第一章 场论和张量初步(3)

附录矢量与张量运算

附录 矢量与张量运算 1标量﹑矢量与张量 1.1基本概念 在本书中所涉及的物理量可分为标量、矢量和张量。 我们非常熟悉标量，它是在空间没有取向的物理量，只有一个数就可以表示其状态。例如质量、压强、密度、温度等都是标量。 矢量则是在空间有一定取向的物理量，它既有大小、又有方向。在三维空间中，需要三个数来表示，即矢量有三个分量。考虑直角坐标右手系，三个坐标轴分别以1、2和3表示，、2和3分别表示1、2和3方向的单位矢量。如果矢量a 的三个分量分别为a 1、、a 2、a 3，则可以表示为 也可以用以下符号表示 a =(a 1,a 2,a 3) 矢量a 的大小以a 表示 a =(a 12+a 22+a 32)1/2 我们还会遇到张量的概念，可将标量看作零阶张量，矢量看作一阶张量，在此将主要讨论二阶张量的定义。 二阶张量w 有9个分量，用w ij 表示。张量w 可用矩阵的形式来表示： w 其中下标相同的元素称为对角元素，下标不同的元素称为非对角元素。若w ij =w ji ，则称为对称张量。如果将行和列互 相交换就组成张量w 的转置张量，记作w T ,则 w T = 显然，若w 是对称张量，则有w =w T 。另外，如果w T =-w ，w 被称为反对称张量，同时有w ij =-w ji 。任何一个二阶张量都可以写成两部分之和，一部分为对称张量，另一部分为反对称张量。 w =(w +w T )+ (w -w T ) 单位张量是对角分量皆为1，非对角分量皆为0的张量 是最简单的对称张量。 张量对角分量之和称为张量的迹 t r w = 张量的迹是标量，如果张量的迹为零，称此张量为无迹张量。 1.2基本运算 1.2.1矢量加法与乘法运算 在几何上，矢量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。如图附-1所示，减法为加法的逆运算。 1e e e a 332211e e e a a a a ++=??????????=3332 31232221131211w w w w w w w w w ??????????3323 13 322212312111w w w w w w w w w 2121 δ?? ??? ?????=100010001δδ ∑i ii w

场论基础

场论基础 附1 Hamilton 算子? 在直角坐标系中定义Hamilton 算子?为 x y z ???=++???i j k ? （附1.1） 这里，?既可以看成是一个微分算子，作用到一个标量函数或者是一个矢量函数上；也可以看成是一个向量，和其他的向量进行普通的点乘( )运算和叉乘(?)运算。 附1.1 梯度运算grad u u =? 对于一个标量场(,,)u x y z ，我们定义相关的梯度运算为 grad u u u u u x y z ???==++???i j k ? （附1.2） 那么标量函数(,,)u x y z 的梯度运算结果grad u 为一向量。下面我们来看梯度运算的数学意义。对于函数(,,)u x y z 的方向导数 u n ??，我们有 cos(,)cos(,)cos(,) ()()grad x y z u u x u y u z n x n y n z n u u u n x n y n z x y z u u u n n n u x y y ???????=++??????????=++ ??????=++++=???i j k i j k n （附1.3） 因此有 grad cos(,)u u u n ?=?n ? （附1.4） 从中可以看到，当单位向量n 的方向和梯度grad u 的方向一致时，u n ??取到极大值， 而极大值就为grad u 。这就是说，梯度grad u 为函数(,,)u x y z 变化最快的方向，也是等值函数(,,)u x y z C =的外法线方向，梯度的大小为函数方向导数的最大值。从上面的分析我们可以看到，梯度grad u 的定义和坐标系是无关。梯度grad u 在数值计算方法中有很重要意义。 附1.2 散度运算div =A A ? 对于一个向量场(,,)x y z A ，沿某一个曲面S 的通量定义为 d S S Φ= ??A n (附1.5) 更进一步，如果S 是个封闭曲面，其所包围的区域Ω，体积为V ，那么当

