轨迹，再用最小圆覆盖粒子运动的轨迹（一般情况下是圆形磁场的直径等于粒子运动轨迹的弦），所求最小圆就是圆形磁场的最小范围

带电粒子在复合场中运动的应用

一．速度选择器原理

速度选择器是近代物理学研究中常用的一种实验工具，其功能是为了选择某种速度的带电粒子

1．结构：如图所示

（1）平行金属板M、N，将M接电源正极，N板接电源负极，M、N 间形成匀强电场，设场强为E；

（2）在两板之间的空间加上垂直纸面向里的匀强磁场，设磁感应强度为B；

（3）在极板两端加垂直极板的档板，档板中心开孔S1、S2，孔S1、S2水平正对。

2．原理

工作原理。设一束质量、电性、带电量、速度均不同的粒子束（重力不计），从S1孔垂直磁场和电场方向进入两板间，当带电粒子进入电场和磁场共存空间时，同时受到电场力和洛伦兹力作用

υ

Bq

F

Eq

F=

=

洛

电

,

若

洛

电

F

F=

υ

Bq

Eq=

v E B

0=

。

即：当粒子的速度v E B

0=

时，粒子匀速运动，不发生偏转，可以

从S 2孔飞出。由此可见，尽管有一束速度不同的粒子从S 1孔进入，但能从S 2孔飞出的粒子只有一种速度，而与粒子的质量、电性、电量无关 3．几个问题

（1）粒子受力特点——电场力F 与洛仑兹力f 方向相反

（2）粒子匀速通过速度选择器的条件——带电粒子从小孔S 1水平射入， 匀速通过叠加场， 并从小孔S 2水平射出，电场力与洛仑兹力平衡， 即

υ

Bq Eq =;即v E B

0=

;

（3）使粒子匀速通过选择器的两种途径: 当0v 一定时——调节E 和B 的大小;

当E 和B 一定时——调节加速电压U 的大小; 根据匀速运动的条件和

功能关系， 有q

U m v m E B ==?? ?

?

?12

120

2

2

， 所以， 加速电压应为2

21?

?

? ??=B E q m U 。

（4）如何保证F 和f 的方向始终相反——将

0v 、E 、B 三者中任意

两个量的方向同时改变， 但不能同时改变三个或者其中任意一个的方向， 否则将破坏速度选择器的功能。

（5）如果粒子从S 2孔进入时，粒子受电场力和洛伦兹力的方向相同，所以无论粒子多大的速度，所有粒子都将发生偏转

（6）两个重要的功能关系——当粒子进入速度选择器时速度

v E B

0≠

， 粒子将因侧移而不能通过选择器。 如图， 设在电场方向

侧移?d 后粒子速度为v ，

当B

E v >

时: 粒子向f 方向侧移， F 做负功——粒子动能减少，

电势能增加， 有

2

2

02

12

1mv

d qE mv +

?=

当B

E v <

时:粒子向F 方向侧移， F 做正功——粒子动能增加， 电

势能减少， 有

1212

022m v q E d m v +=?; 二．质谱仪

质谱仪主要用于分析同位素， 测定其质量， 荷质比和含量比， 如图所示为一种常用的质谱仪

1．质谱仪的结构原理

A

S

C

S 1

S 2

S 3

S 4

V

r P

F B

D

B 0

V

U M N

（1）离子发生器O （O 中发射出电量q 、质量m 的粒子，粒子从A 中小孔S 飘出时速度大小不计；）

（2）静电加速器C ：静电加速器两极板M 和N 的中心分别开有小孔S 1、S 2，粒子从S 1进入后，经电压为U 的电场加速后，从S 2孔以速度v 飞出；

（3）速度选择器D ：由正交的匀强电场E 0和匀强磁场B 0构成，调整E 0和B 0的大小可以选择度为v 0＝E 0/B 0的粒子通过速度选择器，从S 3孔射出；

（4）偏转磁场B ：粒子从速度选择器小孔S 3射出后，从偏转磁场边

界挡板上的小孔S 4进入，做半径为r 的匀速圆周运动；

（5）感光片F ：粒子在偏转磁场中做半圆运动后，打在感光胶片的P 点被记录，可以测得PS 4间的距离L 。装置中S 、S 1、S 2、S 3、S 4五个小孔在同一条直线上

2．问题讨论：

设粒子的质量为m 、带电量为q （重力不计）， 粒子经电场加速由动能定理有：2

2

1υ

m qU

=

①；

粒子在偏转磁场中作圆周运动有：Bq

m L υ2

=②；

联立①②解得：U

L qB m

82

2=

2

28L

B U

m

q =

另一种表达形式

同位素荷质比和质量的测定: 粒子通过加速电场，通过速度选择器，

根据匀速运动的条件:

B E v =

。若测出粒子在偏转磁场的轨道直径为

L ， 则Bq

B mE Bq

mv R L

0222=

=

=， 所以同位素的荷质比和质量

分别为

E

BqL B m BL

B E m

q 2;200=

=

。

三．磁流体发电机

磁流体发电就是利用等离子体来发电。

1．等离子体的产生：在高温条件下（例如2000K ）气体发生电离，电离后的气体中含有离子、电子和部分未电离的中性粒子，因为正负电荷的密度几乎相等，从整体看呈电中性，这种高度电离的气体就称为等离子体，也有人称它为“物质的第四态”。 2．工作原理:

