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高考数学(理)一轮复习讲义1.1《集合及其运算》

§1.1集合的概念及运算

1．集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或?表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集的记法

2.集合间的基本关系

A B(或

B A)

3.集合的基本运算

概念方法微思考

1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．

提示2n,2n－1.

2．从A∩B＝A，A∪B＝A可以得到集合A，B有什么关系？

提示A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )

(2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( × ) (3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( × ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( √ ) (5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( × ) 题组二教材改编

2．若集合A ＝{x ∈N |x ≤ 2 020}，a ＝22，则下列结论正确的是( ) A ．{a }?A B ．a ?A C ．{a }∈A D ．a ?A

答案 D

3．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________．答案 2

解析集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B 表示直线y ＝x 上的点，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点????22，

22，????－22，－2

2，则A ∩B 中有两个元素．题组三易错自纠

4．(2018·湖南长郡中学月考)已知集合A ＝{x ∈N |0≤x ≤4}，则下列说法正确的是( ) A ．0?A B ．1?A C.2?A D ．3∈A

答案 D

解析集合A＝{x∈N|0≤x≤4}，∴0∈A,1∈A，2?A,3∈A，故选D.

5．已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2

答案{x|x≤1或x>2}

解析由已知可得集合A＝{x|1

又因为B＝{x|2

所以(?R A)∪B＝{x|x≤1或x>2}．

6．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．答案0或1或－1

解析易得M＝{a}．∵M∩N＝N，∴N?M，

∴N＝?或N＝M，∴a＝0或a＝±1.

题型一集合的含义

1．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．9 答案 C

解析当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0,1,2. 故集合B ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B 中有6个元素．

2．已知集合A ＝?

???

?x ??

x ∈Z ，且32－x ∈Z

，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C 解析因为

2－x

∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1,1,3，又因为x ∈Z ，所以x 的值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.

3．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．答案－3

解析由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－3

，

当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－3

思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．

(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．

题型二集合间的基本关系

例1 (1)集合M ＝?

???

??x ?? x ＝n 2＋1，n ∈Z ，N ＝?

?????y ?

y ＝m ＋1

2，m ∈Z ，则两集合M ，N 的关系为( ) A ．M ∩N ＝? B ．M ＝N C ．M ?N D ．N ?M

答案 D

解析由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则x ＝k ＋1(k ∈Z )，当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1(k ∈Z )，则x ＝k ＋1＋1

(k ∈Z )，∴N ?M ，故选D.

(2)已知集合A ＝{x |x 2－2 019x ＋2 018<0}，B ＝{x |x

解析由x 2－2 019x ＋2 018<0，解得1

又B ＝{x |x

引申探究

本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．答案(－∞，1]

解析A＝{x|1

思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

跟踪训练1 (1)已知集合A＝{y|0≤y

答案 8

解析 B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N }＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N }＝{0,1,2,3}，当a 分别取1,2,3时，所得集合A 分别为{0}，{0,1}，{0,1,2}，均满足A B ，当a ＝4时，A ＝{0,1,2,3}，不满足A B ，同理，当a ≥5时均不满足A B .所以满足条件的正整数a 所构成的集合为{1,2,3}，其子集有8个．

(2)已知集合A ＝{x |－1

解析当m ≤0时，B ＝?，显然B ?A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1

例2 (1)(2018·全国Ⅰ)已知集合A ＝{}x |x 2－x －2>0，则?R A 等于( ) A ．{x |－1

解析∵x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．

由图可得?R A＝{x|－1≤x≤2}．

故选B.

(2)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－5

A．A∩B＝?B．A?B

C．B?A D．A∪B＝R

答案 D

解析∵A＝{x|x>2或x<0}，∴A∪B＝R.

命题点2利用集合的运算求参数

例3(1)(2018·锦州模拟)已知集合A＝{x|x

A．a<1 B．a≤1 C．a>2 D．a≥2

答案 D

解析集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1

由A∩B＝B可得B?A，作出数轴如图．

可知a ≥2.

(2)设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝?

??a －1，a ＋1a ，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为________．

答案 1

解析 0∈??????a －1，a ＋1a ，由a ＋1

a ≠0，则a －1＝0，则实数a 的值为1.经检验，当a ＝1时满

足题意．

(3)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是______．答案 (－∞，－1]∪{1}

解析因为A ∩B ＝B ，所以B ?A ，

因为A ＝{0，－4}，所以B ?A 分以下三种情况：

①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得

????

Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，

－2(a ＋1)＝－4，a 2

－1＝0，

解得a ＝1；

②当B ≠?且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；

③当B ＝?时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.