第一章 张量分析基础知识

晶体物理性能 南京大学物理系

由于近代科学技术的发展，单晶体人工培养技术的成熟，单晶体的各方面物理性能（如力、声、热、电、磁、光）以及它们之间相互作用的物理效应，在各尖端科学技术领域里，都得到了某些应用．特别是石英一类压电晶体作为换能器、稳定频率的晶体谐振器、晶体滤波器等在电子技术中，比较早地在工业规模上进行大批生产和广泛应用．激光问世的四十多年来，单晶体在激光的调制、调Q、锁模、倍频、参量转换等光电技术应用中，已成单晶体应用中极为活跃的领域． 《晶体物理性能》是我系晶体物理专业的专业课程之一，目的就是希望对晶体特别是光电技术中使用的晶体（包括基质晶体与非线性光学晶体）的有关物理性能及其应用方面的基本知识，有一个了解．对今后从事光电晶体的生长、检测和应用的工作，在分析问题、解决问题方面有所帮助，同时要在今后工作中不断从实践和理论两个方面扩大知识领域，有一个基础．考虑到本专业属于晶体材料性质的专业特点，本课程不仅对晶体物理性能的各个方面作深入全面的介绍，也将侧重于激光晶体有关的一些性能及其应用． 鉴于以上考虑，《晶体物理性能》讲义将以离子晶体为主要对象，以光电技术上应用为线索组织内容，共分为八章．着重于从宏观角度结合微观机制介绍晶体基本物理性能以及各种交互作用过程的物理效应和它们在光电技术中的某些应用，包括弹性与弹性波（第二章），晶体光学中的各向异性（第五章），压电与铁电现象（第四章），电光效应（第七章），光学参量过程（第六章），声光效应（第八章）．由于晶体物理性能的各向异性的特点和晶体对称性有密切关系，通常正确、方便地描述这些物理性能必须使用张量来表示．因此，在第一章，我们介绍了关于张量分析基础知识方面的内容． 由于水平有限，实践经验缺乏，时间仓促，因而内容安排不妥、取舍不当、错误之处一定很多，希望同学们提出宝贵意见，批评指正．

矢量张量公式及推导

矢量及张量 1. 协变基矢量：321g g g a 3 21a a a ++=，i a 称为逆变基分量，i g 是协变基矢量。 2. 逆变基矢量：3 21g g g a 321a a a ++=，i a 称为协变基分量，i g 是逆变基矢量。 3. 爱因斯坦求和约定：省略求和符号，i i g g a i i a a == 4. 逆变基于协变基的关系：j i δ=?j i g g 5. 标积：i i j i j i b a b a =?=?g g b a 6. 坐标转换系数i i 'β ： i i i i i i i i i i i x x x x x x g g r r g '''''β=??=????=??= 7. 转换系数的性质：i j k j i k δββ=''，因为'' ''m l m j i l j i i j g g g g ?=?=ββδ 8. 张量：分量满足坐标转换关系的量，比如矢量''''''i i i i i i k k i i v v v ββ=?=?=g g g v 9. 置换张量：ijk k j i ijk e g ==][g g g ε，其中][321g g g =g ，同理有 ijk k j i ijk e g 1][= =g g g ε 由 行 列 式 的 性 质 及 线 性 ][][]['''''''''n m l n k m j l i n n k m m j l l i k j i g g g g g g g g g ββββββ==，因此ijk ε是张量分量。 定义置换张量：k j i ijk k j i ijk g g g g g g εεε== 10. 基的叉积：k l ijl ijk k j i g g g g g ?==??εε，所以l ijl j i g g g ε=?，l ijl j i g g g ε=? 11. 叉积：k ijk j i j i j i b a b a g g g b a ε=?=?，或写成实体形式ε:ab ab :εb a ==?，双标 量积用前前后后规则完成。 12. 混和积：abc εg g g g g g c b a ====ijk k j i k j i k j i k k j j i i c b a c b a c b a ε],,[],,[],,[ 13. rst ijk rst ijk k t k s k r j t j s j r i t i s i r e e εεδδδδδδδδδ==，有以上关系可得 14. 重要关系： k s j t k t j s ist ijk δδδδεε-=

第一讲向量分析与场论(I)

第一讲：向量分析与场论（） 向量分析与场论基础 《向量分析与场论基础》就是关于场的数学刻画、描述以及场特征的一般分析。在本概要中，为简明区分向量与标量起见，向量一律采用黑、斜体。 一、 物理量的分类 、物理量 、什么是场？：具有空间函数关系的物理量就构成了该物理量的场。例如：考虑某一空间的温度时，若空间任意点温度和该点坐标()具有函数关系：( , , )，这就构成了一种标量场，这个标量场为温度场；若在某一空间存在流水，当考虑空间处处的流速时，若空间任意点流速和该点坐标()具有函数关系： ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ，其中( , , )、( , , )以及( , , )分别为向量 ( , , )在轴、轴以及轴的分量， 、 以及分别为轴、轴以及轴三个方向的单位向量，（通常又称为方向向量）这就构成了一种向量场（或称为场向量），这个向量场为流速场。 本概要只考虑标量场与向量场，张量场不做讨论；本概要的出发点是为后续《电磁场》课程教案服务，故不追求数学上严格性与广延性。 在本概要中，为简明区分向量与标量起见，向量一律采用黑、斜体。例如力可表示为。 二、几个有用的场向量、向量加、减运算 1、 位移向量：确定空间一点位置可以通过原点到该点的一条有向线段来描述。该位移向量 模分 别表示为： （） | | ( ) （） 对于向量的叠加，满足平行四边形 如图所示