磁流体发电机结构原理如图（1）所示，其平面图如图（2）所示。M 、N 为平行板电极，极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场，让等离子体平行于极板从左向右高速射入极板间，由于洛伦兹力的作用，正离子将向M 板偏转，负离子将向N 板偏转，于是在M 板上积累正电荷，在N 板上积累负电荷。这样在两极板间就产生电势差，形成了电场，场强方向

从M 指向N ，以后进入极板间的带电粒子除受到洛伦兹力

洛

F 之外，还

受到电场力

电F 的作用，只要电

洛F F >，带电粒子就继续偏转，极

板上就继续积累电荷，使极板间的场强增加，直到带电粒子所受的电场力

电F 与洛伦兹力洛

F 大小相等为止。此后带电粒子进入极板间不再偏

转，极板上也就不再积累电荷而形成稳定的电势差

3．电动势的计算: 设两极板间距为d ， 根据两极电势差达到最大值的条件

电

洛F F =， 即dB

B

E v ε

=

=

， 则磁流体发电机的电动

势ε=B

d v 。 四．回旋加速器

1932年美国物理学家劳伦斯发明的回旋加速器，是磁场和电场对运动电荷的作用规律在科学技术中的应用典例，也是高中物理教材中的一个难点，其中有几个问题值得我们进一步探讨

回旋加速器是用来加速带电粒子使之获得高能量的装置。

O

B

1．回旋加速器的结构。回旋加速器的核心部分是两个D 形金属扁盒

（如图所示），在两盒之间留有一条窄缝，在窄缝中心附近放有粒子源O 。D 形盒装在真空容器中，整个装置放在巨大的电磁铁的两极之间，匀强磁场方向垂直于D 形盒的底面。把两个D 形盒分别接到高频电源的两极上。

2．回旋加速器的工作原理。如图所示，从粒子源O 放射出的带电粒子，经两D 形盒间的电场加速后，垂直磁场方向进入某一D 形盒内，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，经磁场偏转半个周期后又回到窄缝。此时窄缝间的电场方向恰好改变，带电粒子在窄缝中再一次被加速，以更大的速度进入另一D 形盒做匀速圆周运动……，这样，带电粒子不断被加速，直至它在D 形盒内沿螺线轨道运动逐渐趋于盒的边缘，当粒子达到预期的速率后，用特殊装置将其引出。

3．问题讨论。

（1）高频电源的频率

电

f 。

带电粒子在匀强磁场中运动的周期Bq

m π2T =

。带电粒子运动时，

每次经过窄缝都被电场加速，运动速度不断增加，在磁场中运动半径不

断增大，但粒子在磁场中每运动半周的时间qB

m T t

π=

=

2

不变。由于

窄缝宽度很小，粒子通过电场窄缝的时间很短，可以忽略不计，粒子运

动的总时间只考虑它在磁场中运动的时间。因此，要使粒子每次经过窄缝时都能被加速的条件是：高频电源的周期与带电粒子运动的周期相等（同步），即高频电源的频率为

m

qB f π2=

电，才能实现回旋加速。

（2）粒子加速后的最大动能E 。

由于D 形盒的半径R 一定，粒子在D 形盒中加速的最后半周的半径

为R ，由R

m Bq 2

υυ=

可知m

BqR =

υ，所以带电粒子的最大动

能m

R q B m E

22

2

22

2

=

=

υ。虽然洛伦兹力对带电粒子不做功，但

E 却与B 有关；

由于E

m nqU ==

2

2

υ，由此可知，加速电压的高低只会影响

带电粒子加速的总次数，并不影响回旋加速后的最大动能。 （3）能否无限制地回旋加速。

由于相对论效应，当带电粒子速率接近光速时，带电粒子的质量将显著增加，从而带电粒子做圆周运动的周期将随带电粒子质量的增加而加长。如果加在D 形盒两极的交变电场的周期不变的话，带电粒子由于每次“迟到”一点，就不能保证粒子每次经过窄缝时总被加速。因此，同步条件被破坏，也就不能再提高带电粒子的速率了 (4)粒子在加速器中运动的时间：

设加速电压为U ，质量为m 、带电量为q 的粒子共被加速了n 次，若不计在电场中运动的时间，有：

m

R q B E nqU 22

2

2

max =

=所以mU

qR B n 22

2

=

又因为在一个周期内带电粒子被加速两次，所以粒子在磁场中运动的时间

时间U

BR T n t 22

2

π=

=

磁

若计上粒子在电场中运动的时间，则粒子在两D 形盒间的运动可视为初速度为零的匀加速直线运动，设间隙为d ，有：

2

21电

t md

qU nd ?=

所以U

BdR qU

m nd t =

=

2

2电

故粒子在回旋加速器中运动的总时间为

U

R d BR t t t 2)

2(π+=

+=磁电

因为d

R >>，所以电磁t t >>，故粒子在电场中运动的时间可

以忽略

【例题】有一回旋加速器，两个D 形盒的半径为R ，两D 形盒之间的高频电压为U ，偏转磁场的磁感强度为B 。如果一个α粒子和一个质子，都从加速器的中心开始被加速，试求它们从D 形盒飞出时的速度之比。 错解：当带电粒子在D 形盒内做圆周运动时，速率不变。当带电粒子通过两个D 形盒之间的缝隙时，电场力对带电粒子做功，使带电粒子的速度增大。设带电粒子的质量为m ，电荷为q ，在回旋加速器中被加速的次数为n ，从D 形盒飞出时的速度为V ，根据动能定理有：

