小学奥数构造与论证教师版

1. 掌握最佳安排和选择方案的组合问题.

2. 利用基本染色去解决相关图论问题．

各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．

组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．

模块一 最佳安排和选择方案

【例 1】 一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：

每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是 颜色(填“黑”或者“白”)． 【解析】 在每一次操作中，若拿出的两枚棋子同色，则补黑子1枚，所以拿出的白子可能为0枚或2枚；

若拿出的两枚棋子异色，则补白子1枚，“两枚棋子异色”说明其中一黑一白，那么此时拿出的白子数为0枚．可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚，而由于起初白子有200枚，是偶数枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子．

【例 2】 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷

教学目标

知识点拨

例题精讲

第十三讲：构造与论证

到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?

【解析】 因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；

现在将第4卷调至此时第l 卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123； 现在将第3卷调至此时第l 卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312； 最后将第l 卷和第2卷对调即可． 所以，共需调换4+3+2+1=10次．

【例 3】 有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一

石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：、

(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走? 【解析】 (1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，

25，50)→(O ，0，25)．

(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所 以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．

现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．

【例 4】 n 支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，

平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问： （1）n=4是否可能？ （2）n=5是否可能？

【解析】 （1）我们知道4个队共进行了2

4C 场比赛，而每场比赛有2

分产生，所以4个队的得分总和为24C ×2=12.因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以 4个队得分最少2+3+4+5=14＞12，不满足.即n=4不可能。

（2）我们知道5个队共进行2

5C 场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为25C ×2=20.因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以5个队得分最少为2+3+4+5+6=20，满足.即n=5

有可能.但是我们必须验证是否存在实例.如下所示，A 得2分，C 得3分，D 得4分，B 得5分，E 得6分.其中“A →B ”表示A 、B 比赛时，A 胜B ；“B--C ”表示B 、C 比赛时，B 平C ， 余下类推.

【例 5】 如图35-1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任

意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求M 的最小值并完成你的填图.

【解析】要使M最小，就要尽量平均的填写，因为如果有的连续5个圆圈内的数特别小，

有的特别大，那么M就只能大于等于特别大的数，不能达到尽量小的目的．

因为每个圆圈内的数都用了5次，所以10次的和为5×(1+2+3+…+10)=275．

每次和都小于等于朋，所以IOM大于等于275，整数M大于28．

下面来验证M=28时是否成立，注意到圆圈内全部数的总和是55，所以肯定是一

边五个的和是28，

一边是27．因为数字都不一样，所以和28肯定是相间排列，和27也是相问排列，也就是说数组每

隔4个差值为l，这样从1填起，容易排出适当的填图.

【例6】（2009年清华附中入学测试题）如图，在时钟的表盘上任意作9个120°的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆

盖整个表盘上的数．并举一个反例说明，作8个扇形将不能保证上述结论成立．

【解析】要在表盘上共可作出12个不同的扇形，且1～12中的每个数恰好被4个扇形覆盖．将这12个扇形分为4组，使得每一组的3个扇形恰好盖住整个表盘．那么，根据抽屉原理，从中选择9个扇

形，必有

9

13

4

??

+=

??

??

个扇形属于同一组，那么这一组的3个扇形可以覆盖整个表盘．

另一方面，作8个扇形相当于从全部的12个扇形中去掉4个，则可以去掉盖住同一个数的4个扇形，这样这个数就没有被剩下的8个扇形盖住，那么这8个扇形不能盖住整个表盘．

【例7】一组互不相同的自然数，其中最小的数是l，最大的数是25，除1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和.问：这组数之和的最小值

是多少?当取到最小值时，这组数是怎样构成的?

【解析】首先把这组数从小到大排列起来，那么最小的肯定为1，1后面只能是1的2倍即2，2后面可以

是3或4，3的后面可以是4，5，6；4的后面可以是5，6，8．最大的为25．下面将所有的可能情况列出：

l，2，3，4，…，25所有的和是35；

l，2，3，5，…，25所有的和是36；

1，2，3，6，…，25所有的和是37；

1，2，4，5，…，25所有的和是37；

1，2，4，6，…，25所有的和是38；

1，2，4，8，…，25所有的和是40.

25是奇数，只能是一个偶数加上一个奇数．在中间省略的数中不能只有1个数，所以至少还要

添加两个数，而且这两个数的和不能小于25，否则就无法得到25这个数．要求求出最小值，先

看这两个数的和是25的情况，因为省略的两个数不同于前面的数，所以从20+5开始．

25=20+5=19+6=18+7=17+8=16+9=15+10=14+11=13+12．

这些数中20，19，18，17太大，无法产生，所以看：16+9=15+10=14+11=13+12．

看这些谁能出现和最小的l，2，3，4，…，25中，检验发现没有可以满足的：

再看l，2，3，5，…，25，发现1，2，3，5，10，15，25满足，所以：1+2+3+5+10+15+25=36+25=61

【例8】2004枚棋子，每次可以取1、3、4、7枚，最后取的获胜。甲、乙轮流取，如果甲先取，如何才能保证赢？

【解析】先从简单的情况看起，看看棋子数量较少时，在什么情况下先取者胜，什么情况下后取者胜．可以列表如下：

棋子数是1～8时比较容易看得出来是先取者胜还是后取者胜，可以看出只有棋子数是2枚和8枚时是后取者胜，其他情况下都是先取者胜．

当棋子数大于8时，可以先取若干枚棋子，使得剩下的棋子数变成前面已有的棋子数．先取者为了取胜，第一次取后，应该使剩下的棋子数是后取者胜的情况，比如变成剩下2枚或8枚．这样推下去，可以发现只有当棋子数是8的倍数或者除以8余2时，是后取者胜，其他情况下是先取者胜．

题目中有2004枚棋子，除以8余4，所以先取者肯定可以取胜．不过取胜的策略比较灵活，不能明确地说每次后取者取多少枚先取者就相应地取多少枚，应该从除以8的余数来考虑：

⑴先取者第一次可以先取4枚，这样还剩下2000枚，2000除以8的余数是0；

⑵先取者为了保证获胜，在每一次后取者取了之后，先取者再取的时候，应该使得自己取后剩下

的棋子数是8的倍数或者除以8余2；

⑶后取者每次可以取1，3，4，7枚，每次先取者取后剩下的棋子数除以8的余数是0或2，所以

每次后取者取后剩下的棋子数除以8的余数是7，5，4，1或1，7，6，3.

所以接下来先取者可以对应地取7，3，4，1或1，7，4，3枚棋子，这样剩下的剩下的棋子数除以8的余数为0，2，0，0或0，0，2，0.

这样就保证了第⑵点．

⑷每次先取者取后剩下的棋子数除以8的余数是0或2，那么最后一枚棋子肯定是先取者取得，

所以先取者获胜．

【例9】在10×19方格表的每个方格内，写上0或1，然后算出每行及每列的各数之和．问最多能得到多少个不同的和数?