()()() （） 对二向量的叠加，在图象上还可以形象地看成三角法则。如图所 示，可先画出处第一个 向量，以这个向量的末 点做为第二个向量的 起点，画出第二个向 量，则从第一个向量的起点到第二个向量的 末点所引的有向线段即为二个向量与的叠加结果。 问题：判断下述对不对？二个向量进行叠加，合成所得合向量的模一定大于这两个向量模中的任意一个模。 同理，向量 ‘’运算为‘’运算的逆运算，例如空间两个点()与()之间的位移向量为从点到点所引的一条有向线段，大小与方向如图所示，定量计算该两点之间的位移向量时，由三角形法则，可以确定为两矢径 与之差 – ( – ) ( – ) ( – ) （） 例一、 空间轴上取任意两点与，其距离为，由这两点向空间任意点点引出两个 位移向量分别为与，求与向量差。 解法：由三角形合成法则，容易看出，到所引向量与到点所引向量与到点所引向量 相等，

统计基础知识第一章绪论习题及标准答案

统计基础知识第一章绪论习题及答案

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第一章绪论 一、单项选择题 1.统计学的研究对象是( D )（2012年1月） A.抽象的数量关系 B.总体现象的数量特征和数量关系的方法论科学 C.社会经济现象的规律性 D.社会经济现象的数量方面 2.要了解100名学生的学习情况，则个体是( B )（2012年1月） A.100名学生 B.每一名学生 C.100名学生的学习成绩 D.每一名学生的学习成绩 3．研究某企业职工的基本情况时，下列属于品质标志的是( B )（2011年10月）A．工龄 B.健康状况 C.工资级别 D.工资收入 4.下列哪位是政治算术学派的代表人物( A )（2011年1月） A.威廉·配第 B.康令 C.帕斯卡 D.凯特勒 5.变量的具体表现形式为( B )（2011年1月） A.标志 B.统计数据 C.指标 D.文字 6.某城市进行工业企业未安装设备普查，总体单位是（ B ）（2008年10月） A.工业企业全部未安装设备 B.工业企业每一台未安装设备 C.每个工业企业的未安装设备 D.每一个工业企业 7.统计指标按所反映的数量特点不同可以分为数量指标和质量指标两种。其中数量指标的表现形式是（ A ）（2008年10月） A.绝对数 B.相对数 C.平均数 D.相对数或平均数 8.某城市进行工业企业未安装设备普查，个体是（B ）（2009年1月） A.工业企业全部未安装设备 B.工业企业每一台未安装设备 C.每个工业企业的未安装设备 D.每一个工业企业 9.标志是说明个体特征的名称；标志值是标志的数值表现，所以（ C ）（2009年1月） A.标志值有两大类：品质标志值和数量标志值 B.品质标志才有标志值 C.数量标志才有标志值 D.品质标志和数量标志都具有标志值 10.以产品的等级来衡量某种产品的质量好坏，则该产品等级是( D )（2009年10月） A.数量标志 B.品质标志 C.数量指标 D.质量指标 11.工业企业的设备台数、产品产值是( D ) （2009年10月）

微波技术基础课程学习知识要点

《微波技术基础》课程学习知识要点 第一章学习知识要点 1．微波的定义—把波长从1米到0.1毫米范围内的电磁波称为微波。微波波段对应的频率范围为: 3×108Hz～3×1012Hz。在整个电磁波谱中，微波处于普通无线电波与红外线之间，是频率最高的无线电波，它的频带宽度比所有普通无线电波波段总和宽10000倍。一般情况下，微波又可划分为分米波、厘米波、毫米波和亚毫米波四个波段。 2．微波具有如下四个主要特点：1) 似光性、2) 频率高、3) 能穿透电离层、4) 量子特性。 3．微波技术的主要应用：1) 在雷达上的应用、2) 在通讯方面的应用、3) 在科学研究方面的应用、4) 在生物医学方面的应用、5) 微波能的应用。 4．微波技术是研究微波信号的产生、传输、变换、发射、接收和测量的一门学科，它的基本理论是经典的电磁场理论，研究电磁波沿传输线的传播特性有两种分析方法。一种是“场”的分析方法，即从麦克斯韦方程出发，在特定边界条件下解电磁波动方程，求得场量的时空变化规律，分析电磁波沿线的各种传输特性；另一种是“路”的分析方法，即将传输线作为分布参数电路处理，用克希霍夫定律建立传输线方程，求得线上电压和电流的时空变化规律，分析电压和电流的各种传输特性。 第二章学习知识要点 1. 传输线可用来传输电磁信号能量和构成各种微波元器件。微波传输线是一种分布参数电路，线上的电压和电流是时间和空间位置的二元函数，它们沿线的变化规律可由传输线方程来描述。传输线方程是传输线理论中的基本方程。 2. 均匀无耗传输线方程为