2

2

1mV

nqU =

，解得m

nqU V 2=

。

由上式可知，带电粒子从D 形盒飞出时的速度与带电粒子的荷质比的

平方根成正比，所以

2

1=

H

V V α。

分析纠错：上法中认为α粒子和质子在回旋加速器内被加速的次数相同的，是造成错解的原因。因带电粒子在D 形盒内做匀速圆周运动的向心力是由洛仑兹力提供的，对带电粒子飞出回旋加速器前的最后半周，根据牛顿第二定律有：

R

V

m

qBV 2

=解得m

q BR

V =。

因为B 、R 为定值，所以带电粒子从D 形盒飞出时的速度与带电粒子的荷质比成正比。因α粒子的质量是质子质量的4倍，α粒子的电荷量是

质子电荷量的4倍，故有：

2

1=

H

V V α

五．霍尔效应若

1．霍尔效应。金属导体板放在垂直于它的匀强磁场中，当导体板中通过电流时，在平行于磁场且平行于电流的两个侧面间会产生电势差，这种现象叫霍尔效应。

2．霍尔效应的解释。如图，截面为矩形的金属导体，在ｘ方向通以电流Ｉ，在ｚ方向加磁场Ｂ，导体中自由电子逆着电流方向运动。由左手定则可以判断，运动的电子在洛伦兹力作用下向下表面聚集，在导体的上表面A 就会出现多余的正电荷，形成上表面电势高，下表面电势低的电势差，导体内部出现电场，电场方向由A 指向A ’，以后运动的电子将同时受洛伦兹力洛F 和电场力电F 作用，随着表面电荷聚集，电场强

度增加，电F 也增加，最终会使运动的电子达到受力平衡（电

洛

F F =）

而匀速运动，此时导体上下两表面间就出现稳定的电势差。

3．霍尔效应中的结论。

设导体板厚度为h(y 轴方向)、宽度为d 、通入的电流为I ，匀强磁场的磁感应强度为B ，导体中单位体积内自由电子数为n ，电子的电量为e ，定向移动速度大小为v ，上下表面间的电势差为U ；

（1）由

h

Uq Bq =

υ?υ

Bh U =①。

（2）实验研究表明，U 、I 、B 的关系还可表达为d

IB k

U =②，k 为霍尔系数。又由电流的微观表达式有：υ

υnehd nes I ==③。

联立①②③式可得ne

k

1=

。由此可通过霍尔系数的测定来确定导体内

部单位体积内自由电子数。 （3）考察两表面间的电势差υ

Bh U

=，相当于长度为h 的直导

体垂直匀强磁场B 以速度v 切割磁感线所产生的感应电动势

υ

Bh E =感

六．电磁流量计

电磁流量计是利用霍尔效应来测量管道中液体流量（单位时间内通过管内横截面的液体的体积）的一种设备。其原理为： 如图所示

F 电

F 洛V

d

V

a

b

圆形管道直径为d （用非磁性材料制成），管道内有向左匀速流动的导电液体，在管道所在空间加一垂直管道向里的匀强磁场，设磁感应强度为B ；管道内随液体一起流动的自由电荷（正、负离子）在洛伦兹力作用下垂直磁场方向偏转，使管道上ab 两点间有电势差，管道内形成电场；当自由电荷受电场力和洛伦兹力平衡时，ab 间电势差就保持稳定，测出ab 间电势差的大小U ，则有：

q d

U Bq =

υ ?Bd

U =

υ，

故管道内液体的流量

B

dU Bd

U d S Q 44

2

ππυ=

?

=

?=

『题型解析』

类型题： 会分析求解磁感强度

磁感强度B 是磁场中的重要概念，求解磁感强度的方法一般有：定义式法、矢量叠加法等。

【例题】如图中所示，电流从A 点分两路通过对称的环形分路汇合于B 点，在环形分路的中心O 处的磁感强度（ ） A ．垂直环形分路所在平面，且指向“纸内”。 B ．垂直环形分路所在平面，且指向“纸外”。

C ．在环形分路所在平面内指向B 。

D ．磁感强度为零。

★解析：利用“微元法”把圆周上电流看成是由无数段直导线电流的集合，由安培定则可知在一条直径上的两个微元所产生的磁感强度等大反向，由矢量叠加原理可知中心O 处的磁感强度为零，即D 选项正确。

【例题】电视机显象管的偏转线圈示意图如图所示，某时刻电流方向如图所示。则环心O 处的磁场方向为（）

A ．向下

B ．向上

C ．垂直纸面向里

D ．垂直纸面向外

★解析：对于左右两个螺线管分别由安培定则判得上方均为磁场北极，下方均为磁场南极，所以环心O 处的磁场方向为向下，即A 选项正确。

【例题】安培秤如图所示，它的一臂下面挂有一个矩形线圈，线圈共有N 匝，它的下部悬在均匀磁场B 内，下边一段长为L ，它与B 垂直。

当线圈的导线中通有电流I 时，调节砝码使两臂达到平衡；然后使电流反向，这时需要在一臂上加质量为m 的砝码，才能使两臂再达到平衡。求磁感强度B 的大小。

★解析：根据天平的原理很容易得出安培力mg

F 2

1=

，所以

F=NBLI=

mg 2

1，因此磁感强度NLI

mg B 2=

。

类型题： 分析导体在安培力作用下的运动

判别物体在安培力作用下的运动方向，常用方法有以下四种： 1、电流元受力分析法：即把整段电流等效为很多段直线电流元，先用左手定则判出每小段电流元受安培力方向，从而判出整段电流所受合力方向，最后确定运动方向。