【解析】首先每列的和最少为0，最多是10，每行的和最少是0，最多是19，所以不同的和最多也就是0，1，2，3，4，…，18，19这20个．

下面我们说明如果0出现，那么必然有另外一个数字不能出现．

如果0出现在行的和中，说明有1行全是0，意味着列的和中至多出现0到9，加上行的和至多

出现10个数字，所以少了一种可能．

如果0出现在列的和中，说明在行的和中19不可能出现，所以0出现就意味着另一个数字不能出现，所以至多是19，下面给出一种排出方法.

【例10】在8×8的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子，使得棋盘上每行、每列及每条斜线上都有偶数枚棋子?

【解析】因为8×8的国际象棋盘上的每行、每列都正好有偶数格，若某行(某列)有空格，必空偶数格．而斜线上的格子数有奇也有偶，不妨从左上角的斜线看起：第一条斜线只有1格，必空；第三条有3格，必至少空1格；第五、七条分别有5、7格，每条线上至少空1格．由对称性易知共有16条斜线上有奇数格，且这16条斜线没有共用的格子，故至少必空出16格．其实，空出两条主对角线上的16个格子就合题意．此时，最多可放置48枚棋子，放在除这两条主对角线外的其余格子中，如下图所示．

【例11】在下图中有16个黑点，它们排成了一个4×4的方阵．用线段连接其中4点，就可以画出各种不同的正方形．现在要去掉某些点，使得其中任意4点都不能连成正方形，那么最少要去掉多

少个点?

【解析】至少要除去6个点，如下所示为几种方法：

【例 12】 三个边长为1的正方形并排放在一起，成为1×3的长方形.求证：12390∠+∠+∠=. 【解析】 仔细分析，要证12390∠+∠+∠=，

由于345∠=，所以，只需证明1245∠+∠=就可以了！于是想到能否把2∠（1∠）移动位 置，与1∠（2∠）拼合在一起，恰成一个45的角呢？于是想到：如图1所示，再拼上一个单位正方形DFK ，则三角形AKC 为等腰直角三角形，45KCA ∠=，又直角三角形KCF 与AHD 全等，所以2KCF ∠=∠. 因此，12145KCF KCA ∠+∠=∠+∠=∠=.

有了拼合2∠与1∠的思想，学生往往产生不同的拼合方式，沿着拼合全等的思路发散开来，又可以找到许多拼法. 如图2三角形AHP 是等腰直角三角形，45HAP ∠=，

2, 1.HAG BAP ∠=∠∠=∠所以1245BAP HAG HAP ∠+∠=∠+∠=∠=.

如图3三角形AQC 是等腰直角三角形，45ACQ ∠=，2,QCP ∠=∠

12∠+∠145QCP =∠+∠=.

如图4三角形WDB 是等腰直角三角形, 45,1,WDB CDB ∠=∠=∠，2WDH ∠=∠. 所以

1245CDB WDH WDB ∠+∠=∠+∠=∠=.

如图5三角形ZAH 是等腰直角三角形，45,1,ZHA ZHY ∠=∠=∠ 因此

12∠+∠245ZHY ZHA =∠+∠=∠=. 其他的沿着“拼合全等”的思路的证法就不例举了.

如果利用相似三角形的知识，如图5

所示，又1,2,FH FA FC ==

=所以，

,2FH FA

FA FC ===HFA AFC ∠=∠，因此HFA ?∽AFC ?，?2,FHA FAC ∠=∠=∠但

1CAB ∠=∠，1245CAB FAC EAB ∠+∠=∠+∠=∠=. 用相似三角形法不用添设辅助线，

简洁明了.再开思路，可用三角法证明如下：2∠与1∠都是小于45的锐角，可知1∠+2∠是锐角. 又1tan 13DA DC ∠=

=，1

tan 22

DA HD ∠==. ()()()115tan 1tan 2

326tan 121111

1tan 1tan 211326

+

∠+∠∠+∠====-∠∠-?-，所以1245∠+∠=.

模块二 染色与赋值问题

【例 13】 某学校的学生中，没有一个学生读过学校图书馆的所有图书，又知道图书馆内任何两本书都至

少被一个同学都读过．问：能否找到两个学生甲、乙和三本书4、B 、C ，使得甲读过A 、B ，没读过C ，乙读过B 、C ，没读过A?说明判断过程． 【解析】 首先从读书数最多的学生中找一人甲．由题设，甲至少有一本书未读过，记为C ．设B 是甲读过

的书中一本，由题意知，可找到学生乙，乙读过B 、C ．由于甲是读书数最多的学生之一，乙读书数不能超过甲的读书数，而乙读过C 书，甲未读过C 书，所以一定可以找出一本书A ，使得甲读过而乙未读过，否则乙就比甲至少多读过一本书．这样一来，甲读过A 、B ，未读过C ；乙读过B 、C 未读过A.因此可以找到满足要求的两个学生．

【例 14】 4个人聚会，每人各带2件礼品，分赠给其余3个人中的2人．试证明：至少有2对人，每对

人是互赠过礼品的． 【解析】 将这四个人用4个点表示，如果两个人之间送过礼，就在两点之间连一条线．

由于每人送出2件礼物，图中共有4×2=8条线，由于每人礼品都分赠给2个人，所以每两点之间至多有1+1=2条线。四点间，每两点连一条线，一共6条线，现在有8条线，说明必有两点之间连了2条线，还有另外两点(有一点可以与前面的点相同)之间也连了2条线． 即为所证结论。

【例 15】 甲、乙、丙三个班人数相同，在班级之间举行象棋比赛．各班同学都按l ，2，3，4，…依次编

号．当两个班比赛时，具有相同编号的同学在同一台对垒．在甲、乙两班比赛时，有15台是男、女生对垒；在乙、丙班比赛时，有9台是男、女生对垒．试说明在甲、丙班比赛时，男、女生对垒的台数不会超过24．并指出在什么情况下，正好是24 ？ 【解析】 不妨设甲、乙比赛时，1～15号是男女对垒，乙、丙比赛时．在1～15号中有a 台男女对垒，15

号之后有9-a 台男女对垒(0≤a ≤9)

甲、丙比赛时，前15号，男女对垒的台数是15-a(如果1号乙与1号丙是男女对垒，那么1号甲

与1号丙就不是男女对垒)，15号之后，有9-a 台男女对垒.所以甲、丙比赛时，男女对垒的台数为

15-a+9-a=24-2a ≤24．

仅在a=0，即必须乙、丙比赛时男、女对垒的号码，与甲、乙比赛时男、女对垒的号码完全不同，

甲、丙比赛时，男、女对垒的台数才等于24．

【例 16】 将5×9的长方形分成10个边长为整数的长方形．证明：无论怎样分法．分得的长方形中必有

两个是完全相同的． 【解析】 10个边长为整数的长方形，其面积显然也均是正整数．划分出的长方形按面积从小到大为：1×1，

1×2，l ×3，1×4，2×2，1×5，1×6，2×3，1×7，1×8，2×4，1×9，3×3．2×5，2×6，3×4，2×7，3×5，2×8，4×4，2×9，3×6，……从这些长方形中选出lO 个不同的长方形，其面积和最小为：1×1+1×2+1×3+1×4+2×2+1×5+1×6+2×3+1×7+1×8=46．而原长方形的面积为5×9=45<46．所以分出的长方形必定有某两个是完全一样的．