() ()()()d U z dz U z d I z dz I z 22222 20 -=-=ββ 其解为 ()()() U z A e A e I z Z A e A e j z j z j z j z =+=---120121ββββ 对于均匀无耗传输线,已知终端电压U 2和电流I 2，则: 对于均匀无耗传输线,已知始端电压U 1和电流I 1，则: 其参量为 Z L C 00 0=，βπλ=2p ，v v p r =0 ε，λλεp r =0 3. 终端接的不同性质的负载，均匀无耗传输线有三种工作状态： (1) 当Z Z L =0时，传输线工作于行波状态。线上只有入射波存在，电压电流振幅不变，相位沿传播方向滞后；沿线的阻抗均等于特性阻抗；电磁能量全部被负载吸收。 (2) 当Z L =0、∞和±jX 时，传输线工作于驻波状态。线上入射波和反射波的振幅相等，驻波的波腹为入射波的两倍，波节为零；电压波腹点的阻抗为无限大，电压波节点的阻抗为零，沿线其余各点的阻抗均为纯电抗；电压（电流）波腹点和电压（电流）波节点每隔λ4交替出现，每隔2λ重复出现；没有电磁能量的传输，只有电磁能量的交换。 (3) 当Z R jX L L L =+时，传输线工作于行驻波状态。行驻波的波腹小于两倍入射波，波节不为零；电压波腹点的阻抗为最大的纯电阻R Z max =ρ0，电压波节点的阻抗为最小的纯电阻R Z min =0ρ； ()()?????-=-= sin cos sin cos 011011Z z jU z I z I z Z jI z U z U ββββ()()?????+=+= sin cos sin cos 022022Z z jU z I z I z Z jI z U z U ββββ

《解剖学基础》绪论、第1章知识点整理

《解剖学基础》知识点整理 第一章绪论 1、人体的构成：__________、__________、__________、__________。 细胞: ____________________________________。 2、人体的四类组织: __________、__________、__________、__________。 3、人体的九大系统: _________、__________、_________、__________、_________、__________、__________、___________、___________。 4、人体的分部：__________、__________、__________和__________。 5、根据标准姿势，人体可有互相垂直的三种类型的轴。 矢状轴：由前→后，与身体长轴和冠状轴相垂直的轴。 冠状轴：由左→右，与身体长轴和矢状轴相垂直的轴。 垂直轴：由上→下，与身体长轴平行的轴。 6、人体的切面 矢状面：以前后方向将身体分成左右两部的纵切面。 冠状面：以左右方向将身体分成前后两部的纵切面。 水平面：与垂直轴相垂直，将身体分为上、下两部的断面。 7、HE染色法下细胞质嗜碱性强说明_________________________________。 8、HE染色法下细胞质嗜酸性强说明_________________________________。 第二章细胞 1、细胞的结构：细胞膜、细胞质、细胞核。 2、细胞膜结构：__________、__________、__________。 3、细胞质：是细胞膜与细胞核之间的部分，包括：__________、__________、__________。__________、是细胞合成蛋白质的场所；__________、是细胞的“能量供应站”。 4、细胞核：细胞最重要的结构，是由__________、__________、__________和__________构成。 第三章基本组织 第一节上皮组织

VUMAT基本知识

NBLOCK:在调用Vumat时需要用到的材料点的数量 Ndir：对称张量中直接应力的数量（sigma11,sigma22,sigma33） Nshr：对称张量中间接应力的数量(sigma12, sigma13, sigma23) Nstatev:与材料类型相关联的用户定义的状态变量的数目 Nfieldv：用户定义的外场变量的个数 Nprops:用户自定义材料属性的个数 Lanneal：指示是否在退火过程中被调用例程的标志。Lanneal=0，指示在常规力学性能增量，例程被调用。Lanneal=1表示，这是退火过程，你应该重新初始化内部状态变量， stepTime：步骤开始后的数值 totalTime：总时间 Dt：时间增量值 Cmname：用户自定义的材料名称，左对齐。它是通过字符串传递的。一些内部材料模型是以“ABQ_”字符串开头给定的名称。为了避免冲突，你不应该在“cmname”中使用“ABQ_”作为领先字符串。 coordMp(nblock,*)：材料点的坐标值。它是壳单元的中层面材料点，梁和管（pipe）单元的质心。 charLength(nblock)： 特征元素长度，是基于几何平均数的默认值或用户子程序VUCHARLENGTH中定义的用户特征元长度。 props(nprops)：用户使用的材料属性 density(nblock)：中层结构的物质点的当前密度

strainInc (nblock, ndir+nshr)：每个物质点处的应变增量张量 relSpinInc (nblock, nshr)：在随转系统中定义的每个物质点处增加的相对旋转矢量 tempOld(nblock)：物质点开始增加时的温度。 defgradOld (nblock,ndir+2*nshr)：在增量开始时，每个物质点出的变形梯度张量，在3d中形为（F11, F22，F33，F12，F23，F31，F21，F32，F13）,在2d中形为（F11，F22，F33，F12，F21） stretchOld (nblock, ndir+nshr) fieldOld (nblock, nfieldv)：在增量开始时，每个物质点处用户定义场变量的值stressOld (nblock, ndir+nshr)：在增量开始时，每个物质点处的应力张量：stateOld (nblock, nstatev)：在增量开始时，每个物质点处的状态变量：tempNew(nblock)：在增量结束时，每个物质点处的温度 defgradNew (nblock,ndir+2*nshr)：在增量结束时，每个物质点出的变形梯度张量，在3d中形为（F11, F22，F33，F12，F23，F31，F21，F32，F13）,在2d中形为（F11，F22，F33，F12，F21） fieldNew (nblock, nfieldv)：在增量开始时，每个物质点处用户定义长变量的值