2、特殊值分析法：把电流或磁铁转到一个便于分析的特殊位置(如转过90°)后再判所受安培力方向，从而确定运动方向。

i

3、等效分析法：环形电流可以等效成条形磁铁、条形磁铁也可等效成环形电流、通电螺线管可等效成很多的环形电流来分析。

4、推论分析法：(1)两电流相互平行时无转动趋势，方向相同相互吸引，方向相反相互排斥；(2)两电流不平行时有转动到相互平行且方向相同的趋势。

【例题】如图所示，把一通电直导线放在蹄形磁铁磁极的正上方，导线可以自由移动，当导线通过电流I 时，导线的运动情况是（ ）(从上往下看)

A ．顺时针方向转动，同时下降

B ．顺时针方向转动，同时上升

C ．逆时针方向转动，同时下降

D ．逆时针方向转动，同时上升 答案：C

【例题】如图所示，两平行光滑导轨相距为L=20cm ，金属棒MN 的质量为m=10g ，电阻R=8Ω，匀强磁场磁感应强度B 方向竖直向下，大小为B=0.8T ，电源电动势为E=10V ，内阻r=1Ω。当电键S 闭合时，MN 处于平衡，求变阻器R1的取值为多少?(设θ=45°)

★解析：根据左手定则判出安培力方向，再作出金属棒平衡时的受力平面图如图7。

当MN 处于平衡时，根据平衡条件有：

mgsinθ-BILcosθ=0

由闭合电路的欧姆定律得：r

R R E ++=

1I 。

由上述二式解得：R1=7Ω

可见，解此类题的关键是正确画出最便于分析的平面受力图。 【例题】长L=60cm 质量为m=6.0×10-2

kg ，粗细均匀的金属棒，两端用完全相同的弹簧挂起，放在磁感强度为B=0.4T ，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，如图8所示，若不计弹簧重力，问(1)要使弹簧不伸长，金

属棒中电流的大小和方向如何?(2)如在金属中通入自左向右、大小为I=0.2A 的电流，金属棒下降x 1=1cm ，若通入金属棒中的电流仍为0.2A ，但方向相反，这时金属棒下降了多少?

★解析：(1)要使弹簧不伸长，则重力应与安培力平衡，所以安培力应向上，据左手定则可知电流方向应向右，因mg=BLI ，所以I=mg/BL=2.5A 。

(2)因在金属中通入自左向右、大小为I 1=0.2A 的电流，金属棒下降x 1=1mm ，由平衡条件得：mg=BLI+2kx 1。

当电流反向时，由平衡条件得：mg=-BLI+2kx 2。

解得：

cm

x BLI

mg BLI mg x 16.112=-+=

类型题： 与地磁场有关的电磁现象综合问题 1.地磁场中安培力的讨论

【例题】已知北京地区地磁场的水平分量为3.0×10－5

T.若北京市一高层建筑安装了高100m 的金属杆作为避雷针，在某次雷雨天气中，某一时

刻的放电电流为105

A ，此时金属杆所受培力的方向和大小如何？磁力矩又是多大？

★解析：首先要搞清放电电流的方向.因为地球带有负电荷，雷雨放电时，是地球所带电荷通过金属杆向上运动，即电流方向向下.

A

B

I

N

S

F

F 1

F 2

mg

对于这类问题，都可采用如下方法确定空间的方向：面向北方而立，则空间水平磁场均为“×”；自己右手边为东方，左手边为西方，背后为南方，如图所示.由左手定则判定电流所受磁场力向右（即指向东方），大小为

F ＝BIl ＝3.0×10－5

×105

×100＝300（N ）.

因为磁力与通电导线的长度成正比，可认为合力的作用点为金属杆的中点，所以磁力矩

M ＝

2

1 F l ＝

2

1×300×100

＝1.5×104（N ·m ）.

用同一方法可判断如下问题：一条长2m 的导线水平放在赤道上空，通以自西向东的电流，它所受地磁场的磁场力方向如何？

2.地磁场中的电磁感应现象

【例题】绳系卫星是系留在航天器上绕地球飞行的一种新型卫星，可以用来对地球的大气层进行直接探测；系绳是由导体材料做成的，又可以进行地球空间磁场电离层的探测；系绳在运动中又可为卫星和牵引它的航天器提供电力.

1992年和1996年，在美国“亚特兰大”号航天飞机在飞行中做了一项悬绳发电实验：航天飞机在赤道上空飞行，速度为7.5km/s ，方向自西向东.地磁场在该处的磁感应强度B ＝0.5×10－4

T.从航天飞机上发射了一颗卫星，卫星携带一根长l ＝20km 的金属悬绳与航天飞机相连.从航天飞机到卫生间的悬绳指向地心.那么，这根悬绳能产生多大的感应电动势呢？

★解析：采用前面所设想的确定空间方位的方法，用右手定则不难发现，竖起右手，大拇指向右边（即东方），四指向上（即地面的上方），所以航天飞机的电势比卫星高，大小为

E ＝BLv ＝0.5×10－5

×2×104

×7.5×103

＝7.5×103

（V ）.

用同样的方法可以判断，沿长江顺流而下的轮般桅杆所产生的电势差及在北半球高空水平向各方向飞行的飞机机翼两端的电势差（注意：此时机翼切割地磁场的有效分量是竖直分量）.