【例 17】 在平面上有7个点，其中任意3个点都不在同一条直线上．如果在这7个点之字连结18条线段，

那么这些线段最多能构成多少个三角形 ？

【解析】 平面上这7个点，任意3点都不在同一条直线上，若任意2点连接，共可连接出27C 2

7C =7×6÷2=21

条线段．现在只连接18条线段，有3条没有连出，要使得这18条线段所构成的三角形最多，需使得没连出的这3条线段共同参与的三角形总数最多，故这3条线断共点.对于这3条线段中的任何一条，还与其他5个点本应构成5个三角形，故这3条线段没连出，至少少构成5×3-3=12个三角形.

如上图所示，在图中AD 、AE 、AF 之间未连接，因为其中ADE 、AED ，ADF 、AFD ，AEF 、AFE 被重复计算，所以减去3．而平面内任何三点不共线的7个点，若任何2点连线，最多可构成3

7

C =35

个三角形．故现在最多可构成三角形35-12=23个．

【例 18】 在9×9棋盘的每格中都有一只甲虫，根据信号它们同时沿着对角线各自爬到与原来所在格恰有

一个公共顶点的邻格中，这样某些格中有若干只甲虫，而另一些格则空着．问空格数最少是多少? 【解析】 方法一：考虑到甲虫总是斜着爬，我们把棋盘黑白相间染色，发现原来黑色格子里的甲虫都会爬

到黑色的格子里面，而白色格子里面的甲虫都会爬到白色格子里面，所以我们只用观察最少能空出多少个黑格子，多少个白格子．

因为甲虫每次都从奇数行爬到偶数行，偶数行爬到奇数行，而由奇数行有25个黑格子，偶数行有16个黑格子知，偶数行的16只甲虫爬到奇数行会空出9个黑格子，而奇数行的25只虫子爬到偶数行就可以没有空格．白格子虫子也会从奇数行爬到偶数行，偶数行爬到奇数行，但是奇数行和偶数行都是20个格子，最少的情况下不会出现空格子，所以最少出现9个空格． 方法二：

① 对2×2棋盘如下黑白染色，则易知两黑格及两白格分别对换甲虫即可使棋盘格不空；从而得

到2n ×2n 棋盘可划分为若干块2×2棋盘，棋盘格均不空．

② 对3×3棋盘如下黑白染色，注意到图中有5个黑格，黑格中的甲虫爬行后必进入黑格，且四

个角上的黑格内的甲虫必爬人中心黑格，而中心黑格内的甲虫只能爬人某一格，必至少空3个黑格．

③ 对5×5棋盘黑白染色后，利用①、②的结论易知至少空5个黑格．

④ 依次类推，可知对9×9棋盘黑白染色后，至少空9个空格．下图是甲虫爬行的一种方法．

【例 19】 若干台计算机联网，要求：

①任意两台之间最多用一条电缆连接； ②任意三台之间最多用两条电缆连接；

③两台计算机之间如果没有电缆连接，则必须有另一台计算机和它们都连接有电缆．若按此要求

最少要用79条电缆．

问：(1)这些计算机的数量是多少台?

(2)这些计算机按要求联网，最多可以连多少条电缆?

【解析】 将机器当成点，连接电缆当成线，我们就得到一个图，如果从图上一个点出发，可以沿着线跑到

图上任一个其它的点，这样的图就称为连通的图，条件③表明图是连通图．

我们看一看几个点的连通图至少有多少条线．可以假定图没有圈(如果有圈，就在圈上去掉一条

线)，从一点出发，不能再继续前进，将这一点与连结这点的线去掉．考虑剩下的n-1个点的图，它仍然是连通的．用同样的办法又可去掉一点及一条线．这样继续下去，最后只剩下一个点．因此n 个点的连通图至少有n-1条线(如果有圈，线的条数就会增加)，并且从一点A 向其他n-1个点各连一条线，这样的图恰好有n-1条线．

因此，(1)的答案是n=79+1=80，并且将一台计算机与其他79台各用一条线相连，就得到符合要

求的联网．

下面看看最多连多少条线．

在这80个点(80台计算机)中，设从1A 引出的线最多，有k 条，与1A 相连的点是1B ,2B ，…，k

B 由于条件，1B ,2B …，k B 之间没有线相连．

设与1A 不相连的点是2A ，3A …，m A ，则m+k=80，而2A ，3A …, m A 每一点至多引出k 条线，

图中至多有mk 条线，因为40B 2

4()m k m k ??=+≤2

()6400m k +=

所以m ×k ≤1600，即连线不超过1600条．

另一方面，设80个点分为两组：1A ,2A …，40A ；1B ，2B …，40B 第一组的每一点与第二组的每一点各用一条线相连，这样的图符合题目要求，共有40×40=1600条线

【例 20】 在一个6×6的方格棋盘中，将若干个1×1的小方格染成红色．如果随意划掉3行3列，在剩

下的小方格中必定有一个是红色的．那么最少要涂多少个方格? 【解析】 方法一：显然，我们先在每行、每列均涂一个方格，使之成为红色，如图A 所示，但是在图B

中，划去3行3列后，剩下的方格没有红色的，于是再将两个方格涂成红色(依据对称性，应将2个方格同时涂成红色)，如图C 所示，但是图D 的划法，又使剩下的方格没有红色，于是再将两个方格涂成红色(还是由于对称的缘故，将2个方格涂成红色)，得到图E ，图E 不管怎么划去3行3列，都能使剩下的方格含有红色的．

这时共涂了10个方格．

方法二：一方面，图F表明无论去掉哪三行哪三列总会留下一个涂红的方格．

另一方面，如果只涂9个红色方格，那么红格最多的三行至少有6个红格(否则第三多的行只有1个红格，红格总数≤5+3=8)，去掉这三行至多还剩3个红格，再去掉三列即可将这三个红格也去掉．

综上所述，至少需要将10个方格涂成红色．

【例21】如图，把正方体的6个表面剖分成9个相等的正方形．现用红、黄、蓝3种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形所染的颜色不同．那么染成红色的正方形的个数最多是多少个?