矢量与张量

一．矢量与张量 1.1矢量及其代数运算公式 1.1.1矢量 在三维Euclidean 空间中，矢量是具有大小与方向且满足一定规律的实体，用黑体字母表示，例如u,v,w 等。它们所对应的矢量的大小（称模、值）分别用|u |,|v |,|w |表示。称模为零的矢量为零矢量，用0表示。称与矢量u 模相等而方向相反的矢量为u 的负矢量，用-u 表示。矢量满足以下规则： （1）相等：两个矢量相同的模和方向，则称这两个矢量相等。即，一个矢量做平行于其自身的移动则这个矢量不变。 （2）矢量和：按照平行四边形定义矢量和，同一空间中两个矢量之和仍是该空间的矢量. 矢量和满足以下规则： 交换律： u +v =v +u 结合律： （u +v )+w =u +(v +w ) 由矢量和与负矢量还可以定义矢量差： u -v =u +(-v ) 并且有 u +(-u )=0 (3)数乘矢量：设a,b 等为实数，矢量u 乘数实数a 仍是同一空间的矢量，记作v =a u 。 其含义是:v 与u 共线且模为u 的a 倍，当a 为正值时v 与u 同向，当a 为负值时v 与u 反向，a 为零时v 为零矢量。数乘矢量满足以下规则： 分配律： （a+b)u =a u +b u a(u +v )=a u +a v 结合律： a(b u )=(ab)u 由矢量关于求和与数乘两种运算的封闭性可知，属于同一空间的矢量组),,2,1(I i u i =的线性组合i I i i u a ∑=1仍为该空间的矢量， 此处i a 是实数。矢量组I u u u ,,21线性相关是指存在一组不全为零的实数I a a a ,,21，使得 i I i i u a ∑=1=0 线性无关：若有矢量组J u u u ,,21，当且仅当0=j a （j=1,2,…,J)时，才有j J j j u a ∑=1 =0,

张量的基本概念(我觉得说的比较好,关键是通俗)

简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。 向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。 张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。 张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。 在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。 要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。进而发展了张量分析。 现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。比如泛函分析、纤维从理论等。代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。 其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。线性代数的精髓概念根本涉及不到。这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。 现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。 公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。 应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟 其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。这主要是因为现代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的。而线性空间正是从一、二、三维空间中抽现出来的。只要把握住“多个线性空间及其对偶空间”这个关键就行了。 而物理学家对于张量的定义是从坐标变换的角度定义的，这正是当初Ricci定义的方式。这种定义在现代数学中推广起来比较困难。所以把它定义成了多重线性映射。 我的朋友有的是搞弹性理论和流体的，但他们对张量的理解也很混乱，所以有时也向他们解释这个东西。但好像解释来解释去，他们还是不太明白。可能与他们是搞计算的有关，对这些纯理论的东东没有一个很系统的学习与理解，而且理解那么深也没用。不过，他们搞得计

脑成像基础知识

TR（time of repetition,TR）又称重复时间。MRI的信号很弱，为提高MR的信噪比，要求重复使用同一种脉冲序列，这个重复激发的间隔时间即称TR。 弛豫（relaxation，经常被误写为“驰豫”）是指在核磁共振和磁共振成像中磁化矢量由非平衡态到平衡态的过程。在统计力学和热力学中，弛豫时间表示系统由不稳定定态趋于某稳定定态所需要的时间。在协同学中，弛豫时间可以表征快变量的影响程度，弛豫时间短表明快变量容易消去。这个系统可以是具体或抽象的，比如弹性形变消失的时间可称为弛豫时间，又比如光电效应从光照射到射出电子的时间段也称为弛豫时间，政策实施到产生效果也可称为弛豫时间。 弛豫时间有两种即T1和T2。 T1 T1为自旋一晶格或纵向驰豫时间，纵向磁化强度恢复的时间常数T1称为纵向弛豫时间（又称自旋-晶格弛豫时间）。 T2 T2为自旋一自旋或横向弛豫时间，横向磁化强度消失的时间常数T2称为横向弛豫时间（又称自旋-自旋弛豫时间）。 T2* 在理想的状态下，在同一磁场下，给定的化学环境中，所有的核以同一频率进动。但是在实际系统中，各个核的化学环境有细微的不同。 1/T2* = 1/T2 + 1/T (inhomo) = 1/T2 + γΔB0 不像T2，T2*受磁不均匀性的影响，T2*总是比T2短。 T1总是比T2长吗？ 一般来说，2T1 ≥ T2 ≥ T2*。在大部分情况下，T1比T2长。 常见弛豫时间值 以下为常见健康人体组织的两个弛缓时间常数大概数值，仅供参考。 1.5特斯拉主磁场之下 组织类型T 1 大约值(毫秒) T 2 大约值(毫秒) 脂肪组织 240-250 60-80 全血（缺氧血） 1350 50 全血（带氧血） 1350 200 脑脊髓液（类似纯水） 2200-2400 500-1400 大脑灰质 920 100