3.如何测地磁场磁感应强度的大小和方向

地磁场的磁感线在北半球朝向偏北并倾斜指向地面，在南半球朝向偏北并倾斜指向天空，且磁倾角的大小随纬度的变化而变化.若测出地磁场磁感应强度的水平分量和竖直分量，即可测出磁感应强度的大小和方向.

【例题】测量地磁场磁感应强度的方法很多，现介绍一种有趣的方法. 如图所示为北半球一条自西向东的河流，河两岸沿南北方向的A 、B 两点相距为d .若测出河水流速为v ，A 、B 两点的电势差为U ，即能测出此地的磁感应强度的垂直分量B ⊥.

因为河水中总有一定量的正、负离子，在地磁场洛仑兹力的作用下，

正离子向A 点偏转，正、负离子向B 点偏转，当A 、B 间电势差达到一定值时，负离子所受电场力与洛仑兹力平衡，离子不同偏转，即

q

d

U ＝B ⊥qv ，故B ⊥＝

dv

U .

类型题： 导体棒在瞬时安培力作用下的运动

导体棒受磁场作用的安培力的冲量公式B L q t B L I t F =?=?，利用此公式可简便地求解相关问题。 【例题】如图所示，金属棒ab 的质量为m=5g ，放置在宽L=1m 、光滑的金属导轨的边缘上，两金属导轨处于水平面上，该处有竖直向下的匀强磁场，磁感强度为B=0.5T ，电容器的电容C=200μF ，电源电动势E=16V ，导轨平面距离地面高度h=0.8m ，g 取10，在电键S 与“1”接通并稳定后，再使它与“2”接通，金属棒ab 被抛到s=0.064m 的地面上，试求ab 棒被水平抛出时电容器两端的电压。

★解析：当S 接“1”时，电容器充电，稳定时两极板的电压为：

V

E U 16==，

所以带电量为：C

CE Q 3

10

2.3-?==；

当S 接“2”时，电容器放电，有放电电流通过ab 棒，但该电流是变化的，所以ab 棒受到的安培力也是变化的。ab 棒离开水平导轨的初速V 0可根据ab 棒此后的平抛运动求出：

由2

02

1gt

h t V s

=

=，，

得s

m h

g S

V /16.020

==。

东 水流方向

东

F

设放电过程时间为?t ，此过程通过ab 棒的电量为?Q ，由动量定理得:

0mV Q BL t BIL t F =?=??=?，

所以C

BL

mV Q

3

010

6.1-?==

?，

所以ab 被抛出时电容器极板上剩余的电量为

Q Q Q C

'.=-=?-?16103

， 所以ab 棒被抛出时电容器两端的电压为 U Q C

V =='8

类型题： 确定带电粒子在磁场中运动圆心

带电粒子垂直进入磁场，在洛仑兹力的作用下，做匀速圆周运动，找到圆心，画出轨迹，是解这类题的关键。下面举例说明圆心的确定方法。 1．由两速度的垂线定圆心

【例题】电视机的显像管中，电子（质量为m ，带电量为e ）束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U 的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图1所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O ，半径为r 。当不加磁场时，电子束将通过O 点打到屏幕的中心M 点。为

了让电子束射到屏幕边缘P ，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感强度B 应为多少？

★解析：如图2所示，电子在匀强磁场中做圆周运动，圆周上的两点a 、b 分别为进入和射出的点。做a 、b 点速度的垂线，交点O 1即为轨迹圆的圆心。

设电子进入磁场时的速度为v ，对电子在电场中的运动过程有

e U m v =2

2

/ 对电子在磁场中的运动（设轨道半径为R ）有

e v B m v R =2

/

由图可知，偏转角θ与r 、R 的关系为

tan(/)/θ2=r R

联立以上三式解得

)

2/tan(/2)/1(θe mU r B =

2．由两条弦的垂直平分线定圆心

【例题】如图3所示，有垂直坐标平面的范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B ，方向向里。一带正电荷量为q 的粒子，质量为m ，从O 点以某一初速度垂直射入磁场，其轨迹与x 、y 轴的交点A 、C 到O 点的

距离分别为a 、b 。试求：（1）初速度方向与x 轴夹角；（2）初速度的大小。

★解析：（1）粒子垂直射入磁场，在xOy 平面内做匀速圆周运动，如图4所示，OA 、OC 是圆周上的两条弦。做两条弦的垂直平分线，交点O 1即为圆轨迹的圆心，以O 1为圆心，O

O 1

＝R 为半径画圆。正电荷

在O 点所受的洛仑兹力F 的方向（与初速度垂直）和粒子的初速度v 的

方向（与O O 1

垂直斜向上），也在图上标出。

设初速度方向与x 轴的夹角为θ，由几何关系可知，∠O 1OC ＝θ。在直角三角形OO 1D 中，有

tan (/)/(/)/θ==a b a b

22

θ=a r c t a n (/)

ab （2）由直角三角形OO 1D ，粒子的轨道半径

R a b =+(/)(/)

2222

粒子在磁场中运动有

q v B m v R =2

/

由上述两式可得

v q B a b m =+2

2

2/()

3．由两洛仑兹力的延长线定圆心

【例题】如图5所示，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B 。在匀强磁场中做匀速圆周运动的一个电子，动量为P ，电量为e ，在A 、C 点，所受洛仑兹力的方向如图示，已知AC ＝d 。求电子从A 到C 时发生的偏转角。

★解析：如图6所示，A 、C 为圆周上的两点，做洛仑兹力的延长线，交点O 为圆周轨迹的圆心。以O 为圆心做电子从A 到C 的运动轨迹。过A 、C 画出速度的方向，则θ角为偏转角。