【解析】如上面右图所示，它们的对面也同样的染色，这样就有(5+4+2)×2=22(个)方格染色，而且有公共

边的正方形颜色不同．所以，用红色染成的正方形的个数最多是22个．

【例22】证明：在6×6×6的正方体盒子中最多可放入52个1×l×4的小长方体，这里每个小长方体的面都要与盒子的侧面平行．

【解析】先将6×6×6的正方体盒子视为实体，那么6×6×6的正方体可分成216个小正方体，这216个

小正方体可以组成27个棱长为2的正方体．我们将这27个棱长为2的正方体按黑白相间染色，

如下图所示．

其中有14个黑色的，13个白色的，而一个白色的2×2×2的正方体可以对应的放人4个每个面都

与盒子侧面平行的1×l ×4的小长方体，所以最多可以放入13×4=52个1×1×4的小长方体．

注：6×6×6的正方体的体积为216，1×1×4的小长方体的体积为4，所以可放入的小正方体数目不超过216÷4=54个．

【例 23】 用若干个l×6和1×7的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个11×12的大长方形，最少

要用小长方形多少个? 【解析】 我们先通过面积计算出最优情况：

11×12=132，设用1×6的小长方形x 个，用1×7的小长方形y 个，有67132x x +=．

解得：17186x t

y t

=+??

=-?（t 为可取0的自然数)，共需x+y=19+t 个小长方形．

(1)当t=0时，即x+y=1+18=19，表示其中的1×6的小长方形只有1个，剩下的18个小长方形都是

l ×7的．

大长方形中无论是1行还是1列，最多都只能存在1个l ×7的小长方形，所以在大长方形中最多

只能无重叠的同时存在16个l ×7的小长方形．

现在却存在18个1×7的小长方形，显然不满足；

(2)当t=l 时，即x+y=8+12=20，有如下分割满足，所以最少要用小长方形20个．

练习1. 在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和

课后练习

同一

列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮? 【解析】 最少要1997次，将第一列中的每一格都按一次，则除第一列外，每格的灯都只改变一次状态，

由不亮变成亮．而第一列每格的灯都改变1997次状态，由不亮变亮．如果少于1997次，则至少有一列和至少有一行没有被按过，位于这一列和这一行相交处的灯保持原状，即不亮的状态．

练习2. （2008年台湾小学数学竞赛选拔赛）将1、2、3、4、5、6写在一个圆周上，然后把圆周上连续

三

个数之和写下来，则可以得到六个数1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a ，将这六个数中最大的记为A ．请问在所有填写方式中，A 的最小值是什么？

6

32

5

4

1

【解析】 要由于每个写在圆周上的数都被用了三次，

则

1234563(123456)63a a a a a a +++++=?+++++=，即写出来的这6个数的平均数为10.5，因

此A 至少为11．由上图的排列方式可知A 为11的情形存在，故A 的最小值为11．

练习3. 有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石

子

数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问，能否做到：⑴某2堆石子全部取光？⑵3堆中的所有石子都被取走？ 【解析】 要使得某两堆石子全部取光，只需使得其中有两堆的石子数目一样多，那么如果我们把最少的一

堆先取光，只要剩下的两堆中有一堆数目是偶数，再平分一下就可以实现了．而题中数字正好能满足要求．所以，全部取光两堆是可以的．

对于第二个问题，要取走全部3堆，则必须3堆石子的总数是3的倍数才有可能，但1989、989、89之和并非3的倍数，所以是不可能的． ⑴可以取光其中的两堆石子．如进行如下的操作：

第1堆 第二堆 第三堆

1989 989 89

1900 900 0 (第一步：三堆各取走89块)

1900 450 450 (第二步：第二堆900是偶数，将其一半移入第三堆) 1450 0 0 (第三步：三堆各取走450块)

⑵不能将三堆全部取光． 因为每一次取走石子是从三堆中同时取走相同数目的石子，那么每次取走的石子数都是3的倍数，则不论怎么取，取走的石子总数是3的倍数，

而1989989893067++=，3067被3除余1，不是3的整数倍，所以不能将三堆石子全部取光．

练习4. 在1000×1000的方格表中任意选取n 个方格染为红色，都存在3个红色方格

它们的中心构成一个直角三角形的顶点．求n 的最小值． 【解析】 首先确定1998不行．反例如下：

其次1999可能是可以的，因为首先从行看，1999个红点分布在1000行中，

河北省邢台市小学数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

河北省邢台市小学数学小学奥数系列8-6-1构造与论证 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！ 一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分) 1. （1分） (2019六下·蓝山期中) A、B、C、D、E五位小朋友之间进行象棋比赛，每两个人都要比赛一场．到现在为止，A赛了4场，B赛了3场，C赛了2场，D赛了1场，那么E赛了________场． 2. （5分）三个连续偶数的和是54，这三个偶数分别是多少？ 3. （5分）排队游戏。 小冰、小亮、小强、小风四人一起排队上车。小风在小冰和小亮的中间，小强在最后，小冰不是第一个。请把他们的名字从前往后写下来。 4. （5分）篮子里的7个莱果掉了4个在桌子上，还有一个不知掉到哪去了，飞飞把桌子上的莱果拾进篮子里，又吃了一个，请问篮子里还剩下几个苹果？ 5. （10分）一个苹果减去一个苹果，猜一个字。 6. （5分）给下面每个格子涂上黑色或红色．观察每一列，你有什么发现？ 能说出其中的道理吗？ 7. （5分）考试做判断题，小花掷骰子决定答案，但题目有20题，为什么他却扔了40次？ 8. （10分）甲和乙做猜数的游戏。首先，甲在纸上写个各位数字都不同的四位数，写好后将纸翻过来。不让乙看到，然后让乙猜这个四位数的各位数字。如果数字和位数都猜对了就是○，如果数字对而位数不对就是△。

例如：甲写的是，乙猜的是，那么就是个○，个△。 请阅读以下对话并回答问题： 乙：“我猜”，甲：“ 个○，个△。” 乙：“ ？”，甲：“也是个○，个△。” 乙：“ ？”，甲：“也是个○，个△。” 乙：“ 呢？”，甲：“ 个△。” 乙：“哇，猜不着呀，呢？”甲：“也是个△。” （1）：请从以上的对话中答出甲最可能写的个四位数。 后来，甲发现自己刚才的回答中对四位数的判断有误。 甲：“对不起，刚才有搞错的。”乙：“啊！那么” 甲“只是个数字搞错了，在刚才说到的数字中，只是对的判断有误，正确的回答应该是个○，个△。” 乙“稍等一会儿，啊！我知道啦！甲写的四位数是________吗”？ 甲：“对啦！你真棒！” （2）请问甲写的这个四位数是什么？ 9. （5分）班上四名同学进行跳棋比赛，每两名同学都要赛一局．每局胜者得分，平者各得分，负者得分．已知甲、乙、丙三名同学得分分别为分、分、分，且丙同学无平局，甲同学有胜局，乙同学有平局，那么丁同学得分是多少？ 10. （2分）任意给出5个不同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数．你能说出其中的道理吗？ 11. （5分）传说有个说谎国，这个国家的男人在星期四、五、六、日说真话，在星期一、二、三说假话；女人在星期一、二、三、日说真话，在星期四、五、六说假话．有一天，一个人到说谎国去旅游，他在那里认识了一男一女．男人说：“昨天我说的是假话”，女人说：“昨天也是我说假话的日子”．这下，那个外来的游人可发愁了，到底今天星期几呢？请同学们根据他们说的话，判断一下今天是星期几呢？ 12. （5分）在一次数学竞赛中，，，，，五位同学分别得了前五名（没有并列同一名次

