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高中数学排列组合题型总结

排列组合

复习巩固

1.分类计数原理(加法原理)

完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有

m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m

2.分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2

步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m

3.分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,

先排末位共有1

然后排首位共有1

4C 最后排其它位置共有

34A 由分步计数原理得1

434

288C C A =

练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不

同的种法

二.相邻元素捆绑策略

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进

行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有

522522480A A A =种不同的排法

练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20

三.不相邻问题插空策略

例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间

包含首尾两个空位共有种

A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54

56A A 种

练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30

四.定序问题倍缩空位插入策略

例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排

列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：

73/A A

(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有

A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有

A 种方法。思考:可以先让甲乙丙就坐吗

（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法

练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法5

五.重排问题求幂策略

例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有6

7种不同的排法

练习题：

1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为42

2.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87

六.环排问题线排策略

例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人4

A并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！

练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120

七.多排问题直排策略

例人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有2

A种,再排后4个位置

上的特殊元素丙有1

A种,其余的5人在5个位置上任意排列有5

A种,则共有215

445

A A A种

后排

练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是346

八.排列组合混合问题先选后排策略

例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.

解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有2

C种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有4

A种方法，根据分步计数原理装球的方法共有24

C A

练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为n

m种

一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有

n 一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.

正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种

九.小集团问题先整体后局部策略

例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少

个

解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有

A 种排法，再排小集团内部共有22

22A A 种排法，由

分步计数原理共有

222

222A A A 种排法练习题：

１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254

254A A A

2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有

255255A A A 种

十

.元素相同问题隔板策略

例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案

解：因为10

个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位

置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有6

9C 种分法。

二班三班七班

练习题：

1． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法 49C

2 .100x y z w +

++=求这个方程组的自然数解的组数 3

103C

十一.正难则反总体淘汰策略

例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的

取法有多少种

解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇

数,所取的三个数含有3个偶数的取法有35C ,只含有1个偶数的取法有12

55C C ,和为偶数的取法共有

123

555

C C C +。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有1235559C C C +-

练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的

抽法有多少种

十二.平均分组问题除法策略

例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法

解: 分三步取书得2

642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF ，若第一步取

AB,第二步取

CD,第三步取

该分法记为(AB,CD,EF),则

222

642

C C C 中还有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一

种分法,故共有2

642

3/C C C A 种分法。

将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11

m n C --

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.

练习题：

1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法（5

21384

2/C C C A ）

名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法（1540）

3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______ （2

24262/

90C C A A =）

十三. 合理分类与分步策略

例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,

有多少选派方法

解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱

的5人中没有人选上唱歌人员共有2233C C 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员112

534C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有

55C C 种，由分类计数原理共有

22112

223353455C C C C C C C ++种。

练习题：

1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34

2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27）本题还有如下分类标准：

*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果

十四.构造模型策略

例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也

不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有3

5C 种

十五.实际操作穷举策略

例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法

解：从5个球中取出2个与盒子对号有2

5C 种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩

下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2

52C 种

5号盒

练习题：

1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方

平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以n n A (n 为均分的组数)避免重复计数。

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果

式有多少种 (9)

2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种

十六. 分解与合成策略

例16. 30030能被多少个不同的偶数整除

分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13，依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：1

2345

55555C C C C C ++++

练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线

解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共4

81258C -=,每个四面体有3对异面直线,正方

体中的8个顶点可连成358174?=对异面直线

十七.化归策略

例17. 25人排成5×5方阵

,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,

不同的选法有多少种

解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,

现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有111321C C C 种。再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有33

55C C 选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有3

155321C C C C C 选法。

35C =)

十八.数字排序问题查字典策略

例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数

解:297221

122334455=++++=A A A

A A N

练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是 3140

十九.树图策略

例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方

式有______

练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i 号人不坐i 号椅（54321,,,,i

=）的不同坐法有多

少种44=N

二十.复杂分类问题表格策略

例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A 、B 、C 、D 、E 五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三

色齐备,则共有多少种不同的取法解:

分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略

二十一：住店法策略

解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.

例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .

分析：因同一学生可以同时夺得n 项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得75

种.

排列组合易错题正误解析 1没有理解两个基本原理出错

排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.

例1 从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有种.

误解：因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机，所以只有2种取法. 错因分析：误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法.

正解：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有2

6C 种方

法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有35C 种方法，据乘法原理共有3

526C C ?种方法.同理，完成第二类办法中有2536C C ?种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有+?3526C C 3502

536=?C C 种方法.

例2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（）种.

（A ）3

4A （B ）34 （C ）43 （D ）3

误解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A .

正解：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有

433333=???种.

说明：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得34.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能. 2判断不出是排列还是组合出错

在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.