设粒子的质量为m ，速度为v ，则轨迹半径 R m v e B P e B ==/()/()

由几何关系有

s i n (/)(/)/θ22=d R

联立以上二式解得

θ=22a r c s i n [/()]

d e B P

4．综合定圆心

确定圆心，还可综合运用上述方法。一条切线，一条弦的垂直平分线，一条洛仑兹力的延长线，选其中任两条都可找出圆心。 【例题】如图7所示，在y

<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直

于xOy 平面并指向纸面外，磁感应强度为B 。一带正电的粒子以速度v 0从O 点射入磁场，入射方向在xy 平面内，与x 轴正方向的夹角为θ。若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为L ，求该粒子的电量和质量之比q/m 。

★解析：如图所示，

粒子进入磁场后，受洛仑兹力的作用，做匀速圆周运动，从A 点射出磁场。O

A

是圆轨迹上一条弦，初速度

v 0与圆周轨迹相切。做弦的垂

直平分线和初速度v 的垂线，交点O 1即为圆轨迹的圆心。以O 1为圆心，以O 1到入射点O 的距离R （轨道半径）画出粒子圆周运动的轨迹。

由洛仑兹力公式和牛顿定律有 q vB m v R 00

2

=/ O 1是弦O

A

的垂直平分线上的点，由几何关系有

L R /sin 2=θ

联立以上二式解得

q m v L B /s i n /()=20

θ

类型题： 确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法

带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些题不但涉及洛伦兹力，而且往往与几何关系相联系，使问题难度加大，但无论这类题多么复杂，其关键一点在于画轨迹，只要确定了轨迹，问题便迎刃而解，下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。

1。 对称法

带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等，利用这一结论可以轻松画出粒子的轨迹。

【例题】（这题和前一题重复）如图1所示，在y 小于0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸面外，磁感应强度为B ，一带正电的粒子以速度v 0从O 点射入磁场，入射速度方向为xy 平面内，

与x 轴正向的夹角为θ，若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为L ，求该粒子电量与质量之比。

★解析：根据带电粒子在有界磁场的对称性作出轨迹，如图2所示，找出圆心A ，向x 轴作垂线，垂足为H ，由与几何关系得：

R L sin θ=

12

①

带电粒子磁场中作圆周运动，由qv B

mv R

002

=

解得

R m v q B

=

0 ②

①②联立解得

2。 动态圆法

在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射粒子时，粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的动态圆，用这一规律可确定粒子的运动轨迹。

【例题】如图所示，S 为电子源，它在纸面360度范围内发射速度大小为v 0，质量为m ，电量为q 的电子（q<0），MN 是一块足够大的竖直挡板，与S 的水平距离为L ，挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁

感应强度大小为

m v q L

，求挡板被电子击中的范围为多大？

★解析：由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹构成绕S 点旋转的一动态圆，动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图4所示，最高点为动态圆与MN 的相切时的交点，最低点为动态圆与MN 相割，且SB 为直径时B 为最低点，

带电粒子在磁场中作圆周运动，由qv B

mv R

002

=

得

R mv qB

L =

=0

SB 为直径，则S B L S O L ==2，由几何关系得

O B S B O S L =-=2

2

3

A 为切点，所以OA ＝L

所以粒子能击中的范围为()13+L 。

3。 放缩法

带电粒子在磁场中以不同的速度运动时，圆周运动的半径随着速度的

变化而变化，因此可以将半径放缩，探索出临界点的轨迹，使问题得解。

【例题】如图5所示，匀强磁场中磁感应强度为B ，宽度为d ，一电子从左边界垂直匀强磁场射入，入射方向与边界的夹角为θ，已知电子的质量为m ，电量为e ，要使电子能从轨道的另一侧射出，求电子速度大小的范围。

★解析：如图6所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，设此时的速率为v 0，带电粒子在磁场中作圆周运动，由几何关系得

r r d

+=cos θ ①

电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力

ev B mv r

00

2

=

，所以r m v B e

=

0 ②

①②联立解得v B e d m 0

1=

+(c o s )

θ所以电子从另一侧射出的条

件是速度大于

)

cos 1(θ+m Bed 。

4。 临界法

临界点是粒子轨迹发生质的变化的转折点，所以只要画出临界点的轨

迹就可以使问题得解。

【例题】长为L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图7所示，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，两极板不带电，现有质量为m 电量为q 的带负电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁感线以水平速度v 射入磁场，欲使粒子打到极板上，求初速度的范围。

★解析：由左手定则判定受力向下，所以向下偏转，恰好打到下板右边界和左边界为两个临界状态，分别作出两个状态的轨迹图，如图8、图9所示，打到右边界时，在直角三角形OAB 中，由几何关系得：

R R L L 121

22

2

=-+() 解得轨道半径

R L 154

=

电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力qv B

m v R 112

1

=

因此v q B R m q B

L

m q B L m

1

15454=== 打在左侧边界时，如图9所示，由几何关系得轨迹半径R L 24

=

电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力

qv B m v R 222

2

=

所以v q B R m q B

L

m q B L m

2

244=== 所以打在板上时速度的范围为

q B L m

v q B L m

454≤≤

以上是确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法，在解题中如果善于抓住这几点，可以使问题轻松得解

类型题： 计算带电粒子在有界磁场中的运动

带电粒子在有界磁场中的运动问题，综合性较强，解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何知识。

1。带电粒子在半无界磁场中的运动

【例题】一个负离子，质量为m ，电量大小为q ，以速率V 垂直于屏S 经过小孔O 射入存在着匀强磁场的真空室中(如图11)。磁感应强度B 的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于图1中纸面向里。