(完整版)小学奥数-平均数问题(教师版)(2)

平均数问题 把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。 如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？ 下面的数量关系必须牢记： 平均数=总数量÷总份数 总数量=平均数×总份数 总份数=总数量×平均数 【例1】★有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个，苹果和桃平均每箱37个。一箱苹果多少个？ 【解析】（1）1箱苹果＋1箱梨＋1箱橘子=42×3=136（个）； （2）1箱桃＋1箱梨＋1箱橘子=36×3=108（个） （3）1箱苹果＋1箱桃=37×2=72（个） 由（1）（2）两个等式可知： 1箱苹果比1箱桃多126－108=18（个），再根据等式（3）就可以算出：1箱桃有（74－18）÷2=28（个），1箱苹果有28＋18=46（个）。 1箱苹果和1箱桃共有多少个：37×2=74（个） 1箱苹果比1箱桃多多少个：42×3－36=18（个） 1箱苹果有多少个：28＋18=46（个） 【小试牛刀】一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分。问：甲、丁各得多少分？ 【解析】甲113 丁77 【例2】★一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分；男生平均每人90.5分。求这个班男生有多少人？ 【解析】女生每人比全班平均分高92－91.2=0.8（分），而男生每人比全班平均分低91.2－90.5=0.7（分）。全体女生高出全班平均分0.8×21=16.8（分），应补给每个男生0.7分，16.8里包含有24个0.7，即全班有24个男生。 【小试牛刀】两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下。甲组有6人，平均每人跳140下，乙组平均每人跳160下。乙组有多少人？ 【解析】9人 【例3】★五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，五一班有多少名同学？ 【解析】98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成绩上升91.7－91.5=0.2（分）。9里面包含有几个0.2，五一班就有几名同学。 【小试牛刀】五（1）班有40人，期中数学考试，有2名同学去参加体育比赛而缺考，全班平均分

广西桂林市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

广西桂林市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！ 一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分) 1. （1分）找规律，填一填． （1） 6________－________6＝9 （2） 8________－________8＝63 （3） 7________－________7＝27 2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。已知最上层有4根，最下层有20根。 （1）这堆原木堆放了多少层? （2）一共有多少根原木? 3. （5分）在下面的方格中，每行、每列都有1-4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。A、B 应该是几？其他方格里的数呢?

4. （5分）张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知：⑴张明不在北京工作，席辉不在上海工作；⑵在北京工作的不是教师；⑶在上海工作的是工人；⑷席辉不是农民．问：这三人各住哪里？各是什么职业？ 5. （10分）班上四名同学进行跳棋比赛，每两名同学都要赛一局．每局胜者得分，平者各得分，负者得分．已知甲、乙、丙三名同学得分分别为分、分、分，且丙同学无平局，甲同学有胜局，乙同学有平局，那么丁同学得分是多少？ 6. （5分）给下面每个格子涂上黑色或红色．观察每一列，你有什么发现？ 能说出其中的道理吗？ 7. （5分） (2019三上·余杭期末) 班级图书角有许多课外书，同学们经常来借书，只知道：第一组借走了一半多一本；剩下的书，第二组借走了其中的一半多两本；再剩下的书，第三组借走了其中的一半多三本；最后，图书角还剩下6本书。你知道图书角原有多少本课外书吗？ 8. （10分）(2013·广州) 有一家四口人要走过一座窄桥，窄桥一次最多只可允许两个人一起过桥，由于天色很暗，同时他们又只有一只手电筒，行人过桥时必须持有手电筒，以防止跌落水中，因此就得有人把手电筒带来带去，来回桥两端，四个人的步行速度各不相同，已知每人过桥所需要使用的时间分别为：哥哥——1分钟； 爸爸——2分钟； 妈妈——5分钟； 爷爷——10分钟。 若两人同行则以较慢者的速度为准，请问一家四口人全部过桥的总用时至少是几分钟？ 请写出你设计的方案：

小学数学《构造与论证》练习题

构造与论证 1.完成下面的表格，请你填写奇数，偶数，奇数或偶数，不可能。 2.是否存在这样的4个自然数，它们的和是205，乘积是2009？请简单的说明理由。 3.判断1+2+3+4+……+2009的结果是奇数还是偶数？ 4.□+□=□；□-□=□；□×□=□；□÷□=□。每一个算式中都至少有1个偶数和1个奇数。那么12 个数中一共有多少个偶数？ 5.已知两个两位数之差是39，下面5种说法正确的有：①这两个数的和可能是67。②这两个数的和可 能是88。③这两个数的4个数字之和有可能是12。④这两个数的4个数字之和有可能是15。⑤这两个数的4个数字之和有可能是22。 6.能否在1、2、3、4、……、100之间填入99个“+”，“-”号，使得计算的结果为2009？ 7.是否有可能将自然数1—100排成一排，使得任意相邻的3个自然数之和全都是奇数？如果可以请给 出排列方法，如果不可以请说明理由。

8.已知a，b，c，d，e中有一个是2004，一个是2005，一个是2006，一个是2007，一个是2008，求证 a+2004，b+2005，c+2006，d+2007，e+2008的乘积一定为偶数。 9.有一个数列，前4项是2，0，0，5。从第5项开始，每一项都是前面4项平方和的个位。那么在这个 数列中是否存在连续的4个数，它们分别为2，0，0，8？ 10.一个游戏的规则为：在黑板上写3个自然数，然后随便擦掉其中的一个数，换上未擦去的2个数的和 减1，这样做了多次以后，黑板上得到17、123、139这3个数，请问黑板上开始写的三个数可以是2、 2、2？ 11.能否用1，1，2，2，3，3，4，4，5，5组成一个十位数，使两个1之间有1个数字，两个2之间有2 个数字，两个3之间有3个数字，两个4之间有4个数字，两个5之间有5个数字？请说明理由。