同济大学硕士弹性力学第1讲_绪论、张量简介

硕士研究生课程 弹塑性力学II(C)第一讲绪论、张量分析简介同济大学地下建筑与工程系

《弹性力学》，徐芝伦，高等教育出版社，2006v4 《弹性力学》，杨桂通，高等教育出版社，1998 《弹塑性力学引论》，杨桂通，清华大学出版社2004 《塑性力学》，夏志皋，同济大学出版社，1991 《塑性力学基础》，王仁等，科学出版社，1982 《塑性力学基础》，北川浩，高等教育出版社，1982 《岩土塑性力学原理》，郑颖人等，建筑工业出版社，2002 相关书籍 Timoshenko S.P, Goodier J N. Theory of elasticity. 3rd ed. New York: McGraw-Hill Book Co, 1970 (徐芝伦译) Chen W.F. Limit analysis and soil plasticity. 1975, New York: Elsevier Scientific Publishing Company; J. C. Simo, T. J. Hughes. Computational Inelasticity.1998,Springer.

弹性力学部分

目录 §1.1弹性力学的任务、内容和方法§1.2弹性力学的基本假设 §1.3弹性力学的发展简史

§1.1弹性力学的任务、内容和方法?弹性力学，也称弹性理论，是固体力学学 科的一个分支 基本任务：解决构件的强度、刚度和稳定问题。最 大限度解决并统一经济与安全的矛盾。 研究对象：完全弹性体（包括构件、实体）。 主要研究内容：在外界因素（载荷或温度变化）作 用下，弹性体的应力和变形问题。

第八章 矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步 SECTION4.

§4 张量算法 一、 张量概念 [张量的一般定义] 若一个量有n N 个分量，而每个分量在n 维空间R n 中的坐标变换 () n i i x x x x ''???=,,1 (i = 1 , ·, n ) 之下，按下面的规律变化： l m m m l l j l m j j i i i i i i j j j j j i i T x x x x x x x x T ??????''' ????????????????????=' 111 111 1 1 式中l m j j i i T ??????1 1是x i 的函数， 1 1l m j j i i T ??????是x i '的函数，则量l m j j i i T ??????11 (共有n N 个分量)称为l 阶逆变(或抗变)m 阶协变的N (=l ＋m )阶混合张量(或称为(l ＋m )型混合张量). 张量概念是矢量和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵(方阵)是 二阶张量，而三阶张量(例如T jk i )好比“立体矩阵”(图8.18右).更高阶的张量不能用图形表达. 下面列出n =2时的张量示意图： [张量举例] 1ο 可乘张量 设由逆变分量和协变分量所给定的两个矢量a , b 是已知的，则由等式 i k i k k i i k k i ik k i ik b a T b a T b a T b a T ====? ,.,, 确定的都是二阶张量，称为可乘张量.

2ο 克罗内克尔符号 克罗内克尔符号δj i 是一阶逆变一阶协变的二阶混合张量，这是 因为从 i j j i i i x x x x δ=????'' 可得 i j j j i i j i i i i j x x x x x x x x δδ '''''' ????=????= [二阶对称张量与反对称张量] 若张量满足等式 k i i k ki ik ki ik T T T T T T ===,, 则分别称为二阶对称协变张量、二阶对称逆变张量和二阶对称混合张量.若张量满足等式 T T T T T T ik ki ik ki k i i k =-=-=-,, 则分别称为二阶反对称协变张量、二阶反对称逆变张量和二阶反对称混合张量. 张量的逆变(协变)指标的对称性质在坐标变换下是不变的. 在三维空间中，二阶反对称张量与矢量等价. 二、 张量代数 [指标的置换] 指标置换是张量代数的最简单运算，利用它可作出新的张量.例如，通过指标置换，可由张量T ki 得到新的张量T ik ，它的矩阵是张量T ki 的矩阵的转置矩阵. [加(减)法] 同类型的若干个张量的对应分量相加(或相减)就得到一个新的同类型张量的分量，这种运算称为张量的加法(或减法). 任何二阶张量可分解为对称张量与反对称张量两部分.例如 ()()ki ik ki ik ik T T T T T -++= 2 121 [张量的乘法] 把两个张量的分量按各种可能情形相乘起来，就会得到一个新张量的分量.这个张量的逆变与协变的阶数分别等于原来两个张量的逆变与协变的阶数之和.这种运算

张量网络基础知识

一、常用符号说明 二、基本符号和运算表示的张量网络图表示： 三、张量爱因斯坦乘积和张量多模乘积 张量多模乘积：给定两个张量，并且具有相同维度，则该两个张量的多模乘将 得到一个新的张量，其运算公式

为，该运 算表示为 ●张量爱因斯坦乘积：给定两个张量和 ，并且由P个相同的维度L1,L2,L3……L P,，则该两个张量的爱因斯坦乘将得到一个新的张量 ，其运算公式为 ，该运算式子可以表示为： ●区别和联系：张量爱因斯坦乘积和张量多模乘的本质是一样 的，只是在相等的维度所在的阶是否连续，如果是连续的， 则为张量爱因斯坦乘积，如果不是连续的则为张量多模乘。 ●图示对比： 张量爱因斯坦乘： 张量多模乘： 四、基于张量的链式分解问题：