(1)求离子进入磁场后到达屏S 上时的位置与O 点的距离。

(2)如果离子进入磁场后经过时间t 到达位置P ，证明:直线O 与离子入射方向之间的夹角θ跟t 的关系是t m

qB 2=

θ

。

★解析：(1)离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛仑兹力作用下，做匀速圆周运动。设圆半径为r ，则据牛顿第二定律可得：

r

V m

BqV 2

= ，解得Bq

mV r =

如图12所示，离了回到屏S 上的位置A 与O 点的距离为：AO=2r

所以

Bq

mV AO 2=

(2)当离子到位置P 时，圆心角(见图12)：

t

m

Bq r

Vt =

=

α

因为θ

α

2=，所以t m

qB 2=

θ。

2、带电粒子在圆形磁场中的运动

【例题】圆心为O 、半径为r 的圆形区域中有一个磁感强度为B 、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L 的O ＇处

O

B S

v θ

P

有一竖直放置的荧光屏MN ，今有一质量为m 的电子以速率v 从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P 点，如图13所示，求O ＇P 的长度和电子通过磁场所用的时间。

★解析：电子所受重力不计。

它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O″，半径为R 。圆弧段轨迹A B 所对的圆心角为θ，电子越出磁场后做速率仍为v 的匀速直线运动， 如

图14所示，连结O B ，∵△OAO″≌△OBO″，又OA ⊥O″A ，故OB ⊥O″B ，由于原有BP ⊥O″B ，可见O 、B 、P 在同一直线上，且∠O ＇OP=∠AO″B=θ，在直角三角形ＯＯ＇P

中，O ＇P=(L+r)tanθ，而

)

2

(t a n 1)

2t a n (2t a n 2

θ

θ

θ-=

，R r =

)2

tan(

θ

，所以求得R 后就可以

求出O ＇P 了，电子经过磁场的时间可用t=

V

R

V

AB θ=

来求得。

由

R

V

m

BeV 2

=得R=

θ

tan )(.r L OP eB

mV +=

mV

eBr R

r =

=)2

tan(

θ

2

222

2

2

2)

2

(tan 1)

2

tan(

2tan r

B e V

m eBrmV -=

-=

θ

θθ

2

222

2

,

)(2tan )(r

B e V

m eBrmV r L r L P O -+=

+=θ，

)2arctan(

2

222

2

r B e V

m eBrmV -=θ

)

2arctan(

2

2

2

2

2

r

B e V

m eBrmV eB

m V

R

t -=

=

θ

3、带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动

【例题】如图15所示，一束电子(电量为e)以速度V 垂直射入磁感强

度为B ，宽度为d 的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30°，则电子的质量是，穿透磁场的时间是 。

★解析：电子在磁场中运动，只受洛仑兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分，又因为f ⊥V ，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛仑兹力指向交点上，如图15中的O 点，由几何知识知，A B 间圆心角θ＝30°，O B 为半径。

∴r=d/sin30°=2d ，又由r=mV/Be 得m=2dBe/V

又∵AB 圆心角是30°，∴穿透时间t=T/12，故t=πd/3V 。

带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动时要注意临界条件的分

析。如已知带电粒子的质量m 和电量e ，若要带电粒子能从磁场的右边界射出，粒子的速度V 必须满足什么条件？这时必须满足r=mV/Be>d ，即V>Bed/m 。

4、带电粒子在正方形磁场中的运动

【例题】长为L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图16

所示，磁感强度为B ，板间距离也为L ，板不带电，现有质量为m ，电量

为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（ ）

A ．使粒子的速度V

l

l

r 1 O

v

+q v

B

A

B d

V

V

30

O

M

N

O ,

L

A

O

R

θ/2 θ θ/2 B

P

O

//

M

N

L

A

B．使粒子的速度V>5BqL/4m；

C．使粒子的速度V>BqL/m；

D．使粒子速度BqL/4m

★解析：由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏，而作匀速圆周运动，很明显，圆周运动的半径大于某值r1时粒子可以从极板右边穿出，而半径小于某值r2时粒子可从极板的左边穿出，现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r的最小值r1以及粒子在左边穿出时r的最大值r2，由几何知识得：

粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O点，有：

r12＝L2+(r1-L/2)2得r1=5L/4，

又由于r1=mV1/Bq得V1=5BqL/4m，∴V>5BqL/4m时粒子能从右边穿出。

粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O＇点，有r2＝L/4，又由r2＝mV2/Bq=L/4得V2＝BqL/4m

∴V2

综上可得正确答案是A、B。

5、带电粒子在环状磁场中的运动

【例题】核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场

的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4×7

10c/㎏，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算

（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。

（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。

★解析：（1）要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切，轨迹如图18所示。

由图中知

2

1

2

2

1

2

1

)

(r

R

R

r-

=

+

解得m

r375

.0

1

=

由

1

2

1

1r

V

m

BqV=得s

m

m

Bqr

V/

10

5.17

1

1

?

=

=

所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为

s

m

V/

10

5.17

1

?

=。

（2）当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相

切时，则以V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如

图19所示。

由图中知m

R

R

r25

.0

2

1

2

2

=

-

=

由

2

2

2

2r

V

m

BqV=

得s

m

m

Bqr

V/

10

0.17

2

2

?

=

=

所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度

s

m

V/

10

0.17

2

?