山东省莱芜市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

山东省莱芜市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！ 一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分) 1. （1分）小强、小明、小勇三人参加数学竞赛，他们分别来自甲、乙、丙三个学校，并分别获得一、二、三等奖．已知：⑴小强不是甲校选手；⑵小明不是乙校选手；⑶甲校的选手不是一等奖；⑷乙校的选手得二等奖； ⑸小明不是三等奖．根据上述情况，可判断出小勇是________校的选手，他得的是________等奖． 2. （5分）三个连续偶数的和是54，这三个偶数分别是多少？ 3. （5分）甲、乙、丙、丁在谈论他们及他们的同学何伟的居住地． 甲说：“我和乙都住在北京，丙住在天津．” 乙说：“我和丁都住在上海，丙住在天津．” 丙说：“我和甲都不住在北京，何伟住在南京．” 丁说：“甲和乙都住在北京，我住在广州．” 假定他们每个人都说了两句真话，一句假话．问：不在场的何伟住在哪儿？ 4. （5分）有三个小朋友在猜拳，，一个出剪刀，一个出石头，一个出布，请问三个人共有几根指头？ 5. （10分）在期末考试前，学生、、、分别预测他们的成绩是、、或，评分标准是比好，比好，比好． 说：“我们的成绩都将不相同．若我的成绩得，则将得．” 说：“若的成绩得，则将得．的成绩将比好．” 说：“若的成绩不是得到，则将得．若我的成绩得到，则的成绩将不是．” 说：“若的成绩得到，则我将得到．若的成绩不是得到，则我也将不会得到．” 当期末考试的成绩公布，每位学生所得到的成绩都完全符合他们的预测．请问这四位学生的成绩分别是什么？

(小学奥数)1-3-5 换元法.教师版

对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．” 三、换元思想 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 【例 1】计算： 1111111111 (1)()(1)() 2424624624 ++?++-+++?+ 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【解析】令 111 1 246 a +++=， 111 246 b ++=，则： 原式 11 ()() 66 a b a b =-?-?- 11 66 ab b ab a =--+ 1 () 6 a b =- 11 1 66 =?= 【答案】1 6 【巩固】 11111111111111 (1)()(1)() 23423452345234 +++?+++-++++?++ 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【解析】设 111 234 a=++，则原式化简为： 111 1(1 555 a a a a + (+)(+)-+)= 【答案】1 5 【巩固】计算： 621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947????????++?++-+++?+ ? ? ? ????????? 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【解析】令621739458 126358947 a ++=； 739458 358947 b +=， 原式 378378 207207 a b a b ???? =?+-+? ? ? ???? ()3786213789 207126207 a b =-?=?=例题精讲 教学目标 换元法

构造与论证.

模块一最佳安排和选择方案 例题1构造与论证 一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚.下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如 果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去?这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是____________ 颜色(填“黑” 或者“白”). 例题25卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列, 即从第5卷到第1卷?如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次 例题3例题4有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆.开始时，第一堆 有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子.问能否做到：、 (1)某2堆石子全部取光？ (2)3 堆中的所有石子都被取走？ n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问： (1)n=4是否可能？ (2)n=5是否可能？ 例题5如图35-1，将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10这10个数分别填入图中的10 个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M?求M的最小值并完成你的填图? 例题6 (2009年清华附中入学测试题)如图，在时钟的表盘上任意作9个120°的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数?并举一个反例说明，作8个扇形将不能保证上述结论成立. 11 121 10 2 9 3

河北省衡水市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

河北省衡水市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！ 一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分) 1. （1分） (2019六上·南康期末) 六年级1、2、3、4四个班举行拔河比赛，甲、乙、丙三个同学猜测四个班比赛的前三名名次．甲说：1班第三，3班第一；乙说：3班第二，2班第三；丙说：4班第二，1班第一．比赛结果，三个人都猜对了一半．那么，1班第________名，4班第________名． 2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。已知最上层有4根，最下层有20根。 （1）这堆原木堆放了多少层? （2）一共有多少根原木? 3. （5分）小明、小勇、小军三个小朋友，小明比小勇轻，小军是最轻的。请写出他们的名字。 4. （5分）一个乡村小学，A、B、C三位老师共同承担全校语文、数学、品德、体育、音乐、美术六门课，每人教两门．根据下列条件判断他们分别教哪两门课．

①A喜欢和体育老师、数学老师游泳． ②B和音乐老师、语文老师都喜欢踢足球． ③体育老师比语文老师年龄大． ④B不是体育老师． ⑤品德老师和数学老师喜欢下棋． (提示：是某个学科的老师就在下面用“√”表示，不是就用“×”表示，根据上面的条件，填写下表．) 5. （10分）四对夫妇坐在一起闲谈．四个女人中，吃了个梨，吃了个，吃了个，吃了个；四个男人中，甲吃的梨和他妻子一样多，乙吃的是妻子的倍，丙吃的是妻子的倍，丁吃的是妻子的倍．四对夫妇共吃了个梨．问：丙的妻子是谁？ 6. （5分）任意13个人中，必然有2人是在同一个月出生的．为什么？ 7. （5分）三张分别写有2，1，6的卡片，能否排成一个可以被43除尽的整数？ 8. （10分）在世界杯小组赛上，每四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得分，负队得分，平局则两队各得分．小组赛结束后，总积分高的两队出线，进入下一轮比赛，如果总积分相同，还要按进一步的规则排序．那么一个队至少要积几分才能保证本队必然出线？若有一个队总积分是分，则这个队可能出线吗？ 9. （5分）有三个盒子，甲盒装了两个克的砝码，乙盒装了两个克的砝码，丙盒装了一个克、一个 克的砝码．每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的．聪明的小明只从一个盒子里取出一个砝码，放到天平上称了一下，就把所有标签都改正过来了．你知道这是为什么吗？ 10. （2分） 20道复习题，小明在两周内做完，每天至少做一道题．证明：小明一定在连续的若干天内恰好做了7道题目． 11. （5分）烟鬼甲每天抽50支烟，烟鬼乙每天抽10支烟。5年后，烟鬼乙抽的烟比烟鬼甲抽的还多，为什么？ 12. （5分）在路上，它翻了一个跟斗，接着又翻了一次（猜4字成语）? 13. （5分）名运动员参加一项比赛，赛前，甲说：“我肯定是最后一名．”乙说：“我不可能是第一名，也不可能是最后一名．”丙说：“我绝对不会得最后一名．”丁说：“我肯定得第一名．”赛后，发现他们人的预测中只有一人是错误的．请问谁的预测是错误的？

小学奥数-鸡兔同笼问题(教师版)

鸡兔同笼问题 在我国古代的数学著作《孙子算经》中，记载着流传甚广的数字歌谣：鸡兔同笼不知数，三十五头笼中露。数清脚共九十四双，各有多少鸡和兔。翻译成现代数学语言为：今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共有35个，鸡脚与兔脚一共有94只。问鸡和兔一共有多少只？ 这就是我们通常说的“鸡兔同笼”问题。这一古老的数学问题在现实生活中普遍存在，解法多种多 样，但一般采用假设法。 【例1】★今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只。问鸡、兔各有多 少只？ 【解析】鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔，脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整，从而找到正确答案。 假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是2×35=70只，与实际相比，减少了94－70=24只。减 少的原因是把一只兔当作一只鸡时，要减少4－2=2只脚。所以兔有24÷2=12只，鸡有35－12=23只。 【小试牛刀】小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？ 【解析】假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情 况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换 同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个 2，就可以求出兔的只数。有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有鸡16-6＝10（只）。 【例2】★面值是2元、5元的人民币共27张，全计99元。面值是2元、5元的人民币各有多少张？ 【解析】这道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值2元的人民币，那么27张人民币是 2×27=54元，与实际相比减少了99－54=45元，减少的原因是每把一张面值2元的人民币当作一 张面5元的人民币，要减少5－2=3元，所以，面值是5元的人民币有45÷3=15张，面值2元的人民币有27－15=12张。 【小试牛刀】小白有2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角。两种硬币各有多少枚？ 【解析】2分10枚，5分30枚 【例3】★一批水泥，用小车装载，要用45辆；用大车装载，只要36辆。每辆大车比小车多装4吨，这批水泥有多少吨？ 【解析】求出大车每辆各装多少吨，是解题关键。如果用36辆小车来运，则剩4×36=144吨，需 45－36=9辆小车来运，这样可以求出每辆小车的装载量是144÷9=16吨，所以，这批水泥共有 16×45=720吨。 【小试牛刀】一批货物用大卡车装要16辆，如果用小卡车装要48辆。已知大卡车比小卡车每辆多装4吨，问这批货物有多少吨？ 【解析】96吨