例3 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法

误解：因为是8个小球的全排列，所以共有8

8A 种方法.

错因分析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.

正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有：563

8=C 排法.

3重复计算出错

在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。例4 5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）（A ）480种（B ）240种（C ）120种（D ）96种

误解：先从5本书中取4本分给4个人，有4

5A 种方法，剩下的1本书可以给任意一个人有4种分法，共

有48044

5=?A 种不同的分法，选A .

错因分析：设5本书为a 、b 、c 、d 、e ，四个人为甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和表

一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效果.

2：

表1是甲首先分得a 、乙分得b 、丙分得c 、丁分得d ，最后一本书e 给甲的情况；表2是甲首先分得e 、乙分得b 、丙分得c 、丁分得d ，最后一本书a 给甲的情况.这两种情况是完全相同的，而在误解中计算成了不同的情况。正好重复了一次.

正解：首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人.第一步：从5本书中任意取出2本捆绑成一本书，

有25C 种方法；第二步：再把4本书分给4个学生，有44A 种方法.由乘法原理，共有?25C 2404

4=A 种方法，

故选B .

例5 某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（）种.

（A ）5040 （B ）1260 （C ）210 （D ）630

误解：第一个人先挑选2天，第二个人再挑选2天，剩下的3天给第三个人，这三个人再进行全排列.共有：

1260332527=A C C ，选B .

错因分析：这里是均匀分组问题.比如：第一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的是周三、周四；也可能是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了.正解：

6302

2527=A C C 种. 4遗漏计算出错

在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。例6 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（）（A ）36个（B ）48个（C ）66个（D ）72个误解：如右图，最后一位只能是1或3有两种取法，又因为第1位不能是0，在最后一位取定后只有3种

取

法，剩下3个数排中间两个位置有23A 种排法，共有36322

3=??A 个.

错因分析：误解只考虑了四位数的情况，而比1000大的奇数还可能是五位数.

正解：任一个五位的奇数都符合要求，共有36323

3=??A 个，再由前面分析四位数个数和五位数个数之

和共有72个，选D . 5忽视题设条件出错

在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解. 例7 如图，一个地区分为5

种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）

误解：先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，即有一种颜色涂相对的

两块区域，有1222

213=??A C 种，由乘法原理共有：48124=?种.

错因分析：没有看清题设“有4种颜色可供选择．．”，不一定需要4种颜色全部使用，用3种也可以完成任务. 正解：当使用四种颜色时，由前面的误解知有48种着色方法；当仅使用三种颜色时：从4种颜色中选取3种有3

4C 种方法，先着色第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区

域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法，由乘法原理有24

2334=??C 种.综上共有：72

2448=+种.

例8 已知02

=-b ax 是关于x 的一元二次方程，其中a 、}4,3,2,1{∈b ，求解集不同的一元二次方程的

个数.

误解：从集合}4,3,2,1{中任意取两个元素作为a 、b ，方程有2

4A 个，当a 、b 取同一个数时方程有1

乙丙丁 a 甲 e

c b 表1

乙

丙丁 a

甲 e d

c b 表

个，共有1312

4=+A 个.

错因分析：误解中没有注意到题设中：“求解集不同．．．．的……”所以在上述解法中要去掉同解情况，由于???==??

?==4221b a b a 和同解、?

??==???==2412b a b a 和同解，故要减去2个。正解：由分析，共有11213=-个解集不同的一元二次方程. 6未考虑特殊情况出错

在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错.

例9 现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（）

(A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种

误：因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取2种情况，减去全不取的1种情况，共有10231210=-种.

错因分析：这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成 4 种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3种情况.

正解：除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，100元人民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有15351329=-?种. 7题意的理解偏差出错

例10 现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（）种. （A ）

5536A A ?（B ）336688A A A ?-（C ）3335A A ?（D ）4

688A A -

误解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有5

5A 种排法，5人排好后产生6个空档，插入甲、乙、丙三人有3

6A 种方法，这样共有

536A A ?种排法，选A .

错因分析：误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结果是“甲、乙、丙三人互．

不相邻．．．

”的情况.“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻. 正解：在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数，即

36688A A A ?-，故选B .

8解题策略的选择不当出错

例10 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（）.

（A ）16种（B ）18种（C ）37种（D ）48种

误解：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有48443=??种方案.

错因分析：显然这里有重复计算.如：a 班先派去了甲工厂，b 班选择时也去了甲工厂，这与b 班先派去了甲工厂，a 班选择时也去了甲工厂是同一种情况，而在上述解法中当作了不一样的情况，并且这种重复很难排除.

正解：用间接法.先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：

37333444=??-??种方案.