综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．

思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．

(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．跟踪训练2 (1)(2018·葫芦岛检测)已知集合A ＝{x |－2

答案 D

解析由题意得B ＝{x |y ＝lg(x －2)}＝(2，＋∞)， ∴?R B ＝(－∞，2]，∴A ∩(?R B )＝(－2,2]．

(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1

解析由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ?A .

①当B ＝?时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2； ②当B ≠?时，有????

例4 (1)(2018·沈阳模拟)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为( ) A ．15 B ．16 C ．20 D ．21 答案 D

解析由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，得A ＝{0,1,2,3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，所以A *B 中的所有元素数字之和为21.

(2)设数集M ＝??????x ?? m ≤x ≤m ＋34，N ＝????

??x ??

n －1

3≤x ≤n ，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________．答案

112

解析在数轴上表示出集合M 与N (图略)，

可知当m ＝0且n ＝1或n －13＝0且m ＋3

思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．

跟踪训练3 用C (A )表示非空集合A 中元素的个数，定义A *B ＝?

C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，

C (B )－C (A )，C (A )

解析因为C (A )＝2，A *B ＝1，所以C (B )＝1或C (B )＝3.由x 2＋ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝－a .关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0，当Δ＝0，即a ＝±22时，易知C (B )＝3，符合题意；当Δ>0，即a <－22或a >22时，易知0，－a 均不是方程x 2＋ax ＋2＝0的根，故C (B )＝4，不符合题意；当Δ<0，即－22

1．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．－3∈A B ．3?B C ．A ∩B ＝B D ．A ∪B ＝B 答案 C

解析由题意知A ＝{y |y ≥－1}，因此A ∩B ＝{x |x ≥2}＝B ，故选C.

2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝?

???

x ??

<2，则下列结论中正确的是( ) A ．N M B ．M N C ．N ∩M ＝? D ．M ∪N ＝R 答案 B

解析由题意得，集合N ＝??????x ?? 1x <2＝??????

x ?

x <0或x >12，所以M N .故选B. 3．设集合A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |2x ≥4}，则A ∩B 等于( ) A ．[2,4) B ．{2,4} C ．{3} D ．{2,3} 答案 D

解析由x 2－3x －4<0，得－1

4．(2018·全国Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 答案 A

解析将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.

5．设集合A＝{x∈Z|x2－2x－3≤0}，B＝{0,1}，则?A B等于()

A．{－3，－2，－1} B．{－1,2,3}

C．{－1,0,1,2,3} D．{0,1}

答案 B

解析由题意可知A＝{－1,0,1,2,3}，则?A B＝{－1,2,3}．故选B.

6．(2018·呼和浩特联考)已知全集U＝{x∈N|x2－5x－6<0}，集合A＝{x∈N|－2

A．{3,5} B．{2,3,5}

C．{2,3,4,5} D．{3,4,5}

答案 A

解析由题意知，U＝{0,1,2,3,4,5}，A＝{0,1,2}，则(?U A)∩B＝{3,5}．故选A. 7．(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于() A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5}

答案 C

解析∵A∩B＝{1}，∴1∈B.

∴1－4＋m＝0，即m＝3.

∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.

解析用数轴表示集合A，B(如图)，由A?B，得a≥0.

9．已知集合P ＝{x |y ＝－x 2＋x ＋2，x ∈N }，Q ＝{x |ln x <1}，则P ∩Q ＝________. 答案 {1,2}

解析由－x 2＋x ＋2≥0，得－1≤x ≤2，因为x ∈N ，所以P ＝{0,1,2}．因为ln x <1，所以0

10．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}，B ＝{x |log 3(2－x )≤1}，则A ∩(?U B )＝__________. 答案 {x |x <－1或x ≥2}

解析集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}， ∵log 3(2－x )≤1＝log 33，∴0<2－x ≤3， ∴－1≤x <2，∴B ＝{x |－1≤x <2}， ∴?U B ＝{x |x <－1或x ≥2}， ∴A ∩(?U B )＝{x |x <－1或x ≥2}．

11．设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________．答案－2或1 解析 ∵集合

A ＝{－1,1,2}，

B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，∴

－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1. 经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意．

12．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ?B ，则实数c 的取值范围是

________．

答案[1，＋∞)

解析由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)．由A?B，画出数轴，如图所示，得c≥1.

13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝______，n＝________.

答案－1 1

解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5

由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，

则B＝{x|m

14．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1?A ，且k ＋1?A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．答案 6

解析依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．

15．已知集合A ＝????

??(x ，y )??

x 24＋y 2

2＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝kx ＋m ，k ∈R ，m ∈R }，若对任意实数k ，A ∩B ≠?，则实数m 的取值范围是____________．答案 [－2，2]

解析由已知，无论k 取何值，椭圆x 24＋y 2

＝1和直线y ＝kx ＋m 均有交点，故点(0，m )在椭