小学奥数构造与论证第一讲

构造与论证第一讲 内容概述 各种探讨给定要求能否实现，设计最佳安排和选择方案的组合问题．这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计． 典型问题 2.有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到： (1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走? 【分析与解】 (1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→ (50，0，50)→(25，25，50)→(O，0，25)． (2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变． 现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走． 4.在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高? 【分析与解】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高． 当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三 场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=111 3 ， 推知，必有人得分不超过11分.

小学奥数教师版合辑-1-23通项归纳

【例 1】 12481632641282565121024++++++++++=________ 。 【考点】通项归纳 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】走美杯，初赛，六年级 【解析】 方法一：令12481024a =+++++，则22481610242048a =++++++，两式相减，得 204812047a =-=。 方法二：找规律计算得到102421=2047?- 【答案】2047 【例 2】 在一列数：135********，，，，，中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于1 1000 ？ 【考点】通项归纳 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】 这列数的特点是每个数的分母比分子大2，分子为奇数列，要1－2121n n -+＜1 1000 ，解出n ＞999.5， 从n ＝1000开始，即从 1999 2001 开始，满足条件 【答案】1999 2001 【例 3】 计算：111 112123122007 + ++? +++++? 【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 先找通项公式1211 2()12(1)1n a n n n n n ===-++?++ 原式111 12(21)3(31)2007(20071) 222 =++++?+?+?+ 222212233420072008=++++ ???? 200722008=? 2007 1004= 【答案】2007 1004 【巩固】 1111 33535735721 ++++ +++++++ 【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 先找通项：()() ()111 1352122132 n a n n n n n ===+++++?++? 原式111111 132435469111012 =++++++ ?????? 1 111111335 91124461012????=+++++++ ? ??????????? 11111121112212????=?-+?- ? ????? 175 264 = 例题精讲 通项归纳

广东省揭阳市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

广东省揭阳市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！ 一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分) 1. （1分）先找规律,填好幻方,使下面幻方中竖的、横的、斜的3个数的和都是18．然后按从上到下，从左到右的顺序,填写结果. ________ 2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。已知最上层有4根，最下层有20根。 （1）这堆原木堆放了多少层? （2）一共有多少根原木? 3. （5分）由，，三个班中各出3名学生比赛长跑．规定第一名得9分，第二名得8分，第三名得7分，……，第八名得2分，第九名得1分．比赛结果是三个班总分相等，而且九名学生没有名次并列的，也没有同一个班的学生获得相连名次的．如果第一名是班的，第二名是班的．那么最后一名是哪个班的？ 4. （5分）四个足球队进行单循环比赛，规定胜一场得分，平一场得分，负一场得分，有一个队没输过，但却排名倒数第一，你觉得有可能吗？如果可能，请举出这种情况何时出现，如果不可能，请你说明理由．

5. （10分）篮子里的7个莱果掉了4个在桌子上，还有一个不知掉到哪去了，飞飞把桌子上的莱果拾进篮子里，又吃了一个，请问篮子里还剩下几个苹果？ 6. （5分）把4支铅笔放进3个文具盒里，不管怎么放总有一个文具盒里至少放进2支铅笔，为什么？ 7. （5分）五号楼住着四个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的岁，最小的岁，最大的女孩比最小的男孩大岁，最大的男孩比最小的女孩也大岁，求最大的男孩的岁数． 8. （10分）一个篮子里装着五个苹果，要分给五个人，要求每人分的一样多，最后篮子里还要剩下一个苹果，如何分（不能切开苹果） 9. （5分）架子上摆着大、中、小三种皮球，只知道小皮球每只20元，每层皮球的价钱同样多，每只中皮球和大皮球各需要多少元？ 10. （2分）任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数（单独一个数也当做和）． 11. （5分）重阳节，25位老人来品茶，25位老人的年龄是连续数，也是自然数，两年后25位老人年龄和是2000，问25位老人最大的一位是多大？ 12. （5分）宝宝、贝贝、聪聪每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们，此外：⑴数学博士夸跳高冠军跳的高⑵跳高冠军和大作家常与宝宝一起看电影⑶短跑健将请小画家画贺年卡⑷数学博士和小画家关系很好⑸贝贝向大作家借过书⑹聪聪下象棋常赢贝贝和小画家问：宝宝、贝贝、聪聪各有哪两个外号吗？ 13. （5分）有三个盒子，甲盒装了两个克的砝码，乙盒装了两个克的砝码，丙盒装了一个克、一个克的砝码．每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的．聪明的小明只从一个盒子里取出一个砝码，放到天平上称了一下，就把所有标签都改正过来了．你知道这是为什么吗？ 14. （5分） 5只鸡，5天生了5个蛋。100天内要100个蛋，需要多少只鸡？

温州市龙湾区数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

温州市龙湾区数学小学奥数系列8-6-1构造与论证 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！ 一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分) 1. （1分）五个足球队进行循环比赛，即每两个队之间都要赛一场．每场比赛胜者得分、负者得分、打平两队各得分．比赛结果各队得分互不相同．已知：⑴第名的队没有平过；⑵第名的队没有负过；⑶第名的队没有胜过．问全部比赛共打平了________场． 2. （5分）1+2+3+……+1996+3001的和是奇数还是偶数？ 3. （5分）一个数若去掉前面的第一个数字是11，去掉最后一个数字为50，原数是多少？ 4. （5分）刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛．事先规定：兄妹二人不许搭伴．第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹．问：三个男孩的妹妹分别是谁？ 5. （10分）从A，B，C，D，E，F六种产品中挑选出部分产品去参加博览会。根据挑选规则，参展产品满足下列要求： （1）A，B两种产品中至少选一种； （2）A，D两种产品不能同时入选； （3）A，E，F三种产品中要选两种； （4）B，C两种产品都入选或都不能入选； （5）C，D两种产品中选一种； （6）若D种产品不入选，则E种也不能入选。 问：哪几种产品被选中参展？ 6. （5分）如图，分别标有数字的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标的数字都不相同．当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对．