排列与组合习题

1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( )

A ．40

B ．50

C ．60

D ．70

[解析] 先分组再排列，一组2人一组4人有C 26

＝15种不同的分法；两组各3人共有C 36

A 22＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选B.

2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )

A ．36种

B ．48种

C ．72种

D ．96种

[解析]恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33 A24＝72种排法，故选C.

3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()

A．6个B．9个C．18个D．36个

[解析]注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22×C23＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．

4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有() A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人

[解析]设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2n C18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．

5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有()

A．45种B．36种C．28种D．25种

[解析]因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法．

6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()

A．24种B．36种C．38种D．108种

[解析]本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C13＝36(种)．

7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()

A．33 B．34 C．35 D．36

[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33＝12个；

②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33＋A33＝18个；

③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．

故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.

8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是() A．72 B．96 C．108 D．144

[解析]分两类：若1与3相邻，有A22·C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻有A33·A33＝36(个)

故共有72＋36＝108个．

9．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()

A．50种B．60种C．120种D．210种

[解析]先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，

按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C 16·

A 25＝120种，故选C. 10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)

[解析] 先安排甲、乙两人在后5天值班，有A 25＝20(种)排法，

其余5人再进行排列，有A 55＝120(种)排法，所以共有20×120＝2400(种)安排方法．

11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)

[解析] 由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C 49·C 25·

C 33＝1260(种)排法． 12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．

[解析] 先将6名志愿者分为4组，共有C 26C 24

A 22

种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共

有

A 44种分法，故所有分配方案有：

C 26·C 24

A 22

·A 44

＝1 080种． 13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．

[解析] 5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．

14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A ）12种（B ）18种（C ）36种（D ）54种

【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种

方法，共有种，故选B.

15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在

相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有

A. 504种

B. 960种

C. 1008种

D. 1108种解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号共有4414222A A A ?

种方法

甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43

31313442

A A A A A +种方法

故共有1008种不同的排法

16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144 *s 5* o*m 解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法*s 5* o*m ①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，32

2A A ＝24个

②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3

2222A A ＝12个

算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个答案：C

17. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为

18. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A ．152

【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有23

3318C A ?=；若有1人从事司机工作，则方案有

123343108C C A ??=种，所以共有18+108=126种，故B 正确

19. 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D ) （A ）150种（B ）180种（C ）300种 (D)345种解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有1

536225C C C ??=种选法;

(2) 乙组中选出一名女生有211

62120C C C ??=种选法.故共有345种选法.选D

20. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分

到同一个班，则不同分法的种数为

【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是，顺序有种，而甲乙被分在同一个班的有种，所以种数是2

43330C A A -=

21. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

A. 60

B. 48

C. 42

D. 36 【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ，（A 共有62

=A C 种不同排法），剩下一

名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A 、B 之间（若甲在A 、B 两端。则为使A 、B

不相邻，只有把男生乙排在A 、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A 左B 右和A 右B 左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。

解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ，（A 共有62

=A C 种不同排法），剩下

一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：

第一类：女生A 、B 在两端，男生甲、乙在中间，共有2

6A A =24种排法；

第二类：“捆绑”A 和男生乙在两端，则中间女生B 和男生甲只有一种排法，此时共有＝12种排法

第三类：女生B 和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。

此时共有＝12种排法

三类之和为24＋12＋12＝48种。

22. 从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 [ C] A 85 B 56 C 49 D 28 【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：1

7C C 42?=，另一类是甲乙都

去的选法有21

27C C ?=7，所以共有42+7=49，即选C 项。

23. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

A. 360

B. 188

C. 216

D. 96

解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有33222242333=A A C A 种，其中男

生甲站两端的有

1442

223232212=A A C A A ，符合条件的排法故共有188

解析2：由题意有2

22112222

322323242()()188A C A C C A C A A ????+???=,选B 。

24. 12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一

组的概率为（）

A ．

B ．

355

C ．

14 D ．

解析因为将12个组分成4个组的分法有

4441284

C C C A 种，而3个强队恰好被分在同一组分法有31443984

C C C C A ，故个强队恰好被分在同一组的概率为314424443

99842128433C C C C A C C C A =55

。

25. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，

则不同的站法种数是（用数字作答）．

【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有种，因此共有不同的站法种数是336种．

26. 锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）

A ．

891

B ．

2591

C ．

4891

D ．

【解析】因为总的滔法而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为

1121212116546546544

1548

C C C C C C C C C C ??+??+??= 27. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用

数字作答）．

【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有211

421

2C C C A ??;第二步将分好

的三组分配到3个乡镇，其分法有所以满足条件得分配的方案有2113

42132

36C C C A A ???= 28. 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）

A ．10种

B ．20种

C ．36种

D ．52种

解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有1

44C =种方法；②

1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有2

6C =种方法；则不同的放球方法有10种，选A ．

29. 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（A ）３０种（B ）９０种（C ）１８０种（D ）２７０种

解析：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，

一组1人，另两组都是2人，有12542

15C C A ?=种方法，再将3组分到3个班，共有3

31590A ?=种不同的分配方案，选B.

