初三数学二次函数知识点总结
砺智教育学校2017年秋季周六补习班报名热线134********、一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，
，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，
可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．
⑵ a b c ，
，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2
y a x h =-的性质：
左加右减。
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4. ()2
y a x h k =-+的性质：
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：
⑴c bx ax y ++=2
沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2
变成
m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）
⑵c bx ax y ++=2
沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2
变成
c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）
砺智教育学校2017年秋季周六补习班报名热线134********、四、二次函数()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较
从解析式上看，()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2
2424b ac b y a x a a -?
?=++ ??
?，其中2424b ac b h k a a -=-=
，．
五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、
对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
六、二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
，．
当2b x a <-
时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b
x a
=-时，y 有最小值2
44ac b a
-．
2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ?
??
，．当2b
x a <-时， y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值
2
44ac b a
-．
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；
2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只
有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
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八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．
⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，
当0b >时，02b
a
-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b
a
-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b
a
-
>，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b
a
->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b
a
-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b
a
-
<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．
ab 的符号的判定：对称轴a
b
x 2-
=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0 3. 常数项c ⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ， ，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 砺智教育学校2017年秋季周六补习班报名热线134********、4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2 y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是22 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ， 对称后，得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 砺智教育学校2017年秋季周六补习班报名热线134********、 十、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）： 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数： ① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次 方程()2 00ax bx c a ++=≠ 的两根．这两点间的距离21AB x x =-. ② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 砺智教育学校2017 二次函数图像参考： 2-3 2 2y=3(x+4)2 2 y=3x 2 砺智教育学校2017年秋季周六补习班报名热线134********、 十一、函数的应用 二次函数应用?? ??? 刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少 二次函数考查重点与常见题型 1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x 为自变量的二次函数2)2(2 2 --+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是 2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查 两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12 -+=bx kx y 的图像大致 是（ ） y=-2x 2 y=-2(x-3)2 砺智教育学校2017年秋季周六补习班报名热线134********、3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题， 如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为3 5 = x ，求这条抛物线的解析式。 4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵坐标是－3 2 （1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的符号 例1 （1）二次函数2y ax bx c =++的图像如图1，则点),(a c b M 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （2）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图2所示，?则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 (1) (2) 用二次函数解决最值问题 例 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）?与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表： x （元） 15 20 30 … y （件） 25 20 10 … 若日销售量y 是销售价x （1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？?此时每日销售利润是多少元？ 【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b ．则1525, 220k b k b +=??+=? 解得k=-1，b=40，?即一次函数表达 式为y=-x+40． （2）设每件产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为w 元 w=（x-10）（40-x ）=-x 2+50x-400=-（x-25）2+225． 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元． 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，?“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）?问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 26．（10分）（2017?广安）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x 正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1 （1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标． （2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，四边形OMPN为矩形． ②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）由对称轴公式可求得b，由A点坐标可求得c，则可求得抛物线解析式；再令y=0可求得B点坐标； （2）①用t可表示出ON和OM，则可表示出P点坐标，即可表示出PM的长，由矩形的性质可得ON=PM，可得到关于t的方程，可求得t的值；②由题意可知OB=OA，故当△BOQ 为等腰三角形时，只能有OB=BQ或OQ=BQ，用t可表示出Q点的坐标，则可表示出OQ和BQ的长，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【解答】解： （1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴是直线x=1， ∴﹣=1，解得b=2， ∵抛物线过A（0，3）， ∴c=3， 砺智教育学校2017年秋季周六补习班报名热线134********、 ∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3， 令y=0可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3， ∴B点坐标为（3，0）； （2）①由题意可知ON=3t，OM=2t， ∵P在抛物线上， ∴P（2t，﹣4t2+4t+3）， ∵四边形OMPN为矩形， ∴ON=PM， ∴3t=﹣4t2+4t+3，解得t=1或t=﹣（舍去）， ∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形； ②∵A（0，3），B（3，0）， ∴OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=﹣x+3， ∴当t＞0时，OQ≠OB， ∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，由题意可知OM=2t， ∴Q（2t，﹣2t+3）， ∴ OQ==， BQ==|2t﹣3|， 又由题意可知0＜t＜1， 当OB=QB 时，则有|2t﹣3|=3，解得 t=（舍去）或t=； 当OQ=BQ 时，则有=|2t﹣3|，解得t=； 综上可知当t 的值为或时，△BOQ为等腰三角形． 砺智教育学校2017年秋季周六补习班报名热线134********、