安徽省亳州市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

安徽省亳州市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！ 一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分) 1. （1分）动物村开运动会，在1000米跑比赛中，小马比小鹿跑得慢，小马不如小兔跑得快，小鹿比小兔跑得快． 小朋友，请你当裁判，金牌应该发给________？ 2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。已知最上层有4根，最下层有20根。 （1）这堆原木堆放了多少层? （2）一共有多少根原木? 3. （5分）在下面的方格中，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次，填出空格里缺少的数。

2 24 3 1 4. （5分）考试做判断题，小花掷骰子决定答案，但题目有20题，为什么他却扔了40次？ 5. （10分）(2011·广州模拟) 甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两人要赛一场，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同，问丁胜了几场？ 6. （5分）在一个直径为2厘米的圆内放入七个点，请证明一定有两个点的距离不大于1厘米。 7. （5分）一个挂钟敲六下要30秒，敲12下要几秒？ 8. （10分）先填一填，再说说我的新发现． 观察表，我发现了：________ 9. （5分）架子上摆着大、中、小三种皮球，只知道小皮球每只20元，每层皮球的价钱同样多，每只中皮球和大皮球各需要多少元？

10. （2分）如图，分别标有数字的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标的数字都不相同．当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对． 11. （5分）班里举行投篮比赛，规定投中一个球得分，投不进扣分．小立一共投了个球，得了分，那么小立投中了几个球？ 12. （5分）学校新来了一位老师，五个学生分别听到如下的情况： ⑴是一位姓王的中年女老师，教语文课； ⑵是一位姓丁的中年男老师，教数学课； ⑶是一位姓刘的青年男老师，教外语课； ⑷是一位姓李的青年男老师，教数学课； ⑸是一位姓王的老年男老师，教外语课． 他们每人听到的四项情况中各有一项正确．问：真实情况如何？ 13. （5分）趣味滑冰锦标赛最后进行的是花样滑冰双人滑的表演，规定男女双方都不能和自己的原搭档在一起表演．男士用、、表示，女士用甲、乙、丙表示．已知前面表演过程中和甲一起滑过，和丙一起滑过，和甲一起滑过，和乙一起滑过，的新搭档不可能是丙，那么乙的新搭档是谁？ 14. （5分）有A、B、C三个足球队，每两队都比赛一场，比赛结果是：A有一场踢平，共进球2个，失球8个；B两战两胜，共失球2个；C共进球4个，失球5个，请你写出每队比赛的比分。 15. （5分）在下表中填入三人的名字。 小明收集的邮票比小刚多一些，小刚收集的邮票比小兰少得多。

小学奥数教师版-1-3-1 定义新运算

定义新运算 教学目标 定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 知识点拨 一定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝52×3＝6 都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类 1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合 例题精讲 模块一、直接运算型 【例1】若*A B 表示()()3A B A B +?+，求5*7的值。 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算 【解析】A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘 积。 由A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）

六年级奥数.杂题.构造与论证(ABC级).教师版

（1） 掌握最佳安排和选择方案的组合问题. （2） 利用基本染色去解决相关图论问题． 各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计． 组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色． 一、 最佳安排和选择方案 【例 1】 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到 第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次? 【考点】构造与论证 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234； 现在将第4卷调至此时第1卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123； 现在将第3卷调至此时第1卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312； 最后将第1卷和第2卷对调即可． 所以，共需调换4+3+2+1=10次． 【答案】10次 例题精讲 重难点 知识框架 构造与论证

【巩固】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？ 【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答 【解析】从整体进行考虑．所得的2009个和相加，便等于1～2009的所有数的总和的2倍，是个偶数．2009个数的和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么这2009个数的乘积是偶数． 本题也可以考虑其中的奇数．由于1～2009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数，而只有2009张卡片，根据抽屉原理，其中必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字的和是偶数，从而所有2009个和的乘积也是偶数． 【答案】偶数 【例2】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有 10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一 场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜 几场，才能确保他的得分比某位专业选手高? 【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答 【解析】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高． 当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得 10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三场比赛 共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=111 3 ，推知，必 有人得分不超过11分. 也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高. 【答案】胜3场 【巩固】n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问： （1）n=4是否可能？

安徽省池州市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

安徽省池州市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！ 一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分) 1. （1分）五个足球队进行循环比赛，即每两个队之间都要赛一场．每场比赛胜者得分、负者得分、打平两队各得分．比赛结果各队得分互不相同．已知：⑴第名的队没有平过；⑵第名的队没有负过；⑶第名的队没有胜过．问全部比赛共打平了________场． 2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。已知最上层有4根，最下层有20根。 （1）这堆原木堆放了多少层? （2）一共有多少根原木? 3. （5分）张老师把红、白、蓝三种颜色的气球分给三位小朋友，根据下面的对话，你能猜出他们分到的各是什么颜色的气球吗? 4. （5分）一个乡村小学，A、B、C三位老师共同承担全校语文、数学、品德、体育、音乐、美术六门课，每人教两门．根据下列条件判断他们分别教哪两门课．

①A喜欢和体育老师、数学老师游泳． ②B和音乐老师、语文老师都喜欢踢足球． ③体育老师比语文老师年龄大． ④B不是体育老师． ⑤品德老师和数学老师喜欢下棋． (提示：是某个学科的老师就在下面用“√”表示，不是就用“×”表示，根据上面的条件，填写下表．) 5. （10分）某地质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别。甲判断：不是铁，也不是铜。乙判断：不是铁，而是锡。丙判断：不是锡，而是铁。经化验证明：有一个人的判断完全正确，有一个人说对了一半，而另一个人完全说错了。你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗？ 6. （5分） 9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2∶3。证明：这9 条直线中至少有3 条通过同一个点。 7. （5分）塑料袋里有六个橘子，如何均分给三个小孩，而塑料袋里仍有二个橘子？（不可以分开橘子） 8. （10分）宝宝、贝贝、聪聪每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们，此外：⑴数学博士夸跳高冠军跳的高⑵跳高冠军和大作家常与宝宝一起看电影⑶短跑健将请小画家画贺年卡⑷数学博士和小画家关系很好⑸贝贝向大作家借过书⑹聪聪下象棋常赢贝贝和小画家问：宝宝、贝贝、聪聪各有哪两个外号吗？ 9. （5分）一个挂钟敲六下要30秒，敲12下要几秒？ 10. （2分）小明参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是36环，小明至少有一镖不低于8环，对吗？为什么？ 11. （5分）甲、乙、丙、丁四人进行象棋比赛，每两个都比赛一场，规定胜者得分，平局各得分，输者得分．结果甲第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得几分？ 12. （5分）四名同学参加区里围棋比赛，每两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得分，平一局得分，负一局得分．如果每个人最后得的总分都不相同，且第一名不是全胜，那么最多有几局平局？ 13. （5分）一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问．四人分别供述如下： 甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中．”