30. 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有种

解析：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论，① 甲、丙同去，则乙不去，有2

454C A ?=240

种选法；②甲、丙同

不去，乙去，有3

4C A ?=240种选法；③甲、乙、丙都不去，有4

5120A =种选法，共有600种不同的选

派方案．

31. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有个（用数字作答）．

解析：可以分情况讨论：① 若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个数字，共可以组成3

212A ?=个五位数；② 若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首

位数字，则有2

24A ?=个五位数；③ 若末位数字为

4，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各

为1个数字，且0不是首位数字，则有2

22(2)A ??=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个。 32．有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种

[解析] 因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C 36种亮灯办法．然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2＝8(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C 36×2×2×2＝160(种)． 33．按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法

(1)各组人数分别为2,4,6个；(2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间．

[解析] (1)C 212C 410C 66＝13 860(种)；(2)C 412C 48C 44

A 33＝5 775(种)；

(3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有C 412C 48C 44

A 33·

A 33＝C 412·C 48·C 44＝34 650(种)不同的分法．

34．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种

(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法

(3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法 [解析] (1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 47种不同排法．

(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A 99种排法，若甲不在末位，则甲有A 18种排法，乙有A 18种排法，其余有A 88种排法，

综上共有(A 99＋A 18A 18·A 88

)种排法．方法二：无条件排列总数 A 1010－?????

甲在首，乙在末A 8

甲在首，乙不在末A 99－A 8

甲不在首，乙在末A 99－A 88

甲不在首乙不在末，共有(A 1010－2A 99＋A 88)种排法．

(3)10人的所有排列方法有A 1010种，其中甲、乙、丙的排序有A 33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，

所以甲、乙、丙排序一定的排法有A 1010

A 33

种．

(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有1

2A 1010种排法． 35. 已知n m ,是正整数，n m x x x f )1()1()(+++=的展开式中x 的系数为7，

（1）试求

)(x f 中的2x 的系数的最小值

（2）对于使

)(x f 的2x 的系数为最小的n m ,，求出此时3x 的系数（3）利用上述结果，求)003.0(f 的近似值（精确到）

解：根据题意得：71

1=+n m C C ，即7=+n m （1）

x 的系数为2

2)1(2)1(2222

m n m n n m m C C n

--+=-+-=+ 将(1)变形为m n -=7代入上式得：2x 的系数为4

)27(21722

+-=+-m m m

故当时，

或43=m 2x 的系数的最小值为9 （1）当时，

或3,44,3====n m n m 3x 的系数为为53433=+C C （2） 02.2)003.0(≈f

排列与组合习题

1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( )

A ．40

B ．50

C ．60

D ．70

[解析] 先分组再排列，一组2人一组4人有C 26

＝15种不同的分法；两组各3人共有C 36

A 22＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选B.

2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )

A ．36种

B ．48种

C ．72种

D ．96种

[解]恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A 33A 24

＝72种排法，故选C.

3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )

A ．6个

B ．9个

C ．18个

D ．36个

[解析] 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有

C 13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A 22×C 23＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样

的四位数有18个．

4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )

A ．2人或3人

B ．3人或4人

C ．3人

D ．4人

[解析] 设男生有n 人，则女生有(8－n )人，由题意可得C 2n C 18－n ＝30，解得n ＝5或n ＝6，代入验证，可知

女生为2人或3人．

5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )

A ．45种

B ．36种

C ．28种

D ．25种

[解析] 因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C 28＝28种走法．

A ．24种

B ．36种

C ．38种

D ．108种

[解析] 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二

步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C 13种分法，然后再分到两部门去共有C 13A 22种

方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两

人所去的部门就已确定，故第三步共有C 13种方法，由分步乘法计数原理共有2C 13A 22C 13＝36(种)．

7．已知集合A ＝{5}，B ＝{1,2}，C ＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )

A ．33

B ．34

C ．35

D ．36

[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C 12·A 33＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C 12·A 33＋A 33＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C 13＝3

个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.