●问题：假设原始张量，当一个新张量 沿着第k阶以增量的方式追加到原始张量中，得到更新张量。原始张量的张量链分解结果已知如下，其中 。 ●分析：问题研究的核心为基于原始张量分解的张量核 ，当新的张量Y到来后，如何求解张量Y的链分解结果. ●解决步骤: ?对张量进行链分解; ?计算补零张量的张量链分解结果; ?基于张量链格式对张量相加得和的张量链格式; ?对更新张量的张量核进行正交核压缩. ●图示: ●举个例子:比如说面包店有十种面包在售,有前一周的销售额

和客流量X,以天为单位添加销售额Y; X∈R7x7x10新增加的张量Y∈R1X10， 第一步我们对新张量Y进行TT分解,然后将张量Y`进行补 零至7*7*10,然后对分解的结果进行Y`和已知的X张量的 TT结果进行相加得到Z,最后对Z张量的张量核及逆行正正 交和压缩. 五、算法的可行性相关 ●补零张量可行性: ?奇异值分解规律 按行补零:给定一个举证M1∈R m×n和一个矩阵M2∈ R(m+△m)×n,矩阵M2是通过在矩阵M1的底部补零得到 的,即M2=.假定矩阵M1和M2的奇异值分解结 果分别为,如果对各自奇异值 分解结果进行相同的截断后σ秩为r1,r2,则r2=r1, . 证明:根据奇异值分解的性质可得,U1,V1,U2,V2都是正 交矩阵,S1,S2都是对角阵,因此可以有:

张量投票算法及其应用

华东师范大学 硕士学位论文 张量投票算法及其应用 姓名：秦菁 申请学位级别：硕士专业：基础数学 指导教师：沈纯理 20080501

摘要 本文主要介绍了一种新的数据分析算法，即张量投票算法．该算法完全利用图像数据，根据张量分析，矩阵论和几何的知识，对数据点进行编译和几何阐释，再根据心理学中的Ｇｅｓｔａｌｔ原理制定一个数据点与周围的数据点之问的信息传递规则，从而推断出一些几何结构．这种方法有诸多优点ｏ．局部性，对噪声的鲁棒性，非迭代的，可处理大量数据的，可同时表示各种几何结构类型等．本文从二维情形开始对该算法进行了详细的数学描述，并推广到高维空间． 这种算法与现在流行的基于偏微分方程的图像处理方法不同，在第三章中就该算法的应用提出了三个方面：１．图像去噪；２．图像分割；３．图像序列．其中，图像去噪是完全利用张量投票算法对数据的处理，可以看到这种算法的有效性．而对于图像中轮廓线的提取，以前也有很多基于能量泛函和偏微分方程的工作，本文从另外一个角度把张量投票算法中出现的显著性信息放到能量泛函中得到跟以前一致，并更精细的方程．限于时间，这个改进的方法没有进一步与之前的方法进行比较和分析．最后，对图像序列中研究不多的过渡图像生成的问题做一些结合张量投票算法的尝试．而这个问题在文献【２３】中并没有得到有效的解决，但我们的方法部分解决了这一问题． 关键词：张量投票算法，图像去噪，轮廓提取，图像序列分析 ２

第一章绪论 １．１张量分析的基本知识 １．１．１张量的定义和性质 假设ｙ是一个ＩＩ维的实向量空间，三（ｙ；Ｒ）表示从ｙ到实数集Ｒ的线性函数空间．可以证明己（ｙ；Ｒ）与ｙ有相同的维数ｎ．因此ｙ和Ｌ（Ｖ；Ｒ）为同构的．Ｌ（ｙ；Ｒ）也经常被称为ｙ的对偶空间，记为Ｐ． 若Ⅵ…．，Ｋ都是向量空间，一个函数Ａ：ｖ１×…×Ｋ＿÷Ｒ当满足如下条件： Ａ（Ｖｌ，ｖ２，…，ｏｉｌ‰１＋ｎ２ｉ％２，…，ｖｓ）＝耐Ａ（＂１，…，钉ｊ，…，％）＋ａｉ２Ａ（ｖ１，…，谚，…，％）， 讹ｉ，吐∈Ｒ，叫，蛾２∈Ｋ，ｉ＝１…．，８函数Ａ称为８重线性函数．若向量空间Ⅵ…．，Ｋ中要么为向量空间ｙ要么为其对偶空间Ｖ’，则称Ａ为ｙ上的一个张量．即Ｖ上的ｐ，ｑ）阶张量（Ｐ和口均为正整数）为一个ｐ＋ｇ）重线性函数： Ａ：Ｖ’×…×Ｖ’×Ｖ×…×Ｖ＿Ｒ 、－?＿＿＿—－ｖ—＿－＿一、?＿＿－＿、一．—?＿＿＿， ｐ口 当Ｐ＝ｑ＝０时定义（０，０）型张量即为Ｒ中的一个数量，仞，ｏ）型张量也称为Ｐ阶反变张量，（ｏ，口）型张量也称为ｑ阶协变张量．其余类型的张量称为混合张量，一般我们称ｐ，ｑ）型张量为Ｐ＋ｑ阶的张量．用馏表示全体ｙ上的ｐ，口）阶张量所构成的空间，它是一个矿＋ｑ维的线性空间，以 ｅｉｌ＠…ｏ ｅｉｐｏ哼ｌｏ…ｏ吃，ｉｌ，…，ｉｐ，ｊｌ，…，Ｊｑ＝１，…，Ｔｔ． 为基底．其中ｅｌ，…，ｅｎ为Ｖ的基，ｅ：，…，ｅ：为Ｖ＋中的对偶基． 例如，一阶张量就是一个线性作用将一个向量映为一个数量，从而任何一个向量与一个已知向量的内积可以看作一个一阶张量．同理，二阶张量可以定义为一个把两 １