=

6、带电粒子在“绿叶形”磁场中的运动

【例题】如图所示，在xoy平面内有很多质量为m、电量为e的电子，

从坐标原点O不断以相同的速率V0沿不同方向平行xoy平面射入第I象

限。现加一垂直xoy平面向里、磁感强度为B的匀强磁场，要求这些入

射电子穿过磁场都能平行于x轴且沿X轴正方向运动。求符合条件的磁

场的最小面积。（不考虑电子之间的相互作用）

★解析：如图21所示，电子在磁场中做匀速圆周运动，半径为

O

O2

r

Be

mV R 0=

。在由O 点射入第I 象限的所有电子中，沿y 轴正方向射

出的电子转过1/4圆周，速度变为沿x 轴正方向，这条轨迹为磁场区域的上边界。下面确定磁场区域的下边界。

设某电子做匀速圆周运动的圆心O /与O 点的连线与y 轴正方向夹角为θ，若离开磁场时电子速度变为沿x 轴正方向，其射出点（也就是轨迹与磁场边界的交点）的坐标为（x ，y ）。由图中几何关系可得

x=Rsinθ，y=R-Rcosθ，

消去参数θ可知磁场区域的下边界满足的方程为x 2+(R-y)2=R 2，(x>0，y>0)

这是一个圆的方程，圆心在（0，R ）处。磁场区域为图中两条圆弧所围成的面积。磁场的最小面积为;

2

2

2

22

2

2)2()2

1

41

(2B

e V m R R S -=

-=ππ

7、带电粒子在有“圆孔”的磁场中运动

【例题】如图22所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝ａ、ｂ、ｃ和ｄ，外筒的外半径为ｒ，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为Ｂ。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为ｍ、带电量为＋ｑ的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝ａ的Ｓ点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点Ｓ，则两电极之间的电压Ｕ应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）

★解析：

如图所示，带电粒子从S 点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a 而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到S 点的条件是能沿径向穿过狭缝d 。只要穿过了d ，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d 重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c 、b ，再回到S 点。设粒子进入磁场区的速度大小为V ，根据动能定理，有：2

2

1mV

qU

=

设粒子做匀速圆周运动的半径为R ，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有：

R

V

m

BqV 2

=

由前面分析可知，要回到S 点，粒子从a 到d 必经过

4

3圆周，所以

半径R 必定等于筒的外半径r ，即R=r 。由以上各式解得：

m

qr B U 22

2

=

。

8、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动

【例题】如图24所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E 、方向水平向右，电场宽度为L ；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向里。一个质量为m 、电量为q 、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O 点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O 点，然后重复上述运动过程。求：

（1）中间磁场区域的宽度d;

（2）带电粒子从O 点开始运动到第一次回到O 点所用时间t 。 ★解析：（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得：

2

2

1mV

qEL =

B

B

E

L d O

a b

c

d

S

o

a b

c

d

S

o

带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得：

R

V

m

BqV 2

=

由以上两式，可得

q

mEL B

R 21=

。

可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图25所示，三段圆弧的圆心组成的三角形ΔO 1O 2O 3是等边三角形，其边长为2R 。所以中间磁场区域的宽度为

q

mEL B

R d 62160

sin 0

=

=

（2）在电场中

qE mL qE

mV a

V t 22

221==

=

，

在中间磁场中运动时间qB

m T t 3232

π=

=

在右侧磁场中运动时间qB

m T t 356

53

π=

=，

则粒子第一次回到O 点的所用时间为

qB

m qE

mL t t t t 3722

321π+=++=。

综上所述，运动的带电粒子垂直进入有界的匀强磁场，若仅受洛仑兹力作用时，它一定做匀速圆周运动，这类问题虽然比较复杂，但只要准确地画出轨迹图，并灵活运用几何知识和物理规律，找到已知量与轨道半径R 、周期T 的关系，求出粒子在磁场中偏转的角度或距离以及运动时间不太难

类型题： 计算带电粒子在有界磁场边界碰撞

带电粒子与有界磁场边界碰撞的问题，由于这类问题往往存在多解，同学们解这类习题时常常由于只考虑问题的特解而忽略一般情况的分

析，对学生能力的要求较高，因此不少同学感到困难。为加强学生对这类问题的认识，下面通过例题来分析带电粒子与磁场边界碰撞问题。

1、带电粒子与绝缘圆筒的碰撞

【例题】如图26所示，一个质量为m 、电量为q 的正离子，从A 点

正对着圆心O 以速度V 射入半径为R 的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B 。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A 点射出，求正离子在磁场中运动的时间t 。设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。

★解析：由于离子与圆筒内壁碰撞时无能量损失和电量损失，每次碰撞后离子的速度方向都沿半径方向指向圆心，并且离子运动的轨迹是对称的，如图27所示。设粒子与圆筒内壁碰撞n 次(2≥n

)，经过m 转

回到A 点，则每相邻两次碰撞点之间圆弧所对的圆心角为2πm/(n+1)（这

里是指磁场圆弧所对圆心角，而不是指轨迹圆弧所对圆心角）。由几何知识可知，离子运动的半径为:

1

tan

+=n m R r π(m=1，2，3…，n=2，3，…)

我认为应改为：

O

O 3

O 1

O 2

60

O

A

v 0

B

离子运动的周期为qB

m T π2=

，又

r

V m

BqV 2

=，

所以离子在磁场中运动的时间为

1

tan 2+=n m V

R t ππ(m=1，2，3…，n=2，3，…)