8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )

A ．72

B ．96

C ．108

D ．144

[解析] 分两类：若1与3相邻，有A 22·C 13A 22A 23＝72(个)，若1与3不相邻有A 33·A 33

＝36(个)，故共有72＋36＝108个．

A ．50种

B ．60种

C ．120种

D ．210种

[解析] 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、

(6,7)，甲任选一种为C 16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A 25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C 16·

[解析] 先安排甲、乙两人在后5天值班，有A 25＝20(种)排法，

其余5人再进行排列，有A 55＝120(种)排法，所以共有20×120＝2400(种)安排方法．

11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)

[解析] 由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C 49·C 25·

C 33＝1260(种)排法． 12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不

同的分配方案有________种(用数字作答)． [解析] 先将6名志愿者分为4组，共有C 26C 24

A 22

种分法，再将4组

人员分到4个不同场馆去，共有A 44种分法，故所有分配方案有：C 26·C 24

A 22·

A 44＝1 080种． 13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．

[解析] 5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．

14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A ）12种（B ）18种（C ）36种（D ）54种

【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种

方法，共有种，故选B.

15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有

A. 504种

B. 960种

C. 1008种

D. 1108种解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号共有4414222A A A ?种方法。甲乙排中间,丙排7号或不排7号，

共有)(43

31313442

A A A A A +种方法，故共有1008种不同的排法

16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是

（A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144 *s 5* o*m

解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法*s 5* o*m ①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3

2232A A ＝24个，②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222A A ＝12个算上个

位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个，答案：C

【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有2

3318C A ?=；若有1人从事司机工作，则方案有

123343108C C A ??=种，所以共有18+108=126种，故B 正确

19. 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D ) （A ）150种（B ）180种（C ）300种 (D)345种解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有

2536225C C C ??=种选法;

(2) 乙组中选出一名女生有

211

562120C C C ??=种选法.故共有345种选法.选D

20. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为

【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是，顺序有种，而甲乙被分在同一个班

的有种，所以种数是233

43330C A A -=

21. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

A. 60

B. 48

C. 42

D. 36 【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ，（A 共有62

=A C 种不同排法），剩下一

名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A 、B 之间（若甲在A 、B 两端。则为使A 、B

法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ，（A 共有62

3=A C 种不同排法），剩下一

名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：第一类：女生A 、B 在两端，

男生甲、乙在中间，共有2

6A A =24种排法；第二类：“捆绑”A 和男生乙在两端，则中间女生B 和男生

甲只有一种排法，此时共有＝12种排法，第三类：女生B 和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A 和男生甲

也只有一种排法。此时共有＝12种排法三类之和为24＋12＋12＝48种。

22. 从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法

的种数位 A 85 B 56 C 49 D 28

【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：1

27C C 42?=，另一类是甲乙都

去的选法有2

27C C ?=7，所以共有42+7=49，即选C 项。

23. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

A. 360

B. 188

C. 216

D. 96

解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有33222242333=A A C A 种，其中男

生甲站两端的有

1442

223232212=A A C A A ，符合条件的排法故共有188

解析2：由题意有2

22112222

322323242()()188A C A C C A C A A ????+???=,选B 。

24. 12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一

组的概率为（）

A ．

155

B ．

355

C ．

D ．

3 解析：因为将12个组分成4

个组的分法有4441284

C C C A 种，而3个强队恰好被分在同一组分法有

31443984

C C C C A ，故个强队恰好被分在同一组的概率为314424443

99842128433C C C C A C C C A =

。 25. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是

【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有种，因此共有不同的站法种数是336种．

A ．

891

B ．

2591

C ．

4891

D ．

【解析】因为总的滔法而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分

别按；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为1121212116546546544

154891

C C C C C C C C C C ??+??+??=

27. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．

【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有211

421

2C C C A ??;第二步将分好

的三组分配到3个乡镇，其分法有所以满足条件得分配的方案有2113

42132

A ．10种

B ．20种

C ．36种

D ．52种

44C =种方法；②

1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有2

6C =种方法；则不同的放球方法有10种，选A ．

解析：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，

一组1人，另两组都是2人，有125422

15C C A ?=种方法，再将3组分到3个班，共有3

1590A ?=种不同的分配方案，选B.

30. 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有种

454C A ?=240

种选法；②甲、丙同

不去，乙去，有3

4C A ?=240种选法；③甲、乙、丙都不去，有4

5120A =种选法，共有600种不同的选

派方案．

31. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有个（用数字作答）．

解析：可以分情况讨论：① 若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个数字，共可以组成3

212A ?=个五位数；② 若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首

位数字，则有2

24A ?=个五位数；③ 若末位数字为

4，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各

为1个数字，且0不是首位数字，则有2

(1)各组人数分别为2,4,6个；(2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间． [解析]

(1)C 212C 410C 66

＝13 860(种)；(2)C 412C 48C 44

A 33

＝5 775(种)；(3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有

C 412C 48C 44

A 33

·A 33＝C 412·C 48·C 44＝34 650(种)不同的分法． 34．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种

(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法

(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A 99种排法，若甲不在末位，则甲有A 18种排法，乙有A 18种排法，其余有A 88种排法，综上共有(A 99＋A 18A 18·A 88)种排法．方法二：无条件排列总数，A 1010

－?????