第一章-矢量和张量(1)

矢量与张量 为什么学习张量 1. 物理量： 标量 矢量 张量 2. 客观性： 客观规律与坐标系（观察者）无关 第一章：矢量 矢量：1.方向性 2.合成结果与顺序无关 不符合这两点要求的不是矢量。转动具有大小和方向 但由于不满足交换律（第2要素），因而不是矢量。 基本运算： 1. 点积 abcos ?=θa b a 与b 在a 上的投影之积。 分配律：()?+=?+?a b c a b a c 证明： +b c 的投影等于b 的投影与c 的投影之和 推论： ① ()()α+β?λ+γ=αλ?+αγ?+βλ?+βγ?a b c d a c a d b c b d ② ()111223311b b b b ?=++?=b e e e e e ③ ()()()3 3 3 i i j j i i i 1 i 1 i 1 a b a b ===?=?=∑∑∑a b e e 2.叉积 absin ?=θa b n

有方向的平行四边形面积 3混合积 ()??u v w 六面体体积 改变六面体底、高顺序 可证： ()()()??=??=??u v w v w u w u v 推论： ① 叉积分配律：()?+=?+?a b c a b a c 证明： ()()()()()()()??+=+??=??+??=??+?v a b c b c v a b v a c v a v a b a c 上式对任何矢量v 都成立，所以 ()?+=?+?a b c a b a c ② ()()α+β?λ+γ=αλ?+αγ?+βλ?+βγ?a b c d a c a d b c b d ③ ()()112233112233a a a b b b ?=++?++a b e e e e e e 123 2 31312 1 2 31 232 31312 12 3a a a a a a a a a b b b b b b b b b ==-+e e e e e e ④ ()??=a b c 2313121 2 3 2 3 13 12 a a a a a a c c c b b b b b b -+ 1 2 312 3123c c c a a a b b b = ⑤ ()() 2 1232 1 2312 3 u u u v v v w w w ??=u v w w u v

统计基础知识第一章绪论习题及答案

第一章绪论 一、单项选择题 1.统计学的研究对象是( D )（2012年1月） A.抽象的数量关系 B.总体现象的数量特征和数量关系的方法论科学 C.社会经济现象的规律性 D.社会经济现象的数量方面 2.要了解100名学生的学习情况，则个体是( B )（2012年1月） A.100名学生 B.每一名学生 C.100名学生的学习成绩 D.每一名学生的学习成绩 3．研究某企业职工的基本情况时，下列属于品质标志的是( B )（2011年10月）A．工龄 B.健康状况 C.工资级别 D.工资收入 4.下列哪位是政治算术学派的代表人物( A )（2011年1月） A.威廉·配第 B.康令 C.帕斯卡 D.凯特勒 5.变量的具体表现形式为( B )（2011年1月） A.标志 B.统计数据 C.指标 D.文字 6.某城市进行工业企业未安装设备普查，总体单位是（ B ）（2008年10月） A.工业企业全部未安装设备 B.工业企业每一台未安装设备 C.每个工业企业的未安装设备 D.每一个工业企业 7.统计指标按所反映的数量特点不同可以分为数量指标和质量指标两种。其中数量指标的表现形式是（ A ）（2008年10月） A.绝对数 B.相对数 C.平均数 D.相对数或平均数 8.某城市进行工业企业未安装设备普查，个体是（B ）（2009年1月） A.工业企业全部未安装设备 B.工业企业每一台未安装设备 C.每个工业企业的未安装设备 D.每一个工业企业 9.标志是说明个体特征的名称；标志值是标志的数值表现，所以（ C ）（2009年1月） A.标志值有两大类：品质标志值和数量标志值 B.品质标志才有标志值 C.数量标志才有标志值 D.品质标志和数量标志都具有标志值 10.以产品的等级来衡量某种产品的质量好坏，则该产品等级是( D )（2009年10月） A.数量标志 B.品质标志 C.数量指标 D.质量指标 11.工业企业的设备台数、产品产值是( D ) （2009年10月）