甲在首，乙在末A 8

8甲在首，乙不在末A 99

－A 8

8甲不在首，乙在末A 99－A 88

甲不在首乙不在末，共有(A 1010－2A 99＋A 88)种排法．

(3)10人的所有排列方法有A 1010种，其中甲、乙、丙的排序有A 33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以

甲、乙、丙排序一定的排法有A 1010

A 33

种．(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数

相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有1

2A 1010种排法．

高中数学100个热点问题(三)：排列组合中的常见模型

第80炼排列组合的常见模型一、基础知识：（一）处理排列组合问题的常用思路： 1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？解：五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4种选择，而其余数位没有要求，只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为44496N A =?=种 2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。例如：在10件产品中，有7件合格品，3件次品。从这10件产品中任意抽出3件，至少有一件次品的情况有多少种解：如果从正面考虑，则“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。3310785N C C =-=（种） 3、先取再排（先分组再排列）：排列数m n A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。例如：从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有多少种。解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生，共有2143C C 种可能，然后将选出的三个人进行排列：33A 。所以共有213433108C C A =种方案（二）排列组合的常见模型 1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。例如：5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法

(完整版)高中数学完整讲义——排列与组合7排列组合问题的常用方法总结1,推荐文档

m m m n ! n m 知识内容 1. 基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m 1 种不同的方法，在第二类办法中有 m 2 种方法，……，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．又称加法原理． ⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 n 个子步骤，做第一个步骤有 m 1 种不同的方法，做第二个步骤有 m 2 种不同方法，……，做第 n 个步骤有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．又称乘法原理． ⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2. ⑴排列：一般地，从 n 个不同的元素中任取 m (m ≤ n ) 顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出个元素的一个排列．（其中被取的象叫做元素）排列数：从 n 个不同的元素中取出个元素的排列数，用符号个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出排列数公式：， m ， n ∈ N + ，并且 m ≤ n ．全排列：一般地， n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1 到 n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用 ⑵组合：一般地，从 n 个不同元素中，任意取出个元素的一个组合．表示．规定： 0! = 1 ．个元素并成一组，叫做从 n 个元素中任取个组合数：从 n 个不同元素中，任意取出任意取出 m 个元素的组合数，用符号表示．元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中，组合数公式：， m , n ∈ N + ，并且 m ≤ n ． 1 / 20 排列组合问题的常用方法总结 1 m (m ≤ n ) m ! C m n = n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) = n C m n ! m !(n - m )! (m ≤n ) m (m ≤ n ) N = m 1 ? m 2 ? ? m n N = m 1 + m 2 + + m n A m n 表示． A m = n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) n

排列组合题型总结

排列组合题型总结排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。一．直接法、 1．特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理： 25A 24A =240 2．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ，共有14A 1 4A 24A =192所以总共有192+60=252 二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法2435462A A A +-=252 例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ??个，其中0在百位的有 2242?C ?22A 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数333352A C ??-2242?C ?22A =432 （个）三．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有11019A A ?=100中插入方法。四．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法，而男生之间又有44A 种排法，又乘法原理满足条件的排法有：44A ×4 4A =576 练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种（3324A C ） 2．某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校

高中数学排列组合专题

排列组合一．选择题（共5小题） 1．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有（） A．36种B．42种C．50种D．72种 2．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有（） A．8种 B．10种C．12种D．32种 3．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（） A．72 B．120 C．144 D．168 4．现将甲乙丙丁4个不同的小球放入A、B、C三个盒子中，要求每个盒子至少放1个小球，且小球甲不能放在A盒中，则不同的放法有（） A．12种B．24种C．36种D．72种 5．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（） A．300种B．240种C．144种D．96种二．填空题（共3小题） 6．某排有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，则不同的坐法有种． 7．四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）． 8．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的

插法共有种．三．解答题（共8小题） 9．一批零件有9个合格品，3个不合格品，组装机器时，从中任取一个零件，若取出不合格品不再放回，求在取得合格品前已取出的不合格品数的分布列10．已知展开式的前三项系数成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中系数最大的项． 11．设f（x）=（x2+x﹣1）9（2x+1）6，试求f（x）的展开式中：（1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和． 12．求（x2+﹣2）5的展开式中的常数项． 13．求值C n5﹣n+C n+19﹣n． 14．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的种数．（1）选5名同学排成一行；（2）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；（3）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；（4）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；（5）全体站成一排，男、女各站在一起；（6）全体站成一排，男生必须排在一起；（7）全体站成一排，男生不能排在一起；（8）全体站成一排，男、女生各不相邻；（9）全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；（10）全体站成一排，甲必须在乙的右边；（11）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；（12）排成前后两排，前排3人，后排4人． 15．用1、2、3、4、5、6共6个数字，按要求组成无重复数字的自然数（用排列数表示）．

排列组合常用方法总结

/////////解决排列组合问题常见策略学习指导 1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的。较复杂的排列组合问题一般是先分组，再排列。必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列。排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧。集合是常用的工具之一。为了将抽象问题具体化，可以从特殊情形着手，通过画格子，画树图等帮助理解。 “正难则反”是处理问题常用的策略。常用方法：一. 合理选择主元例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有种不同坐法。例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适解题方法的突破口。二. “至少”型组合问题用隔板法对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成n＋1份。例5. 4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？解：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有：（种）三. 注意合理分类元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类，求出各类排列组合数。再用分类计数原理求出总数。例6. 求用0，1，2，3，4，5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。解：比2015大的四位数可分成以下三类：第一类：3×××，4×××，5×××，共有：（个）；第二类：21××，23××，24××，25××，共有：（个）；第三类：203×，204×，205×，共有：（个） ∴比2015大的四位数共有237个。

高考专题---总结排列组合题型

总结排列组合题型一．直接法 1．特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择，其余2位有四个可供选择，由乘法原理：=240 2．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有=60，1不在千位时，千位有种选法，个位有种，余下的有，共有=192所以总共有192+60=252 二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法=252 例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数个，其中0在百位的有个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数-=432（个）三．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有=100中插入方法。四．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有种排法，而男生之间又有种排

法，又乘法原理满足条件的排法有：×=576 练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种（） 2．某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有其余的就是19所学校选28天进行排列）五．阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有种练习1.(a+b+c+d)15有多少项？当项中只有一个字母时，有种（即a.b.c.d而指数只有15故。当项中有2个字母时，有而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，即当项中有3个字母时指数15分给3个字母分三组即可当项种4个字母都在时四者都相加即可．练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（） 3．不定方程X 1+X 2 +X 3 +…+X 50 =100中不同的整数解有（）六．平均分堆问题例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？分析：分出三堆书（a 1,a 2 ）,(a 3 ,a 4 )，（a 5 ,a 6 ）由顺序不同可以有=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？ 2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。

(完整)高中数学排列组合专题复习

高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m种不同的方法，在第2类 1 办法中有 m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同的方法，那么2 完成这件事共有：种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 m种不同的方法，做第2步 1 有 m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么完成这件事共2 有：种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 两个位置.

高中数学排列组合例题

到车间也有7种分依此类推由分步计数原理共有76种不同的排法一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有C 3 然后排首位共有C i 最后排其它位置共有A 3 113 由分步计数原理得 C 4C 3A 4 =288 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二. 相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内 5 2 2 部进行自排。由分步计数原理可得共有 A 5A 2A ； =480种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为 m n 种练习题： 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 _42_ 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自的一层下电梯，下电梯六. 环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐，共有多少种坐法？解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1 ）!种排法即7 ! 要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题 ?即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列 ?练习题：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三. 不相邻问题插空策略例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续岀场，则节目的岀场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有 A 5种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 Ae 不同的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有 A 5A 4 ______ 种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两练习一5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目 ----------- 插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 JQ_ 四. 定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有不同排法种数是： A 7∕A 3 （空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A 7 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有丄种坐法，则共有 A ：种方法。思考:可以先让甲乙丙就坐吗？ — — （插入法）先排甲乙丙三个人，共有1种排法，再把其余4四人依次插入共有 ___________ 方法定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插练习题:10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ C 15O 五. 重排问题求幕策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有 J-种分法.把第二名实习生分配排列组合 A 4并 -CKMXxMXXX) ABCDEFGHA D- B E A F H G

☆排列组合解题技巧归纳总结

排列组合解题技巧归纳总结教学内容 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =++ + 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =?? ? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 5 22480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ C 14A 34C 1 3

高中数学排列组合经典题型全面总结版

高中数学排列与组合（一）典型分类讲解一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有6 7种不同的排法练习题： 1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种

排列组合常用方法总结

排列组合常用方法总结排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。下面是，请参考！一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何

一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 [例题分析]排列组合思维方法选讲 1．首先明确任务的意义例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定。又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。

高中数学排列组合典型例题精讲

概念形成 1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素 2、排列：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺．．．．序．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．。说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关）（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同合作探究二排列数的定义及公式 3、排列数：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出 m 元素的排列数，用符号m n A 表示议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？ 4、排列数公式推导探究：从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少？3n A 呢？m A n 呢？ )1()2)(1(+-?--=m n n n n A m n （,,m n N m n *∈≤）说明：公式特征：（1）第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是1n m -+，共有m 个因数；（2）,,m n N m n *∈≤ 即学即练: 1.计算 (1）410A ； (2）25A ；(3)3355A A ÷ 2.已知101095m A =???，那么m = 3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----用排列数符号表示为( ) A ．5079k k A -- B ．2979k A - C ．3079k A - D ．3050k A - 例1．计算从c b a ,,这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。 5 、全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的全排列。此时在排列数公式中， m = n 全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--?=（叫做n 的阶乘）. 即学即练:口答（用阶乘表示）：（1）334A （2）44A （3）)!1(-?n n 排列数公式的另一种形式： )! (!m n n A m n -= 另外，我们规定 0! =1 .

(完整版)高中数学排列组合习题精选

1、体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（）种。 2、某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有（）种 3、（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（各项目冠军都只有一人），共有多少种可能的结果？ 4、从集合{1，2，…，10}中任选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（） 5、有4位教师在同一年级的四个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有（）种。 A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 6、3人玩传球游戏，由甲开始并做为第一次传球，经过4次传球后，球仍回到甲手中，有多少种不同的传球方式呢？ 7、集合A ＝{a,b,c,d},B={1,2,3,4,5}。（1）从集合A 到集合B 可以建立多少个不同的映射？（2）从集合A 到集合B 的映射中，要求集合A 中元素的象不同，这样的映射有多少个 8、对一个各边长都不相等的凸五边形的各边进行染色，每条边都可以染红、黄、蓝三种不同的颜色，但是不允许相邻相邻的边染相同的颜色，则不同的染色方法共有（）种。 9、用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有（）种不同的涂色方案。 10、将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图是一种填法，则不同的填写方法共有 A ．6种 B ．12种 C ．24种 D ．48种 11、如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A ．64B ．72C.84 D ．96 12、（13山东）用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（） A ．243 B ．252 C ．261 D ．279 13、（13福建）满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（） A ．14 B ．13 C ．12 D ．10 14、（16全国）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数。若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18（B ）16（C ）14 （D ）12

高中数学题型总结与易错点提示(排列组合)

排列组合复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得11 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法乙甲丁丙练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 C 1 4 A 3 4 C 1 3 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理

(完整)高中数学排列组合题型总结,推荐文档

2排列组合题型总结排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。一．直接法 1.特殊元素法例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字 1 不排在个位和千位（2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择A2 ，其余 2 位有四个可供选择A2 ，由乘法原理： 5 4 A2 A2 =240 5 4 2.特殊位置法（2）当 1 在千位时余下三位有A3 =60，1 不在千位时，千位有A1 种选法，个位有A1 种，余下 5 4 4 的有A2 ，共有A1 A1 A2 =192 所以总共有 192+60=252 4 4 4 4 二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法A4 - 2 A3 +A2 =252 6 5 4 例 2 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与 9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑 0 与 1 卡片用与不用，且用此卡片又分使用 0 与使用 1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数C 3 ? 23 ?A3 个，其中 0 在百位的 5 3 有C 2 ? 22 ?A2 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数C 3 ? 23 ?A3 - C 2 ? 22 ? 4 2 5 3 4 A2 =432（个）三．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。例 3 在一个含有 8 个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的 8 个节目中含有 9 个空档，插入一个节目后，空档变为 10 个，故有A1 ?A1 =100 9 10 中插入方法。四．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。例 4 4 名男生和 3 名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？

高中数学排列组合专题

实用标准文档大全排列组合一．选择题（共5小题） 1．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有（） A．36种B．42种C．50种D．72种 2．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有（） A．8种B．10种C．12种D．32种 3．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（） A．72 B．120 C．144 D．168 4．现将甲乙丙丁4个不同的小球放入A、B、C三个盒子中，要求每个盒子至少放1个小球，且小球甲不能放在A盒中，则不同的放法有（）A．12种B．24种C．36种D．72种 5．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）

A．300种B．240种C．144种D．96种二．填空题（共3小题） 6．某排有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，则不同的坐法有种． 7．四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）． 8．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的实用标准文档大全插法共有种．三．解答题（共8小题） 9．一批零件有9个合格品，3个不合格品，组装机器时，从中任取一个零件，若取出不合格品不再放回，求在取得合格品前已取出的不合格品数的分布列 10．已知展开式的前三项系数成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中系数最大的项． 11．设f（x）=（x2+x﹣1）9（2x+1）6，试求f（x）的展开式中：

排列组合常用方法总结

排列组合常用方法总结导读：排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。下面是排列组合常用方法总结，请参考！排列组合常用方法总结一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法

中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 [例题分析]排列组合思维方法选讲 1．首先明确任务的意义例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定，又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?

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